小学奥数-几何五大模型(等高模型)
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小学奥数-几何五大模型(等高模型)
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模型一 三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图 12::SSab
baS2S1 DCBA ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；
反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
三角形等高模型与鸟头模型 小学奥数-几何五大模型(等高模型)
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【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
CEDBA FCDBA GDCBA ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
⑸⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形ABD的面积12高26高
三角形ABC的面积124（）高28高
三角形ADC的面积4高22高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的43倍；
三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。
ABCDEF
【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326(平方厘米)。
【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。 CDBA小学奥数-几何五大模型(等高模型)
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【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 。
FEDCBA
【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202。
【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。
HGFEDCBA HGFEDCBA
【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH、CH。
∵AEEB，
∴AEHBEHSS△△．
同理，BFHCFHSS△△，S=SCGHDGH，
∴11562822ABCDSS阴影长方形(平方厘米)．
【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 。
EDGCFBA 654321HABFCGDE
【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形小学奥数-几何五大模型(等高模型)
4 / 32 的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例 5】 长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
HGFEDCBA
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：
HGFEDCBA
可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS
即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；
而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。
所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影
解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，
那么图形就可变成右图：
GABCDEF(H)
这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS阴影。
【例 6】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
HGFEDCBA 小学奥数-几何五大模型(等高模型)
5 / 32 (H)GFEDCBA HGFEDCBA
【解析】 （法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的113848，为33613.58。
（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。
可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS，
即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；
而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。
所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影。
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积。
PDCBA ABCD(P) PDCBA
【解析】 （法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。
（法2）连接PA、PC。
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。
【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD厘米，3DE厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
EDCBA 小学奥数-几何五大模型(等高模型)
6 / 32 【解析】 因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积1226BCBC
三角形EBC的面积321.5BCBC
所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．
【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
FDECBA
【解析】 AEC、AFC、ABF．
【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
EDCBA
【解析】 3个，AEC、BED、DEC．
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
ODCBA
【解析】 ABD与ACD，ABC与DBC，ABO与DCO．
【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中3AEAB，2BDBC，三角形BDE
的面积是多少？
ABECDDCEBA
【解析】 连接CE，∵3AEAB，∴2BEAB，2BCEACBSS
又∵2BDBC，∴244BDEBCEABCSSS．
【例 10】 (2008年四中考题)如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是 平方厘米．
