趣谈三阶幻方

趣谈三阶幻方

王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)

一、什么是三阶幻方

把9个自然数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的和都相等,这样的方阵就叫做三阶幻方。相等的和叫做幻和。

传说古代夏禹治水时，洛水出了个神龟，背上刻有文字，大禹就照此写出了《洪范.

九筹》(治国的九种大法)。

实际上，神龟背上刻的文字，就是三阶幻方，也叫九宫图。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”,有诗赞美九宫:

四海三山八洞仙，

九龙五子一枝莲。

二七六郎赏月半，

周围十五月团圆。

根据数学史家考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的《大戴礼记》中。汉朝徐岳把它叫做“九宫算”，后人的注解是：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。”宋代数学家杨辉把九宫算叫做“纵横图”。公元15世纪，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我国的“纵横图”介绍到欧洲，并取名为“幻方”。

古印度有许多少女在胸前佩戴一个三阶幻方，当做“护身符”，认为这样可以“避邪”。也有人把它贴在门板上，“驱邪避灾”(中世纪的欧洲也有这种习惯)。

金庸大侠还把三阶幻方写进他的的小说《射雕英雄传》中：一天, 黄蓉被裘千仞的铁掌所伤，几乎致命。郭靖带着她去找“神算子”瑛姑求医。两人在一片泥沼中七弯八拐，闯过重重机关终于来到了神算子的门前。只见屋里一白发女子正凝神细算一道题，黄蓉暗点算

子数目，报出了得数。那女子惊诧之余，拿出自己深思多日的一些题目，黄蓉均一一破解。那女子呆了半晌问道：“你是人吗？”

接着白发女子又甩出一招：“将一至九这九个数字排成三行三列，不论纵横斜角，每三数相加都是十五，如何排法？” 病黄蓉低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。闻听此言，那女子面如死灰。

正是在这段有名的“九宫阵”里，金庸先生将黄蓉的聪敏机智刻画得淋漓尽致。

二、数学教材中的三阶幻方

人教版和北师大版小学数学教材及人教版初中数学教材有三阶幻方的内容，这是对数学文化的传承与发扬。

这是人教版课标教材小学数学一年级上册第120页第10题。这是一个三阶幻方。

这是人教版课标教材小学数学二年级上册第30页第9题。这是一个三阶幻方。

这是北师大版小学数学教材二年级上册第9页的思考题。这是一个三阶幻方问题。

这是人教版课标教材小学数学一年级下册第77页思考题。这是一个三阶幻方问题。

这是人教版初中数学教材七年级上册第21页的内容。

三、如何制作三阶幻方

如何制作三阶幻方？

宋代数学家和数学教育家杨辉提出制作三阶幻方的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”

例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9制作一个三阶幻方。

根据“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”制作。

(九子斜排) (上下对易) (左右相更) (四维挺出)

但是,“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”有很大的局限性(可以推出：当“最小数”×2 +“中位数”<“第二小数”×3时, “杨辉方法”制作三阶幻方失效)，对用1、4、6、7、9、11、12、14、17制作一个三阶幻方就不适用，这里给出能引发学生思考的“制作三阶幻方的通法”(见文[1])。

例2 用1、4、6、7、9、11、12、14、17制作一个三阶幻方。

1.求幻和：(1+4+6+7+9+11+12+14+17)÷3=27。

2.拆幻和：27=17+1+9=17+4+6=14+1+12=14+4+9=14+6+7=12+4+11=12+6+9=11+7+9。

3.统计：

所给数 1 4 6 7 9 11 12 14 17

出现次数 2 3 3 2 4 2 3 3 2

4.填幻方：首先确定最中间数(统计中出现4次的数)，其次确定四角数(统计中出现3次的数)，最后填出三阶幻方。

9

4 2

7 5 3

8 6

1 1

4 2

7 5 3

8 6

9 4 9 2

3 5 7

8 1 6 9

4 2

3 5 7

8 6

1

9

(确定中间数) (确定四角数) (三阶幻方)

实际上，根据数的大小位置，也能快速制作出三阶幻方:三阶幻方九宫数，一行中间最小数，二行中央中位数，三行最右二小数(第二小的数称为“二小数”)，幻和中位三倍数(幻和是中位数的3倍)，由此推出空格数(这是笔者2013年找到的制作三阶幻方新的通用方法，原理见文[2])。

例3 用1、4、6、7、9、11、12、14、17制作一个三阶幻方。

对1、4、6、7、9、11、12、14、17来说，9是中位数，1是最小数，4是二小数。所以，1在第一行第二列，9在第二行第二列，4在第三行第三列，由幻和是9×3=27可知，第一行第一列填9×2－4=14，第一行第三列填27－14－1=12，第三行第一列填9×2－12=6，第三行第二列填9×2－1=17，第二行第一列填27－14－6=7，第二行第三列填27－12－4=11。三阶幻方制作完成。

例4 用9、15、21、24、30、36、39、45、51制作一个三阶幻方。

对9、15、21、24、30、36、39、45、51来说，30是中位数，9是最小数，15是二小数。所以9在第一行第二列，30在第二行第二列，15在第三行第三列，由幻和是30×3=90可知，第一行第一列填30×2－15=45，第一行第三列填90－45－9=36，第三行第一列填30×2－36=24，第三行第二列填30×2－9=51，第二行第一列填90－45－24=21，第二行第三列填90－36－15=39。三阶幻方制作完成。

四、以“三阶幻方”为内容的诗词

著名数学家华罗庚曾设想：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好在太空飞船中带去两个图形------表示“数”的洛书(三阶幻方)与表示“数形关系”的勾股定理图。

著名科普作家谈祥柏称赞三阶幻方：九宫妙算棋，中国传统文化的奇葩，启迪智慧的源泉，少年儿童的数学乐园。

我省幻方研究专家高治源教授在《九宫图探秘》一书中介绍了以“三阶幻方”为内容的诗词：鸟语花香，英雄奇才，数字之美，纪念领袖等诗词。

4 17 6

11 9 7

12 1 14 4 6

9

12 14

1

9

4 14 1 12

7 9 11

6 17 4

9

30

15 45 9 36

21 30 39

24 51 15 鸟语花香

四季九花二重开

三杨五柳七处栽

八哥一唱六鸟应

九宫奇境仙人来

英雄奇才

八方三才游四海

一将五战赢九怪

六女七拜杨二郎

九宫奇才谁不爱

4 9 2

3 5 7

8 1 6

8 3 4

1 5 9

6 7 2 数字之美

点六一八黄金比

数七五三差等级

二数除九余加四

十全十美真巧奇

(618、753除以9都余6, 6+4=10)

纪念领袖

四祝三八妇女节

九庆五一劳动节

二节逢上七六年

痛失领袖太悲切

参考文献：

[1].王凯成，制作三阶幻方的通法，中学数学教学参考[J]，2005年第4期.

[2].王凯成，依据数的大小位置快速制作三阶幻方，中学数学教学参考初中版[J]，2014年第5期.

[3].高治源，九宫图探秘，香港天马图书有限公司[M]，2004年1月第1版.

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7 5 3

2 9 4

4 3 8

9 5 1

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