32、三阶幻方

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.; 填写3阶幻方的口诀：

1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。

1 居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中；

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；

上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；

右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；

重复便在下格填——如果数字｛N｝ 右上的格子已被其它数字占领，就将｛N＋1｝ 填写在｛N｝下面的格子中；

出角重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

3阶幻方不止这一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。

3阶幻方（九宫格）的填法如下8种：

1 三阶幻方

同学们：

在33（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在44（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答

例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

abcdefghi 图1 图2

分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）：

（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：

幻和()1234567893

45315

（3）选择突破口，显然是e，看图2。

因为：aeibehcegdef15

所以：()()()()aeibehcegdef

1515151560

第四讲 三阶幻方

将3×3（三行三列）的正方形方格中，按一定规律既不重复又不遗漏地填入九个正整数，使得每行、每列、每条对角线上的三个正整数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方，也叫九宫图。

1、 使每行、每列、每条对角线上的三个正整数之和叫做幻和，一个幻方的幻和一定相等。

2、 九个正整数的中间一个数必定排在幻方的中心。

3、 幻和＝中心数e×3，且d＋b＝ 2i，h＋f＝ 2a，b＋f＝ 2g，d＋h＝ 2c。

a b c

d e f

g h i

4、 另外还有四阶幻方、五阶幻方……直至任意阶幻方。

1、了解幻方的基本特点；

2、学会用杨辉法填三阶幻方

3、了解祖国的灿烂文化，感受数学的奇妙，提高学习数学的兴趣。

如图的九个方格内已填入一个数，请在其余的八个空格内填上其他的数，使得九个方格内是九个连续自然数，并且横行、竖行及对角线上的三个数的和都相等。那么，所填入八个数之和是多少？

【解析】根据题意，10应该是横行、竖行及对角线上每三个数的平均数，所以横行、竖行及对角线上三个数的和是10×3＝30，所以三行九个数的和是30×3＝90，所以填入的八个数的和即可求出。

解答：30×3-10＝80。

把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

【解析】方法一：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3＝15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还

一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用

三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。中心数为5。

例题一 用1，2，3，4，5，6，7，8，9填入三阶幻方中，使横竖斜的和相等。

例题一

解析

（1）1，2，3，4，5，6，7，8，9为公差是1的等差数列，求和：

1+2+3+4+......+9=(1+9)×9÷2=45

等差数列和=(首项+末项）×项数÷2

（2）求出横竖斜的和为：

45÷3=15

（3）求出中间数为：

15÷3=5

例题一 （4）列出3个数相加和为15的算式

1+5+9 1+6+8

2+5+82+4+9

3+5+7 2+6+7

4+5+6 3+4+8

例题一

（5）◉在横竖斜中都会共用3次，看上面算式出现3次的有2，4，6，8由2+5+8，4+5+6两个算式可以看出2和8、4和6应分列对角。

例题一

（6）按横竖斜的和为15将剩余空填满

例题一

例题二 用1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25填入9宫格，是横竖斜的和相等。 例题二

解析

（1）1， 4， 7 ，10， 13， 16 ，19 ，22， 25 为公差是3的等差数列；例一中的1，2，3，4，5，6，7，8，9 为公差是1的等差数列。

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4 7 10 13 16 19 22 25

对照前一个三阶幻方数字位置可以直接填出

例题二

这里来前面的方法验证一下：

1+4+7+……+25=26×9÷2=117

可求出横竖斜的和117÷3=39

中间数为39÷3=13

例题二 列出3个数相加和为45的算式

1+13+25 1+16+22

4+13+224+16+19

7+13+19 4+10+25

10+13+16 7+10+22