二次函数的基本性质

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x222-32y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22--+-=mmxmy的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy+=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bxkxy的图像大致是（）0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。

二次函数与三角函数的关系二次函数与三角函数是高中数学中的两个重要的函数类型，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，分析它们的性质和相互转化的方法。

一、二次函数的基本形式在代数中，二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。

它的图像通常是一个抛物线，可以向上凸起（a>0）或向下凹陷（a<0）。

二次函数的性质包括：1. 首先，二次函数的图像的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 (-b/2a) 是抛物线的对称轴。

2. 其次，二次函数的图像开口的方向由 a 的正负确定，a>0 表示抛物线向上开口，a<0 表示抛物线向下开口。

3. 此外，二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点或根，可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。

二、三角函数的基本形式三角函数是以角度（或弧度）为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。

三角函数的性质包括：1. 首先，正弦函数和余弦函数的值范围在 -1 到 1 之间，而正切函数的值范围是整个实数集。

2. 其次，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的最小正周期为360°（或2π rad）。

3. 此外，三角函数具有一系列的周期性质和对称性质，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的偶奇性等。

三、二次函数与三角函数的关系虽然二次函数和三角函数是两个不同的函数类型，但它们之间存在着一定的关系。

具体而言，可以通过适当的变量替换和函数变换，将一个二次函数转化为一个三角函数，或者将一个三角函数转化为一个二次函数。

1. 二次函数转化为三角函数通过合理的变量替换和函数变换，可以将一个二次函数转化为一个三角函数形式。

例如，令 u = ax + b，则有 x = (u-b)/a，代入二次函数的表达式得到：f(x) = ax^2 + bx + c = a[(u-b)/a]^2 + b[(u-b)/a] + c = u^2 + (c - b^2/a)。

高考数学中的二次函数基本概念及相关性质高考数学中，二次函数是一个非常基础、重要的概念。

本文将从基本概念和相关性质两个方面，详细介绍二次函数的相关知识点。

一、基本概念二次函数，也叫做二次多项式函数，是指一个以x为自变量，x的二次多项式为函数值的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c。

其中，a、b、c分别是常数，a≠0。

1. 函数图像：二次函数的图像通常是一条开口朝上或开口朝下的抛物线。

如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。

图像中的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。

求二次函数的零点有两种方法：一种是利用求根公式，即x=[-b±√(b²-4ac)]/2a；另一种是将二次函数化为标准的完全平方公式，即y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，直接利用完全平方公式求零点。

3. 对称性：二次函数具有轴对称性，即对于任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

二、相关性质除了基本概念外，二次函数还有一些重要的性质，这些性质通常在高考中频繁出现，需要认真掌握：1. 二次函数的最值：由于二次函数的函数图像是一条抛物线，因此其最值一定发生在抛物线的顶点处。

当a>0时，二次函数的最小值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)；当a<0时，二次函数的最大值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 二次函数的单调性：当a>0时，二次函数在其零点左右是单调递减和单调递增的；当a<0时，二次函数在其零点左右是单调递增和单调递减的。

3. 二次函数的导数：二次函数的导数f'(x)=2ax+b，是一个一次函数。

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x4-=x 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。

下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。

一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。

- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。

二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。

- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。

3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。

- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。

2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。

- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。

四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。

2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。

3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。

4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。

二次函数的性质总结二次函数是一种特殊的函数形式，由方程 $y = ax^2 + bx +c$ 表示，其中 $a$，$b$，$c$ 是实数且 $a \neq 0$。

以下是二次函数的一些重要性质总结：1. 函数图像形状二次函数的图像形状是一个抛物线。

当 $a > 0$ 时，图像开口向上；当 $a < 0$ 时，图像开口向下。

2. 零点或根二次函数的零点或根是使得函数值为零的 $x$ 值。

通过求解方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以找到二次函数的零点。

3. 完备平方对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，如果它的系数满足 $b^2 - 4ac = 0$，则可以将其写成一个完全平方形式。

完全平方形式为$(mx + n)^2$，其中 $m$ 和 $n$ 是实数。

4. 焦点和直线对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，如果 $a > 0$，则它的图像会有一个最低点（最小值），该点被称为焦点。

焦点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

与该焦点对应的直线称为准线。

5. 对称轴对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其图像关于一条垂直于$x$ 轴的直线对称。

这条直线被称为对称轴，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。

6. 单调性和极值当 $a > 0$ 时，二次函数开口向上，函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

它在对称轴处有一个最小值。

当 $a <0$ 时，二次函数开口向下，函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

它在对称轴处有一个最大值。

以上是二次函数的一些重要性质总结。

二次函数在数学和实际应用中有广泛的应用，对于理解和解决问题都具有重要意义。

二次函数的图像及性质一、二次函数的解析式的三种形式1.一般式：()()20f x ax bx c a =++≠2.顶点式：()()()20f x a x h k a =-+≠，其中()()k f h ,h,k =为抛物线的顶点坐标.3.交点式（零点式）：()()()()120f x a x x x x a =--≠，)0,()0,(21x x 和为抛物线与x 轴的交点坐标.二、二次函数的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac ab 4422，.当0>a 时，函数在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是增函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数；当0<a 时，函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是减函数.分析二次函数的图象的要素有①开口方向②对称轴③与y 轴的交点④△⑤与x 轴的交点三、二次函数的图象的平移变换题型一：巧设函数的表达形式1.已知抛物线过点(－1，0)，(2，7)，(1，4)三点，求二次函数的解析式2.已知当12x =-时，二次函数有最大值为34-，且点(1，－3)是该函数图像上的点，求二次函数的解析式3.设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()0f x =两实根的平方和为10，图像过点(0，3)，求二次函数的解析式题型二：二次函数的图象的要素的运用1.若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称，则c =_________．2.若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．3.已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是()A ．57()(1)(22f f f <<B ．75(1)((22f f f <<)C ．75((1)(22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<4.已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．5.若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是____________.6.已知二次函数()2f x ax bx =+，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则12()f x x +=____________.7.已知函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0f m <，试比较(1)f m +与0的大小关系8.将二次函数2()25f x x x =-++图像先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求二次函数的解析式.对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠.（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．答案：1.22.1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭3.A 4.4k ≤或8k ≥ 5.[]02, 6.07.(0,1)培优题：1.设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<.（1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明：102x x <.2.已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()10,-，问是否存在常数a b c 、、，使不等式()()2112x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？3.已知函数()2f x ax ax b =++在()0,1上有两个零点，求()()01f f 的取值范围.答案：1.【解析】(1)由题意可知12()()()f x x a x x x x -=--121210,()()0x x x a x x x x a<<<<∴--> ,∴当∴当1(0,)x x ∈时，()f x x >.又112112()()()()(1)f x x a x x x x x x x x ax ax -=--+-=--+,10x x -<且22110ax ax ax -+>->，1()f x x ∴<，综上可知，所给问题获证.（2）由题意2()(1)f x x ax b x c -=+-+，它的对称轴方程为12b x a-=-，由方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<,可得121102b x x a a -<<<<-且121122b b x x a a ---=---,∴121111222b b b x x a a a a---∴-=-<----，即1b x a -<，而02bx a=-，故102x x <.2.【解析】假设存在常数a b c 、、满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+=①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++=②由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ，∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，∴14a =，∴14c=，∴存在常数111,,424a b c===使不等式21()(1)2x f x x≤≤+对一切x R∈都成立．。

二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。

二次函数知识点及练习题一、二次函数知识点：1.二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2.2y ax c =+的性质：结论：上加下减。

总结：3.()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4.()2y a x h k =-+的性质：总结：二次函数图象的平移：1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。

总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++的性质：1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．五、二次函数解析式的表示方法：1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 六、二次函数图象的对称1.关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2.关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；二、对应练习题： 练习一 二次函数1.下列函数：① y =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = ； 2.当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数； 3.当____m =时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数；4.当____m =时，函数()2564m m y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数；练习二 函数2ax y =的图象与性质1.填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时， y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2.对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大； ③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 .3.抛物线y ＝－x 2不具有的性质是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是 y 轴 C 、与 y 轴不相交 D 、最高点是原点 4.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1.抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2.将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3.任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 . 4.将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1.抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 . 练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值；2.函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大；练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 2.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ； 3.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿； 4.把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是 ；5.抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为______；6.函数x x y +-=22有最____值，最值为_______。

第四讲 二次函数的基本概念及其性质（一）一、主要知识点回顾1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 3、二次函数2y ax bx c =++的性质：（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．4、二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2） 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3） 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.5、二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。