金湖县实验中学高中数学奥赛辅导整式的恒等变形

一、利用同类项的定义构造：例1：已知m n m n b a --319991和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则nm 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5213by ax y ax 的解，求b a 、的值.四、利用相反数的性质构造：例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a五、利用非负数性质构造：例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y x 六、利用多项式恒等性质构造：例6：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a 八、取特殊值构造：例8：设b ax x x ++-232除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a 九、弱化某些未知数构造：例9：若,073,0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.已知：,2874,1553=*=*那么.________11=*。

第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。

竞赛讲座(整式的恒等变形)一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。

特别地:()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1,例2计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。

整式乘法中的恒等变形技巧有哪些整式乘法中的恒等变形技巧，那可是数学学习中的一把神奇钥匙！咱们一起来瞧瞧都有哪些好用的技巧。

先来说说“提取公因式法”。

这就好比从一堆水果中挑出大家都有的那个共同特点，比如式子“3x ＋6”，这里 3 就是公因式，咱们一提出来，就变成 3(x ＋ 2)啦。

我记得有一次给学生们讲这个，有个小调皮一直搞不明白，我就拿他们爱吃的糖果举例，说假如有 3 颗红色糖果和 6 颗蓝色糖果，咱们可以先把 3 颗这个共同的数量提出来，就相当于把这些糖果分成了 3 份，一份是 1 颗红色和 2 颗蓝色。

这么一说，那小调皮恍然大悟，眼睛都亮了起来。

再讲讲“公式法”，这里面最常用的就是平方差公式和完全平方公式。

平方差公式(a ＋ b)（a b) ＝ a² b²，就像两个人比赛跑步，速度快的和速度慢的一比较，差距就出来了。

完全平方公式(a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋b²呢，就像是给一个小房子搭建框架，长、宽和面积的关系一目了然。

还有“分组分解法”，这招有点像整理书包，把不同类的东西先分分组，再分别处理。

比如说对于式子“ax ＋ ay ＋ bx ＋by”，咱们可以把含 x 的放一组，含 y 的放一组，即 a(x ＋ y) ＋ b(x ＋ y)，然后再提取公因式(x ＋ y)，就变成了（a ＋ b)（x ＋ y)。

“十字相乘法”也是个厉害的角色。

这就像是拼图游戏，要找到合适的数字组合。

比如对于式子“x² ＋ 5x ＋6”，咱们要找到两个数，它们相加等于 5，相乘等于 6，那就是 2 和 3，所以就可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3)。

在实际解题中，这些技巧往往不是单独使用的，而是要灵活组合，就像炒菜要放各种调料一样，搭配好了才能做出美味的“数学大餐”。

我曾经碰到过一道题，式子长得那叫一个复杂“4x² 12xy ＋9y² 25”，一开始好多同学都被吓住了。

整式的恒等变形1. 乘法公式也叫作简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

⒉ 基本公式就是最常用、最基础的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式：()()22a b a b a b +-=-． 立方和（差）公式：()()2233a b a ab b a b ±+=±．⒊ 公式的推广：①多项式平方公式：()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：()3322333a b a a b ab b ±=+±()4432234464a b a a b a b ab b ±=±+±+()554322345510105a b a a b a b a b ab b ±=±+±+±…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式()()322344a b a a b ab b a b +-+-=-()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+()()5432234566a b a a b a b a b ab b a b +-+-+-=-…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数()()2122232222122n n n n n n n a b a a b a b ab b a b -----+-+-+-=-()()2212222122121n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ---+++-+--+=+类似地： ()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⒋ 公式的变形及其逆运算由()2222a b a ab b +=++得()2222a b a b ab +=+-由()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++得()()3333a b a b ab a b +=+-+ 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 n n a b -能被a b -整除， 2121n n a b +++能被a b +整除，22n n a b -能被a b +及a b -整除。

- 1 - 一、利用同类项的定义构造：例1：已知m n m n b a --319991和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则nm 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5213by ax y ax 的解，求b a 、的值.四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a五、利用非负数性质构造：例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=yx 六、利用多项式恒等性质构造：例6：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a八、取特殊值构造：例8：设b ax x x ++-232除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a九、弱化某些未知数构造：例9：若,073,0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.已知：,2874,1553=*=*那么.________11=*。

恒等变换高中数学教案
主题：恒等变换
目标：学生能够理解恒等变换的概念并能够运用恒等变换简化复杂的表达式。

教学步骤：
1.引入：通过一个简单的例子介绍恒等变换的概念，如：证明等式$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$中的恒等变换。

2.讲解：讲解恒等变换的定义和性质，引导学生理解恒等变换的原理。

同时，讲解如何运用恒等变换简化难题。

3.练习：让学生通过一些练习题来巩固恒等变换的概念和运用技巧，如：化简$(a+b)^2 - (a-b)^2$。

4.应用：给学生一些实际问题，并要求他们运用恒等变换来解决问题，如：证明数学等式或简化方程。

5.总结：回顾今天所学的内容，让学生总结恒等变换的重点和技巧。

6.拓展：鼓励学生自主拓展恒等变换的应用领域，如证明几何等式或推导数学公式。

7.作业：布置作业，让学生继续练习恒等变换的题目，加深对知识点的理解并提高解题能力。

教学评估：通过课堂练习和作业的完成情况，评估学生对恒等变换的理解和应用能力，及时纠正错误并指导学生提升技能。

江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 整式的恒等变形 内容：（1）运用运算性质法则。

（2）灵活运用乘公式。

（3）配方法。

（4）应用因式分解。

（5）代换法。

一．（运用性质和法则） 设x , y , z 都是整数，且11整除7x+2y-5z , 求证：11整除3x-7y+12z . 已知，当x=0 时，y=- 3 ;当x=-5 时，y=9 , 求当x=5时 y的值。

二．（灵活运用乘法公式） 计算： 设a , b , c 为有理数，且. 求证：对于任何正奇数n ，都有 当时，试求下列各式的值： （1） ；（2） 试求被 除的余数。

三．（配方法） 证明：当a , b 取任意有理数时，多项式的值总是正数。

若，求a : b : c . 已知a , b , c , d为正数，且， 求证： a=b=c=d . 11. 解方程： 12．若a , b , c , d 是整数，且， 求证：mn可表示成两个整数的平方和。

13．已知，求的值。

四．（应用因式分解） 14．在三角形ABC中， （a , b , c 是三角形的三边）， 求证： 15．已知，试求的值。

五．（代换法） 16．已知a , b , c适合 。

求证 17．证明： 18．已知,且， 求证：x , y , z 中至少有一个等于1。

19． 若，则_______ 20．若 则abc=______ 21．设x-y=1+m , y-z=1-m , 则 x2+y2+z2-xy-yz-zx=________ 22．若2a=6b=3c , 且ab+bc+ca=99, 则2a2+12b2+9c2=_______ 23．若多项式含有因式(a-2)和(a-1) , 则mn=________ 24．的最小值是_____。

我们认为：1.试题数量及其分数在试卷中所占比例将基本保持稳定。

2.所有试题都是中低档难度试题，而解答题的难度还将略有下降，原因有三个：一是需用时将列出有关公式，这实际上是对解题的关键步骤给出了提示；二是“简单的三角方程”已经改为不作高考要求的选学内容，因而需用解简单的三角不等式的试题将会更加简单；三是新的教学大纲中规定删去了“三角函数中较复杂得恒等变形”，因此，即使在新大纲实施之前，高考命题也会受到它的影响。

3.涉及积化和差与和差化积公式的试题在三角试题中的比例将会明显下降，而同时涉及这两组公式的试题已几乎不可能再出现，因此这两组公式已不再是高考的热点。

4.倍角公式的变形——半角公式、升幂公式与降幂公式考查的可能性较大，掌握这几个公式对解决一些相对复杂的三角变换有好处. 即：sin 2α＝22cos 1cos ,22cos 12α+=αα-，…… 5.由于解斜三角形需要较多的应用平面几何知识，因而今后几年涉及这一类中的高考题，仍将会像1998年的三角解答题那样，仅限于简单的应用正弦定理和余弦定理。

另外，这两个定理也很可能在解答几何或结合实际的应用题中使用。

由于2000年的三角解答题的难度已经“略有下降”，因此，今后几年此类试题的难度也将“基本保持稳定”。

在本讲的复习中，我们将注意以下几点：1.以小题为主，中低档题为主，并注重三角函数与其他知识的交汇点处的习题2.适当增大复习题中的求值与求范围的题目的比例3.对正、余弦定理的应用力求熟练，并避免繁杂的近似计算本讲分三个部分：第一部分是三角函数的变换，第二部分是三角函数的图像和性质，第三部分是三角形中的三角函数问题，主要是正弦定理和余弦定理的应用第一部分 例1.已知sinθcosθ＝81，且24π<θ<π，那么cosθ－si nθ的值为A.43 B.23 C.－43 D.－23 分析:由于24π<θ<π，所以cos θ＜sin θ,于是cos θ－sin θ＝－23cos sin 21-=θθ-,选D例2.若tanθ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________提示：将分子中的2θ化为单角，分母中的1用sin 2θ＋cos 2θ替换，然后分子分母同除以cos 2θ即可。

整式加减法中的恒等变形技巧有哪些整式加减法中的恒等变形技巧那可真是不少，掌握了这些技巧，能让咱们在数学的海洋里畅游得更轻松愉快！先来说说合并同类项吧。

这就好比把一堆水果分类，苹果跟苹果放一起，香蕉跟香蕉放一起。

比如 3x ＋ 5x，它们都含有 x 这个“同类”，那咱们就可以把它们合并成 8x。

我记得有一次，我在课堂上给学生们出了一道题：2a ＋ 3a 4a，有个小同学刚开始有点懵，后来我就引导他想想家里的玩具车，红色的玩具车和蓝色的玩具车是不是都是玩具车呀，那 2 辆红色的玩具车加上 3 辆蓝色的玩具车再减去 4 辆红色的玩具车，是不是能算出来一共有多少辆玩具车啦？他一下子就明白了，很快算出结果是 a 。

所以呀，合并同类项就是把含有相同字母和相同字母指数的项合并在一起。

再说说去括号。

这就像是给整式脱掉一层“外套”。

如果括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；要是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。

我给大家举个例子，比如 5 （3 x)，去括号就变成 5 3 ＋ x ＝ 2 ＋ x 。

有一回，我邻居家的孩子做作业的时候遇到了去括号的问题，怎么都搞不明白。

我就跟他说，你就把括号想象成一扇门，“＋”号的门打开后，里面的东西都原封不动；“”号的门打开后，里面的东西都得换个样子。

他听了之后，恍然大悟，作业很快就完成了。

还有添括号。

这就像是给整式穿上一件“新衣服”。

添括号时，如果括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是“”号，括到括号里的各项都要变号。

比如说，a ＋ b c ＝ a ＋（b c) ，a b ＋c ＝ a （b c) 。

记得有一次在课堂上做练习，有个同学总是在添括号的时候出错，我就给他打了个比方，说这添括号就像是给小动物找家，“＋”号的家很友好，小动物进去不用换样子；“”号的家有点特别，小动物进去得打扮打扮。

这之后，他就很少出错了。

整式加减法中的恒等变形技巧还包括整体代入。