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小学奥数-几何五大模型(等高模型)

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文案大全模型一三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积底高

2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3，则三角形面积与原来

的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同

时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图

12::SSab

baS

2S

1

DCBA

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图

ACDBCDSS

△△；

反之，如果

ACDBCDSS

△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三角形等高模型与鸟头模型

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文案大全【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形。

【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

C

EDBA

F

C

DBA

G

DC

BA

⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

⑸⑷⑶⑵⑴

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A

点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是：三角形ABD的面积12高26高

三角形ABC的面积124（）高28高

三角形ADC的面积4高22高

所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4

3倍；

三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。

【例3】如右图，

ABFE和

CDEF都是矩形，

AB的长是

4厘米，

BC的长是

3厘米，那么图中阴影部分的面

积是平方厘米。

AB

C

DEF

【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326(平方厘米)。

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积

是平方厘米。C

DBA

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文案大全【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也

等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则

它内部阴影部分的面积是。

FE

DCBA

【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为1

2012120

2。

【例4】如图，长方形

ABCD的面积是

56平方厘米，点

E、

F、

G分别是长方形

ABCD边上的中点，

H为

AD

边上的任意一点，求阴影部分的面积。

H

G

FED

CBAH

G

FED

CBA

【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

连接

BH、

CH。

∵AEEB，

∴

AEHBEHSS

△△．

同理，

BFHCFHSS

△△，S=S

CGHDGH，

∴11

5628

22ABCDSS

阴影

长方形(平方厘米)．

【巩固】图中的E、

F、

G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部

分的面积是。

ED

G

C

FBA

6

5

4

321H

A

B

FCGD

E

【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把

H和这些分点以及正

方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是

在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右

边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形

的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这

3个阴影三角形的面积分别是

ABH、

BCH和

CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等

于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

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文案大全【例5】长方形ABCD的面积为362

cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

H

G

FED

CBA

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接

BH、HC，如下图：

H

G

FED

CBA

可得：1

2EHBAHBSS、1

2FHBCHBSS、1

2DHGDHCSS，而36

ABCDAHBCHBCHDSSSS

即11

()3618

22EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；

而

EHBBHFDHGEBFSSSSS

阴影，11111

()()364.5

22228EBFSBEBFABBC。

所以阴影部分的面积是：18184.513.5

EBFSS

阴影

解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

GA

B

CD

E

F(H)

这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111

3636363613.5

2222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS

阴影。

【例6】长方形

ABCD的面积为36，

E、

F、

G为各边中点，

H为

AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

H

G

FED

CBA

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文案大全(H)

G

FED

C

BA

H

G

FED

CBA

【解析】（法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），

那么阴影部分的面积就是

AEF与

ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形

ABCD

面积的1

8和1

4，所以阴影部分面积为长方形

ABCD面积的113

848，为3

3613.5

8。

（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。

可得：1

2EHBAHBSS、1

2FHBCHBSS、1

2DHGDHCSS，而36

ABCDAHBCHBCHDSSSS

，

即11

()3618

22EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；

而

EHBBHFDHGEBFSSSSS

阴影，11111

()()364.5

22228EBFSBEBFABBC。

所以阴影部分的面积是：18184.513.5

EBFSS

阴影。

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与

P点连接,求阴影部分面积。

PD

C

BAA

BCD(P)

PD

C

BA

【解析】（法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴

影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1

4和1

6，所以阴影部

分的面积为211

6()15

46平方厘米。

（法2）连接

PA、

PC。

由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积

之和等于正方形ABCD面积的1

4，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面

积的1

6，所以阴影部分的面积为211

6()15

46平方厘米。

【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD厘米，3DE厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC

面积的几倍？

E

DC

BA

【解析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED

是三角形EBC的高，

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小升初奥赛几何五大模型

小升初奥赛几何五大模型

几何五大模型

一、五大模型简介

（1）等积变换

①、等底等高的两个三角形面积相等

②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1

③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2

④、在一组平行线之间的等积变形，如图3

图1 图2 图3

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

解：S△ADC=12S△ABC=12×24=12

S△ADE=12S△ADC=12×12=6；S△DEF=12S△ADE=12×6=3

（2）鸟头（共角）定理模型

①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；

②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点

𝑆△ABC𝑆△ADE=𝐴𝐵×AC𝐴𝐷×AE

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

解：由题意知：S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE=52×53=256

∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50(平方厘米)

（3）蝴蝶模型

1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

① S2=S4(梯形两翼相等)

② S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab

③ 梯形S对应的分数为（a+b)2

例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

解：𝑆△AOB:𝑆△BOC=25:35=5:7

𝑆△AOB:𝑆△DOC=𝐴𝐵2:𝐷𝐶2=52:72=25：49

∴𝑆△DOC=49

小学小学数学几何五大模型使用方法（含考试典型例题）

小学小学数学几何五大模型使用方法（含考试典型例题）

小学小学数学几何五大模型使用方法（含考试典型例题）

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在学习小学数学的时候，几何模型算是比较新颖的一个模块，学生们熟练掌握五大面积模型，并掌握五大面积模型的各种变形，今天康康老师就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容，第二页还有例题分享，大家可以参考一下。

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如下图：

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；

反之，如果，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在中，D、E分别是AB、AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则

三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①

或者②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

2018四年级奥数.几何.三角形等高模型和鸟头模型(B级).学生版

2018四年级奥数.几何.三角形等高模型和鸟头模型(B级).学生版

MSDC模块化分级讲义体系四年级奥数.几何.三角形等高模型（A）.学生版Page1of

11

知识框架

板块一三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发

生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来

的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变

化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图

12::SSab

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图

ACDBCDSS

△△

；

反之，如果

ACDBCDSS

△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三角形等高模型和鸟头模型MSDC模块化分级讲义体系四年级奥数.几何.三角形等高模型（A）.学生版Page2of11板块二鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△

中，,DE

分别是,ABAC

上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC

上)，

则:():()

ABCADESSABACADAE

小学奥数之几何五大模型

小学奥数之几何五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::SSab

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCDSS=△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如图2)，则:():()ABCADESSABACADAE△△

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；

③梯形S的对应份数为2ab。

四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型 沙漏模型

①ADAEDEAFABACBCAG；

②22::ADEABCSSAFAG△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；