(推荐)高中数学奥赛辅导

高中数学奥赛辅导第一讲 奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）.（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）. 其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m ,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因 ),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若n n p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα （简记为∏=+n i i 1)1(α） 这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数.用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m 为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而ad d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4 的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1，从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m. 再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n 项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1； 当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a nm +=-++++++= （a 为某非负数） 则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即 时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Yi 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22. 显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有 ,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明 ，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素.当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时 )].12)(1[(--n n当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2.（1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

课时：2课时年级：高中教学目标：1. 让学生了解数学奥赛的基本情况和竞赛规则。

2. 培养学生对数学的兴趣和爱好，提高学生的数学思维能力。

3. 通过奥赛训练，提高学生的解题技巧和应试能力。

教学内容：1. 数学奥赛概述2. 数学奥赛题型及解题技巧3. 奥赛训练实例分析4. 奥赛模拟测试与讲评教学过程：第一课时一、导入新课1. 引导学生回顾高中数学课程内容，激发学生对数学的兴趣。

2. 介绍数学奥赛的基本情况，如竞赛时间、地点、报名方式等。

二、数学奥赛概述1. 介绍数学奥赛的历史背景、发展历程和重要意义。

2. 分析数学奥赛对学生数学思维、解题能力等方面的提升作用。

三、数学奥赛题型及解题技巧1. 介绍数学奥赛的常见题型，如填空题、选择题、解答题等。

2. 针对不同题型，讲解相应的解题技巧和方法。

四、奥赛训练实例分析1. 展示几道典型的奥赛题目，引导学生分析解题思路和步骤。

2. 分析解题过程中的难点和易错点，提高学生的解题能力。

第二课时一、复习上节课内容1. 回顾数学奥赛概述、题型及解题技巧。

2. 检查学生对上节课内容的掌握情况。

二、奥赛模拟测试与讲评1. 发放奥赛模拟测试题，让学生进行限时练习。

2. 收集测试卷，进行讲评。

3. 分析学生答题过程中的优点和不足，针对性地进行指导。

三、总结与展望1. 总结本节课的学习内容，强调奥赛训练的重要性。

2. 鼓励学生积极参与数学奥赛，提高自己的数学水平。

教学评价：1. 通过学生对奥赛知识的掌握程度，评价教学效果。

2. 通过学生的解题技巧和应试能力，评价教学成果。

教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学内容和方法。

2. 不断总结教学经验，提高教学质量。

教学资源：1. 数学奥赛教材及辅导书籍。

2. 奥赛真题及模拟试题。

3. 网络资源，如数学论坛、奥赛官方网站等。

高中数学奥赛讲课教案
教学内容：高中数学奥赛备赛技巧
教学目标：掌握高中数学奥赛备赛的基本技巧，提高解题效率和竞赛成绩。

教学重点：掌握奥赛常用的数学解题技巧，提高逻辑推理和数学推导能力。

教学难点：如何在有限时间内解决奥赛题目，提高解题速度和准确性。

教学工具：教材、笔记本、黑板、投影仪
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入奥赛备赛的重要性和目的。

2. 提出本节课的学习目标和重点。

二、奥赛题型解析（15分钟）
1. 分析奥赛常见的题型和解题思路。

2. 讲解解题技巧和方法。

3. 案例分析，让学生通过实例理解奥赛问题的解决方式。

三、解题策略训练（20分钟）
1. 分组训练，让学生结合前面学到的知识，解决实际奥赛题目。

2. 老师指导学生如何寻找解题思路，提高解题速度和准确性。

四、答疑与讨论（10分钟）
1. 学生提出疑问和困惑，老师解答并整理归纳。

2. 学生互相讨论解题思路和方法，共同提高。

五、总结与作业布置（10分钟）
1. 回顾本节课的学习内容和重点。

2. 布置相关练习作业，巩固所学知识。

教学反馈：每节课结束后，学生填写反馈表，老师总结学生的反馈意见，以便调整教学内容和方法。

教学拓展：学生可以自主选择参加校内外的数学竞赛，加强解题能力和应试技巧。

教学评价：通过课堂教学和作业考核，评估学生对奥赛备赛技巧的掌握情况，及时调整教学方向，提高教学效果。

启东中学奥赛训练教程高中数学在高中数学的学习过程中，奥赛训练是一项重要的任务。

本文档将为广大高中生提供一份奥赛训练教程，帮助他们更好地备战数学竞赛。

首先，我们需要明确奥赛训练的目标。

数学奥赛是一项专业性较强的数学竞赛，它注重考察学生的数学思想、解题能力和创新能力。

因此，在进行奥赛训练时，我们应该注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

在训练过程中，我们要力求培养学生的数学兴趣和数学思维能力。

数学是一门需要灵活思维和创造力的学科，只有通过培养学生的兴趣，才能激发他们对数学的热爱，从而更好地投入奥赛训练中。

在培养学生的数学思维能力上，我们可以通过提供一系列有趣的数学问题，引导学生进行思考和探索。

其次，我们要注重培养学生的解题技巧和策略。

奥赛题目往往具有一定的难度，需要学生在有限的时间内找到解题的突破口。

因此，培养学生的解题技巧和策略非常重要。

我们可以通过讲解一些常见的数学解题方法，如分类讨论法、逆向思维法等，帮助学生在解题过程中找到更加高效的方法。

此外，我们还要注重训练学生的时间管理能力和心理素质。

奥赛比赛通常在规定的时间内完成，因此，学生需要具备良好的时间管理能力，合理分配时间，提高解题效率。

同时，奥赛会对学生的心理素质提出一定的要求，比如面对题目的压力、竞争的紧张等。

我们可以通过模拟考试和心理训练，帮助学生逐渐适应奥赛的竞争环境。

最后，我们要提醒学生在奥赛训练中保持坚持和积极的态度。

奥赛训练是一项漫长而繁重的任务，需要学生付出大量的时间和努力。

在过程中，学生可能会遇到挫折和困难，但只有坚持不懈，才能最终取得好的成绩。

同时，我们也要鼓励学生在奥赛训练中享受学习的过程，通过解决难题获得成就感，培养自身的自信心和自豪感。

综上所述，启东中学奥赛训练教程高中数学的内容包括培养学生的数学思维能力、解题技巧和策略，提高时间管理能力和心理素质，并保持坚持和积极的态度。

通过本教程的学习，学生将能够在高中数学奥赛中取得优异的成绩，并为未来的学习和科研打下坚实的基础。

打星号的是强烈推荐的，其他的书也是非常值得一读的，但是时间有限的情况下，可以暂时搁置。

通用书籍：中等数学（无论是刚入门还是国家队）第零阶段知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修3-X（忘了哪本）：初等数论初步》第一阶段：全国高中数学联赛各赛区预赛1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用高中数学联赛备考手册华东师范大学出版社*3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社*4、单樽《解题研究》*5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几）6、《平面几何》浙江大学出版社7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著第二阶段：全国高中数学联合竞赛第一部分：一试《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社*《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选*12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社第二部分：加试（我怎么可能会说二试这种词语呢）平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选*2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选*3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》4、浙大小红皮《平面几何》5、沈文选《三角形的五心》6、田廷彦《三角与几何》7、田廷彦《面积与面积方法》不等式1、《初等不等式的证明方法》韩神2、9、命题人讲座《代数不等式》计神3、10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》苏淳19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲第三部分：通用《中等数学增刊：高中数学联赛模拟题》*《多功能题典：高中数学竞赛》《数学奥林匹克研究教程》单樽奥林匹克小丛书第二版《高中数学竞赛中的解题方法与策略》第三阶段：中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上（本渣不自量力，竟然敢给这个阶段的大神推荐书籍，如果大神们虐题审美疲劳的话，也不妨一看）命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》今天仔细看了看。

高中数学奥赛辅导第五讲高斯函数知识、方法、技能这一讲介绍重要的数论函数][x y ，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y的定义域为R ，值域为Z ；}{x y的定义域为R ，值域为)1,0[（2）对任意实数x ，都有1}{0},{][x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ][1,1][][.（4）][x y是不减函数，即若21x x 则][][21x x ，其图像如图I －4－5－1；}{x y 是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x.其中N nR x,.（6）ni ii ni i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，（7）][][][y x xy ，其中R yx,；一般有ni ii ni i R x x x 11],[][；特别地，N n R x x x nn ,],[][.（8）]][[][nx nx ，其中N nR x,.【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m nx ,][，则1m nx m，因此，)1(m n xnm.由于nm ，N m n )1(，则由（3）知，),1(][m n x nm于是，.]][[,1][m nx m nx m故证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：N nR x ,，且1至x 之间的整数中，有][nx个是n 的倍数.【证明】因n nxxn nxn x n xnx )1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n的倍数的正整数只有这nx][个：定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][pn 个p 的倍数，有][2pn 个p 2的倍数，…，所以.][][)!(2pn pn n p 此定理说明：M pn n p )!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]72000[]72000[)!2000(72+…=285+40+5=330，则2000！=7330·M ，其中7 M.定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn xnxnxx N n R x 则【证法1】引入辅助函数].1[]2[]2[]1[][][)(nn x n n xnx n xx nx x f 因)1(n x f …)(x f 对一切R x成立，所以)(x f 是一个以n1为周期的周期函数，而当]1,0[nx 时，直接计算知0)(x f ，故任意R x，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n nn x n x x x n 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[x ，则一定存在一个k 使得nk xn k 1，即k n xk )1(，故原式右端.1][knx 另一方面，由nk xnk 1知，nn k xnn k ni kxni kn k nxnk n k n xnk 12,,1,,221,11在这批不等式的右端总有一个等于1，设k n t n tk 即,1. 这时，]1[][nxx 0][nk n x，而1]1[]1[nn xnk n x，因此原式的左端是1k 个1之和，即左端.1k 故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理.定理四：设函数],[)(b a x f y在上连续而且非负，那么和式bt a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f yb x a内的格点个数.特别地，有（1）位于三角形：d xcb axy,0内的格点个数等于dx c x b ax且]([为整数）；（2）1),(q p ，矩形域]2,0;2,0[pq 内的格点数等于（3）0r ，圆域222r yx内的格点个数等于2/0222]2[4][8][41r x r x rr .（4）0n，区域：n xy y x,0,0内的格点个数等于n x n xn02][][2.这些结论通过画图即可得到.赛题精讲例1：求证：,2!211k n nn 其中k 为某一自然数.（1985年第17届加拿大数学竞赛试题）[证明]2为质数，n!中含2的方次数为若1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n 反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t ，使]2[]2[)!(22!,222211p p n n ps s t st的方次数为中所含于是由于12,2)!(22!,2]2[,221n ts ts n n n p 则的方次数中含故则n!.这与已知矛盾，故必要性得证.例2：对任意的01].22[,K k kn S N n计算和（第10届IMO 试题）【解】因]212[]22[11k k n n 对一切k=0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[111k k k n n n 又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,121n nn Sn n K k kkk故从而例3：计算和式.]503305[502的值n n S（1986年东北三省数学竞赛试题）【解】显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x 则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[n 故例4：设M 为一正整数，问方程222}{][x x x，在[1，M]中有多少个解？（1982年瑞典数学竞赛试题）【解】显然x=M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解. 设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x代入原方程，化简得}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.例5：求方程.051][4042的实数解x x （第36届美国数学竞赛题）【解】.0][,1][][不是解又因x x x x 经检验知，这四个值都是原方程的解.例6：.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x 证明（第10届美国数学竞赛试题）这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】.,2,1,][2]2[][k kkx x x A k令由于.,1],[1命题成立时则n x A 例7：对自然数n 及一切自然数x ，求证：【证明】则},{][x x x例8：求出]31010[10020000的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题）【解】先找出3101010020000的整数部分与分数部分.3101010020000=31033103)10(100200100200200100其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.。

奥数技巧高中数学教案
教学目标：
1. 学习和掌握高中数学的基础知识和常见技巧。

2. 培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3. 提高学生在奥数竞赛中的表现。

教学内容：
1. 高中数学的基础知识和技巧：代数、几何、概率等内容的复习和学习。

2. 奥数竞赛中常见的解题技巧和方法。

3. 练习和应用高中数学知识解决奥数竞赛题目。

教学步骤：
第一部分：复习和学习高中数学基础知识和技巧
1. 复习代数、几何和概率等高中数学知识。

2. 学习高中数学中常见的解题技巧和方法。

第二部分：奥数竞赛题目的解题技巧和方法
1. 分析奥数竞赛题目的特点和解题方法。

2. 练习奥数竞赛题目，掌握解题技巧和方法。

第三部分：练习和应用高中数学知识
1. 组织学生进行练习和应用高中数学知识解决奥数竞赛题目。

2. 引导学生运用所学知识解决实际问题。

教学作业：
1. 练习奥数竞赛题目并总结解题技巧和方法。

2. 完成指定的高中数学练习题目。

评价方法：
1. 跟踪学生学习情况，及时指导和纠正。

2. 对学生的作业和测试进行评价，及时给予反馈。

教学反思：
1. 教学内容是否符合学生的实际需求。

2. 学生学习情况如何，是否需要进一步调整教学方法。

注：本教案仅供参考，具体内容可根据实际情况进行调整。

又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本， 是比较基础、入门级的竞赛教程 。

《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。

每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。

共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分， 系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。

《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。

《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。

2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。

二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。

力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。

2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。

太原高中数学竞赛辅导篇一：太原高中数学竞赛辅导太原高中数学竞赛辅导是指针对太原地区高中学生举办的数学竞赛培训活动。

数学竞赛是一项考验学生数学思维和能力的考试,对于提高学生综合素质和升学竞争力具有重要意义。

为了帮助学生在数学竞赛中取得好成绩,许多学校和教育机构都会举办数学竞赛辅导活动。

在太原地区,许多高中学校都会举办数学竞赛辅导活动,其中包括太原五中、一中、二中等名校。

这些学校都有专业的数学老师和竞赛教练,他们会针对学生的不同水平和需求,制定个性化的辅导计划,帮助学生掌握数学知识和解题技巧,提高竞赛水平。

除了学校组织的数学竞赛辅导活动外,也有一些专业的数学培训机构会提供数学竞赛辅导服务。

这些机构通常会有专业的数学老师和竞赛教练,会根据学生的不同需求和水平,提供个性化的辅导方案。

这些机构的辅导课程通常会包括数学竞赛的基础课程、强化课程和冲刺课程,帮助学生掌握数学知识和解题技巧,提高竞赛水平。

参加数学竞赛辅导活动可以帮助学生提高数学素养和竞赛水平,为升学和职业发展打下良好的基础。

同时,学校和培训机构还可以为学生提供一个良好的学习环境和学习氛围,促进学生的学习积极性和学习效率。

太原高中数学竞赛辅导活动得到了许多学校和教育机构的重视,为学生在数学竞赛中取得好成绩提供了重要的支持。

如果您或您的学生想要参加数学竞赛辅导活动,可以通过学校或培训机构咨询相关信息,并选择适合自己的辅导课程和辅导方式。

篇二：太原高中数学竞赛辅导太原是山西省的省会城市,也是该省数学竞赛的主要考点之一。

因此,对于那些想要在数学竞赛中获得好成绩的高中生来说,参加太原高中数学竞赛辅导是非常必要的。

太原高中数学竞赛辅导通常由当地的学校或专业辅导机构提供。

这些机构通常会拥有经验丰富的教师和先进的教学设施,能够帮助学生提高数学竞赛水平。

在参加太原高中数学竞赛辅导时,学生需要根据自己的实际情况选择适合的机构和课程。

一般来说,机构的规模和师资力量越大,所提供的课程和服务质量就越好。