小学奥数-几何五大模型(等高模型)
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小学奥数-几何五大模型（等高模型）
三角形等高模型与鸟头模型
模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时
1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来
3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图S1:S2a:b ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；
反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形。【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
B
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？A
BDC
【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A
点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积12高26高三角形ABC的面积（124）高28高三角形ADC的面积4高22高 4倍；3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的
【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面
积是平方厘米。
AEDBFC
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326(平方厘米)。
【巩固】(2022年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积
是平方厘米。
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也
等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则
它内部阴影部分的面积是
ABFDEC1【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为2012120。
2 【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。
AEBHDGAEBHDG
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH、CH。∵AEEB，∴S△AEHS△BEH．
同理，S△BFHS△CFH，SCGH=SDGH，
11∴S阴影S长方形ABCD5628(平方厘米)．
22FCFC
【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
分的面积是
ADGEBFCEBFA65431G2CHD
【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形
的面积和第5个第6个三角形相等。 因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例5】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
AHDEG
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：
HDAFBCEG
B111SAHB、SFHBSCHB、SDHGSDHC，而SABCDSAHBSCHBSCHD3622211即SEHBSBHFSDHG(SAHBSCHBSCHD)3618；
2211111而SEHBSBHFSDHGS阴影SEBF，SEBFBEBF(AB)(BC)364.5。
22228所以阴影部分的面积是：S阴影18SEBF184.513.5可得：SEHB解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，
那么图形就可变成右图：
AD(H)FC
EG
这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111S阴影SABCDSAEDSBEFSCFD3636363613.5。
2222222 【例6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
FCBAHDEGBFC
A(H)DAHDEGEGCFB【解析】（法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），
那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD111133面积的和，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的，为3613.5。
848884（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。
111可得：SEHBSAHB、SFHBSCHB、SDHGSDHC，而SABCDSAHBSCHBSCHD36，
22211即SEHBSBHFSDHG(SAHBSCHBSCHD)3618；
2211111而SEHBSBHFSDHGS阴影SEBF，SEBFBEBF(AB)(BC)364.5。
22228所以阴影部分的面积是：S阴影18SEBF184.513.5。
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P点连接,求阴影部分面积。
ADA(P)DADBFCPPCCBB
【解析】（法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴 11影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部
4611分的面积为62()15平方厘米。
46（法2）连接PA、PC。
BC由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
1之和等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面
4111积的，所以阴影部分的面积为62()15平方厘米。
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【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC
面积的几倍？
AEBDC
【解析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED
是三角形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积BC122BC6
三角形EBC的面积BC32BC1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍． 【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一
共有哪几个三角形？
FADEC
【解析】AEC、AFC、ABF．
【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共
有哪几个三角形？
ABE
【解析】3个，AEC、BED、DEC．
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
AODBDC
【解析】ABD与ACD，ABC与DBC，ABO与DCO．
【例9】(第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE3AB，BD2BC，三角形BDE
的面积是多少？
BBEAEACDCDBCEBC2SACB【解析】连接CE，∵AE3AB，∴BE2AB，S又∵BD2BC，∴SBDE
2SBCE4SABC4． 【例10】(2022年四中考题)如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米．
BDBDAEFC
AEFC
11【解析】连接CD．根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的，DAC的面积为ABC面积的，所
23111以DEF的面积为ABC面积的．而DEF的面积为5平方厘米，所以ABC的面积为
2361530(平方厘米)．6
【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF
长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
AEFBDC
SSABDABC【解析】ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有
所以SBD1,BC2SAFE11AE1=SABC18090(平方厘米)．同理有SABESABD9030(平方厘米)，22AD3FE3SABE3022.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．BE4ABD
【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求
三角形ZCY的面积．
