三阶幻方

三阶幻方——四年级

三阶幻方——四年级

一、教学目标：

1、初步认识三阶幻方得起源与它得特征。

2、会根据三阶幻方得特征填写幻方。

3、学会自己构造一个三阶幻方。

*4、掌握并学会三阶幻方得另七个不同构造方法。

二、教学过程：

（一）引入：

1、介绍三阶幻方得起源：

传说在很久很久以前，洛阳得洛水一带浮出一只神龟，龟背上驮着一幅图。这幅图上都用圆点来表示一组数字，后来，经过人们研究发现：图中用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横得每行相加、竖得每列相加以及对角线相加，其与都等于15。后来人们把龟背上得那幅称为“洛书”。 “洛书”就就是我国最早得一个三阶幻方。

2、揭示课题：

——三阶幻方得认识

（二）新授：

1、前言：

三阶幻方就是一个蕴涵无穷知识得数学习题，又称“九宫格”或“九宫与阵”。今天我们就来仔细认真地来研究它。

2、介绍三阶幻方得特征：

（1）小组交流，从图中您可以发现哪些规律？

（2）师生交流特征：

幻与=中间数×3

师：幻与就是指每行或每列三个数字得与。

与中间数对应得上下、左右、或对角线得两个数字得与=

中间数×2

角上得数字=对角相邻得两个数字与÷2 三阶幻方——四年级

（3）小结：

师：要掌握三阶幻方得相关知识，首先要了解它得三个特征。……

3、学习三阶幻方得填法：

（1）出示例题1：

师：独立完成这道题目，瞧哪位同学能根据刚才所学得幻方得特征来填写完整这个幻方。

（2）师生交流核对：

（3）练习：

（4）核对交流，讨论填写得方法，运用了哪条特征。

——运用了特征1、2。

（5）出示例题2：

师：这道题目在原先得基础上变化了一下，您能补充完整吗？

——学生独立完成，然后小组交流自己得想法。

（6）师生共同交流研究：

——运用了三阶幻方得第三个特征。

（7）练习：

（8）师生核对：

（9）小结：

4、用所给得数据构造一个三阶幻方：

三阶幻方的讲解

在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！

雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间

先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和

幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3 =45÷3

=15

（3）选择解题突破口

突破口显然是e，在图2中，

因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，

所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）

三年级奥数教程第12讲三阶幻方

三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．

例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．

图12-1

分析与解 1+2+„+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．

从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是

9+5+1，9+4+2，

8+6+1，8+5+2，

8+4+3，7+6+2，

7+5+3．6+5+4

这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、

6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图

所示．

8 1 6

3 5 7

4 9 2

图12-2

说明 除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．

随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．

例2、将1，3，5，7，„17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．

分析与解将图12—2中的1，2，3，„，9分别用1，3，5，„，17代替，得到图12—3．

它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．

15 1 11

5 9 13

7 17 3

图12-3

随堂练习2 将2，4，6，„，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．

例3、 如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?

1 613237111218选讲2 三阶幻方的性质

一、 知识点整理：

性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；

性质2：幻方的中心数为数列的中间数；

性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；

性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；

性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；

性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；

性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

二、精讲精练

例1：请你将2---10这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。

2 100199557☆101练习1

在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.

例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（1） 如下左图所示，求x；

（2） 如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在（1）的基础上完成填图。

19x95

练习2

下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少？