2020北师大版七年级数学下册1.5平方差公式同步练习含答案
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1.5平方差公式
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A. (𝑎+𝑏)(−𝑎−𝑏) B. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) C. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑑) D. (𝑎+𝑏)(2𝑎−𝑏)
2.计算(𝑎−2)(−𝑎−2)的结果正确的是( )
A. a2−4 B. a2−4a+4 C. 4−a2 D. 2−a2
3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (x−y)(−x+y) B. (−x+y)(−x−y)
C. (−x−y)(x−y) D. (x+y)(−x+y)
4.若𝑎+𝑏=1，则𝑎2−𝑏2+2𝑏的值为( )
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
5.下列算式能用平方差公式计算的是( )
A. (x−2)(x+1) B. (2x+y)(2y−x)
C. (−2x+y)(2x−y) D. (−x−1)(x−1)
6.如图，边长为2𝑚+3的正方形纸片剪出一个边长为𝑚+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为( )
A. 2m+6 B. 3m+6 C. 2m2+9m+6 D. 2m2+9m+9
7.已知𝑥−𝑦=1，𝑥+𝑦=3，则𝑦2−𝑥2=( )
A. 1 B. −1 C. 3 D. −3
8.已知𝑎−𝑏=3，则𝑎2−𝑏2−6𝑏的值为( )
A. 9 B. 6 C. 3 D. −3
9.设𝑎,𝑏,𝑐,𝑑都是自然数，且𝑎5=𝑏4,𝑐3=𝑑2,𝑎−𝑐=17，则𝑑−𝑏的值为( )
A. 289 B. 269 C. 243 D. 196
10.若三角形的底边长为2𝑎+1，高为2𝑎−1，则此三角形的面积为( )
A. 4a2−1 B. 4a2−4a+1 C. 4a2+4a+1 D. 2a2−12
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.计算：(2𝑥+𝑦)(2𝑥−𝑦)=_____．
12.计算：201722016×2018+1=______．
13.已知𝑎+𝑏=12，且𝑎2−𝑏2=48，则式子𝑎−𝑏的值是______．
14.若a，b互为相反数，则𝑎2−𝑏2=____________．
15.已知 (𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)=𝑥2−9，那么𝑎=______．
16.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24𝑐𝑚2，这个正方形的边长是______cm．
17.若𝑎+𝑏=4，𝑎−𝑏=1，则(𝑎+1)2−(𝑏−1)2的值为 ．
18.若𝑎+𝑏=3，则𝑎2−𝑏2+6𝑏的值为________．
19.如果有理数a、b同时满足(2𝑎+2𝑏+3)(2𝑎+2𝑏−3)=72，那么𝑎+𝑏的值为________．
20.式子3(22+1)(24+1)… (232+1)+1 计算结果的个位数字是__________
第2页，共10页 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.计算(𝑎−3𝑏)(𝑎+3𝑏)−(−𝑎−2𝑏)(𝑎−2𝑏)．
22.观察探索：
(𝑥−1)(𝑥+1)=𝑥2−1
(𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)=𝑥3−1
(𝑥−1)(𝑥3+𝑥2+𝑥+1)=𝑥4−1
(𝑥−1)(𝑥4+𝑥3+𝑥2+𝑥+1)=𝑥5−1
（1）根据规律填空：(𝑥−1)(𝑥𝑛+𝑥𝑛−1+⋯+𝑥+1)=______；
（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；
（3）试确定22017+22016+⋯+2+1的个位数字．
23.已知下列等式；(1)22−12=3；(2)32−22=5；(3)42−32=7，…
（1）请仔细观察，写出第4个式子；
（2）请你找出规律，并写出第n个式子；
（3）利用（2）中发现的规律计算；1+3+5+7+⋯+2005+2007．
24.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2𝑥(𝑥+𝑦)=2𝑥2+2𝑥𝑦就可以用图的面积表示．
（1）请写出图（2）所表示的代数恒等式：______；
（2）请写出图（3）所表示的代数恒等式：______；
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示(𝑥+𝑦)(𝑥+3𝑦)=𝑥2+4𝑥𝑦+3𝑦2．
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第4页，共10页 答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、(𝑎+𝑏)(−𝑎−𝑏)=−(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)两项都是相同，不能用平方差公式计算．故本选项错误；
B、(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项正确；
C、(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑑)中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项错误；
D、(𝑎+𝑏)(2𝑎−𝑏)中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项错误；
故选：B．
根据平方差公式(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2对各选项分别进行判断．
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
2.【答案】C
【解析】解：(𝑎−2)(−𝑎−2)=(−2)2−𝑎2=4−𝑎2．
故选C．
利用平方差公式计算即可．
本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2.掌握公式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、(𝑥−𝑦)(−𝑥+𝑦)=−(𝑥−𝑦)(𝑥−𝑦)，含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：∵𝑎+𝑏=1，
∴𝑎2−𝑏2+2𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)+2𝑏=𝑎−𝑏+2𝑏=𝑎+𝑏=1．
故选：C．
首先利用平方差公式，求得𝑎2−𝑏2+2𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)+2𝑏，继而求得答案．
此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．
5.【答案】D
第5页，共10页 【解析】解：能用平方差公式计算的是(−𝑥−1)(𝑥−1)=(−1)2−𝑥2=1−𝑥2，
故选D
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案．
【解答】
解：∵(2𝑚+3)2=4𝑚2+12𝑚+9，拼成的长方形一边长为m，
∴[4𝑚2+12𝑚+9−(𝑚+3)2]÷𝑚=3𝑚+6．
故另一边长为：3𝑚+6．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：∵𝑥−𝑦=1，𝑥+𝑦=3，
∴原式=(𝑦−𝑥)(𝑦+𝑥)=−(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=−3，
故选：D．
原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把原式化简，整体代入，两次利用平方差公式，即可得到结果．
【解答】
解：由𝑎−𝑏=3，
则原式=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)−6𝑏
=3(𝑎+𝑏)−6𝑏
=3𝑎+3𝑏−6𝑏
=3(𝑎−𝑏)
=3×3
=9，
故选A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
设𝑎=𝑚4，𝑏=𝑚5，𝑐=𝑛2，𝑑=𝑛3，这样a、b可用m的式子表示，c、d可用n的式第6页，共10页 子表示，减少字母的个数，减低问题的难度．
【解析】
解：由𝑎5=𝑏4，可知a必为一个4次方的数，b为5次方的数，
由𝑐3=𝑑2，可知c为2次方的数，d为3次方的数，
设𝑎=𝑚4，𝑏=𝑚5，𝑐=𝑛2，𝑑=𝑛3，
∵𝑎−𝑐=17，即𝑚4−𝑛2=(𝑚2+𝑛)(𝑚2−𝑛)=17，
且17是质数，𝑚2+𝑛，𝑚2−𝑛是自然数，𝑚2+𝑛>𝑚2−𝑛，
∴𝑚2+𝑛=17，𝑚2−𝑛=1，
∴𝑚=3，𝑛=8，
∴𝑑−𝑏=83−35=269．
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：三角形的面积为：12(2𝑎+1)(2𝑎−1)=2𝑎2−12，
故选：D．
利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列示求解即可．
本题考查了平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算．
11.【答案】4𝑥2−𝑦2
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.直接应用平方差公式计算即可．
【解答】
解：原式=(2𝑥)2−𝑦2
=4𝑥2−𝑦2．
故答案为4𝑥2−𝑦2．
12.【答案】1
【解析】解：原式=20172(2017−1)(2017+1)+1=2017220172=1，
故答案为：1．
首先利用平方差公式可得2016×2018=20172−1，再化简分母进而可得答案．
此题主要考查了平方差公式，关键是掌握(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2．
13.【答案】4
【解析】解：∵𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)，
∴48=12(𝑎−𝑏)，
∴𝑎−𝑏=4，
故答案为：4．
根据平方差公式即可求出答案．
