江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考试题+数学+Word版含解析

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2＜x＜0}，则A∩B＝A．{－1} B．{－1，0} C．{x|－2＜x＜0} D．{x|－2＜x≤0}2．若复数z的共轭复数z满足i⋅z＝4＋3i（其中i为虚数单位），则z z⋅的值为A7B．5C．7D．25 3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是A．城镇人口与年份星现正相关B．乡村人口与年份的相关系数r接近1C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为A．B．C．D．5．若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为A．13B．33C．23D636．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A 33322a ba b+<B 22a ba b+< C ．22222a b a b ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．33322a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭7．在数列{a n }中，()()111sin sin 10n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为A ．518B ．13C ．718D ．49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则 A ．114a b+≤B ．2222a b+≥C ．log 2a ＋log 2b ≤－2D ．1sin sin 2sin2a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝f （x ）C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形D ．函数()()g x y f x =在R 上单调递增11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3B ．f （p ）的常数项为3C ．1435f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是 A ．MG 的最小值为36B ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆C ．若156MA =M 的轨迹围成图形的面积为12π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6x x ⎛- ⎝的展开式中，常数项为 ．14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，B 10φ＝ ．15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下： 由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅，从而()()21232323213n n n S n +=--⨯++⨯+-⋅，所以()1133n n S n +=-⋅+，始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若m 为正整数，记集合22n nn a a m a ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和．18．（本小题满分12分）在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落．（1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望；（2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23C B π-=，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）．（1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 22．（本小题满分12分）若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称()()()00,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知()323122x f x ax x x =-+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t的取值范围；（2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022-2023学年第一学期12月联合调研高三数学答案及其解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 2．【答案】D【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C【解析】由题意得22245109436b b a a a ⎧⎧==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以226c a b =-=，故椭圆离心率为23c e a == 6．【答案】D 7．【答案】C 【解析】()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+==-21sin 10n a =，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为110，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯≤，所以110n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C 8．【答案】B【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫=+=++⎪++⎝⎭，由P 在内切圆上，故APm n m n AB AC m n m n +=⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，则11cos 16A =，所以BC 边上高为15h =圆半径15r =，故由平行线等比关系，可得213h r m n h -+=≥，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BCD 【解析】选项A ，应该是114a b+≥，B ：22221a ba b+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22a ba b ++=-≤，C 正确；D ：1sin sin 2sincos 2sin 222a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()f xg x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()()220'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥∠⎣⎦或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦()03f =，13328f B ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，D 正确； 求导或根据()f p 关于12对称，且p 越极端，越可能快结束，有11412352--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 11223MG AG =≥，A 正确； B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确； C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2151612MA HM =⇒=，故C 正确；D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1sin 23θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误； 综上所述，答案为ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】15【解析】展开式的通项为()()36621661rr rr Tr C x C x x --+⎛==- ⎝，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】56π【解析】如图，因为()f x 的周期为242T ππ==，所以22T CD ==，22TCD ==，所以22AB AC BC +22410M =+=解得3M =所以()32f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()3032f ϕ==，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56π，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56πϕ=． 15．【答案】()2113n n n +-+⋅【解析】2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②②－①()()()222222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅++--⋅+⋅⎣⎦()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅所以()212313n n T n n ++=-+⋅16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2221,3f x a fx f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 解析：（1）()()()()()111212221212nn n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥11111n n a a a n n -===⇒=- （2）2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭≤≤≤， 因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ 为正方形，2BQ NC a ==，因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形， 因为226AN AB BN a =+，2222MN MQ QN a =+=，所以22228AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，226MB MC MQ QB a ==+=，2BN CN a ==，22MN a =，所以2MNB MNC π∠=∠=所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN 上的高626222a a h a==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，∠BPC 即为二面角B -MN -C 的平面角，6BP CP ==，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222341cos 233BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯， 二面角B -MN -C 的余弦值为13- 19．（本小题满分12分） 【解析】（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，12C()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，随机变量X 的分布列如下表：X 012P110 610 310随机变量X 的期望为()012 1.2101010E X =⨯+⨯+⨯= 法二：随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26355E X =⨯= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2225110C P AA C ==，()2225110C P BB C ==，()112225410C C P AB C ⋅==，()112125210C C P AC C ⋅==，()112125210C C P BC C ⋅==， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为()()()()()()()11413125525P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，法二：掉下的两个字不同的概率为1020.810p -==， 所以标语恢复原样的概率为()110.62p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）()112123333CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所以()22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒⎪⎝⎭1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）法一：因为23C B π-=，所以562A C π=-，62AB π=-， 因为2c b =，sin 2sinC B =，则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得3tan 29A =， 所以22tan332sin 141tan 2AA A ==+ 故面积为133sin 2S bc A == 法二：因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23C B π-=， 所以23sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭①， 联立22sin cos 1B B +=②解得3sin 27cos 27B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以3sin 2sin 7C B ==232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则2cos 1sin 7C C =-=所以()33sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+=所以△ABC 的面积为133sin 214ABC S bc A ∆==． 21．（本小题满分12分）【解析】 （1）设()2,2P t t ，则()222212411PQ PC t t --+-≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切， 2241k r k -=+，即()222416160r k k r --+-=，① 设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为： ()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．22．（本小题满分12分）【解析】 （1）（ⅰ）()21'332f x ax a =-+，()[]'1lng x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -=， 故解得：1a =，12b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--，代入得1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x e ⎛∈ ⎝， 故题意进一步化简23x e ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立， 23x e ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-， 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x e ∈，()q x 单调递增，故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。

2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()2,02,3A B ､，直线l 过定点()1,2P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A .21k -≤≤ B.112k -≤≤C.12k ≤-或1k ≥ D.2k ≤-或1k ≥2.若圆()2221:(4)0O x y r r ++=>与圆222:(2)9O x y -+=相切，则r =（）A.6B.3或6C.9D.3或93.已知直线1:10l x y -+=，2:210l x y --=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（）A.3410x y --=B.3410x y -+=C.4310x y --= D.4310x y -+=4.若点(),P a b 在圆221C x y +=：内，则直线1ax by +=与圆C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定5.圆心为(2,1)M -，且与直线2+1=0x y -相切的圆的方程为（）A.22(2)(1)5x y -+-= B.22(2)(1)5x y -++=C.22(2)(1)25x y -++= D.22(2)(1)25x y -+-=6.已知圆224x y +=上有四个点到直线y x b =+的距离等于1，则实数b 的取值范围为（）A.()2,2- B.(C.()1-- D.()1,1-7.已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（）A .1或3- B.1C.3D.1-或38.若圆22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<与圆22:240N x y x y +--=交于A B ､两点，则tan ANB ∠的最大值为（）A.34B.5C.45D.43二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若直线:2cos 0l x y θ-⋅=与圆22:10E x y +--=交于两点,A B ，则（）A.圆E 的圆心坐标为()-B.圆E 的半径为3C.当1cos 2θ=时，直线l 的倾斜角为π4D.AB 的取值范围是1,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知点P 在22:4O x y += 上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离最大值是125B.满足AP BP ⊥的点P 有2个C.过直线AB 上任意一点作O 的两条切线，切点分别为,M N ，则直线MN 过定点4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2PA PB +的最小值为11.设直线系:cos sin 1m nM x y θθ+=（其中,,m n θ均为参数，{}02π,,1,2m n θ≤≤∈），则下列命题中是真命题的是（）A.当1,1m n ==时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B.当2,1m n ==时，若存在一点(),0A a ，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤C.存在,m n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限D.当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线:1l x my =--，圆22:6890O x y x y ++++=，写出满足“对于直线l 上任意一点A ，在圆O上总存在点B 使得π2ABO ∠=”的m 的一个值______．13.已知二次函数()()223411y x m x m m =+---∈R 与x 轴交于,A B 两点，点()1,3C ，圆G 过,,A B C三点，存在一条定直线l 被圆G 截得的弦长为定值，则该定值为__________.14.如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B两点）上的一个动点，,3,2PB AB AB PB ⊥==，则1)3AP BA QC +⋅（的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:280l m x my ++-=与直线2:40,R l mx y m +-=∈．（1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．16.已知C ：()()22124x y -+-=及经过点()1,1P --的直线l .（1）当l 平分C 时，求直线l 的方程；（2）当l 与C 相切时，求直线l 的方程.17.如图，已知(()(),0,0,12,0A B C ，直线(():20l k x y k k +--=∈R .（1）若直线l 等分ABC V 的面积，求直线l 的一般式方程；（2）若(2,P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）､AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程.18.已知圆M 与直线340x -+=相切于点(，圆心M 在x 轴上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于,P Q两点，当PQ =数m 的值；（3）过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 分别与直线8x =相交于,C D 两点，记,OAB OCD 的面积为12,S S ，求12S S 的最大值.19.在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】3-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）1m =-（2）10x y -+=或20x y -=【16题答案】【答案】（1）3210x y -+=（2）1x =-或51270x y --=.【17题答案】【答案】（1170y +-=；（2）2100x -=.【18题答案】【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）23m =-.（3）14.【19题答案】【答案】（1）23；（2）4；（3）证明见解析.。

数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．命题“1,-=∈∃x e R x x”的否定是 ．2．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是 ．4．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ． 【答案】1cos x -. 【解析】试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填1cos x -.正弦函数的导数是余弦函数. 考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3， 4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为,x y．则x y≠的概率为．6．若双曲线221yxm-=的离心率为2，则m的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】9 10.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占910.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.y =1/x3y=xxy考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）10．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ．12． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线， 则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）． 考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)xef x f e >的解集是 ．14．已知椭圆E ：2214x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ． 【答案】4. 【解析】3.i)当直线AB 与x 轴垂直的时候ABCD 为矩形面积为23当直线AB 不垂直x 轴时假设直线:(3).:(3)AB CD l y k x l y k x ==.A （11,x y ），B （22,x y ）.所以直线AB 与直线CD 的距离2231kk +.又有22(3)44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩.消去y 可得：2222(41)831240x k k x k +-+-=.2212122834(31)41k k x x x x k -+==+.所以2222222834(31)4(1)()4414141k k k AB k k k -+=-⨯=+++.所以平行四边形的面积S=422283(41)k k k ++2k t =.所以2218383641681169(81)1081t tS t t t t +==++--++-.因为810t -≥时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）求实数m 的取值组成的集合M ，使当M m ∈时，“q p 或”为真，“q p 且”为假． 其中:p 方程012=+-mx x 有两个不相等的负根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实数根．:真q ,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即.31<<m …………………10 分①假：真q p ;2-<m②假：真p q .31<<m …………………13分 综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点3(0,)a 的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ．（1）若1a =，求矩形ABCD 面积；（2）若(0,2)a ∈，求矩形ABCD 面积的最大值．（2）设切点为00(,)x y ，则200y ax =-,因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，18．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面， 且31AB BC CA AD CD =====，． (1)求证：1BD AA ⊥;(2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求BEEC的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）1BEEC= 【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD 全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD 对称.所以可得BD AC ⊥.再由面面垂直即可得直线BD 垂直于平面11ACC A .从而可得1BD AA ⊥.19．（本小题满分16分） 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且在x 轴上方，212,PF F F ⊥ 2111,,32PF PF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆Q 的截y 轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l 上任一点A 引圆Q 的两条切线，切点分别为,M N ．试探究直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴11e λλ-=+,在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． ∴12λ=时，2e 最小13，13λ=时，2e 最大12，∴21132e ≤≤32e ≤≤． (2) 当2e =2c a =，∴2c b ==，∴222b a =． ∵212PF F F ⊥,∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴4,22a c b ===．∴椭圆方程是221168x y += -------10分20．（本小题满分16分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ．（1）当4-=a 时，求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．（3）若0>a ，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()212111x x x f x f -≤-， 求实数a 的取值范围.【答案】（1）4)()(2max -==e e f x f .e x =；（2）e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根. 2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根. e a 2->时，方程()0=x f 有0个根.（3）221e ea -≤∴.（2）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，方程x x a ln 2=-根的个数． 设()x g =x x ln 2， xx x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当()e x ,1∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 递减，当]e e x ,(∈时，0)(>'x g ，函数)(x g 递增．又2)(e e g =，e e g 2)(=，作出)(x g y =与直线a y -=的图像，由图像知：当22e a e ≤-<时，即e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根；当2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根；当e a 2->时，方程()0=x f 有0个根； -------10分（3）当0>a 时，)(x f 在],1[e x ∈时是增函数，又函数xy 1=是减函数，不妨设e x x ≤≤≤211，则()()212111x x x f x f -≤-等211211)()(x x x f x f -≤-。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.直线＝的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2. 已知直线与直线互相垂直，则 A.或B.C.D.3. 直线＝和圆＝相交于，两点，则＝（ ）A.B. C.D.4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线＝相切的所有圆中，半径最大的圆的面积为（ ）A. B.3x+y +m 0(m ∈R)30∘60∘120∘150∘ax +y −1=0x +ay −1=0a =()1−11−10l :x −2y −10M :+−4x −6y +4x 2y 20A B |AB |246xOy O mx −y −m −10(m ∈R)ππD.5. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有( )A.条B.条C.条D.条6. 是圆＝上的动点，则到直线的最短距离为（ ）A.B.C.D.7. 已知圆：＝，若圆上恰有个点到直线＝的距离为，则实数的值为（ ） A. B.C. D.8. 若圆与圆内切，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 直线与圆相交于，两点，若，则的取值可以是()3πA (16，6)++16x −12y −525=0x 2y 236377274P M :+(y −3x 2)24P 5321C (x −1+(y −1)2)2(r >0)r 2C 3x +y +20r 2364:+−2ax +−9=0(a ∈R)C 1x 2y 2a 2:+C 2x 2+2by +−1=0(b ∈R)y 2b 2ab 2–√2422–√y =kx +3(x −3+(y −2=4)2)2M N MN ≥23–√kB.C.D.10. 下列叙述正确的是( )A.点在圆外B.圆在处的切线方程为C.圆 上有且仅有个点到直线的距离等于D.曲线与曲线相切11. 若，则方程表示的曲线形状可以是()A.两条直线B.椭圆C.圆D.抛物线12. 已知圆＝，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）A.四边形周长的最小值为B.的最大值为C.若，则三角形的面积为D.若（，，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 方程表示的图形是________．−1201P (m,3)+=2(x −2)2(y −1)2+=1x 2y 2(,)123–√2x +y =23–√+=1x 2y 23l :x −y +1=02–√2–√12:++2x =0C 1x 2y 2:+−4x −8y −5=0C 2x 2y 2α∈[0,π]+cos α=1x 2y 2M :+(y −2x 2)21P x P M A B AB MP C PAMB 2+|AB |2P(1,0)PAB Q 0)|CQ |4−+6x −3y =0x 2y 2(x −3+(y +5=)2)2214. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是________.15. 若直线平分圆的周长，则的值为________.16. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 中，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．求顶点的坐标；求直线的方程．18. 已知点，动点满足.若点为曲线，求此曲线的方程；已知直线在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线只有一个公共点，求直线的方程. 19. 已知圆，直线．（1）求证：直线恒过定点；（2）判断直线与圆的位置关系；（3）当时，求直线被圆截得的弦长．20. 设平面内三点．求；设向量与的夹角为，求．21. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点．（1）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（2）过原点的直线交椭圆于点，，若的面积为，求直线的斜率．22. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若不经过点的直线与椭圆交于、两点且与圆相切，试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．(x −3+(y +5=)2)2r 24x −3y −2=01r 2x +by −4=0+−2x +4y +=0x 2y 23–√b f (x)=+1x 23x +1y =f (x)(−1,f (−1))△ABC A(3,−1)AB CM 6x +10y −59=0∠B BT x −4y +10=0(1)B (2)BC A(−4,0),B(2,0)P |PA|=2|PB|(1)P C (2)l (1)C l C :(x −1+(y −2=25)2)2l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(m ∈R)l l C m =0l C A (1,0),B (0,1),C (2,5)(1)|2+|AB −→−AC −→−(2)AB AC −→−θcos θxOy F(−,0)3–√D(0,1)A (1,)12P PA M O B C △ABC 2–√BC k C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F M FM −2–√2FM 6–√3C F l :y =kx +m(k <0,m >0)C A B +=1x 2y 2△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于的方程得答案．【解答】解：∵直线与直线互相垂直，∴，即，解得：．故选：．3.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系a ax +y −1=0x +ay −1=01×a +1×a =02a =0a =0D直线与圆相交的性质【解析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理求弦长．【解答】由圆＝，得＝，则圆心．圆心到直线＝的距离＝，∴＝．4.【答案】C【考点】圆的切线方程直线与圆的位置关系【解析】求出直线＝所过定点，再求出到原点的距离，代入圆的面积公式得答案．【解答】直线＝为＝，联立，得，则直线＝过定点，∵＝，∴原点到直线＝的最短距离为，则以点为圆心且与直线＝相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为，圆的面积为．5.【答案】C【考点】相交弦所在直线的方程直线与圆的位置关系M :+−7x −6y +4x 2y 24(x −2+(y −8)2)29M(5,3)x −2y −60d |AB |mx −y −m −10P P mx −y −m −10m(x −7)−y −10mx −y −m −20P(1|OP |O mx −y −m −15O mx −y −m −16(m ∈R)【解析】化圆的方程为标准方程的，得到圆心和半径，由题可知过点的最短的弦长为14，最长的弦长为50（分别只有一条），还有长度为15，16，．…．，50的各条，即可得到弦长为整数的条．【解答】解：圆的标准方程是： ，圆心，半径.过点的最短的弦长为，最长的弦长为，（分别只有一条），还有长度为，，…，的各条，所以弦长为整数的共有条．故选．6.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】过作于，当在线段上时，为最短距离，再由点到直线的距离公式求出的长后即可得解．【解答】如图，过作于，当在线段上时，为最短距离，由点到直线的距离公式，知＝，∴＝＝．7.【答案】B【考点】A (16,6)22+2×35=72+=(x +8)2(y −6)2252(−8,6)r =25A (16，6)145015164922+2×35=72C M MA ⊥l A P MA |PA ||MA |M MA ⊥l A P MA |PA ||MA ||PA ||MA |−28直线与圆的位置关系【解析】先求出圆心到直线的距离＝，由圆上恰有三个点到直线的距离都为，得到圆的半径为+，由此能出的值．【解答】如图，圆心，则点到直线的距离＝，又因为圆上恰有三个点到直线的距离为，所以圆的半径＝+＝，8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】圆．化为，圆心坐标为，半径为圆，化为，圆心坐标为，半径为，圆与圆内切，∴，即．当时取等号，∴ 的最大值为．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】直线与圆的位置关系【解析】(1,1)l d 2l 2r C(1C l d C r 25:+−2ax +−9=0(a ∈R)C 1x 2y 2a 2+=9(x −a)2y 2(a,0) 3.:++2by +−1=0(b ∈R)C 2x 2y 2b 2+(y+x 2b =1)2(0,−b)1∵:+−2ax +−9=0(a ∈R)C 1x 2y 2a 2:+C 2x 2+2by +−1=0(b ∈R)y 2b 2=3−1+a 2b 2−−−−−−√+=4,ab ≤(+)=2a 2b 212a 2b 2a =b =±2–√ab 223–√23–√由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于时，弦长等于，故当弦长大于或等于时，圆心到直线的距离小于或等于，解此不等式求出的取值范围．【解答】解：设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，，∴，即，化简得，∴.故选．10.【答案】A,B,C【考点】直线与圆的位置关系两点间的距离公式点到直线的距离公式圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，点与圆心的距离为：，故点在圆外，故正确；对于，到的距离等于，故正确；对于，圆心到直线的距离为，故圆上有三个点到直线的距离等于，故正确；对于，的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，，故相交，故错误.故选.11.【答案】A,B,C123–√23–√1k (3,2)y =kx +3d MN =2≥24−d 2−−−−−√3–√0<d ≤1≤1|3k −2+3|+1k 2−−−−−√8k(k +)≤034−≤k ≤034BC A P (2,1)d =≥2>r =(m −2+(3−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√P B (0,0)l ∶x −y +1=02–√2–√1C (0,0)l ∶x −y +1=02–√2–√d ==r 12122–√2D :++2x =0C 1x 2y 2(−1,0)=1R 1:+−4x −8y −5=0C 2x 2y 2(2,4)=5R 2||=5<+=1+5=6C 1C 2R 1R 2ABC【考点】椭圆的标准方程曲线与方程圆的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴当时，表示圆；当时，，即表示两条直线；当时，表示椭圆；当时，表示双曲线.故选．12.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】对于选项：设＝，写出＝，进而可得四边形周长为，即可的当最小时，四边形周长最小，故可判断是否正确．对于选项＝＝，，即可得的取值范围，即可判断是否正确．对于选项：因为，计算，，，，，即可得三角形的面积为，故可判断是否正确，对于选项：设，写出，的方程并联立，得点的坐标，计算再换元法结合二次函数解得最大值，故可判断是否正确．【解答】对于选项：设＝，则＝＝，＝，α∈[0,π]+cos α=1x 2y 2α=0+=1x 2y 2α=π2=1x 2x =±1α∈(0,)π2+=1x 2y 21cos αα∈(,π]π2−=1x 2y 2−1cos αABC A |MP |t |BP ||AP |PAMB 2+2t PABM A B :S PAMB 2S △MAP 2t ≥2|AB |B C P(1,0)|MP ||AB ||AC ||AP ||PC |PAB |AB ||PC |C D P(m,0)AB MP C |CQ |D A |MP |t |BP ||AP ||AP |则四边形周长为，则当最小时，最小值为，对于选项＝＝，所以＝＝，因为，所以，故错误，对于选项：因为，＝，＝，所以三角形的面积为＝，对于选项：设，的方程为＝-，可得，则（，），则＝＝＝+•-，令＝，，则，]，所以＝，对称轴为＝-＝，当＝时，＝（）+＝，则的最大值为，故错误．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】两条相交直线【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】PAMB 2+2t t 6+2B :S PAMB 3S △MAP |MP ||AB ||AB |5t ≥2|AB |∈[B C P(4,0)|AB ||AP |2PAB |AB ||PC |D P(m,0)MP y x +2C |CQ |2u +7≥4m 2u ∈(0|CQ |2−8+u 2u+u u |CQ |2max −9×+2×|CQ |D把方程化为圆的标准形式，发现圆的半径等于，故方程表示一个点．【解答】解：方程即，即∴，可得：或，∴方程表示两条直线．故答案为：两条相交直线．14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心到直线的距离为，则由题意可得，利用点到直线的距离公式求出的值，解不等式求得半径的取值范围．【解答】解：设圆心到直线的距离为，则由题意可得．即，解得.故答案为：.15.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意，直线过圆的圆心，所以 .【解答】解：圆，化为标准方程为，圆心为.04−+6x −3y =0x 2y 24(x +−(y +=034)232)24(x +=(y +34)232)22x +=±(y +)32322x −y =02x +y +3=0(4,6)(3,−5)4x −3y =17d r −1<d <r +1d r (3,−5)4x −3y −2=0d r −1<d <r +1r −1<<r +1|12+15−2|54<r <6(4,6)−1(1,−2)2×1−2b −4=0,b =−1∵+−2x +4y +=0x 2y 23–√∴(x −1+(y +2=5+)2)23–√∴(1,−2)+−2x +4y +=022–√直线平分圆的周长，直线过圆的圆心，，解得 .故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，，故所求切线方程为，即．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：设，则的中点在直线上．∴，∴，即，①又点在直线上，则，②由①②可得，，即点的坐标为．设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上．由题知得即．，∵2x +by −4=0+−2x +4y +=0x 2y 23–√∴(1,−2)∴2×1−2b −4=0b =−1−1x −4y +3=0(x)=f ′3+2x x 2(3x +1)2(−1)=f ′14f (−1)=12y −=(x +1)1214x −4y +3=0x −4y +3=0(1)B(,)x 0y 0AB M(,)+3x 02−1y 02CM 6×+10×−59=0+3x 02−1y 023+5+4−59=0x 0y 03+5−55=0x 0y 0B BT −4+10=0x 0y 0=10x 0=5y 0B (10,5)(2)A(3,−1)BT D (a,b)D BC ×=−1，b +1a −314−4×+10=0，a +32b −12{a =1，b =7，D(1,7)===−k BC k BD 7−51−1029−5=−(x −10)2∴直线的方程为，即．【考点】待定系数法求直线方程直线的斜率【解析】（1）设，则的中点在直线上，从而，又点在直线上，则，由此能求出点的坐标．（2）设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上，从而，由此能求出直线的方程．【解答】解：设，则的中点在直线上．∴，∴，即，①又点在直线上，则，②由①②可得，，即点的坐标为．设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上．由题知得即．，∴直线的方程为，即．18.【答案】设，∵点，动点满足.∴，整理得:，∴曲线方程为.设直线的横截距为，则直线的纵截距也为，当时，直线过，设直线方程为.把代入曲线的方程得，，BC y −5=−(x −10)292x +9y −65=0B(,)x 0y 0AB M(,)+3x 02−1y 02CM 3+5−55=0x 0y 0B BT −4+10=0x 0y 0B A(3,−1)BT D (a,b)D BC D(1,7)BC (1)B(,)x 0y 0AB M(,)+3x 02−1y 02CM 6×+10×−59=0+3x 02−1y 023+5+4−59=0x 0y 03+5−55=0x 0y 0B BT −4+10=0x 0y 0=10x 0=5y 0B (10,5)(2)A(3,−1)BT D (a,b)D BC ×=−1，b +1a −314−4×+10=0，a +32b −12{a =1，b =7，D(1,7)===−k BC k BD 7−51−1029BC y −5=−(x −10)292x +9y −65=0(1)P(x,y)A(−4,0),B(2,0)P |PA|=2|PB|=2(x +4+)2y 2−−−−−−−−−−−√(x −2+)2y 2−−−−−−−−−−−√+−8x =0x 2y 2C +−8x =0x 2y 2(2)l a l a a =0l (0,0)y =kx y =kx C +−8x =0x 2y 22−(2a +8)x +=0x 2a 2l C∵直线与曲线只有一个公共点，∴，解得，∴直线的方程为或.【考点】圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】设，∵点，动点满足.∴，整理得:，∴曲线方程为.设直线的横截距为，则直线的纵截距也为，当时，直线过，设直线方程为.把代入曲线的方程得，，∵直线与曲线只有一个公共点，∴，解得，∴直线的方程为或.19.【答案】【考点】直线与圆相交的性质恒过定点的直线直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】l C Δ=[−(2a +8)−8=0]2a 2a =4±42–√l x +y −4+4=02–√x +y −4−4=02–√(1)P(x,y)A(−4,0),B(2,0)P |PA|=2|PB|=2(x +4+)2y 2−−−−−−−−−−−√(x −2+)2y 2−−−−−−−−−−−√+−8x =0x 2y 2C +−8x =0x 2y 2(2)l a l a a =0l (0,0)y =kx y =kx C +−8x =0x 2y 22−(2a +8)x +=0x 2a 2l C Δ=[−(2a +8)−8=0]2a 2a =4±42–√l x +y −4+4=02–√x +y −4−4=02–√(0,1)−(1,0)=(−1,1)−→−解：，，∴，∴．．【考点】平面向量的坐标运算向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：，，∴，∴．．21.【答案】【考点】直线与圆锥曲线的关系轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】(1)=(0,1)−(1,0)=(−1,1)AB −→−=(2,5)−(1,0)=(1,5)AC −→−2+=2(−1,1)+(1,5)=(−1,7)AB −→−AC −→−|2+|==5AB −→−AC −→−+(−1)272−−−−−−−−−√2–√(2)cos θ==−1+5×+(−1)212−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√213−−√13(1)=(0,1)−(1,0)=(−1,1)AB −→−=(2,5)−(1,0)=(1,5)AC −→−2+=2(−1,1)+(1,5)=(−1,7)AB −→−AC −→−|2+|==5AB −→−AC −→−+(−1)272−−−−−−−−−√2–√(2)cos θ==−1+5×+(−1)212−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√213−−√13【考点】直线与圆锥曲线的关系椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期10月月考高二数学试卷满分：150分；考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B −的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1−B ．3−C ．0D ．22．已知,a b 是单位向量，且()2b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π33．下列说法中错误的是（ ）A ．平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示 B ．当0C =时，方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示的直线过原点 C ．当0A =，0B ≠，0C ≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化4．若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为（ ） A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．4163π5．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．220x y +−= B ．2340x y +−=C ．2340x y −−=D ．3260x y +−=6．将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．4π C ．12π D ．6π7．已知圆()()()22:140C x y m m ++−=>和两点()2,0A −，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ） A ．[8，64] B ．[9，64] C ．[8，49]D ．[9，49]8．已知函数f (x )={2x ,x ≤0,lnx,x >0, g (x )=|x(x −2)|，若方程()()()0f g x g x m +−=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m >1 B ．m ≥1C ．m <1D ．m ≤1二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知复数z 满足(i 1)2z −=，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A ．z 的虚部为1−B ．||2z =C ．1i z =+D ．22i z =10．已知直线l 过点()11P -，，且与直线1l ：230x y −+＝及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 与直线1l 的倾斜角互补B ．直线l 在x 轴上的截距为12 C ．直线l 在y 轴上的截距为－1D ．这样的直线l 有两条11．已知圆O ：224x y +=和圆C ：()()22231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是( ) A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y −+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y −+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3312．在正方体ABCD —1111D C B A 中，12AA =，点P 在线段1BC 上运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法中正确的有( )A．当P 为1BC 中点时，三棱锥P -1ABB B ．线段PQ 长度的最小值为2 C ．三棱锥1D -APC 的体积为定值D ．平面BPQ 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若直线4y x b =+与坐标轴围成的面积为9，则b =__________．14．已知函数()22,0x x f x −<⎧=⎨，则不等式()()2134f a f a +>−的解集为___________.15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4,3,5a b c ===，则由△ABC 生成的康威圆的半径为___________.16．已知直线l ：40x y −+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，计70分.） 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 过点()1,2A . (1)若直线l 的倾斜角为4π，求直线l 的方程； (2)直线:2m y x b =+，若直线m 与直线l 关于直线1x =对称，求b 的值与直线l 的一般式方程.18．(本小题满分12分)已知圆221:230C x y x +−−=与圆222:4230C x y x y +−++=相交于A 、B 两点.(1)求公共弦AB 所在直线方程；(2)求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程.19．(本小题满分12分)已知圆C 与直线30x −=相切于点(P ，且与直线50x +=也相切. (1)求圆C 的方程；(2)若直线:30l mx y ++=与圆C 交于A ，B 两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=−. (1)求C 的大小；(2)若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且CD =△ABC 面积的最小值.21．(本小题满分12分)为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.22．(本小题满分12分)已知圆22:16O x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ． (1)已知直线l ：(2)(21)690m x m y m +++−−=与圆22:16O x y +=相切，求直线l 的方程； (2)若点M 满足2QP QM =，求点M 的轨迹方程；(3)若过点(2,1)N 且斜率分别为12,k k 的两条直线与（2）中M 的轨迹分别交于点A 、B ，C 、D ，并满足NA NB NC ND ⋅=⋅，求12k k +的值.参考答案：1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 【详解】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +−=，即()1f t t =-， 作出函数()y f t =及1y t =−的图象，由图象可知方程的根为0=t 或1t =，即()20x x −=或()21x x −=，作出函数()()2g x x x =−的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误；当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =−，由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t −=∈，结合函数()()2g x x x =−的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A 错误.9．AD 10．AC 11．AD 12．ABC【详解】对于A ，当P 为1BC 中点时，∵11BCC B 是正方形，∴11B P BC ⊥，∵AB ⊥平面11BCC B ，1B P ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥1B P ， ∵AB ∩1BC =B ，AB 、1BC ⊂平面ABP ，∴1B P ⊥平面ABP ， ∵1B P ⊂平面AP 1B ，∴平面AP 1B ⊥平面ABP ，易知Rt △ABP 外接圆圆心为AP 中点，Rt △AP 1B 外接圆圆心为1AB 中点，则过Rt △ABP 外接圆圆心作平面ABP 的垂线，过Rt △AP 1B 外接圆圆心作平面AP 1B 的垂线，易知两垂线交点为1AB 中点，则三棱锥P -1ABB 的外接球球心即为1AB 中点，外接球半径即为12AB A 正确； 对于B ，如图过P 作PG ⊥BC 于G ，过Q 作QE ⊥PG 于E ，易知PQ ≥QE =AG ≥AB ，故线段PQ 长度的最小值为AB =2，故B 正确； 对于C ，∵1BC ∥1AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ， ∵P ∈1BC ，故P 到平面1ACD 的距离为定值，又1ACD S 为定值，则11D APC P ACD V V −−=为定值，故C 正确；对于D ，易知，截面BPQ 与平面11BCC B 的交线始终为1BC ，连接1AD ，易知1BC ∥1AD ，过Q 作QF ∥1AD 交11A D 于F ，连接1FC 、QB ，则1BQFC 即为截面，其最多为四边形：当Q 与1A 重合，P 与1C 重合，此时截面BPQ 为三角形：平面BPQ 截该正方体所得截面不可能为五边形，故D 错误﹒ 故选：ABC ﹒13．± 14．()5,+∞ 15【详解】设M 是圆心，因为122121AC A B B C ==，因此M 到直线,,AB BC CA 的距离相等，从而M 是直角ABC 的内心，作MN AC ⊥于N ，连接2MC ，则34512MN CN +−===， 2156NC =+=，所以2MC ==16．【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ， 因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥， 所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++−+−=，又,C D 在圆224x y +=上， 将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－， 即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －， 又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥， 即M 在以OQ 为直径的圆22111()()222x y ++−=上，其圆心为11',22O ⎛⎫− ⎪⎝⎭，半径为2r =，如图所示:所以'minAMAO r ==－所以AM 的最小值为17．(1)10x y −+=(2)0b =，直线l 的方程为240x y +−= （1）因为直线l 的倾斜角为4π， 所以直线l 的斜率为tan14π=，因为直线l 过点()1,2A ，所以直线l 的方程为21y x −=−，即10x y −+= （2）因为()1,2A 在对称轴1x =上， 所以点()1,2A 也在直线:2m y x b =+上， 所以22b =+，得0b =所以直线m 为2y x =，过原点(0,0)O ， 则(0,0)O 关于直线1x =的对称点为(2,0)B ， 所以点(2,0)B 在直线l 上， 所以直线l 的斜率为20212−=−−， 所以直线l 的方程为22(1)y x −=−−，即240x y +−= 18．(1)30x y −−= (2)2230x y x y +−+= （1）22230x y x +−−=，①224230x y x y +−++=，②①-②得2260x y −−=即公共弦AB 所在直线方程为30x y −−=.（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+−−++−++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++−++−+= 因为圆过原点，所以330λ−+=，1λ= 所以圆的方程为2230x y x y +−+= 19．(1)()2214x y ++=(2)1m >或7m <−(1)解：设圆C 的方程为()222()x a y b r −+−=，由题意得(2221b a r a b r ⎧⎛⨯=−⎪ ⎝⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，即(22222(1))54a r b b a a r ⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎩+⎪， 解得1a =−，0b =，2r =， 即圆C 的方程为()2214x y ++=. (2)解：由题意，得ACB ∠为钝角或平角， 当A ，B ，C 共线时，3m =，此时ACB ∠为平角； 当A ，B ，C 不共线时，3m ≠，ACB ∠为钝角， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则02d r <<，于是，有0<<，解之得1m >或7m <−，且3m ≠；综上，实数m 的取值范围是1m >或7m <−. 20．(1)π3C=；（1）依题意，sin(2)sin sin A B B A +=−，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+−， 故()sin(π)sin sin A C C A A +−=+−，则()sin()sin sin C A C A A −=+−，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A −=+−， 2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =. （2）依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD中，由正弦定理得πsin sin 6AD A =，在三角形BCDπsin 6BD =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=. 在三角形ACD中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+−⋅=−+， 在三角形BCD中，由余弦定理得222π3cos 336BD a a a =+−⋅=−+，所以2222223333AD b b b BD a a a −+==−+，整理得()()0a b ab a b +−−=， 所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABCS=⨯⨯⨯= 当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥， 当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形11sin 422ABCSab C =≥⨯ 综上所述，三角形ABC21．(1)66.8 (2)73 (3)57（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.65x +−⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73.（3）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为,,,A B C D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为,,a b c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==. 22．．(1)158680x y +−=或40x −= (2)221164x y += (3)0(1)圆22:16O x y +=，圆心()0,0，半径为4，直线l ：(2)(21)690m x m y m +++−−=与圆22:16O x y +=相切，4=，解得122m =或12m =−，故直线l 的方程为158680x y +−=或40x −=.(2)设(,),(,)M x y P x y ''，则2x x y y =⎧⎨=''⎩，又点P 在圆O 上，2216x y ''+=，即()22216x y +=，化简得221164x y +=. (3)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 所在直线方程为11(2)y k x −=−，联立得1221(2)1164y k x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2221111148(12)4(12)160k x k k x k ++−+−−=，则()()21111212221181241216,1414k k k x x x x k k −−−+=−=++，NA NB ⋅=()2112122k x x =+−−()()()()()()221111221121212221118141216812124124141414k k k k k x xx x kk k k +−−−=+−++=+++=+++，同理()22228114k NC ND k +⋅=+，由NA NB NC ND ⋅=⋅可得()()2212221281811414k k k k ++=++，化简2212k k =，又12k k ≠，故12k k =−，即120k k +=.。

2022学年江苏扬州中学高二第一次月考试卷试题解析1：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考1） 1：经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则y =( ) A ．1-B ．3-C ．0D ．2方法提供与解析：（浙江湖州赵先海） 解析：由题意可得21(3)3tan424y π+--=-，解得3y =-，故选：B ． 2：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考2）2：已知a ，b 是单位向量，且(2)b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 方法提供与解析：（浙江湖州赵先海） 解析：∵(2)b a b ⊥+，∴(2)0b a b ⋅+=，即220a b b ⋅+=，设a 与b 的夹角为θ，则2cos 10θ+=，解得23θπ=，故选D ．3：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考3） 3：下列说法中错误的是( )A ．平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0) 表示B ．当0C =时，方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)表示的直线过原点 C ．当0A =，0B ≠，0C ≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化 方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：D 错误，如直线1x =就无法转化成截距式，故选：D ． 4：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考4）4：若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为( ) A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．4163π方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：易得求球的半径为5R =，∴此球的体积为3450033R ππ=，故选：C ．5：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考5）5：过点(2,3)M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：因为点(2,3)M 在圆外，所以直线AB 的方程为234x y +=，即2340x y +-=，故选：B ． 6：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考6）6：将函数sin 22y x x =-的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0a >)所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π方法提供与解析：（浙江湖州赵先海）解析：∵sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，沿x 轴向右平移a 个单位为2sin 223y x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵2sin 223y x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，∴2()32a k k Z πππ+=+∈，解得()212k a k Z ππ=+∈，故选C ．7：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考7）7：已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()1,0B ，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ）A ． []8,64B ． []9,64C ． []8,49D ． []9,49方法提供与解析：浙江金华余黎杰解析：令满足2PA PB =的点P 为(),x y2=，即()2224x y -+=，所以圆C 上若存在点P ，则圆C 与()2224x y -+=22949m ≤⇒≤≤， 故选D8：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考8）8：已知函数()2,0ln ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()2g x x x =-，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ． 1m >B ． 1m ≥C ． 1m <D ． 1m ≤方法提供与解析：浙江金华余黎杰解析：令()g x t =，则()()()()0f g x g x m f t t m +-=⇒=-+，因为()g x 图像关于直线1x =对称，所以要使得所有实根之和为4，则必须有4个解，由()g x 图像可知在01t <<时与()g x 的图像有4个交点， 所以()f t t m =-+的解需满足01t <<，由图可知，此时需满足1m <（有负根0t 不影响最终4个解， 因为负根0t 最终取不到），选C9：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考9）9：【多选题】已知复数z 满足()12i z -=，给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ． z 的虚部为1-B ． 2z =C ． 1z i =+D ． 22z i =方法提供与解析：浙江金华余黎杰 解析：()21211i z z i i -=⇒==---，对于A ：显然正确；对于B ：z =，所以B 错误； 对于C ：1z i =-+，错误；对于D ：21212z i i =-++=，正确，所以选AD10：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考10）10：【多选题】已知直线l 过点()1,1-P ，且与直线1:230-+=l x y 及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰 三角形，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 与直线1l 的倾斜角互补B ．直线l 在x 轴上的截距为12C ．直线l 在y 轴上的截距为1-D ．这样的直线l 有两条 方法提供与解析：（金华方磊） 解析：（数形结合）大致画出直线在坐标系内的图像，如图．记直线1l 与x 轴的交点为点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭A ，因为底边在x 轴上，故该等腰三角形的另一个顶点是以()1,1-P 为圆心，为PA 半径的圆与x 轴的另一个交点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ，显然A 正确．直线的方程为21=--y x ，故B 错误，C 正确．显然这样的直线与且仅有一条，D 错误．故选AC ．11：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考11）11：【多选题】已知圆22:4+=O x y 和圆()()22:231-+-=C x y ．现给出如下结论，其中正确的是（ ） A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5+=x y 或10-+=x y C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300-+=x yD ．P 、Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 133133 方法提供与解析：（金华方磊） 解析：（数形结合）对于A ：圆O 与圆C 的圆心坐标分别为()0,0O 、()2,3C ，半径分别为12=r 、11=r ， 所以1213=>+OC r r ，即圆O 与圆C 外离，故它们有四条公切线，A 正确； 对于B ：显然直线3:2=OC y x 过C 且在两坐标轴上截距相等，B 错误； 对于C ：由于点在圆外，故过点且与圆相切的直线必有两条，C 错误；对于D ：易知1212--≤≤++OC r r PQ OC r r 133133≤≤PQ ，D 正确．故选AD ．12：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考1）12：【多选题】在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点P 在线段1BC 上 运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法正确的有（ ）A ．当P 为1BC 中点时，三棱锥1P ABB -2B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．三棱锥1D APC -的体积为定值D ．平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形 方法提供与解析：（杭州戴伟） 解析：对于A ：ABP ∆是以AP 为斜边，1AB P ∆是以1AB 为斜边，则外接球是以1AB 为直径的球，则半径122AB =，A 正确；对于B ：过Q 作1BB 垂线QM ，过M 作1MN BC ⊥，则22222PQ QM MN MN ++， 即MN 最小值PQ 最小为2AB =，B 正确；对于C ：由1D AC S ∆为定值，且11//BC AD ，则P 到面1ACD 的距离 为定值，则1P D AC V -为定值，C 正确；对于D ：当Q 与1A 重合，P 与1C 重合时，此截面为三角形， 过点Q 作1//QF AD ，连接1,FC QB ，则1BQFC 即为截面四边形，五边形不存在，D 错误；故选ABC13：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考13）13：若直线4y x b =+与坐标轴围成的面积为9，则b = 方法提供与解析：（杭州戴伟）解析：当0x =时，y b =，当0y =时，4bx =-；则219248b b S b =⨯⨯==得62b =±62±14：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考14）14：已知函数()22,02,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式()()2134f a f a +>-的解集为 方法提供与解析：（杭州戴伟）解析：由()y f x =是单调递减，则2134a a +<-得：5a >；故填：()5,+∞ 15：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考15）15：“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内 容是这样的：如图，ABC △的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =．延长线 段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2A ，1B ，2B ，1C 和2C ，那么这六个 点共圆，这个圆称为康威圆．已知4a =，3b =，5c =，则由ABC △生成的康威圆 的半径为________．方法提供与解析：（浙江杭州罗彪） 解析：利用内切圆转化∵213112A B A C AC ==，∴O （康威圆的圆心）到三边AB 、BC 、CA 的距离d 相等，∴O 即ABC △的内心， ∵222a b c +=，∴ABC △是直角三角形，内切圆半径12a b c d +-==，∴康威圆半径2212372A C r d =+ 3716：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考16）16：已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线， 切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为________．方法提供与解析：（浙江杭州罗彪） 解析：切点弦方程设(,4)P t t +，则切点弦CD 所在直线方程为：(4)4tx t y ++=，即()4(1)0t x y y ++-=过定点(1,1)B -， ∵OM BM ⊥（垂径定理），且B 在圆224x y +=内部，∴M 在以OB 为直径的圆Q 上，圆心11,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2r OQ ==(4,0)A -，则52AQ =，因此，22AM AQ r ≥-=217：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考17） 17：在平面直角坐标系中，直线l 过点()1,2A ．（1）若直线l 的倾斜角为4π，求直线l 的方程； （2）直线:2m y x b =+，若直线m 与直线l 关于直线1x =对称，求b 的值与直线l 的一般式方程．方法提供与解析：（嘉兴吕佳杰） 解析：（1）因为直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的斜率为tan 14π=，因为直线l 过点()1,2A ，所以直线l 的方程为21y x -=-，即10x y -+=（2）因为()1,2A 在对称轴1x =上，所以点()1,2A 也在直线:2m y x b =+上，所以22b =+，得0b =， 所以直线m 为2y x =，过原点(0,0)O ，则(0,0)O 关于直线1x =的对称点为(2,0)B ， 所以点(2,0)B 在直线l 上，所以直线l 的斜率为20212-=--， 所以直线l 的方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=18：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考18）18：已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点． （1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．方法提供与解析：（嘉兴吕佳杰） 解析：（1）22230x y x +--=①，224230x y x y +-++=②，①－②得2260x y --= 即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=．（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=， 即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=，因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=，所以圆的方程为2230x y x y +-+=．19：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考19）19：已知圆C与直线30x +-=相切于点(0P，且与直线50x ++=也相切． （1）求圆C 的方程；（2）若直线30l mx y ++=：与圆C 交于A B 、两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围．方法提供与解析：（浙江杭州杨宏斌） 解析：（1）∵切线30x -=与切线50x +=平行，∴圆心C在直线10x ++=上，过点(0P与直线30x -=0y -，由100x y ⎧++=⎪-=得圆心(10)C -，，2r =，∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=； （2）∵0CA CB ⋅<，∴圆心C 到直线l的距离d <d <得7m <-或1m >．20：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考20）20：在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin(2)sin sin A B B A +=-． （1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =，求ABC ∆面积的最小值．方法提供与解析：（浙江杭州杨宏斌） 解析：（1）sin(2)sin()sin A A C A C A ππ+--=---得sin()sin()sin C A A C A -=+-，∴sin 2cos sin A C A =， ∵sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=； （2）∵o 30ACD BCD ∠=∠=且CD =，∴D CA D CB d d →→==，∴)ABC ACD BCD S S S a b ∆∆∆=+=+， ACD ∆中，2233AD a a =+-，BCD ∆中，2233BD b b =+-，∴22223333a a a b b b -+=-+得()()0a b a b ab -+-=，①当0a b -=时，易得ABC ∆为等边三角形，此时ABC S ∆ ②当0a b ab +-=时，111a b =+≥得4ab ≥，∴4a b +≥，∴()minABC S ∆=；综上所述，ABC ∆21：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考21）21：为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛， 从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50， 第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90， 第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息， 回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀，良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从 第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．方法提供与解析：（杭州唐慧维） 解析：（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）∵成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ， 则()0.56700.030.65x +-⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73．（3）第5组的人数为500.008104⨯⨯=人，可记为A ，B ，C ，D ；第6组的人数为500.006103⨯⨯=人， 可记为a ，b ，c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==． 22：（2022学年江苏扬州中学高二第一次月考22）22：已知圆22:16O x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（1）已知直线:(2)(21)690l m x m y m +++--=与圆22:16O x y +=相切，求直线l 的方程； （2）若点M 满足2QP QM =，求点M 的轨迹方程；（3）若过点(2,1)N 且斜率分别为12k k ，的两条直线与（2）中M 的轨迹分别交于点 A B C D 、、、， 并满足NA NB NC ND ⋅=⋅，求12k k +的值．方法提供与解析：（绍兴+陈波）解析：（1）圆22:16O x y +=，圆心(0,0)，半径为4，直线:(2)(21)690l m x m y m +++--=与圆22:16O x y +=4=得122m =或12m =-，故直线l 的方程为158680x y +-=或40x -=． （2）设()(,),M x y P x y ''，，则2x x y y '=⎧⎨'=⎩，又点P 在圆O 上，2216x y ''+=，即22(2)16x y +=得221164x y +=．（3）设()()1122,,A x y B x y AB ，，所在直线方程为11(2)y k x -=-，联立得1221(2)1164y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()()()222111114812412160k x k k x k ++-+--=，则()()111221211221812144121614k k x x k k x x k ⎧-+=-⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，，NA NB ⋅=()()()()()()221111221121212221118141216812124124141414k k k k k x x x x k k k k +---=+-++=+++=+++，同理()22228114k NC ND k +⋅=+，由NA NB NC ND ⋅=⋅可得()()2212221281811414k k k k ++=++，化简2212kk =，又12k k ≠，故12k k =-，即120k k +=．。

2022-2023学年江苏省扬州一中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 经过A （1，3），B （﹣2，4）两点，则直线l 的斜率是（ ） A ．13B ．−13C ．3D ．﹣32．直线√3x −y +1=0和直线y =√3x +3之间的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点A （﹣2，0），B （0，2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝8 B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝8C ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝2D ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝24．抛物线x ＝2y 2的准线方程是（ ） A ．x =−12B ．x =−14C ．x =−18D ．x =−1165．过点A （1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．x ﹣y +1＝0 B ．x +y ﹣3＝0 C ．y ＝2x 或x +y ﹣3＝0 D ．y ＝2x 或x ﹣y +1＝06．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点为F 1，过F 1作一倾斜角为30°的直线交双曲线右支于P 点，且满足△POF 1（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（ ） A ．e =√3+1B ．e ＝2C ．e =√2D ．e =4√337．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的面积为（ ） A ．36√2πB ．18√2πC ．9√2πD ．6√2π8．设P ，Q 分别为圆x 2+（y ﹣6）2＝2和椭圆x 210+y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）A ．5√2B ．√46+√2C ．7+√2D ．6√2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.3分）在等差数列{a n}中.a3=-6.a7=a5+4.则a1等于（）A.-10B.-2C.2D.102.（单选题.3分）方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（）A.2＜m＜3B. 2＜m＜52C. 52＜m＜3D. 114＜m＜33.（单选题.3分）数列2. 43，85，167，329.…的一个通项公式a n等于（）A. 2n2n−1B. 2nnC. 2n2n−1D. 2n2n+14.（单选题.3分）已知△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.该双曲线的离心率是（）A. √2−1B. √22C. √2D. √2+15.（单选题.3分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠.日益功倍．初日屠五两.今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉.每一天屠完的肉是前一天的2倍.第一天屠了5两肉.共屠了30天.问一共屠了多少两肉？（）A.5×210B.5×229C.230-1D.5×（230-1）6.（单选题.3分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点.试用 a ，b ⃗ ，c 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −a +b⃗ +12c B. −a +b ⃗ +c C. −a −b ⃗ +12c D. a −b ⃗ +12c7.（单选题.3分）已知等差数列{a n }的公差d≠0.且a 1.a 3.a 13成等比数列.若a 1=1.S n 为数列{a n }的前n 项和.则 2S n +16a n +3的最小值为（ ）A.4B.3C.2 √3 -2D.28.（单选题.3分）已知F 是双曲线C ：x 2-y 28=1的左焦点.P 是C 右支上一点.A （0.6 √6 ）.当△APF 周长最小时.该三角形的面积为（ ） A. 12√6 B.18√25C. 2√2D.18√659.（多选题.3分）下列说法正确的是（ ） A.“|x|=2019”是“x=2019”的充分条件 B.“x=-1”是“x 2-2x-3=0”充分不必要条件 C.“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数” D.若b ＜a ＜0.则 1a ＜1b10.（多选题.3分）已知等比数列{a n }中.满足a 1=1.q=2.则（ ）A.数列{a 2n }是等比数列B.数列 {1a n} 是递增数列C.数列{log 2a n }是等差数列D.数列{a n }中.S 10.S 20.S 30仍成等比数列 11.（多选题.3分）已知三个数1.a.9成等比数列.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1的离心率为（ ）A. √5B. √33 C.√102 D. √312.（多选题.3分）已知点F 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点.AB.CD 是经过点F 的弦且AB⊥CD .AB 的斜率为k.且k ＞0.C.A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是（ ） A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C. 1|AB|+1|CD|=12pD.若|AF|•|BF|=4p 2.则直线CD 的斜率为 −√313.（填空题.3分）已知空间向量 a =（- √32 . 12.1）. b ⃗ =（- √32 . 12.0）.若空间单位向量 c 满足： c •a =c •b ⃗ =0.则 c =___14.（填空题.3分）已知命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则实数a 的取值范围是___ ．15.（填空题.3分）已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 且b 1=a 1.则数列{b n }的通项公式b n =___ ．16.（填空题.3分）抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点A （ √3 .m ）（m ＞1）到抛物线准线的距离为 134.点A 关于y 轴的对称点为B.O 为坐标原点.△OAB 的内切圆与OA 切于点E.点F 为内切圆上任意一点.则 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．17.（问答题.0分）（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 的最小值； （2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .求a+b 的最小值．18.（问答题.0分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n+1-2（n∈N*）.{b n}是等差数列.且a3=b4-2b1.b6=a4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{（-1）n b n2}的前2n项和T2n．19.（问答题.0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.边长为2.利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.AB=2.BC=1. PC=PD=√2 .E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD || 平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M.使得AM⊥BD？若存在.求PMPD21.（问答题.0分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n= 2n(n−1)na n（n∈N*）.求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立.若存在.求实数λ的取值范围.若不存在说明理由．22.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0) .与x轴负半轴交于A（-2.0）.离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M（x1.y1）.N（x2.y2）两点.连接AM.AN并延长交直线x=4于E（x3.y3）.F（x4.y4）两点.若1y1+1y2=1y3+1y4.求证：直线MN恒过定点.并求出定点坐标．2019-2020学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.3分）在等差数列{a n}中.a3=-6.a7=a5+4.则a1等于（）A.-10B.-2C.2D.10【正确答案】：A【解析】：由a7=a5+4得到：a5+2d=a5+4.由此求得d的值；然后代入a3=-6来求a1的值．【解答】：解：∵数列{a n}是等差数列.a7=a5+4.∴a5+2d=a5+4.（d是公差）.解得d=2.∵a3=a1+2d=-6.即a1+4=-6.解得a1=-10．故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.属于基础题.熟记公式即可解题．2.（单选题.3分）方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（）A.2＜m＜3B. 2＜m＜52C. 52＜m＜3D. 114＜m＜3【正确答案】：A【解析】：根据方程x 2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆可得出{m−2＞03−m＞0m−2＞3−m.从而可解出52＜m＜3 .然后根据必要不充分条件即可得出正确选项．【解答】：解：方程x 2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆时. {m−2＞03−m＞0m−2＞3−m.解得52＜m＜3 .由52＜m＜3可得出2＜m＜3；而由2＜m＜3得不出52＜m＜3 .∴方程x2m−2+y23−m=1表示焦点在x轴上的椭圆的一个必要不充分条件是2＜m＜3．故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程.焦点在x轴上的椭圆的特点.必要不充分条件的定义.考查了计算和推理能力.属于基础题．3.（单选题.3分）数列2. 43，85，167，329.…的一个通项公式a n等于（）A. 2n2n−1B. 2nnC. 2n2n−1D. 2n2n+1【正确答案】：C【解析】：分别判断出分子和分母构成的数列特征.再求出此数列的通项公式．【解答】：解：∵2.4.8.16.32.…是以2为首项和公比的等比数列.且1.3.5.7.9.…是以1为首项.以2为公差的等差数列.∴此数列的一个通项公式是a n= 2n2n−1.故选：C．【点评】：本题考查数列的通项公式.以及等差、等比数列的通项公式.考查学生分析解决问题的能力.属于基础题．4.（单选题.3分）已知△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.该双曲线的离心率是（）A. √2−1B. √22C. √2D. √2+1【正确答案】：D【解析】：利用已知条件列出方程.转化求解双曲线的离心率即可．【解答】：解：△ABC为等腰直角三角形.若双曲线E以A.B为焦点.并经过顶点C.A或B为三角形的直角顶点.可得2c= b 2a = c2−a2a.可得e2-2e-1=0.解得e=1+ √2 .（1- √2舍去）．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查.基础题．5.（单选题.3分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠.日益功倍．初日屠五两.今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉.每一天屠完的肉是前一天的2倍.第一天屠了5两肉.共屠了30天.问一共屠了多少两肉？（）A.5×210B.5×229C.230-1D.5×（230-1）【正确答案】：D【解析】：根据题意.分析可得该人每天所屠的肉成等比数列.且首项a1=5.公比为2.由等比数列的前n项和公式分析可得答案．【解答】：解：根据题意.分析可得该人每天所屠的肉成等比数列.且首项a1=5.公比为2.则该人共屠了30天.则一共屠肉S30= 5(1−230)1−2=5×（230-1）；故选：D．【点评】：本题考查等比数列的应用.注意将原问题转化为等比数列的前n 项和问题.属于基础题．6.（单选题.3分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点.试用 a ，b ⃗ ，c 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −a +b⃗ +12c B. −a +b ⃗ +c C. −a −b ⃗ +12c D. a −b ⃗ +12c 【正确答案】：A【解析】：根据平面向量的线性表示.利用 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】：解： A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - a = b ⃗ + 12 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ - a= b ⃗ + 12c - a ． 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用.是基础题目． 7.（单选题.3分）已知等差数列{a n }的公差d≠0.且a 1.a 3.a 13成等比数列.若a 1=1.S n 为数列{a n }的前n 项和.则 2S n +16a n +3的最小值为（ ）A.4B.3C.2 √3 -2D.2【正确答案】：A【解析】：a 1.a 3.a 13成等比数列.a 1=1.可得：a 32=a 1a 13.即（1+2d ）2=1+12d.d≠0.解得d ．可得a n .S n ．代入 2S n +16a n +3利用分离常数法化简后.利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】：解：∵a 1.a 3.a 13成等比数列.a 1=1. ∴a 32=a 1a 13.∴（1+2d ）2=1+12d.d≠0. 解得d=2．∴a n =1+2（n-1）=2n-1． S n =n+n (n−1)2×2=n 2． ∴ 2S n +16a n+3 = 2n 2+162n+2 = (n+1)2−2(n+1)+9n+1 =n+1+ 9n+1 -2≥2 √(n +1)×9n+1 -2=4.当且仅当n+1= 9n+1 时取等号.此时n=2.且 2S n +16a n +3取到最小值4.故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式.等比中项的性质.基本不等式求最值.解题的关键是利用分离常数法化简式子.凑出积为定值． 8.（单选题.3分）已知F 是双曲线C ：x 2-y 28=1的左焦点.P 是C 右支上一点.A （0.6 √6 ）.当△APF 周长最小时.该三角形的面积为（ ） A. 12√6 B.18√25C. 2√2D.18√65【正确答案】：A【解析】：利用双曲线的定义.确定△APF 周长最小时.P 的坐标.即可求出△APF 周长最小时.该三角形的面积．【解答】：解：由题意.设F′是右焦点.则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A.P.F′三点共线时.取等号）. 直线AF′的方程为x−3+6√6=1 与x 2-y 28=1联立可得y 2+6 √6 y-96=0.∴P的纵坐标为2 √6 .∴△APF周长最小时.该三角形的面积为12×6×6√6−12×6×2√6 =12 √6．故选：A．【点评】：本题考查双曲线的定义.考查三角形面积的计算.确定P的坐标是关键．9.（多选题.3分）下列说法正确的是（）A.“|x|=2019”是“x=2019”的充分条件B.“x=-1”是“x2-2x-3=0”充分不必要条件C.“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D.若b＜a＜0.则1a ＜1b【正确答案】：BD【解析】：在A中.“|x|=2019”是“x=2019”的必要不充分条件；在B中.“x=-1”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件；在C中.“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件；在D中.若b＜a＜0.则由不等式取倒数法则得1a ＜1b．【解答】：解：在A中.“|x|=2019”是“x=2019”的必要不充分条件.故A错误；在B中.“x=-1”⇒“x2-2x-3=0”.“x2-2x-3=0”⇒“x=-1或x=3”.∴“x=-1”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件.故B错误；在C中.“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件.故C错误；在D中.若b＜a＜0.则由不等式取倒数法则得1a ＜1b.故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．10.（多选题.3分）已知等比数列{a n}中.满足a1=1.q=2.则（）A.数列{a2n}是等比数列B.数列{1a n}是递增数列C.数列{log2a n}是等差数列D.数列{a n}中.S10.S20.S30仍成等比数列【正确答案】：AC【解析】：由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式.判断各个选项是否正确.从而得出结论．【解答】：解：等比数列{a n }中.满足a 1=1.q=2.则a n =2n-1.∴a 2n =22n-1. ∴数列{a 2n }是等比数列.故A 正确； 数列 {1a n} 是递减数列.故B 不正确；∵log 2a n =n-1.故数列{log 2a n }是等差数列.故C 正确；数列{a n }中.S 10= 1−2101−2 =210-1.S 20=220-1.S 30=230-1.故D 错误.故选：AC ．【点评】：本题主要考查等比数列的性质、通项公式及前n 项和公式.属于基础题． 11.（多选题.3分）已知三个数1.a.9成等比数列.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1的离心率为（ ）A. √5B. √33C.√102 D. √3【正确答案】：BC【解析】：运用等比数列的中项性质.解方程可得a.分别运用椭圆和双曲线的a.b.c 的关系和离心率公式.计算可得所求值．【解答】：解：三个数1.a.9成等比数列.可得a 2=9.即a=±3. 若a=3.则圆锥曲线 x 2a+y 22=1即为椭圆 x 23 + y 22 =1.可得离心率为 √3−23 = √33； 若a=-3.则圆锥曲线x 2a+y 22 =1即为双曲线 y 22 - x 23=1.可得离心率为 √2+32 = √102． 故选：BC ．【点评】：本题考查等比数列的中项性质和椭圆、双曲线的离心率.考查方程思想和运算能力.属于基础题．12.（多选题.3分）已知点F 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点.AB.CD 是经过点F 的弦且AB⊥CD .AB 的斜率为k.且k ＞0.C.A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是（ ） A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C. 1|AB|+1|CD|=12pD.若|AF|•|BF|=4p 2.则直线CD 的斜率为 −√3 【正确答案】：ACD【解析】：设直线AB 的方程：x=my+ p2 .设直线AB 的倾斜角为θ（θ≠0）.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.利用韦达定理可得|AB|=2psin 2θ. 设C （x 3.y 3）.D （x 4.y 4）.同理可得 y 3y 4=−p 2.x 3x 4= p 24 .|CD|= 2pcos 2θ ． A.由 OC⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4即可判定； B.四边形ACBD 面积S= 12 CD•AB= 4p 22sin 2θ•cos 2θ = 8p 2sin 22θ.即可判定； C.由 1|AB|+1|CD|=sin 2θ2p+cos 2θ2p = 12p.即可判定； D.|AF|•|BF|=（ x 1+p2 ）（x 2+ p2 ）=x 1x 2+ p2(x 1+x 2) + p 24 =4p 2.⇒m= √3 . θ=π6 ．则直线CD 的倾斜角为 2π3 .即可判定【解答】：解：如图所示：F （ p2 .0）.设直线AB 的方程：x=my+ p2 .设直线AB 的倾斜角为θ（θ≠0）．设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立直线AB 与抛物线的方程整理得：y 2-2pmy-p 2=0． ∴ y 1y 2=−p 2.x 1x 2=y 122p•y 222p = p 24．y 1+y 2=2pm ． |AB|= √1+m 2 • √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2p （1+m 2）=2p •(1+cos 2θsin 2θ) = 2psin 2θ. 设C （x 3.y 3）.D （x 4.y 4）.同理可得 y 3y 4=−p 2 .x 3x 4= p 24 .|CD|= 2pcos 2θ ．对于A. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4= p 24−p 2=−3p 24.故正确； 对于B.四边形ACBD 面积S= 12 CD•AB= 4p 22sin 2θ•cos 2θ = 8p 2sin 22θ .故其最小值为8p 2.故错；对于C. 1|AB|+1|CD|=sin 2θ2p+cos 2θ2p = 12p.故正确； 对于D.|AF|•|BF|=（ x 1+p2 ）（x 2+ p2 ）=x 1x 2+ p2(x 1+x 2) + p 24 =4p 2.则 p2(x 1+x 2)=7p2⇒x 1+x 2=7p ．⇒2pm 2=6p.⇒m= √3 .（m ＞0）. θ=π6 ． 则直线CD 的倾斜角为 2π3 .其斜率为- √3 ． 故选：ACD ．【点评】：本题考查了抛物线的性质.韦达定理.弦长公式.考查了数学运算.属于中档题．13.（填空题.3分）已知空间向量 a =（- √32 . 12 .1）. b ⃗ =（- √32 . 12.0）.若空间单位向量 c 满足： c •a =c •b ⃗ =0.则 c =___ 【正确答案】：[1]± (12，√32，0) 【解析】：设 d = λc =（x.y.z ）.由 c •a =c •b ⃗ =0.可得 d •a = c • b ⃗ =0.即 −√32 x+ 12 y+z=0. −√32 x+ 12y=0.令x=1.解得y.z 即可得出．【解答】：解：设 d = λc =（x.y.z ）.∵ c •a =c •b ⃗ =0. 则 d •a = c • b ⃗ =0. ∴ −√32 x+ 12 y+z=0. −√32 x+ 12 y=0. 令x=1.则y=- √3 .z=0． ∴ d=（1. √3 .0）． ∴ c =± d|d |=± (12，√32，0) ． 故答案为：．± (12，√32，0) ．【点评】：本题考查了空间向量、数量积运算性质、单位向量.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.3分）已知命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-1]∪[6.+∞）【解析】：命题p 是假命题.利用分离m.通过二次函数的最值转化求解．【解答】：解：∵命题p ：∃m∈[-1.1].a 2-5a-3＜m+2.且p 是假命题.则 ∴∀m∈[-1.1].a 2-5a-3≥m+2恒成立. ∴a 2-5a-3≥3. ∴a≤-1或a≥6.故答案为：（-∞.-1]∪[6.+∞）．【点评】：本题考查复合命题真假的关系.参数取值范围.考查转化、逻辑推理、计算能力． 15.（填空题.3分）已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 且b 1=a 1.则数列{b n }的通项公式b n =___ ． 【正确答案】：[1]2n+2-3【解析】：首先利用数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) 建立等量关系式.进一步求出数列的通项公式．【解答】：解：数列{a n }的通项公式是a n =2n+3（n∈N *）.数列{b n }满足 b n+1=a b n (n ∈N ∗) . 则：b n+1=2b n +3.所以b n+1+3=2（b n +3）.整理得b n+1+3b n +3=2 （常数）.所以数列{b n +3}是以b 1+3=8为首项.2为公比的等比数列． 所以 b n +3=8•2n−1=2n+2 . 故 b n =2n+2−3 （首项符合通项）. 故 b n =2n+2−3 ． 故答案为：2n+2-3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．16.（填空题.3分）抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点A （ √3 .m ）（m ＞1）到抛物线准线的距离为 134 .点A 关于y 轴的对称点为B.O 为坐标原点.△OAB 的内切圆与OA 切于点E.点F 为内切圆上任意一点.则 OE⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [3−√3，3+√3]【解析】：利用点 A(√3， m) 在抛物线上.求出m.点A 到准线的距离为 32p +p2=134.求出p.即可解出抛物线方程.设点F （cosθ.2+sinθ）（θ为参数）.化简数量积.求解范围即可．【解答】：解：因为点 A(√3， m) 在抛物线上.所以 3=2pm ⇒m =32p.点A 到准线的距离为 32p +p2=134. 解得 p =12 或p=6．当p=6时. m =14＜1 .故p=6舍去.所以抛物线方程为x 2=y.∴ A(√3， 3)， B(−√3， 3) .所以△OAB 是正三角形.边长为 2√3 .其内切圆方程为x 2+（y-2）2=1.如图4.∴ E (√32， 32) ．设点F （cosθ.2+sinθ）（θ为参数）.则 OE⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32cosθ+3+32sinθ=3+√3sin (θ+π6) .∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[3−√3， 3+√3] ．故答案为： [3−√3，3+√3] ．【点评】：本题考查抛物线的简单性质.直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用.考查转化思想以及计算能力．17.（问答题.0分）（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 的最小值； （2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .求a+b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）把 3x +1x−2 =3x-6+ 33x−6+6.利用基本不等式求出即可； （2）利用柯西不等式求出即可．【解答】：解：（1）已知x ＞2.求 3x +1x−2 =3x-6+ 33x−6 +6 ≥2√3+6 .当且仅当 x =2+√33时.取等号.3x +1x−2 的最小值 2√3+6 ； （2）已知a ＞0.b ＞0.且 1a +2b =2 .a+b= 12 （a+b ）（ 1a +2b ）≥ 12 （1+ √2 ）2= 3+2√22.当且仅当 b =√2a 时.取等号.故a+b 的最小值为 3+2√22．【点评】：考查基本不等式和柯西不等式的应用.中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2n+1-2（n∈N *）.{b n }是等差数列.且a 3=b 4-2b 1.b 6=a 4．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{（-1）n b n 2}的前2n 项和T 2n ．【正确答案】：【解析】：（1）通过 S n =2n+1−2 .转化求解 a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d.转化求解b n =3n-2．（2）利用分组求解数列的和转化求解即可．【解答】：解：（1）因为 S n =2n+1−2 .所以数列{a n }是以2为首项.公比为2的等比数列.所以 a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d.由a 3=b 4-2b 1.b 6=a 4.所以8=3d-b 1.16=5d+b 1. 所以3=d.b 1=1.所以b n =3n-2．（2） T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3（b1+b2）+3（b3+b4）+…+3（b2n-1+b2n）.又因为b n=3n-2.所以T2n=3（b1+b2）+3（b3+b4）+…+3（b2n-1+b2n）=3（b1+b2+…+b2n）.所以T2n=3×2n(b1+b2n)2=3n[1+3×(2n)−2]=18n2−3n．【点评】：本题考查数列的求和.等差数列以及等比数列的应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．19.（问答题.0分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.边长为2.利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A-B1C-A1的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）设点A1到平面ACB1的距离为d.由V A1−ACB1=V C−A1AB1.能求出点A1到平面ACB1的距离．（2）分别取B1C、A1C的中点E.F.连结AE.AF.EF.推导出∠AEF是二面角A-B1C-A1的平面角.由此能求出二面角A-B1C-A1的余弦值．【解答】：解：（1）∵△ACB1是边长为2 √2的等边三角形.∴ S△ACB1 = 12×2√2×2√2×sinπ3=2 √3 .∵ V C−A1AB1 = 13×2×12×2×2 = 43.设点A1到平面ACB1的距离为d.由V A1−ACB1=V C−A1AB1.得13×d×2√3=43.解得d= 2√33．故点A1到平面ACB1的距离为2√33．（2）分别取B1C、A1C的中点E.F.连结AE.AF.EF.∵△ACB1是边长为2 √2的等边三角形.∴AE⊥B1C.AE= 2√2×sinπ3= √6 .∵△A1B1C是直角三角形.EF是△A1B1C的中位线. ∴EF || A1B1.EF⊥B1C.EF=1.∴∠AEF是二面角A-B1C-A1的平面角.在△AEF中. AF=12A1C=√3 .∴cos∠AEF= 1+6−32√6= √63．∴二面角A-B1C-A1的余弦值为√63．【点评】：本题考查点到平面的距离的求法.考查二面角的余弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.AB=2.BC=1. PC=PD=√2 .E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD || 平面ACE；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M.使得AM⊥BD？若存在.求PMPD的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（I ）设BD 交AC 于点F.连结EF ．推导出EF || PD ．由此能证明PD || 平面ACE ． （II ）取CD 的中点O.连结PO.FO ．推导出PO⊥平面ABCD ．建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角E-AC-D 的余弦值．（Ⅲ）在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD ．设 PMPD =λ(λ∈[0，1])，M(x ，y ，z) .则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0，−1，0) ．利用向量法能求出在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD .且 PM PD =12 ．【解答】：（共14分）证明：（I ）设BD 交AC 于点F.连结EF ． 因为底面ABCD 是矩形.所以F 为BD 中点． 又因为E 为PB 中点.所以EF || PD ． 因为PD⊄平面ACE.EF⊂平面ACE. 所以PD || 平面ACE ．…．（4分） （II ）取CD 的中点O.连结PO.FO ． 因为底面ABCD 为矩形.所以BC⊥CD ．因为PC=PD.O 为CD 中点.所以PO⊥CD .OF || BC ．所以OF⊥CD ． 又因为平面PCD⊥平面ABCD.PO⊂平面PCD.平面PCD∩平面ABCD=CD. 所以PO⊥平面ABCD ．如图.建立空间直角坐标系O-xyz.则 A(1，−1，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E (12，12，12)设平面ACE 的法向量为m=（x.y.z ） AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，32，12)所以 {AC⃗⃗⃗⃗⃗ •m =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •m =0⇒{−x +2y =0，−12x +32y +12z =0⇒{x =2y ，z =−y. 令y=1.则x=2.z=-1.所以m=（2.1.-1）．平面ACD 的法向量为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) . cos ＜m ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=m•OP ⃗⃗⃗⃗⃗|m|•|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√66 ．如图可知二面角E-AC-D 为钝角.所以二面角E-AC-D 的余弦值为 −√66．…．（10分）（Ⅲ）在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD ．设 PMPD =λ(λ∈[0，1])，M(x ，y ，z) .则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0，−1，0) ． 因为（x.y.z-1）=λ（0.-1.-1）.所以M （0.-λ.1-λ）. AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1−λ，1−λ)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−2，0) ．因为AM⊥BD .所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ． 所以1-2（1-λ）=0.解得 λ=12∈[0，1] ．所以在棱PD 上存在点M.使AM⊥BD .且 PMPD =12 ．…．（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查空间想象能力.考查数形结合思想.是中档题． 21.（问答题.0分）已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a n 2+a n -2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =2n (n−1)na n（n∈N*）.求数列{b n }的前n 项和T n ．（3）是否存在实数λ使得T n +2＞λ•S n 对n∈N +恒成立.若存在.求实数λ的取值范围.若不存在说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论.进一步求出数列的通项公式．（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围．【解答】：解：（1）当n=1时.a 1=2．当n≥2时. 2a n =2(S n −S n−1)=2[(a n 2+a n −2)−(a n−12+a n−1−2)] .整理可得：（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0. 可得a n -a n-1=1.∴{a n }是以a 1=2为首项.d=1为公差的等差数列． ∴ a n =2+(n −1)×1=n +1(n ∈N ∗) ．（2）由（Ⅰ）得a n =n+1. ∴ b n =2n (n−1)n (n+1)=2n+1n+1−2nn ． ∴ T n =(222−2)+(233−222)+⋯+(2n+1n+1−2n n)=2n+1n+1−2 ．（3）假设存在实数λ.使得 2n+1n+1＞λn (n+3)2对一切正整数恒成立. 即 λ＜2n+2n (n+1)(n+3) 对一切正整数恒成立.只需满足 λ＜(2n+2n (n+1)(n+3))min即可.令 f (n )=2n+2n (n+1)(n+3).由数列的单调性可得.所以f （1）=1.f （2）= 815 .f （3）= 49 . f (4)=1635 ＜f （5）＜f （6）＜… 当n=3时有最小值 f (3)=49 ． 所以 λ＜49 ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.恒成立问题的应用.数列的求和的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型． 22.（问答题.0分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) .与x 轴负半轴交于A （-2.0）.离心率e =12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）两点.连接AM.AN 并延长交直线x=4于E （x 3.y 3）.F （x 4.y 4）两点.若 1y 1+1y 2=1y 3+1y 4.求证：直线MN 恒过定点.并求出定点坐标．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出a 、c.得到b.即可求椭圆C 的方程； （2）法1： {y =kx +m ，x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0 .通过韦达定理.结合k AM =k AE 推出y=kx+m=k （x-1）.说明直线MN 恒过定点（1.0）． 法2：设直线AM 的方程为：x=t 1y-2.通过 {x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0 求出E(4，6t1)同理F(4，6t2) .得到直线系方程说明直线过定点（1.0）．【解答】：解：（1）由题有a=2. e=ca =12．∴c=1.∴b2=a2-c2=3．∴椭圆方程为x24+y23=1．（2）法1：{y=kx+m，x24+y23=1．⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0 .△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0⇒m2＜12k2+9.x1+x2=−8km3+4k2 . x1x2=4m2−123+4k2．又k AM=k AE∴ y1−0 x1+2=y3−04+2⇒y3=6y1x1+2同理y4=6y2x2+2又1y1+1y2=1y3+1y4∴ y1+y2y1y2=x1+26y1+x2+26y2=x1y2+x2y1+2(y1+y2)6y1y2⇒4（y1+y2）=x1y2+x2y1⇒4（kx1+m+kx2+m）=x1（kx2+m）+x2（kx1+m）⇒（4k-m）（x1+x2）-2kx1x2+8m=0.⇒(4k−m)−8km3+4k2−2k(4m2−12)3+4k2+8m=0⇒24(k+m)3+4k2=0．∴m=-k.此时满足m2＜12k2+9∴y=kx+m=k（x-1）∴直线MN恒过定点（1.0）．法2：设直线AM的方程为：x=t1y-2则{x=t1y−2x24+y23=1⇒(3t1+4)y2−12t1y=0 .∴y=0或y1=12t3t12+4.∴ x1=t1y1−2=t112t13t12+4−2=6t12−83t12+4同理x2=6t22−83t22+4. y2=12t23t22+4.当x3=4时.由x3=t1y3-2有y3=6t1．∴ E(4，6t1)同理F(4，6t2) .又1y1+1y2=1y3+1y4.∴ 3t12+412t1+3t22+412t2=t16+t26. ⇒(t1+t2)(3t1t2+4)12t1t2=t1+t26.当t1+t2≠0时.t1t2=-4.∴直线MN的方程为y−y1=y1−y2x1−x2(x−x1)⇒y−12t13t12+4=12t13t12+4−12t23t22+46t12−83t12+4−6t22−83t22+4(x−6t12−83t12+4)⇒y−12t13t12+4=4t1+t2(x−6t12−83t12+4)⇒y=4t1+t2x−4t1+t2•6t12−8 3t12+4+12t13t12+4=4t1+t2x−4(3t12+4)(3t12+4)(t1+t2)=4t1+t2(x−1) .∴直线MN恒过定点（1.0）当t1+t2=0时.此时也过定点（1.0）综上直线MN恒过定点（1.0）．【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用.考查发现问题解决问题的能力.是难题．。

江苏省扬州中学高二年级１2月质量检测数 学(满分160分,考试时间120分钟)一、填空题：(本大题共14小题,每小题5分,共７0分.)１.命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．2.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ．3.“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的” 条件.(填“充要条件”、“ 充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一）4.已知函数)1(2)('2--=xf x x f ,则)1('-f = .５．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则的值为 . 6．已知函数x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增,则实数的取值范围是 ． 7． 若函数x a ax x x f )2(ln )(2+-+=在21=x 处取得极大值，则正数的取值范围是 .８． 若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，且过点(2,3),则曲线C 的方程为 ．9.在平面直角坐标系xoy 中,记曲线)2,(2-≠∈-=m R x xmx y 在1=x 处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 . １0．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的的取值范围是 . 1１．在平面直角坐标系ｘO ｙ中,圆C 的方程为(x －１)2＋（y -1)２=9，直线l ：y ＝ｋｘ＋3与圆C 相交于A ，Ｂ两点，M 为弦ＡB 上一动点,以Ｍ为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ．12.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于B A ,两点.若BF AF ⊥,则双曲线的渐近线方程为 .2016.121３．已知函数2)(1-+=-x e x f x （为自然对数的底数).3)(2+--=a ax x x g ．若存在实数21,x x ,使得0)()(21==x g x f ．且121≤-x x ，则实数的取值范围是 .14．设函数axee xf 2)(-=,若)(x f 在区间)3,1(a --内的图象上存在两点,在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 .二、解答题(本大题共6小题,共９0分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分)已知命题p :函数6)34()(23++++=x a ax x x f 在),(+∞-∞上有极值,命题：双曲线1522=-ax y 的离心率)2,1(∈e .若q p ∨是真命题,q p ∧是假命题，求实数的取值范围．1６.(本小题满分１4分）设函数()2ln 2x f x k x =-,0k >．(１)求()f x 的单调区间和极值；(2)证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.１7．（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B . (1)若直线平行于AB ,与圆C 相交于M ,N 两点，MN AB =，求直线的方程；（2)在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=?若存在，求点P 的个数;若不存在,说明理由．1８.（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ,与轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点,过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. （1)求椭圆E 的标准方程；（2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程;（3)求BCD ∆面积的最大值.19.（本小题满分１６分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ,AB =k ｍ,BC =km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口,其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称,矩形内筝形外的区域均为绿化区. （１)请确定入口F 的选址范围;（２)设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?xyDCOBA20.(本小题满分16分)设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.(1)若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线,求实数的值;（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -(为自然对数的底数),求实数的值;(3）若关于的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假 ２.xy 43±= 3. 充分不必要 4. 32- ５. １ 6. [1,1]- 7. （0，2） ８．225x y -= 9． －３或-4 10.(,1)(0,1)-∞-11．1-错误!，+∞) 12. 2y x =±1３． 12，３]． 14.解：当x≥２a 时，f （x)=｜e x ﹣e 2ａ|=e x ﹣ｅ2a ,此时为增函数, 当ｘ<２a 时，f(x)=|ｅx ﹣e 2ａ|＝﹣e ｘ+e 2a ,此时为减函数, 即当x=２a 时,函数取得最小值0，设两个切点为M （x 1,ｆ（x １））,N((x 2，f(x 2））, 由图象知,当两个切线垂直时,必有,ｘ1＜2a ＜x 2， 即﹣１<２a<3﹣ａ，得﹣＜ａ<1，∵k 1k 2=f′（x １）f′(ｘ2)=e ｘ１•（﹣e x ２)=﹣e x １+x2=﹣1, 则eｘ1+x2=１，即x 1+x ２=０，∵﹣1<x 1<0,∴0＜ｘ2<1，且x 2>2a ， ∴2a<1,解得a ＜, 综上﹣<a ＜, 故答案为：(﹣，)．1５．解：命题p:ｆ′（x)=３ｘ２+2ax+a+， ∵函数ｆ（ｘ）在（﹣∞，＋∞)上有极值, ∴f′(x ）＝0有两个不等实数根,∴△＝4ａ2﹣４×３(ａ＋）=４a 2﹣4（3a+4)>0, 解得ａ＞4或ａ<﹣1； 命题q ：双曲线的离心率ｅ∈（1，２),为真命题，则∈(１,2),解得0＜a<15.∵命题“p ∧q”为假命题,“ｐ∨q”为真命题, ∴p 与q 必然一真一假, 则或，解得:ａ≥１5或0<a≤4或a ＜﹣１. 16.所以,()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是()k +∞；()f x 在x k =(1ln )2k k f k -=. (Ⅱ）由(Ⅰ)知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )(2k k f k -=. 因为()f x 存在零点,所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥． 当k e =时,()f x 在区间)e 上单调递减，且(0f e =， 所以x e =()f x 在区间e 上的唯一零点．当k e >时,()f x 在区间e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02e kf e -=<， 所以()f x 在区间e 上仅有一个零点．综上可知,若()f x 存在零点，则()f x 在区间e 上仅有一个零点.考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题. 17．．（2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ,则22(2)4x y -+=,222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， 0因为22|22|(20)(01)22--+-<+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为．…………………………………………………………14分１８. 解:(1）由题意得53c a =,2455a c c -=,解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．………4分(2)设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在,设为1234,,,k k k k ,则001200,33y y k k x x ==+-+,00340033,x x k k y y +-=-=, 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++,消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++,化简得3x =, 故点D 在定直线3x =上运动． ……１０分(3)由(2)得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+,又2200194x y +=, 所以220994y x -=-，则20000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-,所以点D 到直线BC 的距离为00005944D y y y y y -=--=, 将0y y =代入22194x y +=得x =±， 所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =,BCD ∆面积的最大值为274． ……１６分 １９.解:（1)以Ａ为原点，AB 所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为, 而EG AF ⊥,故EG 的斜率为1a-, 则EG 的方程为()11y a x a-=--, 令0x =,得1G y a a=+; ………2分 令0y =，得21E x a =+; … …4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得220102a a a ⎧-≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩, 21a ∴≤≤，即入口F 的选址需满足BF的长度范围是[42]-（单位:km).……６分 （2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭, 故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCD ABCD S S S S S S S S -==-=-, ……９分 所以要使21S S 最大，只需1S 最小. 设()3112,[2S f a a a a a==++∈ ……1０分 则()()())()2224222222111311132132a a a a a f a a a a a a -++-++-'=+-===令()0f a '=，得a =a =(舍）, ………12分()(),,a f a f a '的情况如下表:22⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭ 1 ()f a '0 +()f a减极小增故当3a =，即入口F满足BF =km 时,该商业区的环境舒适度指数最大1６分 20.解：（1)()ln f x ax x=-+，()1f x ax'∴=-， 设切点横坐标为0x ,则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩…………2分消去，得0ln 0x =,故01x =，得 2.a =- ………4分 （２)()22111,1,1,f x a x e x e x'=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时,()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立,()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e =>-,舍去； ……………５分 ②当1a ≥时,()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-，舍去; ………６分 ③当211a e <<时,由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩,得11x a ≤<;由()201f x x e'⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在21,e a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭,得2ln 0ae a --=, ……8分 设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()10g a e a '=-<,()g a 单调递减, 当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a'=->,()g a 单调递增， 故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③,1a e=. ……………1０分(3)方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-， 令()1ln 2h x x x =+,故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-,………１2分 由（2)可知()h x 在()0,+∞上单调递增,故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=(※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根, ……………1３分①当410t ∆=+=,即14t =-时，方程(※）的实数根为1124x =>-,满足题意；---- ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ)若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =,当0t =时方程(※)的两根为0,1,符合题意;当2t =时方程(※）的两根为2,1-，不合题意,舍去; Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<; 综合①②，实数的取值范围为02t ≤<或14t =-.…………16分。

扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考物理试题注意事项： 请将所有答案填写在答题卡上．考试时间为75分钟，满分值为100分．一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）公众号高中僧试题下载1．物体做受迫振动，驱动力的频率开始时大于物体的固有频率，则在驱动力的频率逐渐减小到零的过程中，物体的振幅将（ ）A ．增大B ．减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大2．在观察光的全反射实验中，用激光笔从A点照射半圆形玻璃砖的圆心O 点，发现有OB 、OC 两条细光束。

当入射光束AO 绕O 点顺时针转动小角度θ，OB 、OC 也会随之转动。

则（ ）A ．光束OB 顺时针转动的角度大于θB ．光束OC 逆时针转动的角度小于θC ．光束OB 逐渐变亮D ．光束OC 逐渐暗3．利用如图所示的实验装置研究双缝干涉现象并测量光的波长，下列说法正确的有（ ）A ．实验装置中的①②③元件分别为滤光片、单缝、双缝B ．将滤光片由紫色换成红色，干涉条纹间距变窄C ．将单缝向双缝移动一小段距离后，干涉条纹间距变宽D ．测量过程中误将5个条纹间距数成6个，波长测量值偏大4．关于单摆的认识，下列说法中正确的是（ ）A．伽利略通过对单摆的深入研究，得到了单摆周期公式2022.12B ．摆球运动到平衡位置时，摆球所受的合力为零C ．将钟摆由绍兴移至哈尔滨，为保证钟摆走时的准确，需要将钟摆摆长调长些D ．利用单摆测量重力加速度的实验中，误将摆线长0L 当做摆长，利用20T L -图的斜率导致测量结果偏小5．关于薄膜干涉现象及其应用下列说法正确的是（ ）A ．如图甲所示，竖直放置的肥皂薄膜，来自前后两个面的反射光发生干涉，形成明暗相间的竖直条纹B ．如图乙所示，照相机的镜头表面常常镀一层透光膜，膜的外表面和玻璃表面反射的光发生干涉使镜头看起来有颜色，膜的厚度为光在膜中波长的12C ．如图丙所示，利用光的干涉检查平整度，用单色光从上面照射，空气膜的上下两个表面反射的两列光波发生干涉，图中条纹弯曲说明此处是凹下的D ．如图丁所示，把一个凸透镜压在一块平面玻璃上，让单色光从上方射入，从上往下看凸透镜，可以看到等间距的明暗相间的圆环状条纹6．一质量为2kg 的物体受水平拉力F 作用，在粗糙水平面上做加速直线运动时的a t -图像如图所示，t ＝0时其速度大小为2m/s 。

江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π62. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 83. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 164. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10B. 16C. 20D. 266. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A 小于1B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关.7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB +的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A. 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为412. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 最小值为6.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.15. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.的的四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8xty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .21.已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.的的江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】求出直线AB 的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，且tan α==，故π3α=.故选：B.2. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线求得p 的值【详解】由题意可得：22p-=，则4p =-故选：B3. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设12cos ,5sin x y θθ==，得到13sin()x y θϕ+=+，求得x y +的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆22114425x y +=，可设12cos ,5sin x y θθ==，其中[]0,2πθ∈，则12cos 5sin 13sin()x y θθθϕ=+=++，其中12tan 5ϕ=，因为1sin()1θϕ-≤+≤，所以1313x y -≤+≤，即x y +的取值范围为[]13,13-，结合选项，可得A 符合题意.故选：A.4. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10 B. 16C. 20D. 26【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可得122MF MF a +=，122NF NF a +=，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，.则2MNF 的周长为：22112244520MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==⨯=.故选：C .6. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A. 小于1 B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 的坐标，由对称性可得OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，由正弦定理得到12sin OM R OAB =∠，22sin OMR OBA=∠，故12R R =，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线2:16C y x =的焦点坐标为()4,0F ，将4x =代入2:16C y x =中，8y =±，不妨令()()4,8,4,8A B -，由对称性可知,A B 两点关于y 轴对称，OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，当点M 在A 点上方时，()12sin sin πsin OM OM OM R OAM OAB OAB===∠-∠∠，当点M 在A 点上方时，12sin OMR OAB=∠，同理22sin OMR OBA=∠，因为OBA OAB ∠=∠，所以12R R =，所以圆1C 圆2C 面积的比值为1.故选：B7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB + 的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点(),P x y ，根据垂径定理可得点P 的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又2MA MB MP +=，即可得解.【详解】设AB 中点(),P x y ，则()6,CP x y =- ，()4,NP x y =-，所以()()2640CP NP x x y ⋅=--+= ，即()2251x y -+=，所以点P 的轨迹为以()5,0E 为圆心，1为半径的圆，所以11ME MP ME -≤≤+，5ME ==，所以46MP ≤≤，又2MA MB MP +=，所以MA MB +的最大值为12，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=【答案】ABD 【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A ，根据垂直的条件判断B ，求出两坐标轴上截距判断C ，求出平行线间距离判断D ．【详解】选项A ，把坐标(0,1)代入直线方程而立，A 正确；选项B ，1a =-时直线l 方程为10x y -+=，斜率是1，直线0x y +=斜率是1-，两直线垂直，B 正确；选项C ，0a =时直线方程为10x y -+=，在x 轴上截距为=1x -，在y 轴上截距为1y =，不相等，C 错；选项D ，211a a ++=即0a =或1-时，直线l 方程为10x y -+=与直线0x y -=平行，距离为d ==D 正确．故选：ABD ．10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上【答案】ABD.【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =-B. 121=x xC. 254PQ = D. 1l 与2l 之间的距离为4【答案】BC【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =，由韦达定理得124y y =-，进而求得121=x x ，可判断B ；先求点P 的坐标，再结合124y y =-可得点Q 的坐标，然后利用斜率公式即可判断A ；根据抛物线的定义可知12Q x p P x ++=，可判断C ；由于1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离12d y y =-，可判断D .【详解】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121=x x ，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为(1,14)，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，121254244PQ x x p =++=++=，故C 正确；1l 与2l 平行，1l ∴与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选：BC.12. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8B. 212PF PF OP -为定值C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB【解析】【分析】设00(,)P x y ，由2221208PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合Δ0=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---===-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226b a=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．【答案】y =【解析】【分析】由c e a ===b a =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>c e a ===222b a =，所以b a =，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>渐近线方程为：b y x a =±=.故答案为：y =14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】1,14⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.25,1-【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P 点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P 点的坐标.【详解】根据题意，由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为PF 等于P 到准线的距离PQ ，所以PF PA PQ PA AQ +=+≥，可知当A ，P 及P 到准线垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，此时点P 的纵坐标为1，将y ＝1代入抛物线方程求得14x =-，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，再结合222a c b -=即可求解出a 、b ，进而求出面积.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，记AB 的中点为M ，即(2,1)M -，因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，因为直线AB 过椭圆焦点()3,0F ，所以直线AB 斜率为121201132y y k x x --===--，又因为A ，B 在椭圆22221x y a b+=上，的所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，代值化简得222b a =，因为椭圆22221x y a b+=的焦点为()3,0F ，所以22a b 9-=，得a =，3b =，由题意可知，椭圆的面积为ab π=.故答案为：.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，由P 在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，进而求直线12C C 的斜率，再根据直线12C C 、(0)y kx k =>倾斜角的关系求k 值.【详解】由题设，圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，且一个交点P (3,2)，∴1C 和2C 在第一象限，若,a b 分别是圆1C 和圆2C 的半径，可令1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，∴222222(3)+(2){(3)+(2)ma a a mb b b --=--=，易知：,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，又132ab =，∴213132m =，可得m =12C C k =，而直线12C C 的倾斜角是直线(0)y kx k =>的一半，∴1212221C C C C k k k ==-.故答案为：【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，结合已知确定,a b 为方程的两个根，应用韦达定理求参数m ，进而求12C C 斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k 值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）163m = （2）4m =-，()±【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得4m =-，进一步计算得到c 的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b ==则离心率12c e a ===，解得163m =故163m =【小问2详解】由题意得 4m =-，c ===故焦点坐标为()±18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】的.【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.【答案】（1）()22116x y -+=（2）3x =或3490x y --=【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，令0y =，可得20x Dx F ++=，则122x x D +=-=，将()()1,4,5,0A B 代入可得，116402550D E F D F ++++=⎧⎨++=⎩，解得2015D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆C 方程为222150x y x +--=，即()22116x y -+=.【小问2详解】圆C 的圆心()1,0C ，圆M 的圆心与()1,0C 关于10x y -+=对称，∴设圆M 的圆心为(),M a b 则11022111a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，圆M 的标准方程为：()()221216x y ++-=，若过点()3,0的直线斜率不存在，则方程为3x =，此时圆心()1,2C -到直线3x =的距离为314r +==，满足题意；若过点()3,0且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，则圆心到直线30kx y k --=4，解得34k =，所以切线方程为39044x y --=，即3490x y --=，综上，过点()3,0且与圆C 相切的直线方程为3x =或3490x y --=.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8x ty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .【答案】（1）28y x =（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l 与抛物线联立后，利用韦达定理求出0OA OB ⋅= 即可得证.【小问1详解】由双曲线方程()2211551x y m m m -=<<--知其焦点在x 轴上且焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以2(2,0)F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，得242p p =⇒=，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22886408x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，2644640t ∆=+⨯>由韦达定理得128y y t +=，1264y y =-所以12121212(8)(8)OA OB x x y y ty ty y y ⋅=+=+++ 21212(1)8()64t y y t y y =++++2(1)(64)8(8)640t t t =+-++=所以OA OB ⊥ ，所以以AB 为直径的圆经过原点O .得证21. 已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB （O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.【答案】（11k <<（2）k =【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过OAB 面积求解出12x x -，从而求解出k 的值.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩，整理得：()221390,k x ---=因为直线:R)l y kx k =∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点，所以()2212212130361090130k k x x k x x ⎧-≠⎪=->⎪⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪+=<⎪⎩ ，解得210,13k k ><<1k <<，【小问2详解】设点O到直线:R)l y kx k =∈的距离为d，则d =，212OAB S AB d x ==-=- ，又因为S =，所以1212,5x x -=又因为12125x x -==，代入12212913x x k x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩125，整理得4236210k k+-=1k <<，解得k =，此时直线l的斜率k.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:184x y C += （2）存在，1y =【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得222a b =，再将(2代入椭圆的方程可得228,4a b ==，即可求出椭圆的方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立直线MN 和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线AN 的方程和直线BM 的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】，即c e a ===，所以2212b a =，所以222a b =，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2，所以224212b b +=，解得：228,4a b ==，所以椭圆C 方程为22184x y +=.【小问2详解】因为()()0,2,0,2A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立方程221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221216240k x kx +++=，()()222Δ164241264960,k k k =-⨯⋅+=->得232k >则1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++直线AN 的方程为：2222y y x x --= ，直线BM 的方程为：1122y y x x ++=，联立两直线方程消元：()()2112112122222226y x kx x x y y y x kx x x -+-==+++ 法1：由()221216240k x kx +++=解得：12x x ==，代入化简，2123y y -===-+，解得：1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法2：由韦达定理得1221612k x x k-=-+代入化简()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k -⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭===-+++++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法3：由1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++，得()121232x x kx x -+=⋅代入化简()()1211223221232362x x x y y x x x -++-==-+-++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法4： 代()11,M x y 点进椭圆方程得2211184x y +=化简得()()221111221844y y x y +-=-=进而得到()()1111222y x y x -=+，代入化简()()121222222y y y y x x ----=+⋅转化为韦达定理代入()()()()1212121222222222y y kx kx y y x x x x ----++-==+⋅⋅()22221212122241622422412122412k k k k x x k x x k k x x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡⎤-+++++⎣⎦⎝⎭==⋅+22222243248211224312k k k k k -++-⋅+=-+，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 直线的倾斜角为( )A.B.C.D.2. 已知点，，若圆上存在不同的两点，使得，且，则的取值范围是( )A.B.C.D.3. 已知原点，则点到直线的距离等于( )A.B.C.D.4. 直线在轴上的截距为（ ）A.B.3x +y −1=03–√60∘30∘150∘120∘A(m,m +6)B(m +2,m +8)C ：+−4x −4y −10=0x 2y 2P ，Q PA ⊥PB QA ⊥QB m (−2−,−2+)7–√7–√(−,)7–√7–√(−2−,−2+)6–√6–√(−,)6–√6–√O(0,0)O x +y +2=0122–√2–√2−=1x 4y3y 34C.D.5. 已知圆＝与圆＝关于直线对称，则直线的方程是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝6. 已知直线与互相垂直，则 A.B.C.D.7. 已知圆，若直线过定点，且与圆相切，则的方程为 A.B.或C.D.或8. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9. 下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )−3−4(x −7+(y +4)2)29(x +5+(y −6)2)29l l 5x +6y −1106x −5y −106x +5y −1105x −6y +10:y =ax +1l 1:y =x +2l 23–√a =()3–√−3–√3–√3−3–√3(x −1+(y −2=1)2)2l (2,4)C l ()3x −4y +6=0x =23x −4y +6=03x −4y +10=0x =23x −4y +10=0+=16(x −2)2(y −3)2(3,5)AC BD ABCD 811−−√611−−√411−−√2x +≥01A.，B.所有正方形都是矩形C.，D.，10. 若直线＝与曲线＝有公共点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.11. 直线与圆相交于，两点，若，则的取值可以是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 平行线和的距离是________．13. 已知圆：上的两点，关于直线对称，那么________．14. 直线关于直线对称的直线方程是________．15. 已知圆与圆，，分别为圆与圆上的动点，则的最大值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）∀x ∈R −x +≥0x 214∀x ∈R +2x −2=0x 2∃x ∈R +1=0x 3y x +b y 3−b y =kx +3(x −3+(y −2=4)2)2M N MN ≥23–√k −1−12013x +4y −9=06x +my +2=0C (x +1+(y −3=9)2)2P Q x +my +4=0m =x +3y −1=0x −y +1=0：(x −2cos θ+(y −2sin θ=1C 1)2)2：+=1C 2x 2y 2P Q C 1C 2|PQ |M(2,−2)+−6x =022+=42216. 求经过点以及圆与圆交点的圆的方程．17. 已知圆，与轴交于，两点且在的上方．且直线与圆相切．求实数的值；若动点满足，求面积的最大值．18. （1）求过点，斜率是直线＝的斜率的的直线方程；（2）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程．19. 已知圆，圆．过原点的直线与圆的交点依次是，，．若，求直线的方程；若线段的中点为，求点的轨迹方程．20. 已知圆，直线.若直线与圆相离，求的取值范围；若直线与圆相交于，两点，且，求直线在轴上的截距；已知点，问是否存在实数，当与圆相交于，两点时满足且. 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21. 求过点且与圆相切的直线方程.M(2,−2)+−6x =0x 2y 2+=4x 2y 2O :+=(r >0)x 2y 2r 2y M N M N y =2x +5–√O (1)r (2)P PM =PN 3–√△PMN A(1,3)y −4x A(−5,2)x y 2:+=2C 1(x −1)2(y +1)2:+=5C 2(x +2)2(y +1)2O l ,C 1C 2P O Q (1)|OQ|=2|OP|l (2)|PQ|M M C :++2x −3=0x 2y 2l :x +y +t =0(1)l C t (2)l C M N |MN|=22–√l x (3)A(0,b)t l C P Q PA ⊥QA |AP|=|AQ|t (2,4)(x −1+(y −2=1)2)2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】直线的倾斜角【解析】先求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．【解答】解：∵直线的斜率是：，∴倾斜角是.故选．2.【答案】A【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意可得，以为直径的圆与圆相交，则圆心距，解得.故选.3.【答案】Ck =−3–√120∘D AB (x −m −1+(y −m −7=2)2)2C :(x −2+(y −2=18)2)2d =∈(2,4)(m −1+(m +5)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√2–√−2−<m <−2+7–√7–√A【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由点到直线的距离公式得：点到直线的距离等于.故选.4.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】利用直线在轴上的截距的定义，根据直线的截距式方程，直接求出直线在轴上的截距．【解答】根据直线的截距式方程：；可知直线 在轴上的截距为，5.【答案】B【考点】关于点、直线对称的圆的方程【解析】根据题意，设圆＝的圆心为，圆＝的圆心为，求出、的坐标，分析可得直线为的垂直平分线，结合的坐标分析可得答案．【解答】根据题意，设圆＝的圆心为，圆＝的圆心为，圆＝，圆心为，圆＝，其圆心为，O x +y +2=0=|0+0+2|+1212−−−−−−√2–√C y y +=1x 4y −3−=1x 4y 3y −3(x −7+(y +4)2)29M (x +5+(y −6)2)29N M N l MN MN (x −7+(y +4)2)29M (x +5+(y −6)2)29N (x −7+(y +4)2)29M (7,−4)(x +5+(y −6)2)29N (−5,6)(x −7+(y +4)2)2(x +5+(y −6)2)2若圆＝与圆＝关于直线对称，则直线为的垂直平分线，又由，，则＝＝-，则＝，的中点坐标为，则直线的方程为＝，变形可得＝，6.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】两直线互相垂直的充要条件是：，由此建立关于的方程，解之即可得到实数的值．【解答】解：∵直线与互相垂直，∴，解得.故选．7.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：当切线的斜率不存在时，圆的切线的方程为.当切线的斜率存在时，设直线，过定点，则，，∵圆心为，半径为，(x −7+(y +4)2)29(x +5+(y −6)2)29l l MN M(7,−4)N(−5,6)k MN k l MN (1,1)l y −1(x −1)6x −5y −10=−1k 1k 2a a :y =ax +1l 1:y =x +2l 23–√a =−13–√a =−3–√3D (x −1+(y −2=1)2)2l x =2l ：y =kx +b l (2,4)2k +b =4y =kx +4−2k (1,2)1C l若圆与相切，则圆心到直线的距离为，∴由圆心到切线的距离等于半径可得，求得，故圆的切线方程为.综上可得，圆的切线方程为，或.故选.8.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意可知，过的最长弦为直径，最短弦为过且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：由圆的方程为，可知圆心为，半径为，最长的弦为圆的直径，所以，圆心与点的距离,根据勾股定理得最短的弦长为,所以四边形的面积为：.故选.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9.【答案】A,B【考点】命题的真假判断与应用C l l 1=1|k −2+4−2k|+1k 2−−−−−√k =343x −4y +10=0x =23x −4y +10=0D (3,5)(3,5)+=16(x −2)2(y −3)2(2,3)4AC =2×4=8(2,3)(3,5)d ==+(3−2)2(5−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√BD =2=216−5−−−−−√11−−√ABCD S =|AC|⋅|BD|=×8×2=8121211−−√11−−√A全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】首先判断是否为全称命题，再判断命题的真假，即可得到答案.【解答】解：，是全称量词命题，且恒成立，故为真命题，故正确；，是全称量词命题，且所有正方形都是矩形是正确的，故为真命题，故正确；，是全称量词命题，当时，，故为假命题，故错误；，是特称量词命题，故错误.故选.10.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】曲线即 ＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆，由圆心到直线＝的距离等于半径，解得 ＝，＝．结合图象可得的范围．【解答】如图所示：曲线＝，即＝-，平方可得＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆．由圆心到直线＝的距离等于半径，可得＝，∴＝，或＝．结合图象可得，故选：．11.A −x +=≥0x 214(x −)122AB BC x =0+2x −2=−2≠0x 2CD D AB (x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3)A(2,3)2y x +b 2b 1+2b 1−2b y 3−y −3(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3,0≤x ≤4)A(2,3)2y x +b 22b 1+2b 1−21−2≤b ≤3C【答案】B,C【考点】直线与圆的位置关系【解析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于时，弦长等于，故当弦长大于或等于时，圆心到直线的距离小于或等于，解此不等式求出的取值范围．【解答】解：设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，，∴，即，化简得，∴.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】【考点】两条平行直线间的距离【解析】利用两直线平行求得的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．【解答】解：由直线和平行，得．∴直线化为，即．∴平行线和的距离是．故答案为：．13.【答案】123–√23–√1k (3,2)y =kx +3d MN =2≥24−d 2−−−−−√3–√0<d ≤1≤1|3k −2+3|+1k 2−−−−−√8k(k +)≤034−≤k ≤034BC 2m 3x +4y −9=06x +my +2=0m =86x +my +2=06x +8y +2=03x +4y +1=03x +4y −9=06x +my +2=0==2|−9−1|+3242−−−−−−√1052圆的标准方程【解析】由题意可得，圆心在直线上，把圆心坐标代入直线方程即可求得的值．【解答】解：由题意可得，圆心在直线上，∴，解得 ，故答案为：．14.【答案】【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】联立，解得交点为．在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则解得．利用点斜式即可得出直线的方程，则直线即为所求．【解答】解：联立，解得．其交点为．在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则解得，即．∴直线的方程为，化为，即为所求．故答案为．15.【答案】(−1,3)x +my +4=0m (−1,3)x +my +4=0−1+3m +4=0m =−1−13x +y +1=0{x +3y −1=0x −y +1=0M x +3y −1=0P(1,0)P x −y +1=0Q(m,n) −+1=0m +12n 2×1=−1n m −1Q MQ MQ {x +3y −1=0x −y +1=0 x =−12y =12M(−，)1212x +3y −1=0P(1,0)P x −y +1=0Q(m,n) −+1=0m +12n 2×1=−1n m −1{m =−1n =2Q(−1,2)MQ y −2=(x +1)−212−−(−1)123x +y +1=03x +y +1=0点与圆的位置关系圆的标准方程两点间的距离公式【解析】先求出两个圆的圆心距的值，再根据的最大值为加上两个圆的半径，运算求得结果．【解答】解：由题意可得，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径．两个圆的圆心距为 ，故的最大值为，故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】解：设过圆与圆交点的圆的方程为：，①把点的坐标代入①式，得，把代入①并化简，得，故所求圆的方程为：.【考点】圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设过圆与圆交点的圆的方程为：，①把点的坐标代入①式，得，把代入①并化简，得，故所求圆的方程为：.17.【答案】d |PQ |d C 1(2cos θ,2sin θ)=1r 1C 2(0,0)=1r 2d ==2(2cos θ−0+(2sin θ−0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√|PQ |d ++=2+1+1=4r 1r 24+−6x =0x 2y 2+=4x 2y 2+−6x +λ(+−4)=0x 2y 2x 2y 2M (2,−2)λ=1λ=1+−3x −2=0x 2y 2+−3x −2=0x 2y 2+−6x =0x 2y 2+=4x 2y 2+−6x +λ(+−4)=0x 2y 2x 2y 2M (2,−2)λ=1λ=1+−3x −2=0x 2y 2+−3x −2=0x 2y 2(1)y =2x +–√解：直线与圆相切，圆心到直线的距离为：，．设点，点，，，，，即，点在圆心为，半径为的圆上，点到轴的距离最大值为，∴面积的最大值为：．【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式轨迹方程【解析】求出圆的圆心，利用直线与圆相切，圆心 到直线的距离为半径，求解即可．设点，点，；，利用，推出点在圆心为 ，半径为的圆上，求出点到轴的距离最大值为，然后求解面积的最大值．【解答】解：直线与圆相切，圆心到直线的距离为：，．设点，点，，，，，即，点在圆心为，半径为的圆上，点到轴的距离最大值为，∴面积的最大值为：．18.【答案】斜率是直线＝的斜率的的直线斜率＝．利用点斜式可得：＝-．(1)∵y =2x +5–√O ∴O (0,0)y =2x +5–√d ==15–√5–√∴r =1(2)P (x,y)M (0,1)N (0,−1)MN =2∵PM =PN 3–√∴+=3[+]x 2(y −1)2x 2(y +1)2++4y +1=0x 2y 2∴P (0,−2)3–√∴P y 3–√△PMN ×2×=123–√3–√(1)y =2x +5–√O O (0,0)y =2x +5–√(2)P (x,y)M (0,1)N (0,−1)MN =2PM =PN 3–√P (0,−2)3–√P y 3–√△PMN (1)∵y =2x +5–√O ∴O (0,0)y =2x +5–√d ==15–√5–√∴r =1(2)P (x,y)M (0,1)N (0,−1)MN =2∵PM =PN 3–√∴+=3[+]x 2(y −1)2x 2(y +1)2++4y +1=0x 2y 2∴P (0,−2)3–√∴P y 3–√△PMN ×2×=123–√3–√y −4x k −4×y −8(x −7)直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：＝-．直线不经过原点时，设直线方程为：，把点+＝．化为：＝．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）斜率是直线＝的斜率的的直线斜率＝＝-．利用点斜式可得．（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：＝-．直线不经过原点时，设直线方程为：＝，把点代入解得即可得出．【解答】斜率是直线＝的斜率的的直线斜率＝．利用点斜式可得：＝-．直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：＝-．直线不经过原点时，设直线方程为：，把点+＝．化为：＝．19.【答案】解：设直线的方程为，，到直线的距离为，，由条件，即，∴，整理，得，解得或，∴直线的方程为或 ．设，则由消去得，解得，，其中，∴．由消去，得，y x A(−51x +2y +20y −4x k −4×y x 1A(−5,2)a y −4x k −4×y −8(x −7)y x A(−51x +2y +20(1)l y =kx C 1C 2l d 1d 22=45−d 22−−−−−√2−d 21−−−−−√4−=3d 21d 224×−=3()|k +1|+1k 2−−−−−√2()|2k −1|+1k 2−−−−−√2−4k =0k 2k =0k =4l y =0y =4x (2)l :y =kx {y =kx ，(x +2+(y +1=5，)2)2y (1+)+(2k +4)x =0k 2x 2=0x 1=−x 22k +41+k 2k ≠−2Q (−,−)2k +41+k 2k (2k +4)1+k 2{y =kx ，(x −1+(y +1=2，)2)2y (1+)+(2k −2)x =0k 2x 22−2k解得，，其中，∴.设，则消去，得，（挖去点和）.【考点】点到直线的距离公式直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系及其判定【解析】暂无暂无【解答】解：设直线的方程为，，到直线的距离为，，由条件，即，∴，整理，得，解得或，∴直线的方程为或 ．设，则由消去得，解得，，其中，∴．由消去，得，解得，，其中，∴.设，=0x 3=x 42−2k 1+k 2k ≠1P (,)2−2k 1+k 2k (2−2k)1+k 2M(x,y) x =−，2k +11+k 2y =−，k (2k +1)1+k 2k ++x +2y =0x 2y 2(−,−)3232(,−)3565(1)l y =kx C 1C 2l d 1d 22=45−d 22−−−−−√2−d 21−−−−−√4−=3d 21d 224×−=3()|k +1|+1k 2−−−−−√2()|2k −1|+1k 2−−−−−√2−4k =0k 2k =0k =4l y =0y =4x (2)l :y =kx {y =kx ，(x +2+(y +1=5，)2)2y (1+)+(2k +4)x =0k 2x 2=0x 1=−x 22k +41+k 2k ≠−2Q (−,−)2k +41+k 2k (2k +4)1+k 2{y =kx ，(x −1+(y +1=2，)2)2y (1+)+(2k −2)x =0k 2x 2=0x 3=x 42−2k 1+k 2k ≠1P (,)2−2k 1+k 2k (2−2k)1+k 2M(x,y) =−，2k +1则消去，得，（挖去点和）.20.【答案】解：圆，.因为直线与圆相离，所以，所以，所以，所以或，所以或.，所以，所以，所以，所以，所以或.令则，所以直线在轴上的截距为或.假设存在满足题意的实数，联立方程，消去，整理得，因为直线与圆有两个交点，，所以，解得.设，则.因为，所以点在直线上，令得，所以，所以，因为，所以，即：，整理得：，把代入得，所以，满足.所以存在实数. x =−，2k +11+k 2y =−，k (2k +1)1+k 2k ++x +2y =0x 2y 2(−,−)3232(,−)3565(1)C :(x +1+=4)2y 2C(−1,0),r =2l C d >r >2|t −1|2–√|t −1|>22–√t −1>22–√t −1<−22–√t >2+12–√t <1−22–√(2)|MN|=2=2=2−r 2d 2−−−−−−√4−d 2−−−−−√2–√=2d 2d =2–√=|t −1|2–√2–√|t −1|=2t =−13y =0x =−t l x −31(3)t {++2x −3=0x 2y 2x +y +t =0y 2+2(t +1)x +−3=0x 2t 2l C P Q Δ>01−2<t <1+22–√2–√P (,),Q (,)x 1y 1x 2y 2+=−(t +1),=x 1x 2x 1x 2−3t 22|PA|=|QA|A y =x +1x =0y =1b =1A(0,1)PA ⊥QA +(−1)(−1)=0x 1x 2y 1y 2+(−−t −1)(−−t −1)=0x 1x 2x 1x22+(t +1)(+)++2+1=0x 1x 2x 1x 2t 2t 2+=−(t +1),=x 1x 2x 1x 2−3t 22=3t 2t =±3–√Δ>0t =±3–√直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：圆，.因为直线与圆相离，所以，所以，所以，所以或，所以或.，所以，所以，所以，所以，所以或.令则，所以直线在轴上的截距为或.假设存在满足题意的实数，联立方程，消去，整理得，因为直线与圆有两个交点，，所以，解得.设，则.因为，所以点在直线上，令得，所以，所以，因为，所以，即：，整理得：，把代入得，所以，满足.所以存在实数.21.(1)C :(x +1+=4)2y 2C(−1,0),r =2l C d >r >2|t −1|2–√|t −1|>22–√t −1>22–√t −1<−22–√t >2+12–√t<1−22–√(2)|MN|=2=2=2−r 2d 2−−−−−−√4−d 2−−−−−√2–√=2d 2d=2–√=|t −1|2–√2–√|t −1|=2t =−13y =0x =−t l x −31(3)t {++2x −3=0x 2y 2x +y +t =0y 2+2(t +1)x +−3=0x 2t 2l C P Q Δ>01−2<t <1+22–√2–√P (,),Q (,)x 1y 1x 2y 2+=−(t +1),=x 1x 2x 1x 2−3t 22|PA|=|QA|A y =x +1x =0y =1b =1A(0,1)PA ⊥QA +(−1)(−1)=0x 1x 2y 1y 2+(−−t −1)(−−t −1)=0x 1x 2x 1x22+(t +1)(+)++2+1=0x 1x 2x 1x 2t 2t 2+=−(t +1),=x 1x 2x 1x 2−3t 22=3t 2t =±3–√Δ>0t =±3–√解：设直线方程为，即，圆心到直线的距离等于半径，即，可解得.即直线为.当直线的斜率不存在时，直线方程为，经检验，满足题意，综上，所求直线方程为或.【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线方程为，即，圆心到直线的距离等于半径，即，可解得.即直线为.当直线的斜率不存在时，直线方程为，经检验，满足题意，综上，所求直线方程为或.y −4=k(x −2)kx −y +4−2k =0=1|k −2+4−2k |1+k 2−−−−−√k =343x −4y +10=0x =23x −4y +10=0x =2y −4=k(x −2)kx −y +4−2k =0=1|k −2+4−2k |1+k 2−−−−−√k =343x −4y +10=0x =23x −4y +10=0x =2。

江苏省扬州市宝应县中学2022年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是（）A. B. C. D.参考答案：A2. 实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】根据五组（x，y）的值计算、，利用线性回归方程过样本中心点求出的值．【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程=0.7x+过样本中心点，则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故选：D．【点评】本题考查了平均数与线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．3. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（）A. B. C.D.参考答案：B由表中数据得，由在直线得，即线性回归方程为，经过计算只有和在直线的下方，故所求概率为，选B．【考点】线性回归方程，古典概型．4. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和B．求数列的前10项和C．求数列的前11项和D．求数列的前11项和参考答案：D略5. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 318参考答案：C经过第一次循环得到的结果为，；经过第二次循环得到的结果为，；经过第三次循环得到的结果为，；经过第四次循环得到的结果为，；经过第五次循环得到的结果为，，此时输出结果.故选C.6. 椭圆被直线所截得的弦长＝（）A. B. C. D.参考答案：B7. 已知圆：及直线，当直线被截得的弦长为时，则（）A B CD参考答案：C8. 设椭圆C：的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，且，求出a后结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：由题意知，c=2，且，∴a=4，又a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=16﹣4=12．∴C的标准方程为．故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础的计算题．9. ．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（0，1）参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0），得到抛物线y2=4x的2p=4， =1，所以焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线的方程是y2=4x，∴2p=4，得=1，∵抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0）∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．故选C10. 如图，5个(x,y)数据，去掉后，下列说法错误的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C. 相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强参考答案：B因为点距离回归直线越近，说明相关系数会越大，对应的残差平方和会越小，相关性就会越强，从散点图可以发现，将去掉之后，明显的所有的点里对应的回归直线就会越近，从而得到B是错误的，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为________．参考答案：50%12. 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有___________种.参考答案：6略13. 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）．参考答案：略14. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= ．参考答案：2【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】先利用面积公式，求出边a=4，再利用正弦定理求解比值．【解答】解：由题意，=×c×1×sin120°∴c=4，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．∴a=∴==2．故答案为：2．【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．15. 已知椭圆内部的一点为，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则的最小值为▲．参考答案：右准线方程为，设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．MA＋d≥2－1.答案：2－1点睛：本题利用椭圆的第二定义进行转化，即，所以d＝MF.即MA＋MF＝MA＋d，由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．16. 关于曲线C：，给出下列五个命题：①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C关于点对称；③曲线C上的点到原点距离的最小值为；④当时，曲线C上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是.上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）参考答案：①③④⑤【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】对于①：曲线方程为，交换，的位置后曲线方程不变，所以曲线关于直线对称，故该命题是真命题；对于②：在第一象限内，因为点，在曲线上，由图象可知曲线在直线的下方，且为凹函数如图，所以曲线C不关于点对称，故该命题是假命题；对于③：的最小值为，故该命题是真命题；对于④：因为函数为凹函数，所以当，1时，曲线上所有点处的切线斜率为负值，所以该命题是真命题；对于⑤：曲线与两坐标轴所围成图形的面积设为，则，故该命题正确.故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 设a为实数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是．参考答案：[－2,2]三、解答题：本大题共5小题，共72分。