浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛辅导试题

20141106九年级数学竞赛1．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为．2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．3．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标．4．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y=x2的切线；②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）；③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）；④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，则实数k=．其中正确命题的是（）A ．①②④B．①③C．②③D．①③④5．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D 重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是．6．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．7．如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q 为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP•OQ的值是否变化？证明你的结论．8交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．9．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：．10．如图在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求P A的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求P A：PC的值．（3）当动点P在射线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求P A：PC的值．11．阅读下列材料：在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2两点间的距离为．例如：若P 1（3，4）、P2（0，0），则P1、P2两点间的距离为．设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式，即x2+y2=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x2+y2=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x2+y2=1称为⊙O的方程．解决问题：如图平面上有A（1，0），B（﹣1，0）两点，已知圆心坐标为（3,4）．半径为2. （1）写出已知圆的圆方程；（2）在圆上求一点P1使△ABP1面积最大并求出此面积；（3）求使|AP|2+|BP|2取得最小值时的圆上的点P的坐标．12．已知函数f（x）=ax2+bx+c，且．（1）求证：a＞0且；（2）求证：函数f（x）在区间0<x<2内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围13．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为．。

1、设函数()|1|||f x x x a =-+-。

（1） 若1,a =-解不等式()3f x ≥；如果()2f x ≥,求a 的取值范围。

2、如图，已知圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点N ，点M•在对角线BD 上，且满足∠BAM=∠DAN ，∠BCM=∠DCN ．求证：（1）M 为BD 的中点；（2）AN AMCN CM=．3、如图，在菱形ABCD 中,AB=AC,过点C 作一条直线，分别交AB 、AD 的延长线于M 、N ，则AC AN AM 111=+。

(1)试证明：ACAN AM 111=+;(2)如图，0为直线AB 上一点，0C ，OD 将平角AOB 三等分，点P 1，P 2，P 3分别在射线OA ，OD ，OB 上，0P 1=r 1，0P 2=r 2，OP 3=r 3，r 与r′分别满足121231111111,r r r r r r r =+=++‘，用直尺在图中分别作出长度r ，r'的线段.4、如图，单位正方形ABCD 被EF 、GH 分成相等的矩形。

试问：是否存在另外的分法，既能将单位正方形分成面积相等的三个多边形，又能使三个多边形的公共边界小于EF 与GH 的和。

5、已知关于x 的方程7x 3-7（p+2）x 2+（44p-1）x+2=60p （*）①求证：不论p 为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数． ②设方程另外的两个根为u 、v ，求u 、v 的关系式． ③若方程（*）的三个根均为自然数，求p 的值．6、已知ABCD 四点共圆，AB 与DC 相交于点E ，AD 与BC 交于F ，∠E 的平分线EX 与∠F 的平分线FX 交于X ，M 、N 分别是AC 与BD 的中点，求证：（1）FX ⊥EX ；（2）FX 、EX 分别平分M N D C BA13P 2DCAHDE G∠MFN 与∠MEN ．7、已知一次函数y kx m =+，二次函数222y ax bx c =++和21y ax bx c =++-的图象分别为l 、E 1、E 2，l 交E 1于B 、C 两点，且满足下列条件：（1）b 为整数． （2）B(222,322--)，C(222,322++)． （3）两个二次函数的最小值差为l ．①如l 与E 2交于A 、D 两点，求AD 值． ②问是否存在一点P ，从P 出发作一射线分别交E 1、E 2于P 1，P 2，使得P P 1：P P 2为常数，并简述你的理由。

2023年浙江省绍兴市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．若三角形三边的比是3：4：5，周长为60 cm，则此三角形中最长的中位线是（）A．15 cm B．l2．5 cm C．10cm D．8 cm2．点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点M的坐标是（）A．（一5，3）B．（-5，-3）C．（5，3）或（-5，3）D．（-5，3）或（-5，-3）3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE是△ABD的高，DF是△ACD的高，则（）A．∠B=∠C B．∠EDB=∠FDC C．∠ADE=∠ADF D．∠ADB=∠ADC4．如图,△ABC的两个外角平分线交于点O, 若∠BOC=76°,则∠A的值为（）A．76°B．52°C．28°D．38°5．在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．两个5次多项式的和的次数一定（）A．是5次B．是10次C．不大于5次D．大于5次二、填空题7．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB= 120°，则阴影部分的面积是．8．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是__________（•填一个你认为正确的条件）．9．天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2 m，其侧面图如图所示，则购买地毯至少需要元．10．下表是食品营养成分表的一部分．(每100g 食品中部分营养成分的含量) 蔬菜种类 绿豆芽 白菜 油菜 卷心菜 菠菜 韭菜 胡萝卜(红) 碳水化合物(g)4344247在表中提供的碳水化合物的克数所组成的数据中，中位数是 ，平均数是 ．11．地面气温是20℃，若每升高100 m ，气温下降6℃，则气温t(℃)与高度h(m)的函数解析式是 ．12．如果一个立体图形的主视图为长方形，则这个立体图形可能是 (只需填上一个立图形) 13．如图是在平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 .14．足球比赛前，裁判用抛一枚硬币猜正反面的方式让甲、乙两个队长选进攻方向，猜对正面的队长先选，则队长甲先选的概率是 ．15．A 表示一个多项式，若()23A a b a b ÷-=+，则A= ． 16．当1a =-,2b =-,2c =时，分式244ac b a-的值为 ．17．填空：(1)6()mn ÷ =22m n ； (2)32(1)(1)a a +÷--= ； (3)54n n a a ++÷= ． 18．若12x y =⎧⎨=⎩是关于 x ，y 方程312mx y -=的一个解，则m= ． 19．下列叙述中，哪些数是准确数?哪些数是近似数? (1)我们班里有18位女同学，“l8”是 数； (2)小红体重约38千克，“38”是 数；(3)1999年7月1日香港回归祖国，“1999”、“7”、“1”都是 数； (4)我国科盲达5亿之多，5是 数；(5)1998年首都机场起降各类飞机159307架次，“l59307”是 数．三、解答题20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率mn0.650.620.5930.6040.6010.5990.601ABPQMN(1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.1） (2）假如你摸一次，你摸到白球的概率()P 白球 ． (3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？21．已知梯形 ABCD ，AD ∥BC ，若 EF ∥BC ，且所分成的梯形 AEFD ∽梯形 EBCF ，AD=12，BC = 18，求 EF 的长.22．已如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠ABC=2∠A, BM 平分∠ABC 交外接圆于点M,ME ∥BC 交AB 于点 E. 试判断四边形EBCM 的形状，并加以证明.23．已知，如图，⊙O 中 弦AB 、CD 相交于 P ，且．求证：AP=DP ．24．如图，已知PQ ∥MN ，夹在两条平行线间的线段AB 长为 3 cm ，∠ABM ＝60°.求PQ 与MN 之间的距离.25．如图所示，△ACB，△ECD都是等腰直角三角形，且点 C在AD上，AE的延长线与BD 交于点F. 请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.26．某学校要印刷一批资料，甲印刷公司提出收制版费900元，另外每份材料收印刷费0．5元；乙印刷公司提出不收制版费，每从头材料收印刷费0．8元．(1)分别写出两家印刷公司的收费y(元)与印刷材料x(份)之间的函数解析式；(2)若学校预计要印刷2500份宣传材料，请问学校应选择哪一家印刷公司更合算?27．如图，将△ABC先向上平移5格得到△A′B′C′，再以直线MN为对称轴，将△A′B′C′作轴对称变换，得到△A″B″C″，作出△A′B′C′和△A″B″C″．28．先化简，再求值.(1)222963()3x x x x +--,其中2x =-；(2)222222(53)()(53)a b a b a b -++-+，其中1a =-，1b =．29．如果 5 个人7 天可以做 10 个工艺品，那么7 个人用相同的速度做8个相同的工艺品需要多少天？30．一个多边形的内角和与其中一个外角之和为2007°，求这个多边形的内角和．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．D3．C4．C5．D6．C二、填空题7．8．AD=BC（答案不惟一）9．480°10．4g，4g11．200.06t h=-12．答案不唯一，如长方体13．20:5114．2115．2223a ab b+-16．317．(1)4()mn；(2)1a+；(3)a18．5319．(1)准确 (2)近似(3)准确 (4)近似 (5)准确三、解答题20．（1）0.6，（2）0.6，（3）白球24个，黑球16个．21．梯形 AEFD∽梯形 EBCF梯形，∴AD EFEF BC=，1218EFEF=，21218EF=⨯，∴EEF= 22．四边形 EBCM是菱形.∵∠ABM=∠MBC=12∠ABC,∠ABC= 2∠A , ∴∠A=∠ABM,∵∠A=∠BMC,∴∠ABM=∠BMC,∴BE∥CM，∵ME∥BC，∴四边形 EBCM 是平行四边形.∵∠A= ∠MBC, ∴⌒BC =⌒MC , ∴BC=MC,∴□EBCM 是菱形. 23．作 OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OP．∴AE=12AB ，DF=12CD．∵⌒AC =⌒BD，∴⌒AB =⌒CD，∴AB=CD，OE=OF，∴AE=DF．在Rt△OPE 和 Rt△OPF 中，∵OE= OF，OP= OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF,∴PE=PF,∴AE+PE=DF+PF,即AP=DP.24．32 cm．25．△ACE≌△BCD，证明略26．(1)0.5900y x=+甲，0.8y x=乙；(2)选择乙印刷公司27．略28．(1) 268x x+,20 (2) 225a b-，-4 29．4 天30．1980°。

20141109九年级数学竞赛1．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0））的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0（1）证明：是f（x）=0的一个根（2）试比较与c的大小（3）证明：﹣2＜b＜﹣1．2．已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，证明：b≥1；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值为b﹣a+1，求a的取值范围；（3）若a=﹣2，关于x的方程|f（x）|=1有4个不相等的实数根，求b的取值范围．3．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对∀x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明∃x0∈（x1，x2），使成立．（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x﹣4）=f（2﹣x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有．若存在，求出a，b，c 的值，若不存在，请说明理由．4．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ．（1）若f （﹣1）=0，试判断函数f （x ）零点个数；（2）是否存在a ，b ，c ∈R ，使f （x ）同时满足以下条件：①对任意x ∈R ，f （x ﹣4）=f （2﹣x ），且f （x ）≥0；②对任意x ∈R ，都有，若存在，求出a ，b ，c 的值，若不存在，请说明理由．5．设P 为等边△ABC 外接圆的BC 上的一点，求证：PA 2=AB 2+PB •PC ．6．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）127．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．8．如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0），E（1，0）．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ 的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值．9.如图△ABC是等边三角形，延长BC至D，BA至E，使得AE=BD，连接DE，CE若∠BEC=20°则∠CED的度数为( )A 40°B 30°C 20°D 25 °10．a是大于0的实数，已知存在唯一实数k，使得关于x的二次方程x2 + （k2 + ak）x +1999 + k2 + ak = 0的两个根均为质数，求a的值。

数学竞赛辅导系列讲座二 ——式1、 已知x _______．2、 已知a+b+c=11与1111317a b b c c a ++=+++，则a b c b c c a a b +++++的值是____． 3、 已知实数a ，b ，c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式||||||a b ca b c ++的值是___．4、 已知a ，b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11,1111a b M N a b a b =+=+++++，则M-N=____． 5、 a ，b ，c 不全为0，满足a+b+c=0，a 3+b 3+c 3=0，称使得a n+b n+c n=0恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2013的正整数中好数的个数为（） A 、2B 、1007C 、2012D 、20136、设(9x y ++=，则．7、设a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc cax a b c ab bc ca =+++++，则321ax bx cx +++的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、-18、若|x-a|=a-|x|(x ≠0，a ≠x)（）A 、2aB 、2xC 、-2aD 、-2x9、若a ，b 为实数，满足111a b a b -=+，则b a a b-的值为（） A 、－1 B 、0C 、12D 、110、设a ，b ，c为互不相同的有理数，满足((2b ac =，则满足条件的a ，b ，c 共有（）组A 、0B 、1C 、2D 、411、已知x y ==，则3312x xy y ++=___________．12的结果是（）A 、1B 、 3C 、2D 、413、分式222253051611x xy y x xy y ++++的最小值是（）A 、-5B 、-3C 、5D 、314、非零实数a ，b ，c ，x ，y ，z 满足关系式x y z a b c ==，则()()()()()()x y za b b c c a a b c x y y z z x ++++++=_____．15、已知x ，y ，z 为实数，若2222221,2,2x y y z x z +=+=+=，则xy+yz+zx 的最小值为（）A 、52B 、12+ 3C 、－12D 、12－ 3 16、若44222226a b a a b b +=-++，则22a b +=_____．17、若实数x ，y 满足703392xy x y x y xy+++=⎧⎨+=+⎩，则22x y xy +=_______．18、设x ，y 为实数，代数式2254824x y xy x +-++的最小值为_______．19、已知实数a ，b ，c 满足27,160a b c ab bc b c -+=++++=，则b a 的值等于_____．20、分解下列因式：（1）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+（2）42221x x ax a +++-（3）322222422x x z x y xyz xy y z --++-（4）444()x y x y +++ （5）22276212x xy y x y -++--（6）32211176x x x +++ （7）12931x x x +++（8）33221a b ab a b -+++21、使27m m ++为完全平方数的正整数m 的个数为__________． 22、若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a+=________． 23、已知实数x ，y 满足(2013x y -=，则2232332012x y x y -+--的值为（）A 、－2013B 、2013C 、－1D 、124、设a =5432322a a a a a a a +---+-=________．25、设a ，b ，c ，d 都是正整数且5432,a b c d ==，19=-a c ．求d －b 的值． 26、若2223331,2,3x y z x y z x y z ++=++=++=，求444x y z ++的值． 27、若22221,1,0a b c d ac bd +=+=+=，试求ab+cd 的值．28、已知x>y>z>0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x ，y ，z 的值． 29、已知一组数据4，－2，0，2，x 的极差是10，求x 的值． 30、设1219,,,x x x 都是正整数，且满足121995x x x +++=，求2221219x x x +++的最大值．31、实数a ，b1032b b =-+--，求22a b +的最大值．3222009．33、当x 变化时，求分式22365112x x x x ++++的最小值．34、已知x y z uy z u z u x u x y x y z===++++++++，求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 35、求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n ，不被7整除． 36、12,,,n x x x 为实数，()21222212n nx x x x x x n++++++=，求证：12n x x x ===．37、已知a ，b ，c 均为正整数，且满足222a b c +=，又a 为质数，求证：（1）b 与c 这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数．38、设a ，b ，c 均是不等于0的实数，且满足22a b bc -=及22b c ca -=，证明：22a c ab -=．39、设实数x ，y 满足(1x y +=，求x+y 的值．40、已知a ，b ，c 为实数，证明2222(),(),(),()a b c a b c b c a c a b +++-+-+-这四个代数式的值中至少有一个不小于222a b c ++的值，也至少有一个不大于222a b c ++的值． 41、设实数x ，y ，z 同时满足33334,266,398x y x y z y z x z +=++=++=+，试求2222011(1)2012(1)2013(1)x y z -+-+-的值．42、试求满足条件4322x x x x y y +++=+的整数对（x ，y ）．43、如果实数a ，b 满足条件22221,|12|21a b a b a b a +=-+++=-，a+b 的值是多少？ 44、已知a ，b ，c 为正数，满足下列条件32a b c ++=…………①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=…………②45．已知cb ac b a ++=++1111．求证：a+b ，b+C ，c+a 中至少有一个为零．。

浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学竞赛模拟试题5你是我今生最美的遇见专业文档浙江绍兴阳春桥中学2022届第九年级数学竞赛模拟考试5 Beishi大版1.如图所示，外切圆的切线AE△ ABC在点E处与BC的延长线相交，并与BC的平分线相交∠ BAC在D点与BC相交。

验证：ED2=EB？欧共体。

2、已知?abc中，ab=ac,d是?abc外接圆劣弧ac上的点（不与点a,c重合），延长bd至e。

（1）验证：ad的延长线是否平分？cde（2）若?bac=30，?abc中bc边上的高为2+3，求?abc外接圆面积。

3、如图，过圆o外一点m作它的一条切线，切点为a，过a作直线ap垂直直线om，垂足为p．（1）证据：嗯？op=oa（2）n为线段ap上一点，直线nb垂直直线on，且交圆o于b点．过b点的切线交直线on于k．证明：∠okm=90°你是我生命中最美丽的专业文件2你是我今生最美的遇见专业文档4.如图所示，已知？ABC的两条角平分线AD和CE相交于h，？B60，f在AC上，（1）证明B，D，h和E在同一个圆上：（2）证明CE是等分的？def.ae？af5、如图，已知ap是⊙o的切线，p为切点，ac是⊙o的割线，与⊙o交于b，c两点，圆心o在∠pac的内部，点m是bc的中点．（ⅰ）证明a，p，o，m四点共圆；（ⅱ）求∠oam+∠apm的大小．6.通过圆外的点p，画出圆的两条切线和一条割线。

切点是a和B。

割线在两个点c和D处与圆相交，c在P和D之间，在弦CD上取一个点Q来做？daq？？pbc.核查：a0p?dbq??pac你是我生命中最美丽的专业文件cdqb你是我今生最美的遇见专业文档7.在锐角三角形ABC中，已知AB上的高CE和AC上的高BD在点h处相交，直径为de 的圆分别在点F和g处与AB、AC相交，FG和ah在点K处相交，BC=25、BD=20、be=7，并计算AK的长度8、已知⊙o与?abc的边ab、ac分别相切于p和q，与?abc外接圆相切于d，m是pq 的中点（如图）．求证：?poq?2?mdc．你是我生命中最美丽的专业文件。

y 竞赛模拟卷1、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为 （ ）A. 21B. 22C. 1D. 22、.已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2018，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________ 4、如图8-8，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝＿＿5、O 为△ABC 内一点，AO 、BO 、CO 及其延长线把△ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图9-7所示，则S △ABC ＝（ ） A. 292 B. 315 C. 322 D. 3576．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.7．如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。

（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD 的解析式。

图8-8BC 图9-7O AB C DEM 第17题图 H8．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD上取点M ，使BM=CH 。

（1）求证：∠BOC=∠BHC；（2）求证：△BOM≌△COH；（3）求MHOH 的值.9．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1,2, ⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？10、如图9-16ABCD 中，P 1、P 2、P 3……P n-1是BD 的n 等分点，连结AP 2，并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F 。

数学竞赛辅导系列讲座一 —数 1、 计算：1111(12)(123)(12320)2320+++++++++++．2、 如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n=_______． 3、 军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc ，七进制表示为cba ，那么苹果总数用十进制表示为_______．4、 已知实数a 满足|2012|2013a a a -+-=，那么a －20122的值是（ ）A 、2011B 、2012C 、2013D 、2014 5、设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ） A 、84B 、68C 、45D 、115 6、数272－1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________．7、n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=________．8、设71a =-，则3a 3+12a 2－6a －12=（ ） A 、24B 、25C 、4710+D 、4712+ 9、已知a 、b 是正整数，且满足15152a b ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 10、设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n --为完全平方数的n 的个数有（ ）个 A 、3 B 、4C 、5D 、6 11、设a n 表示数n 4的末位数，则a 1+a 2+…+a 2012=________．12、如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1－2x|+|1－3x|+…+|1－10x|为定值，则定值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 13、若1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，则x=______． 14、试求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2013|的最小值．15、已知p 、q 均为素数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3，1－p+q ，2p+q －4为边长的三角形是（ ）A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 16、若x 1、x 2 、x 3 、x 4 、x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)=242，则x 12+x 22+x 32+x 42+x 52的末尾数字是（ ）A 、1 B 、3 C 、5 D 、7 17、在数1、2、3、…、2012、2013前面任意添加上“+”或“－”进行计算，所得可能的最小非负数是________．18、设a 、b 、c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，x 、y 、z 中至少有一个值（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0D 、小于0 19、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+…+20163天是星期_____．20、已知()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=201313121201321.11)(2f f f f f f x x f 则= ．21、已知四个互不相等的正数x 、y 、m 、n 中，x 最小，n 最大，且x ：y=m ：n ，试比较x+n 与y+m 的大小，并证明你的结论．22212322343341009999100++++++++23、设x>0，y>0265x x y y x y =23x xy yx xy y +-++的值．24221(4)4x x +-+25、设a 、b 、c 222111()()()a b b c c a ++--- 26、2009x y =且0<x<y ，那么满足上述等式的整数对(x ，y)的个数有多少？ 27、设123980100S =++++[S]表示不超过S 的最大整数，试求S ． 28、已知x 、y 是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．29、若a 、b 是整数，且7|(a+b)，7|(2a －b)，求证：7|(5a+2b)．30、正整数p 、q 都大于1，且2121,p q q p --都是整数，求p+q ． 31、当n 是正整数时，n 4－6n 2+25是质数还是合数？证明你的结论．32、已知a 是自然数，问a 4－3a 2+9是质数还是合数？证明你的结论．33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同． 34、设a 、b 、c 、d 是正整数，并且a 2+b 2=c 2+d 2，证明a+b+c+d 一定是合数．35、你能找到三个正整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b+c)(a －b+c)(a+b －c)(b+c －a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．36、一个正整数a ，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b ，如果a 恰好是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”．（1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a 、b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数．37、将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．38、设21x =-，a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，求333a b ab ++的值．39、设a 、b 都是整数，求证：a ，b ，a 2+b 2，a 2－b 2中一定有一个被5整除．40、若一个数能够表示成2222x xy y ++(x ，y 是整数)的形式，则称该数为“好数”（1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m ，n 都是好数，证明mn 也是好数．41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？ （2）三堆的石子数都是12？如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．42、求证2为无理数．43、已知p 为大于3的质数，证明p 的平方被24除的余数是1．44、已知M 是一个四位的完全平方数，若将M 的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．45、在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2－3－4+5+6－7－8+9是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数．46、是否存在：用0，1，2，…，9这十个数字组成几个数，使它们的和恰好为100，每个数字都用一次并且只能用一次．47、设〔x 〕表示不超过实数x 的最大整数．则在平面直角坐标系xoy 中满足〔x 〕〔y 〕=2011的所有点（x ，y ）组成的图形的面积 ．48、已知201321,,,a a a 是一列互不相等的正整数．若任意改变这2013个数的顺序，并201321，b ，，b b 记为．则数()()()201320132211b a b a b a M ---= 的值必为 ．49、（1）证明：由2012个1和0组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明：存在最左边2012位都是1的形如11…1﹡﹡…﹡的自然数（﹡代表阿拉伯数码）是完全平方数．。

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数学竞赛辅导系列讲座九--圆1、如图，已知P 是边长为a 的正方形ABCD 内一点，△PBC 是等边三角形，则△PAD 的外接圆半径是（ ）A 、aB 、 2 aC 、错误!aD 、错误!a2、如图,在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则Sin ∠CBE=（ )A 、，63B 、错误!C 、错误!D 、错误!3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P(错误!,错误!），过P 点作弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形,则该弓形面积的最小值为（ ）A 、π－1B 、π－2C 、错误!π－1D 、错误!π－错误!4、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限,⊙P 与x 轴切与点Q ，与y 轴交于点M （0,2）,N(0，8），则点P 的坐标是（ ） A 、（5,3）B 、（3，5）C 、(5，4)D 、（4，5）5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A 出发，绕侧面一周又回到点A ，则它爬行的最短路线长是( ）A 、2πB 、 4错误!C 、4错误!D 、56、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心DACPDEYXAOP ByxN MOPQ7、如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 切于点D ，与直角边AC 交于点E 且，DE ∥BC ，已知AE=2错误!，AC=3错误!，BC=6,则⊙O 的半径是（ )A 、3B 、4C 、4 3D 、2错误!8、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，联结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则错误!=（ ） A 、2错误!－1B 、2错误!C 、错误!+错误!D 、错误!+29、如图，AB 是半圆O 的直径,半圆O 的内接正方形CDEF 的边长为1，AD=m ，DB=n ，那么m nn m+的值为________．10、如图,AD 是半圆的直径，AD=4,B 、C 为半圆上的两点,弦AB=BC=1，则弦CD 的长为__________． 11、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P 到两圆的外公切线的距离为___________．12、如图，从⊙O 外一点M 作圆的切线MA ，切点为A ，再作割线MBC ，交⊙O 于B 、C 两点，∠AMC 的平分线交于AC 于E,交AB 于D ，则DB EC+的值等于______．13、如图，在△ABC ，AB=AC= 5 ,BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E,则△CDE 的面积为_______．CEOQBDO ACD FO A BC EBCDEBOAMCDOB EAO 2O 3O 4O 5O 114、已知O 为△ABC 的外心,AD 为BC 边上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°，则∠OAD=_________． 15、P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的平分线交AC 于Q ，则∠PQC=_______．16、2008年8月8日，第29届奥运会在北京举行，奥运五环旗象征着全世界人民的大团结,五环旗中,五个大小相等的环形环环相扣，三个环在上，两个环在下，五个环的中心联结成一个等腰梯形，构成一个喜庆、和谐、优美的轴对称图形．如图，假设O 2O 4=a ，O 1O 5=2a,∠O 1= ，则等腰梯形O 1O 2O 4O 5的对角线O 1O 4的长为____________．17、如图，OB 是以(0，a ）为圆心，a 为半径的弦，过点B 作⊙O 1的切线，P 为劣弧OB 上的任一点，且过P 分别作OB 、AB 、AO 的垂线 (1)求证:PD 2=PE ·PF ；（2）当∠BOC=30°，点P 为弧OB 的中点时,求D 、E 、F 、P 四点坐标于S △DEF ．18、只用圆规，把一个已知圆的圆心四等分．19、如图，四边形ABCD 内接于圆，AB=AD,其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得∠BFC=∠BAD ，若∠BAD=2∠DFC ，求错误!的值．yxFDEAOO 1BP E DBF20、如图，已知AB 是⊙O 的弦，过O 作AB 的平行线交⊙O 于点C,交⊙O 过点B 的切线于D ，求证:∠ACB=∠D ．21、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是弧AB 的中点，M 是弦AC 的中点，CH ⊥BM,垂足为H ，求证：CH 2=AH ·OH ．22、AB 是⊙O 的一条弦，它的中点为M ，过点M 作一条非直径的弦CD ，过点C 和D 做⊙O 的两条切线分别与直线交于P 、Q 两点，求证PA=QB ．23、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=d,过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC=AB ，联结OC 交⊙O 于D,BD 的延长线交AC 于E ，求AE ．DCOBAHMEDO A24、如图,P 为⊙O 外一点,过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过A 作PB 的平行线交⊙O 于点C ，联结PC 交⊙O 于点E ，联结AE 并延长AE 交PB 于K ，求证:PE ·AC=CE ·KB ．25、在半径为r 的⊙O 中，AB 为直径，C 为弧AB 的中点，D 为弧BC 的三分之一分点，且弧DB 的长度是弧CD 长的两倍，连结AD 并延长交⊙O 的切线CE 于点E （C 为切点),求AE 的长．27、在锐角△ABC ，中，AD ⊥BC ，D 为垂足,DE ⊥AC ，E 为垂足，DF ⊥A B ，F 为垂足，O 为△ABCKEAO B的外心，求证（1）△AEF ∽△ABC ； （2)AO ⊥EF ． 28、29。

数学竞赛辅导系列讲座一 —数1、 计算：1111(12)(123)(12320)2320+++++++++++．2、 如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n=_______． 3、 军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc ，七进制表示为cba ，那么苹果总数用十进制表示为_______．4、 已知实数a 满足|2012|a a -=，那么a －20122的值是（ ）A 、2011B 、2012C 、2013D 、2014 5、设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ） A 、84B 、68C 、45D 、115 6、数272－1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________．7、n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=________．8、设1a =，则3a 3+12a 2－6a －12=（ ）A 、24B 、25C 、10D 、129、已知a 、b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 10、设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n --为完全平方数的n 的个数有（ ）个 A 、3 B 、4C 、5D 、6 11、设a n 表示数n 4的末位数，则a 1+a 2+…+a 2012=________．12、如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1－2x|+|1－3x|+…+|1－10x|为定值，则定值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 13、若1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，则x=______． 14、试求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2013|的最小值．15、已知p 、q 均为素数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3，1－p+q ，2p+q －4为边长的三角形是（ ）A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 16、若x 1、x 2 、x 3 、x 4 、x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)=242，则x 12+x 22+x 32+x 42+x 52的末尾数字是（ ）A 、1 B 、3 C 、5 D 、7 17、在数1、2、3、…、2012、2013前面任意添加上“+”或“－”进行计算，所得可能的最小非负数是________．18、设a 、b 、c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，x 、y 、z 中至少有一个值（ ）A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 19、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+…+20163天是星期_____．20、已知()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=201313121201321.11)(2f f f f f f x x f 则= ．21、已知四个互不相等的正数x 、y 、m 、n 中，x 最小，n 最大，且x ：y=m ：n ，试比较x+n 与y+m 的大小，并证明你的结论．2210099++++23、设x>0，y>0=的值．2425、设a 、b 、c26、=且0<x<y ，那么满足上述等式的整数对(x ，y)的个数有多少？ 27、设1980100S =++++[S]表示不超过S 的最大整数，试求S ． 28、已知x 、y 是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．29、若a 、b 是整数，且7|(a+b)，7|(2a －b)，求证：7|(5a+2b)．30、正整数p 、q 都大于1，且2121,p q q p --都是整数，求p+q ． 31、当n 是正整数时，n 4－6n 2+25是质数还是合数？证明你的结论．32、已知a 是自然数，问a 4－3a 2+9是质数还是合数？证明你的结论．33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．34、设a 、b 、c 、d 是正整数，并且a 2+b 2=c 2+d 2，证明a+b+c+d 一定是合数．35、你能找到三个正整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b+c)(a －b+c)(a+b －c)(b+c －a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．36、一个正整数a ，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b ，如果a 恰好是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”．（1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a 、b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数．37、将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．38、设x =a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，求333a b ab ++的值． 39、设a 、b 都是整数，求证：a ，b ，a 2+b 2，a 2－b 2中一定有一个被5整除．40、若一个数能够表示成2222x xy y ++(x ，y 是整数)的形式，则称该数为“好数”（1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m ，n 都是好数，证明mn 也是好数．41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？ （2）三堆的石子数都是12？如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．42为无理数．43、已知p 为大于3的质数，证明p 的平方被24除的余数是1．44、已知M 是一个四位的完全平方数，若将M 的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．45、在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2－3－4+5+6－7－8+9是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数．46、是否存在：用0，1，2，…，9这十个数字组成几个数，使它们的和恰好为100，每个数字都用一次并且只能用一次．47、设〔x 〕表示不超过实数x 的最大整数．则在平面直角坐标系xoy 中满足〔x 〕〔y 〕=2011的所有点（x ，y ）组成的图形的面积 ．48、已知201321,,,a a a 是一列互不相等的正整数．若任意改变这2013个数的顺序，并201321，b ，，b b 记为．则数()()()201320132211b a b a b a M ---= 的值必为 ．49、（1）证明：由2012个1和0组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明：存在最左边2012位都是1的形如11…1﹡﹡…﹡的自然数（﹡代表阿拉伯数码）是完全平方数．。

九年级数学竞赛提优练习11.（2012浙江衢州4分）如图，已知函数ψ=2ξ和函数ky=x的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥ξ轴于点E，若△AOE的面积为4，∏是坐标平面上的点，且以点B、O、E、∏为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的∏点坐标是 ．2. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABX的两条边在坐标轴上，OA=1，OX=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第ν次（ν＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 " （用含ν的代数式表示）3. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40χμ的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484χμ2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550χμ2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

4 （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数ψ=κ（ξ2+ξ﹣1）的图象交于点A （1，κ）和点B（﹣1，﹣κ）．（1）当κ=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是ψ随着ξ的增大而增大，求κ应满足的条件以及ξ的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Θ，当△ABΘ是以AB 为斜边的直角三角形时，求κ的值．5. （2012湖北荆门10分）已知：ψ关于ξ的函数ψ=（κ﹣1）ξ2﹣2κξ+κ+2的图象与ξ轴有交点． （1）求κ的取值范围；（2）若ξ1，ξ2是函数图象与ξ轴两个交点的横坐标，且满足（κ﹣1）ξ12+2κξ2+κ+2=4ξ1ξ2． ⎺求κ的值；α当κδξδκ+2时，请结合函数图象确定ψ的最大值和最大值．6. （2012湖北黄石10分）已知抛物线X 1的函数解析式为2y ax bx 3a(b 0)=+-<，若抛物线X 1经过点(0,3)-，方程2ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=。

数学竞赛辅导系列讲座六——三角形1、设△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且2228440a c b ab bc ++--=，则△ABC 一定是（ ）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、钝角三角形2、△ABC 的边a ，b ，c 满足条件211b a c=+，则b 边所对的∠B 的大小是（ ） A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、锐角、直角、钝角都有可能3、在锐角△ABC 中，三个内角的读数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、多于34、7条长度均为整数的线段127,,,a a a ，满足127a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a 1=1，a 7=21，则a 6=（ ）A 、18B 、13C 、8D 、55、1239A A A A 是一个正九边形，1213,A A a A A b ==，则15A A 等于（ ）ABC 、12(a+b)D 、a+b6、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC<AC ，且214BC AC AB ⋅=，则∠A=（ ） A 、15°B 、18°C 、20°D 、25°7、如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角， 在直线l 上取一点P ，使得∠APB=30°，则这样的点P 有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、不存在8、在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点123100,,,,P P P P ，记(1,2,,100)i i i i m AP BP PC i =+⋅=，则12100m m m +++=（ ）A 、100B 、200C 、300D 、4009、如图，在线段AE 同侧作两个等边△ABC ，△CDE （∠ACE<120°），P ，M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△PCM 是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、非等腰三角形 10、在△ABC 中，∠C=3∠A ，a=27，c=48，则b 等于（ ）BDEA 、33B 、35C 、37D 、不确定11、在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，D ，E 在边BC 上，满足BD=1，CE=8，则 ∠DAE 的度数为_______．12、在Rt △ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在CA 、CB 上，满足∠DFE=90°，若AD=3，BE=4，则线段DE 的长度为______．13、如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在BC ，CA 上，使CD=AE ，AD 与BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，则QPQB=______．14、设P 是边长为12的正△ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足为别为D 、E 、F ，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF 的面积是________． 15、如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD ⊥AE ，且AB+AC=BE ，则∠B=________．16、如图，在三角形ABC 中，∠B AC=45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD=3，CD=2，则S △ABC =________． 17、在△ABC 中，AB=7，AC=11，M 是BC 边的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长是______．18、在△ABC 中，∠CAB=70°，∠CAB 和∠ACB 的平分线交于点I ，若AC+AI=BC ，则∠ACB= _____°．19、在钝角△ABC 中，∠A<∠B<∠C ，∠A 、∠C 的外角平分线交对边延长线与D 、E ，且AD=AC=CE ，则∠BAC 的大小是__________．20、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB ，AC 上分别取点D 、E 使得∠BDC=50°，∠BEC =40°，则∠ADE =______．21、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE交AC 于F ，求证：A F=EF ．22、如图，以△ABC 的AB 、AC 为斜边想形外作直角三角形ABD 和ACE 且使∠1=∠2，M 是BC 的中点，求证：BD=ME ．D EC23、已知在△ABC 中，∠A>90°，AD ⊥BC ，求证AC+AB<AD+BC ．24、在等腰三角形ABC 一腰AB 上取一点D ，在另一腰AC 的延长线上去CE=BD ，连DE ，求证：DE>BC ．25、锐角△ABC 中，BC<AB ，AH 是BC 边上的高，BM 是AC 边上的高，AH=BM ，求证：∠MBC =30°．26、如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形，求证：△AMN 的周长等于2．27、如图，△AB C 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=0.5，DE+BC=1，求证：∠ABC=30°．DBCEC28、如图，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90—12∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形．29、如图，在△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB=∠CDF ．30、如果P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=2 3 ，PC=4，求正△ABC 的边长． 31、如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，AP=BP=CP=6，设PD=x ，PE=y ，PF=z ，若xy+yz+zx=28，求xyz 的大小．32、如图，在一张长方形纸片ABCD 中，AB AD <，点E F 、分别是AB 和CD 的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B 落在线段EF 上的点G 处，折痕AK 交EF 于H ，则下列说法正确的个数有①30DAG ∠=︒；②△GHK 是正三角形；③2GH EH =；④FG =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33、如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为(2212a ab b -+)m ，正五边形的边长为(25)b m -，则这段铁丝的总长是_______________m ．DCBD34、35．如果长为l 的一根绳子恰好可围成两个全等三角形，那么其中一个三角形的最长边x的取值范围是（ ） A ．8l ≤x ＜4l B ．6l ≤x ＜4l C ．8l ≤x ＜2l D ．6l ≤x ＜2l 36．已知AD 是△ABC 的中线，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝45°，则∠ACB ＝ 度． 37．如图在Rt ABC ∆中，ACB ∠=90︒，点D 为边CA 上一点，使得CD=1，DA=3，且3BDC BAC ∠=∠，求BC 的长．38．如图在ABC ∆中，2B C ∠=∠，记AB=c ，BC=a ，AC=b ．求证：22b c ca =+．39．P 为ABC ∆内部一点，使得30PBC ︒∠=，8PBA ︒∠=，且22PAB PAC ︒∠=∠=，求APC ∠的大小．40．已知点P 是锐角ABC ∆内的一个点，且使PA PB PC ++最小，试确定点P 的位置．并证明你的结论．41．设直角△的两条直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，若a 、b 、c 均为整数，且1()3c ab a b =-+．求满足条件的直角△的个数．42．如图，在ABC ∆中，45ABC ︒∠=，点D 在边BC 上，ADC ∠ACD ∆以直线AD 为轴作轴对称变换，得到'ACD ∆，联结'BC ．求证：(1) 'BC BC ⊥ (2)求C ∠的大小43．在ABC ∆中，AB=AC ，A ∠=100︒，BD 为ABC ∠的平分线，求证：BC=BD+AD ．44．已知⊿ABC ，以AC 为边在⊿ABC 外作等腰⊿ACD ，且AC=AD ，作AH ⊥BC 交BC 于H ，当BD 2=4AH 2+BC 2时，试探究∠DAC 与∠ABC 之间的关系，并加以证明．（本题10分）45．线段AB 和直线l 在同一平面上则下列判断可能成立的有 个．①直线l 上恰好只有1个点P ，使⊿ABP 为等腰三角形；②直线l 上恰好只有2个点P ，使⊿ABP 为等腰三角形；③直线l 上恰好只有3个点P ，使⊿ABP 为等腰三角形；④直线l 上恰好只有4个点P ，使⊿ABP 为等腰三角形；⑤直线l 上恰好只有5个点P ，使⊿ABP 为等腰三角形；⑥直线l 上恰好只有6个点P ，使⊿ABP 为等腰三角形．46．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程02=++c bx ax 的两个根．则该直角三角形外接圆的面积为 (结果用含a 、b 、c 和π的式子表示)．47．设D 为⊿ABC 内一点，使得,BAD BCD ∠=∠且90.o BDC ∠=已知AB=5，BC=6，M 为AC 的中点．则DM= ．。

浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2022届九年级数学竞赛模拟试题8 北师大版1、 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底 座宽CD =10 m ，塔影长DE =28 m ，小明和小华的身高都是1.6m ， 同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上， 影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为 米。

（ ）B30.2 C D2、如图，n 1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322B D C 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则4S = ；3、如图，直线m 上摆着三个正三角形：ABC 、HFG 、DCE 已知12BC CE =,F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM 图中的三个平行四边形的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1310S S +=，则2S =_________4、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米第1题（第4题图）（第7题）5、如图，在平行四边形ABCD 中，52=BPAP2 C 后AE EC 23AB AC 13232535222xx x34OC OA =15OD OB =12OC OA =13OD OB =34OC OA=15OD OB =12cm20cm16cm11、如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF 的值为 ．12、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式是（ ）A ．b ＝a ＋cB ．b ＝acC ．b 2＝a 2＋c 2D ．b ＝2a ＝2c13．如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，M 为DE 的中点。

九年级数学竞赛提优练习21（2022湖南永州10分）如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0，7）两点．⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当x 为何值时，0>y⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．2 （2022江西省B 卷10分）已知：抛物线2(2)y a x b =-+ (0)ab <的顶点为A ，与轴的交点为B ，C（点B 在点C 的左侧）1直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC 为直角三角形，求a ，b 的值；（3）若D 为抛物线对称轴上一点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形若能，请写出a ，b 满足的关系式；若不能，说明理由3（湖南株洲市10,24题）如图，一次函数122y x =-+分别交轴、 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点。

（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直轴的直线=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N 。

求当t 取何值时，MN 有最大值最大值是多少（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标。

4（2022贵州贵阳10分）如图所示，二次函数=﹣22m 的图象与轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与轴交于点C ．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （，）（其中＞0，＞0） 使S △ABD =S △ABC ，求点D 的坐标．【答案】解：（1）把A （－2，－1），B （0，7）两点的坐标代入2y x bx c =-++，得4217b c c --+=-⎧⎨=⎩， 解得27b c =⎧⎨=⎩。

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数学竞赛辅导系列讲座五—-函数1、在平面直角坐标系中有点A（－2，2）、B(3，2）,C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形,则符合条件的点C有（）个A、1B、2C、4D、62、已知一次函数y=kx+b,kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限．3、若反比例函数y=错误!的图像与一次函数y=ax+b的图像交于点A（－2，m)、B(5，n），则3a+b=_______．4、已知二次函数2y x x a=-+的图像与x轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________．5、已知点A、B分别在一次函数y=x，y=8x的图像上,其横坐标分别为a，b（a>0，b>0)，若直线AB为一次函数y=kx+m的图像，则当错误!是整数时,满足条件的整数k的值共有( ）A、1个B、2个C、3个D、4个6、一次函数1=+与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作正方y x形ABCD，在第二象限内有一点P（a，错误!），满足S△ABP=S正方形ABCD，则a=________．7、已知y=x，y均为实数）,则y的最大值与最小值的差为( ）A、错误!—3B、3C、错误!—错误!D、错误!-错误!8、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4,5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m,n，则二次函数2y x mx n=++的图像与x轴有两个不同交点的概率是( ）A、错误!B、错误!C、错误!D、错误!9、过点P(－1,3）作直线,使它与坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以做（）A、4条B、3条C、2条D、1条10、若关于x的函数2(3)(41)4y a x a x a=---+的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为_______．11、二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图像经过（－1，2）且与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2（－2〈x1〈－1，0<x2〈1），给出下列结论：①abc>0,②4a－2b+c〈0，③2a－b〈0，④b2+8a〉4ac,其中正确的有（）个A、1B、2C、3D、412、过原点的直线与反比例函数y=- 错误!的图像交于A,C,自点A，C分别作x轴的垂线,垂足分别为B,D，则四边形ABCD的面积等于______．13、设抛物线24y x kx=++与x轴有两个不同的交点(x1，0）、(x2，0），则下列结论中一定成立的是( ）A、221217x x+=B、22128x x+= C、221217x x+<D、22128x x+>14、一次函数y=kx+b的图像过点P(1，4）,且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B，O为坐标原点，△ABC的面积最小时，k，b的值分别是（ )A、－4，8B、－4,4C、－2，4D、－2，－215、已知函数2()f x ax c =-(a ，c 为实数），若－4≤f （1)≤－1，－1≤f(2)≤2，则f(8）的最大值是__________．16、如果函数y=b 的图像与函数则b 23|1|43y x x x =----的图像恰有三个交点，的可能值为_________．17、若函数245(1)y x x t x t =--+≤≤+的最大值关于t 的表达式y max =______．18、已知abc 〈0，则在图中的四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像可能是（ ）A B C D19、如图，两个反比例函数1k y x =和2k y x=(k 1>k 2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C 1和C 2，设点P 在C 1上,PE ⊥x 轴于点E,交C 2与点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B,则四边形PAOB 的面积为( ) A 、k 1+k 2B 、k 1—k 2C 、k 1k 2D 、错误!20．如图已知点A 、B 分别在反比例函数)0( x x n y =、)0( x xm y =的图像上，OB OA ⊥，则tanB= ． 21、在平面直角坐标系中，已知点（1，1）在坐标轴上找一点P ，使△AOP 为等腰三角形，求P 点坐标．22、设抛物线25(21)24y x a x a =++++的图像与x 轴只有一个交点． （1）求a 的值；（2）求186323a a -+．23、已知直线y=b （b 为实数）与函数2|43|y x x =-+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围．24、已知一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=错误!的图像交于点M （2，3)，N （－4，m)（1）求一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=错误!的解析式；（2）求△OMN 的面积．25、如图,点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点,AB =4，点E 、F 分别是线段 CD ,AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ,则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）26、求满足下列条件的正整数n 的所有可能值:对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数21()f x x ax b n=++对任意整数x ，f(x ）都是整数． 27、如图，已知点M （0，1），N(0,－1）,P 是抛物线214y x =上的一个动点 （1)判断以点P 为圆心,PM 为半径的圆与直线y=—1的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM=∠QNM28、已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图像与x 轴的交点分别为A ，B ，与y 轴的交点为C ，设△ABC 的外接圆的圆心为P ．（1）证明⊙P 与y 轴的另一个交点为定点；（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且S △ABC =2，求b 和c 的值．29、已知抛物线2y x px q =++上有一点M （x 0,y 0）位于x 轴的下方．(1）求证：已知抛物线与x 轴必有两个交点A （x 1,0)，B （x 2，0）,其中x 1〈x 2；（2）求证x 1< x 0〈x 2；（3）若点M 为（1，－2）时，求整数x 1，x 2的值．30. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上,同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上,那么，我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y ；③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线1C :2)1(812-+=x y ，动点P 的坐标为（t ,2），将抛物线绕点P （t ，2）旋转︒180得到抛物线2C ,若抛物线1C 与2C 关联,求抛物线2C 的解析式．（3）点A 为抛物线1C :2)1(812-+=x y 的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC Δ，使其直角顶点C 在y 轴上,若存在,求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．31．已知二次函数2222(0)y x mx m m =--≠的图像与x 轴交于点A,B,它的顶点在以AB 为直径的圆上．(1）证明：A ，B 是x 轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式;（3）设以AB 为直径的圆与y 轴交于点C ，D ，求弦CD 的长．32．如图，双曲线xy 2=（x ＞0)经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得△C B A '，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .33．如图,一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .(1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移,分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点。

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数学竞赛辅导系列讲座三——方程1、方程｜3x|+｜x－2|=4的解的个数是( ）A、0B、1C、2D、32、以关于x，y的方程组32339mx yx my+=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x，y）在第二象限，则符合条件的实数m的范围是( ）A、m>错误!B、m<－2C、－2〈m〈错误!D、－错误!〈m<93、已知实数a〉0,b〉0，满足22012,2012a ab b+=+=，则a+b的值是______．4、关于x的方程22211axa ax-=+-的解为________．5、已知p是质数，且方程24440x px p+-=的两个根都是整数，则p=_____．6、方程323652x x x y y++=-+的整数解（x,y）的个数是（）A、0B、1C、3D、无数多个7、若a,b都是整数，方程220080ax bx+-=的两相异根都是质数，则3a+b的值是( ）A、100B、400C、700D、10008、对于实数x，符合［x]表示不大于x的最大整数,例如[3.14]=3,［－7。

59]=-8，则关于x的方程3747x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的整数解有（）个A 、4B 、3C 、2D 、19、已知a ，b ，c ，d ，e ，f 满足 1114,9,16,,,4916bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则 （a+c+e ）－（b+d+f ）的值为________．10、方程||(1)0x x k --=有三个不相等的实根,则k 的取值范围是( ）A 、－错误!<k 〈0B 、0〈k<错误!C 、k 〉－错误!D 、k 〈错误!11、若整数m 使得方程220060x mx m -++=的根为非零整数，这样的整数m 的个数为________．12、设x 1，x 2是方程240x x +-=的两根，则3212510x x -+=( ）A 、—29B 、—19C 、-15D 、-913、方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x ，y)的组数为( ）A 、0B 、1C 、2D 、314、方程7[2][3]82x x x +=-的所有实数解为_____________． 15、对于实数u ，v,定义一种运算“＊”为：u*v=uv+v ，若关于x 的方程x ＊（a*x ）=－ 错误!有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是____________．16、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟?17、不定方程5x －14y=11的最小正整数解是____________．18、方程22[]30x x --=的解的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、419、已知t 是实数,若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=，的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是________．20、已知m ，n 是二次方程2201270x x ++=的两根，那么22(20116)(20138)m m n n ++++等于（ )A 、2004 B 、2005 C 、2006 D 、200721、若实数x,y,z 满足方程组122232xy x y yz y z zx z x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则（ ） A 、x+2y+3z=0 B 、7x+5y+2z=0 C 、9x+6y+3z=0 D 、10x+7y+z=022、已知实数a,b,c ，d ，且a ≠b ，c ≠d ，若关系式22222,2,4,4a ac b bc c ac d ad +=+=+=+=同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________．23、方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解（x ，y ，z ）为_____________． 24、方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有_______组．25、把三个连续的正整数a ，b,c 按任意次序(次序不同视为不同组）填入□x 2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a ，b ，c 有（ ）A 、不存在B 、有一组C 、有两组D 、多于两组 26、已知a ，b ，c 为正数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根,则方程2(1)(2)(1)0a x b x c +++++=的根的情况是（ ）A 、没有实根B 、有两个相等的实根C 、有两个不等实根D 、根的情况不确定27、求方程232730x xy y -+=的正整数解．28、设x ，y ，z 是都不为零的相异实数,且满足等式y z z x x y y z x+++==，试证明：此等式的值不可能是实数．29、解方程：222916(3)x x x +=-30、满足方程2221x y -=的所有质数解（即x ，y 都是质数的解）是_______．31、若2222,x y m n x y m n +=++=+,求证：2012201220122012x y m n +=+．32、已知a>0，且b>a+c ，证明方程20ax bx c ++=必有两个不同的实根．33、解下列方程:(1)4322914920x x x x -+-+=（2）44(2)820x x +--= (3）222(231)(251)9x x x x x -+++=(4）222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++ （5)2240119x x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ （6）1321121111x x x ++=+++ 34、设a 为整数，使得关于x 的方程2(5)70ax a x a -+++=至少有一个有理根,试求方程所有可能的有理根．35、已知正整数a,b,c 满足a<b 〈c ，且ab+bc+ca=abc,求所有可能符合条件的a ，b,c ．36、当a ，b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根．37、m 为有理数，试确定方程22443240x mx x m m k -++-+=的根为有理数．38、当12122()p p q q =+时，试证方程2110x p x q ++=和2220x p x q ++=中至少有一个方程有实根．39、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？40、若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 41、把最大正整数是31的连续31个正整数分成A ，B 两组,且10在A 组,如果把10从A 组移到B 组中，则A 组中的各数的平均数增加错误!,B 组中各数的平均数也增加错误!，问A 组中原有多少个数？42、已知a 〉2,b 〉2，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与方程20x abx a b -++=有没有公共根，并说明理由．43、求所有的实数k,使得关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数．44、设a ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能同时有两个相等实根．45、设△是整系数二次方程20ax bx c ++=的判别式，（1)4，5，6，7,8五个数值中,哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程；(2）请你从中导出一般规律—-一切整数中怎样的整数值不能作为△的值,并给出理由．46．设a 、b 、c 、d 是正整数，a 、b 是方程()02=+--cd x c d x 的两个根．证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形．47、已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且.1111x ad d c c b b a =+=+=+=+试求x 的值．。

数学竞赛辅导系列讲座四——不等式1、 不等式2|26|x x a +-≥对一切实数x 都成立，则实数a 的最大值为_____． 2、 满足123265x <<--的整数x 的个数是（ ） A 、4 B 、5C 、6D 、7 3、已知－1<2x －1<1，则21x-的取值范围是_______． 4、已知关于x 的不等式(2m －n)x －m －5n>0的解集为x<107，那么关于x 的不等式mx>n(m ≠0)的解集为__________．5、使关于x 的不等式12ax a x --≥成立的x 的最大值是－1，则a 的值是____． 6、关于x 的不等式|2x －1|<6的所有非负整数解的和为_______．7、若整数x ，y ，z 满足不等式组1126352351124z x y zx y z x y x z y ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，则x ，y ，z 的大小关系是（ ） A 、x<y<z B 、y<z<x C 、z<x<y D 、不能确定8、若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值为（ ）A 、－1B 、－5C 、0D 、1 9、若a ，b ，c ，d 为乘积是1的四个正数，则代数式2222a b c d ab ac ad bc bd cd +++++++++的最小值是（ ）A 、0B 、4C 、8D 、1010、设实数x 满足3142631323510x x x ----≥-，求2|x －1|+|x+4|的最小值． 11、求证：2211331x x x x -+≤≤++（x 为实数）．12、已知221a b +=，对于满足条件0≤x ≤1的一切实数x ，不等式a(1－x)(1－x －ax)－bx(b －x －bx)≥0．恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值13、设x ，y 为实数，若22222,x xy y x xy y k -+=++=，求k 的取值范围．14、解关于x 的不等式组365(12)8mx mx mx x m x -<-⎧⎨+>-+⎩． 15、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足y ≤|x|的所有整点（x ，y ），并说明理由．16、已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于14．17．一玩具厂用于生产的全部劳动力为450个工时原料为400个单位．生产一个小熊要用15个工时，20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要用10个工时，5个单位的原料，售价为45元．在劳动力和原料的限制下合理安排生产小熊小猫的个数．可以使小熊和小猫总售价尽可能高．请你用学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．18.求满足不等式 a 2+b 2+c 2+3﹤ab+3b+2c 的整数解．19.如图，由沿河岸城市A 运货物到离河岸30km 的地点B 按沿河岸距离计算，B 离AC 的距离是40km ．如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸的点D 从B 点筑一条公路到D ，才能使由A 到B 的运费最少？20.甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元．则其中单价为9元的商品有几件？21.货轮上卸下若干只箱子，其总质量为10吨．每只箱子的质量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走．问至少需要多少载重为3吨的车子．22．已知二次函数y=2x +(m+1)x+n 过点(3，3)，并且对于一切实数x ，所对应的函数值均不小于x ，求这个函数图像的顶点到原点的距离．23．如图，△ABC 中，∠C 为锐角，AD ，BE 分别是BC 和AC 边上的高线，设CD=2m BC ，CE=2n AC ，当m ，n 为正整数时，试判断△ABC 的形状，并说明理由．24．已知y x x x )2(622222-=+-+-，求y x -1的值．25．已知a ，b 为实数，且满足16a 2+2a+8ab+b 2—1=O ，求3a+b 的最小值．26．设10ππx ，求证：21)1(11522+-+++≤πx x ．27．若二次函数()x f =a x ax --22满足()()()()0312f f f f πππ，则实数a 的取值范围为 ．28．已知+∈R y x ,．求yx y y x x 22+++的最大值． 29．能同时表示成连续9个整数之和、连续10个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数为 ．30．四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且⊿AOB 与⊿COD 的面积分别为1、9．求四边形ABCD 面积的最小值，并判断当取得最小值时四边形的形状．31．已知正数a 、b 、c 、a 1、b 1、c 1，满足条件a+ a 1=b + b 1=c + c 1=k ，求证：a b 1+ b c 1+ c a 1﹤k 2． 32．设a 、b 、c +∈R ，求证：2222c b a a c c c b b b a a ++≥+++++．33．已知a 、b 是给定的大于2011的实数，对于任意实数x 、y ，都有0122))((22222φ++--+++k k ay bx y x b a ，其中k 是实数，则k 的取值范围是 .34．当三个非负实数x 、y 、z 满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时，M=3x-2y+4z 的最小值和最大值分别为 .35．有n 个连续的正整数1、2、…，n ，去掉其中的一个数x 后，剩下的平均数是16。