抛物线的几何性质(2)

(2)当k∈
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .

解 : AB AF BF p p ( x1 ) ( x2 ) 2 2 x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题 )
2
已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛 物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点.
丛书62页12题
2
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动. K
几何解释,就是
N
2
MK NK KF
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
当 k 0 时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点 2 当 k 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= 16(2k k 1)
1 ①当△=0 时,即 k 0 或 2
…… …… 作图直觉
……
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y 直线的方程是__________________________.x 1
例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题12 : SAOB
解 : SOAB SOBF S 0 AF
p2 . 2 sin
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 )，

抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
方程
性质 图形
设抛物线方程为： y2 2 px, ( p 0)
y
ldM
K
OF
x
范围 对称性 顶点坐标 离心率
焦半径 通径
x 0, y R 关于x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 2 ,
M (x0 , y0 )
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1=|AA1|,|BF|=|BB1|
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,
p1
p
又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP1|.
F
B1
B
x
因此，我们容易得到
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2

x0
p x1 x2
（0,0）
p 2

x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2

y0
p y1 y2
（0,0）
p 2

y0
p ( y1 y2 )
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l y
我们还可以推得以下结论：

F
x 2 py ( p 0)
2
y
O F
l
x l
y0 y0
x
2、抛物线的焦半径公式：
| PF | d
点P ( x0 , y0 )在对应抛物线上 , p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2
2
3、若A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )是y 2 px( p 0)的
y A
E
O D
M
F
B
x
对这个结论的再发现: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
|y1|· |y2|=p2
几何解释,就是
M
2
MK NK KF
K
N
3、若点A、B在此抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1 , 则A1 FB1
y A
E
O D
M F
B x
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物 线的几何性质，可作为一个研究性学 习课题，其中焦点弦性质中的有些结 论会对解题有一定的帮助. 2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x 轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴 上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
小结： 抛物线的焦点 弦有及其丰富的内涵， 有如下的一些结论： 2p (1) AB x1 x2 p sin 2 (为直线AB的倾斜角 ). 2 p 2 (2) y1 y2 p ; x1 x2 . 4
2
p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 . 2