浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛辅导系列 讲座七 四边形练习(无答案)

20141106九年级数学竞赛1．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为．2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．3．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标．4．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y=x2的切线；②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）；③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）；④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，则实数k=．其中正确命题的是（）A ．①②④B．①③C．②③D．①③④5．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D 重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是．6．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．7．如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q 为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP•OQ的值是否变化？证明你的结论．8交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．9．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：．10．如图在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求P A的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求P A：PC的值．（3）当动点P在射线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求P A：PC的值．11．阅读下列材料：在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2两点间的距离为．例如：若P 1（3，4）、P2（0，0），则P1、P2两点间的距离为．设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式，即x2+y2=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x2+y2=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x2+y2=1称为⊙O的方程．解决问题：如图平面上有A（1，0），B（﹣1，0）两点，已知圆心坐标为（3,4）．半径为2. （1）写出已知圆的圆方程；（2）在圆上求一点P1使△ABP1面积最大并求出此面积；（3）求使|AP|2+|BP|2取得最小值时的圆上的点P的坐标．12．已知函数f（x）=ax2+bx+c，且．（1）求证：a＞0且；（2）求证：函数f（x）在区间0<x<2内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围13．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为．。

浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛辅导系列讲座八相似形练习（无答案）浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛辅导系列讲座八相似形练习（无答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛辅导系列讲座八相似形练习（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛辅导系列 讲座八 相似形练习（无答案）数学竞赛辅导系列讲座八—-相似形1、在正三角形ABC 的边BC 、AC 上分别有点E 、F,且满足BE=CF=a,EC=FA=b(a 〉b)，当BF 平分AE 时，则错误!的值为（ )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!2、设AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE 的长为( )A 、错误!B 、4C 、错误!D 、错误!3、O 是△ABC 的外心,OD ⊥BC,OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE:OF=（ ）A 、a ：b ：cB 、错误!：错误!:错误!C 、Cos A ：CosB: CosCD 、SinA ：SinB:SinC 4、如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截， AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积为( ）A 、4B 、2错误!C 、3错误!D 、4错误!5、在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°, 记AM=m ，MN=x,BN=n,则以x 、m 、n 为边长的三角形形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、随x 、m 、n 的变化而变化6、△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC,BD=DC=FC=1，则AC=（ ）A 、 2B 、，3C 、错误!D 、错误!7、Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠,CD 是斜边AB 上的高，在BC 和CA 上分别取点E 和F ，使△EFD 和△ABC 相似，这样的△FED 有（ )个A 、1B 、2C 、3D 、多于38、设锐角△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于H ，若BC=a ，AC=b ，AB=c,则AH ·AC+BH ·BE+CH ·CF 的值是（ )A 、1()2ab bc ca ++B 、2221()2a b c ++C 、2()3ab bc ca ++D 、2222()3a b c ++9、设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE ∥BC 交AC 于点E ，作DF ∥AC 交B C 于点F,已知△ADE ，FA△DBF 的面积为m 和n ，则四边形DECF 的面积为__________． 10、如图,ABCD 的对角线相交于O ，在AB 的延长线上任取一点E, 连结OE ，交BC 于F ，若AB=a ，AD=c ，BE=b,则BF=___________．11、已知△ABC 为锐角三角形，其最大边AC 上有一点P （P 与A 、C 不重合），过P 作直线l ，使l 截△ABC 所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可以作______条．12、正方形ABCD 边长为1，M 、N 为BD 所在直线上两点，且A M=错误!,∠MAN=135°,则四边形AMCN 的面积为________．13、如图，已知△ABC 的面积为1,D 为BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且S △BDF =错误!，S △CDE =错误!,则S △DEF =_________．14、△ABC 中，∠C=90°,D 、E 分别为BC 上的两点,且∠ABC=错误!∠ADC=错误!∠AEC,若BD=11，DE=5，则AC=______．15、如图,已知边长为a b c -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则a cb-=___________．16、如图，△ABC 中，AB=2，AC=，3 ,∠A=∠BCD=45°,则BC 的长为______，△BDC 的面积为______．17、设CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,I 1、I 2分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC=3,BC=4,求I 1I 2．CABDD B CEFEGADACB18、如图，在△ABC,D 、E 分别是AC 、BC 的中点,BF=13 AB,BD 与FC 相交于G,（1）求证:EG ∥AC ；（2）求BFGBEGS S ∆∆的比值．19、已知线段AB,只用圆规把线段AB 二等分．20、分别以锐角△ABC 的三边为边向外作正△A BC 、正△BCE 、正△CAF,三个正三角形的中心分别为O 1、O 2、O 3，求证:△O 1O 2O 3是正三角形．21、如图，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2、……、P n-1分别是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n —2并延长交CD 于点F ， （1）求证：EF ∥BD ；（2)若平行四边形ABCD 的面积为S,且S △AEF =错误!S ，求n 的值．22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的△ABC ？GDCFFAP 1P 2P n-2P n-1证明你的结论．23、如图，在直角梯形ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为AB 中点,且EF+EO=8，求AD+BC 的值．24、已知点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合,过D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F,又已知BC=5，①设△ABC 的面积为S ，若四边形AEDF 的面积为错误!S ，求BD 的长； ②若AC=错误!AB ，且DF 经过△ABC 的重心G,求EF 两点间的距离．25、如图,O 是四边形ABCD对角线交点，已知∠BAD+∠BCA=180°,AB=5,AC=4,AD=3，BODO=错误!，求BC ．26．如图是由四个大小不等的、顶角为120o的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC 面积为EODEDA100，三角形ACD 面积为33,三角形ABF 面积为35．组成图形的四个等腰三角形中,求最小的一个面积是多少？27．如图在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=1,AB=2，E 是CD 上一点，且∠EBC=∠ABD ． （1）若BC=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；(2）连结AE ，是否存在x ，使⊿ABE 与⊿DBC 相似．若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．28．29．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 中,O 为BC 、FG 的中点，且点F 在正方形ABCD 内，连AE 、BF ，则AE ：BF 的值为 ．30．如图所示,在⊿ABC 的两侧向形外作正⊿ABP和⊿ACQ,点E 、QPDF 是这两个正三角形的中心,再以EF 为一边向上作正三角形DEF ． 求证：（1）BC=3AD; (2）AD ⊥BC ．31．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ,点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若⊿CDF为等腰三角形,则AEAD= ． 32．在⊿ABC 中，∠A=024，∠B=030，在边AB 上有一点D ，使BD=AC ，连结CD ．求∠BDC 的度数．33．（2011年北京市中考)如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒,AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合）,过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD x =，CE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是（ )DCBA34。

初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形一、基础知识：1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转 180 度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形3） 梯形：梯形问题 转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题二、例题分析例 1、如下左图,在等腰△ABC 中,延长边 AB 到点 D ,延长边 CA 到点 E ,连 接 DE ,恰有 AD=BC=CE=DE ,求∠BAC 的度数。

例 2、如上右图,在 RT △ABC 中,∠ACB 是直角,CD⊥AB 于 D,AE 平分∠ ABC,交 CD 于 K,F 在 BE 上且 BF=CE,求证：FK ⫽AB 。

例 3、如下左图,△ABC 内部一点 P ,满足∠PBA=∠PCA ,作平行四边形 PBQC , 求证：∠QA B=∠PAC 。

例4、如上右图,已知A、B 是两个定点,C 是位于直线AB 某一侧的一个动点, 分别以AC、BC 为边,在△ABCDE 外部作正方形CADI、CBEF,求证无论C 点在什么位置上,DE 的中点M 的位置不变。

例5、如下左图,梯形ABCD 中,AB⫽CD,BC⊥CD,AB=2,CD=4,点E 是BC 上的一个动点,连接并延长EA 到点F,使得EF:AE=2:1,连接并延长ED 到点G,使得EG:ED=3:2,以EF 和EG 为临边作平行四边形EFHG,连接EH 交AD 于点P,1）求EH 的最小长度；2）求证：P 是定点。

例6、如上右图,四边形ABCD 中,点E、F 分别在边AB、CD 上,连接BF、CE 交于点P,连接AF、DE 交于点Q,若四边形EQFP 是平行四边形,求证：四边形ABCD 是梯形。

例 7、如下图,等腰梯形ABCD,对角线AC 与BD 交于点O,M 、N 分别为腰AB 和CD 上的点,且AM=CN,连接MN 分别交BD、AC 于点P、Q,求证：MP=QN。

三、练习题1、如下左图,在锐角△ABC 中,作高BD 和EC,过B、C 分别作ED 的垂线BF和CG,求证：EF=DG2、如上右图,在直角梯形ABCD 中,∠A和∠B是直角,AB=2,点P 为AB 的中点,连接PC、PD,若∠PDC 也是直角,就△PCD 面积的最小值。

20141111九年级数学竞赛1．如图，平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边的中点，点F 为BC 边的三等分点，连结AF 、DE 相交于点G ，则AGFG的值是_____________．2. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB .则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．3.若二次函数a x a x y -+++=38)17(2与反比例函数xy 56=的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a 的值是____________________．4．如图，已知动圆A 始终经过定点B （０，２），圆心Ａ在抛物线y x =214上运动，M ，N 为⊙A 在x 轴上截得的弦（点M 在N 左侧）．（１）当A （22，a ）时，求a 的值，并计算此时⊙A 的半径与弦MN 的长； （２）当⊙A 的圆心A 运动时，判断弦MN 的长度是否发生变化．若改变，举例说明；若不变，说明理由；（３）连结BM ，BN ，当⊿OBM 与⊿OBN 相似时，求点M 的坐标．GA BDCE F图5．在△ABC 中，AB>AC ，∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于D ，DE⊥AB 于E ， 求证：AE=．6、对于二次函数2y ax bx c =++，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：222y x x =++）．（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式 ． （2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．7、如图一，等边ABC ∆中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC ∆，连结AE 。

求∠CAE 的度数；（2）如图二，将（1）中等边ABC ∆的形状改成以BC 为底边的等腰三角形，顶角∠BAC=300，所作等边EDC ∆改成已DC 为底边的等腰三角形，且相似于ABC ∆。