2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》解答专项练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》解答专项练习题（附答案）

1．计算：（x+3）（x﹣3）．

2．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．

3．运用乘法公式简便计算：

（1）198×202；

（2）9982﹣4．

4．计算：

（1）（2m﹣3n）（2m+3n）；

（2）（2a﹣5b）（5b+2a）；

（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）；

（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）．

5．化简：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）．

6．计算：

（1）（2x+y）（y﹣3x）

（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）

7．（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）

8．计算：2021×2023﹣20222+1．

9．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．

10．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）

11．（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）

12．观察下列式子．

①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8；

②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16；

③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24；

④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32．

（1）求212﹣192＝ ．

（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是 ，并给予证明．

13．如图，王大妈家有一块边长为a的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？

14．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

（1）图（1）中阴影部分的面积为 ，图（2）阴影部分面积为 ．

（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．（用式子表达）

（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）

15．先阅读理解，在解答问题．

如何计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以（2﹣1），所以原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．

试用上述方法求（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1的值．

16．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：

（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？

（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？

17．某同学在计算2×（3+1）（32+1）时，把2写成（3﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式，计算2（3+1）（32+1）＝（3﹣1）（3+1）（32+1）＝（32﹣1）（32+1）＝34﹣1＝80

请借鉴该同学的经验计算

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

（2）（1+）（1+）（1+）（1+）+． 18．观察下列等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…这些等式反映了正整数的某种规律．

（1）设n为正整数，试用含n的式子，表示你发现的规律；

（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律．

19．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．

（1）上述操作能验证的公式是 ；

（2）请应用这个公式完成下列各题：

①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；

②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．

20．探究

如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）

应用：请应用这个公式完成下列各题：

（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．

（2）计算：20222﹣2023×2021．

拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

参考答案

1．解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9．

2．解：（a+3b）（a﹣3b）

＝a2﹣（3b）2

＝a2﹣9b2．

3．解：（1）198×202＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；

（2）9982﹣4＝9982﹣22＝（998+2）（998﹣2）＝1000×996＝996000．

4．解：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）

＝（2m）2﹣（3n）2

＝4m2﹣9n2；

（2）（2a﹣5b）（5b+2a）

＝（2a）2﹣（5b）2

＝4a2﹣25b2；

（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）

＝（﹣2）2﹣（3x）2

＝4﹣9x2；

（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）

＝（﹣y）2﹣（x）2

＝y2﹣x2．

5．解：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）

＝（﹣2b+3a）（﹣2b﹣3a）

＝（﹣2b）2﹣（3a）2

＝4b2﹣9a2．

6．解：（1）（2x+y）（y﹣3x）

＝﹣6x2﹣3xy+2xy+y2

＝﹣6x2﹣xy+y2；

（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）

＝﹣a2+b2． 7．解：（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝0.04x2﹣0.09．

8．解：原式＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222+1

＝20222﹣1﹣20222+1

＝0．

9．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）

＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5

＝﹣4y+1．

10．解：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）

＝x2﹣9﹣（x2﹣x﹣2）

＝x2﹣9﹣x2+x+2）

＝x﹣7

11．解：原式＝4x2﹣25﹣4x2+4x+3＝4x﹣22．

12．解：（1）212﹣192＝（21+19）×（21﹣19）＝40×2＝80；

（2）这两个数和的2倍

证明：设n为正整数，

（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝[（2n+1）+（2n﹣1）]×2

∴任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍．

故答案为：（1）80；（2）这两个数和的2倍．

13．解：李大爷吃亏了．

原来正方形地的面积a2，当一边减少4，另一边增加4时，面积为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，

因为a2﹣16＜a2，

所以李大爷吃亏了．

14．解：（1）图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b）；

故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）（a+b）；

（2）∵图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b），

则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．

故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；

（2）102×98

＝（100+2）（100﹣2） ＝1002﹣22

＝10000﹣4

＝9996．

15．解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1

＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1

＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1

＝×（316﹣1）﹣1

＝﹣﹣1

＝．

16．解：（1）改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b．

∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝4a2+4ab﹣3b2．

答：改造后的面积为：（4a2+4ab﹣3b2）平方米．

故答案为：4a2+4ab﹣3b2．

（2）改造前的面积为：（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．

∵4a2+4ab+b2﹣（4a2+4ab﹣3b2）＝4b2＞0．

∴改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．

故答案为：改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．

17．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）

＝（24﹣1）（24+1）（28+1）

＝（28﹣1）（28+1）

＝216﹣1

＝65536﹣1

＝65535；

（2）原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+ ＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+

＝2（1﹣）（1+）（1+）+

＝2（1﹣）（1+）+

＝2（1﹣）+

＝2．

18．解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；

（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2

＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）

＝8n；

即（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，

故两个连续奇数的平方差是8的倍数．

19．解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，

图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），

所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（2）①∵4a2﹣b2＝24，

∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，

又∵2a+b＝6，

∴2a﹣b＝24÷6＝4，

故答案为：4；

②原式＝

＝

＝

＝．