小学奥数-几何五大模型(等高模型)

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1

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::SSab

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCDSS=△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

五大模型

1S2S……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

2

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如图2)，则:():()ABCADESSABACADAE△△

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；

③梯形S的对应份数为2ab。

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3

....

.....

板塊一 三角形等高模型

我們已經知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高2

從這個公式我們可以發現：三角形面積的大小，取決於三角形底和高的乘積．

如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；

如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；

這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發生變化．但是，當三角形的底和高同時發生變化時，三角形的面積不一定變化．比如當高變為原來的3倍，底變為原來的13，則三角形面積與原來的一樣．這就是說：一個三角形的面積變化與否取決於它的高和底的乘積，而不僅僅取決於高或底的變化．同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數多個不同的形狀．

在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結論：

①等底等高的兩個三角形面積相等；

②兩個三角形高相等，面積比等於它們的底之比；

兩個三角形底相等，面積比等於它們的高之比；

如左圖12::SSab

s2s1baDCBA ③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，則可知直線AB平行於CD．

④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；

⑤三角形面積等於與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等於它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等於它們的高之比．

板塊二 鳥頭模型

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形． 例題精講

4-3-2.三角形等高模型與鳥頭模型 ....

..... 共角三角形的面積比等於對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．

如圖在ABC△中，,DE分別是,ABAC上的點如圖 ⑴(或D在BA的延長線上，E在AC上)，

則:():()ABCADESSABACADAE△△

模型三蝴蝶模型

（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S

4

S

3S

2S

1

OD

CBA

①

1243::SSSS

或者

1324SSSS

②

1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△

AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

DC

B

A

根据蝴蝶定理求得3121.5

AODS

△平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千

米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？

A

B

CD

G321

⑴根据蝴蝶定理，123

BGCS

，那么6

BGCS

；

⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的1

3，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

A

BCD

OHGA

BCD

O

在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条

件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件

:1:3

ABDBCDSS

，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知

条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造

这个”不良四边形”，于是可以作

AH垂直BD于

小学奥数几何五大模型

一、五大模型简介

（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比， 如图1所示，::ABDACDSSBDCD△△； 3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比， 如图2所示，::ACDBCDSSAEBF△△； 4、在一组平行线之间的等积变形， 如图3所示，ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则直线ABCD∥。

例、如图，ABC△的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求DEF△的面积。

解析：根据等积变换知，11241222ADCABCSS△△, 1112622ADEADCSS△△，116322DEFADESS△△。 图3图2图1FEB

DCAB

CDA

DCBA

FE

DCBA（2）鸟头模型（共角定理） 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。 如下图ABC△中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。

则有：ADEABCSADAESABAC△△。

我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知， ::ADEABESSADAB△△、::ABECBESSAECE△△，

所以:::ABEABCABEABECBESSSSSAEAC△△△△△。

因此ADEADEABEABCABEABCSSSADAEADAESSSABACABAC△△△△△△。

例、如图，在ABC△中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且:ABAD 5:2，:3:2AEEC，ADE△的面积为12平方厘米，求ABC△的面积。

ED

CBAED

CBA

ED

CBA

ED

CBA解析：根据鸟头模型可知：ABCADESABACSADAE△△，