2-3无穷小,运算法则

无穷小运算法则无穷小运算法则是微积分中的一个重要概念，它在求极限、微分和积分等运算中起着非常重要的作用。

无穷小是一个极限过程中趋于零的量，它在微积分中有着重要的应用。

无穷小运算法则包括加法法则、乘法法则、复合函数法则等，它们在微积分中有着非常重要的作用。

首先，我们来看加法法则。

加法法则指的是如果lim（f(x)）=A，lim（g(x)）=B，那么lim（f(x)+g(x)）=A+B。

也就是说，当两个函数的极限存在时，它们的和的极限等于它们的极限的和。

这个法则在微积分中经常被用到，它可以帮助我们简化复杂的极限运算。

接下来是乘法法则。

乘法法则指的是如果lim（f(x)）=A，lim （g(x)）=B，那么lim（f(x)·g(x)）=A·B。

也就是说，当两个函数的极限存在时，它们的乘积的极限等于它们的极限的乘积。

乘法法则在微积分中也有着非常重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的极限运算。

最后是复合函数法则。

复合函数法则指的是如果lim（f(x)）=A，lim（g(x)）=B，那么lim（f(g(x))）=A。

也就是说，当一个函数的极限存在时，它的复合函数的极限等于它的极限。

复合函数法则在微积分中也有着非常重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的极限运算。

无穷小运算法则在微积分中有着非常重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的极限、微分和积分运算。

在微积分的学习中，我们经常会用到这些法则，它们可以帮助我们更好地理解微积分的概念和方法。

因此，了解和掌握无穷小运算法则对于学习微积分是非常重要的。

在实际应用中，无穷小运算法则也有着广泛的应用。

比如在物理学、工程学和经济学等领域，无穷小运算法则经常被用来简化复杂的数学模型，它可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。

因此，无穷小运算法则在现实生活中也有着重要的作用。

总之，无穷小运算法则是微积分中的一个重要概念，它在求极限、微分和积分等运算中起着非常重要的作用。

1.5极限运算法则无穷小运算法则 极限运算法则 求极限方法举例 复合函数的极限运算法则11.5 极限运算法则一、无穷小运算法则定理1 有限个无穷小的和仍是无穷小. 证 设及 是当 x  时 的两个无穷小,     0, N 1  0, 当 | x |  N 1时, 恒有 |  |  ; 2  恒有 | | . N 2  0, 当 | x |  N 2时,2取 N  max{ N 1 , N 2 }, 当 | x |  N时, 恒有|  + | |  |  |  | x 2 2 ( x   ). lim f ( x )  0    0, X  0,当 | x |  X时,2  , 所以     0恒有 f ( x )   .1.5 极限运算法则注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 1 如, n  时, 是无穷小 , 但n个 之和为 1 n n 不是无穷小.31.5 极限运算法则定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证 设函数 u在 U ( x0 ,  1 )内有界 , 则M  0,  1  0,使得当 0  | x  x0 |   1时, 恒有 | u |  M .又设是当x  x0时的无穷小,所以   0,  2  0, 使得当0  | x  x0 |  2时,M  0  | x  x0 |   时, 恒有 | u   |  | u |  |  |  M  = , M 所以 当x  x0时, u  为无穷小 .4恒有 |  | .取   min{ 1 ,  2 }, 则当1.5 极限运算法则定理2 推论1 推论2有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小.51.5 极限运算法则例. 求 解:（P48,例8）1 lim  0 x  x利用定理 2 可知61.5 极限运算法则二、极限的运算法则lim f ( x )泛指任一种极限定理3设 lim f ( x )  A, lim g ( x )  B , 则(1) lim[ f ( x )  g( x )]  A  B; ( 2) lim[ f ( x )  g( x )]  A  B;f ( x) A ( 3) lim  , 其中 B  0 . g( x ) B说明: 定理 3 (1)、(2)可推广到有限个函数的情形 .71.5 极限运算法则( 2) lim[ f ( x )  g( x )]  A  B;(2)的特例是: 推论1lim[Cf ( x )]  C lim f ( x ) (C是常数)即常数因子C可以提到极限符号外面. 推论2lim[ f ( x )]n  [lim f ( x )]n(n是正整数)81.5 极限运算法则注 对数列也有如定理3的极限运算法则: 定理4 设有数列{xn}和{yn}, 如果lim x n  A, lim yn  B ,n  n 那么 (1) lim ( xn  yn )  A  B;n ( 2) lim xn  yn  A  B;n ( 3) 当yn  0 n  1,2,且B  0时,xn A lim  . n  y B n91.5 极限运算法则定理5lim f ( x)  A , lim g ( x)  B, 且 f ( x )  g ( x),则 A B . 提示: 令  ( x)  f ( x )  g ( x ) 利用保号性定理证明 .101.5 极限运算法则三、求极限方法举例例求 lim2 x  1 （P46,例1）x 1x  1)  lim 2 x  lim1  2 lim x  1 解 lim(2 x 1 x 1 x 1 x 1 21  1  1 x3  1 . （P46,例2） 例 求 lim 2 x2 x  5 x  3 3 3 lim( x  1) x 1 x2 解 lim 2  x2 x  5 x  3 lim( x 2  5 x  3) x2 3 lim x  lim1 7 x2 x2   2 lim x  lim 5 x  lim 3 3x2 x2 x2111.5 极限运算法则小 结(1) 设 f ( x )  a0 x n  a1 x n1    an , 则有x  x0lim f ( x )  a 0 ( lim x ) n  a1 ( lim x ) n 1    a nx  x0 x  x0 a 0 x 0  a1 x 0nn 1   a n  f ( x 0 ).P( x) (2) 设 F ( x )  , 且 Q ( x0 )  0 , 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x0 ) x  x0  F ( x0 ). lim F ( x )   x  x0 lim Q( x ) Q( x 0 )x  x0121.5 极限运算法则x3 . 例 求 lim 2 x3 x  9解0 ( 型 ) （P47,例3） 0 x  3时, 分子, 分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子x  3后再求极限.1 x3 ( x  3) 1  lim lim 2  lim  x3 x  9 x  3 ( x  3)( x  3) x  3 ( x  3) 6消去零因子法131.5 极限运算法则2x  3 例 求 lim 2 x 1 x  5 x  4x 1（P47,例4）解 因为 lim( x 2  5 x  4)  0, 商的法则不能用! 又因为 lim(2 x  3)  1  0,x 1x2  5 x  4 0 所以 lim   0. x 1 2x  3 1 由无穷小与无穷大的关系, 得 2x  3  . lim 2 x 1 x  5 x  4141.5 极限运算法则3 x3  4 x2  2  ( 型 ) （P47,例5） 例 求 lim x  7 x 3  5 x 2  3  解 x  时, 分子, 分母的极限均为无穷大.3 x 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,无穷小分出法 再求极限. 4 2 3  3 3 x3  4 x2  2 3 x x lim 3  lim  . x  7 x  5 x 2  3 x  5 3 7 7  无穷小分出法 求有理函数当 x   的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出无穷小, 再求极限.15xx33 x2  2 x  1 例 求 lim 3 . （P47,例6） 2 x  2 x  x  5无穷小因子分出法02x  x  5 例 求 lim 2 . x  3 x  2 x  13 2（P47,例7）1.5 极限运算法则小 结a0 x m  a1 x    a m   0 lim n n  1 x  b x  b x    bn 0 1   (a0  0, b0  0, m , n为非负整数 ) a0 nm  b m 1 0nmnm171.5 极限运算法则例求 lim ( x 2  3 x  x 2  1) (   型)x  解 不满足每一项极限都存在的条件, 不能直接 应用四则运算法则. 分子有理化原式  lim3  . 2x  3x  1  ( 型) 2 2 x  3x  x  1 “根式转移”法 化为  型181.5 极限运算法则四、复合函数的极限运算法则定理6 (复合函数的极限运算法则) 设函数y = f [g(x)]是由函数y = f (u)与函数  u = g(x)复合而成, y  f [ g ( x )]在 U ( x0 )有定义,若 lim g ( x )  u0 , lim f ( u)  A, 且存在  0  0,x  x0当x  U ( x0 ,  0 )时, 有 g ( x )  u0 , 则x  x0u u0lim f [ g( x )]  lim f ( u)  A.u u019证   0 ,   0 , 当0  u  u0   ,有 f ( u)  A   .  对上述   0 ,  1  0 ,当0  x  x0   1 , 有 g ( x )  u0   . 取   min 0 ,  1  , 当0  x  x0  时,g ( x )  u0   及 g ( x )  u0  0 同时成立,即 0  g ( x )  u0   , 故f [ g ( x )]  A  f ( u)  A   .20如果函数f (u ) 和g (x )满足该定理的条件,那么作代换)(lim 0u f u u →=)]([lim 0x g f x x →.A =u)(x g u =)]([lim 0x g f x x →)(lim 00x g u x x →=化为).(lim 0u f u u →求可把求设函数y = f [g (x )]是由函数y = f (u )与函数u = g (x )复合而成,)()]([0x U x g f y 在= 有定义,,)(lim 00u x g x x =→若,)(lim 0A u f u u =→且存在,00>δ定理6(复合函数的极限运算法则)定理中,=→)(lim 0x g x x 0u 把∞或=)(lim x g ∞而把.)(lim A u f =0u u →,),(00时当δx U x ∈则)(lim 0u f u u →=)]([lim 0x g f x x →.A =,)(0u x g ≠有∞→x ∞→u 可得类似定理.例,0>a 设求极限:a x a x -→lim 3解a x -3可看作与a x u -=复合而成.u u f =)(3,时当a x →,0→u 并且=→u u 0lim 3,0因而=-→a x a x lim 3=→u u 0lim 3.0例解,)1(61x u +=令,1→u 1lim 3-u 原式=11lim 2++=u u .3=,0→x 则故1111lim 0-+-+→x x x 求3121-→u u 1+→u u 2这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法.。

y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(n )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
直接得出结论 。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.

1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大 ，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）