高二数学上学期第一次月考试题 文2

重庆市北碚区朝阳中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设空间向量()1,2,1a =-r ，()2,4,b k =--r ，若a b r r ∥，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．10-C ．2-D ．102．已知空间向量233p a b c =-+r r r r，3q a b c =++r r r r ，则p q +r r 以{},,a b c r r r 为单位正交基底时的坐标为（ ） A ．()5,3,4-B ．()5,2,4-C ．()2,3,3-D ．()3,1,13．点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为()',7,6A λ-，则（ ） A ．215v λμ=-=-=-，， B ．245v λμ==-=-，， C ．2108v λμ===，，D ．2107v λμ===，，4．已知空间向量()()()1,0,3,2,1,0,5,2,a b c z ===r r r ，若,,a b c r r r 共面，则实数z 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知()()1,2,1,2,2,0a b =-=-r r，则a r 在b r 方向上的投影数量为（ ）A ．BC ．2-D 6．如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（ ）A BC D7．已知向量()()2,1,3,4,2,a b t =-=-r r 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()10,66,3∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()10,66,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U8．如图，已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为1，E 为PC 的中点，则线段P A 上的动点M 到直线BE 的距离的最小值为（ ）A B C ．13D ．12二、多选题9．已知{},,a b c r r r 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．2a c +r r ，2a b +r r ，b c -r rB ．2a b +r r ，a b -r r ，b c -r rC ．a b -r r ，a c +r r ，b c -r rD ．a b +rr ，a b c ++r r r ，b c +r r 10．下列说法错误的是（ ）A ．若,,,ABCD 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=uu u r uu u r uu u r uu u r rB ．若//a b r r ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=r rC ．若,AB CD u u u r u u u r共线，则//AB CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中,,R x y z ∈），则,,,P A B C 四点共面11．如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，BC 的中点，则（ ）A ．1B D ⊥平面1D EFB ．异面直线1CD 与EF 所成的角是π6C ．点1B 到平面1D EFD ．平面1D EF 截正方体1111ABCD A B C D -252三、填空题12．O 为空间任意一点，若3148OP OA OB tOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，若ABCP 四点共面，则t =．13．在三棱锥M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为2的正三角形，点F 满足13CF CM =u u u r u u u u r ，则BC AF ⋅=u u u r u u u r.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,AC BB 的中点，122AB AA AC ==，动点G 在线段MN 上运动，若=u u u rAG 1xAA yAB z AC ++u u u r u u u r u u u r，则x y z ++=．四、解答题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在BD 上，且13BE BD =；点F 在1CB 上，且113CF CB =．求证：（1）EF BD ⊥； （2）1EF CB ⊥．16．在正方体1111ABCD A B C D -中，设AB a =u u u r r ，AD b u u u r r =，1AA c =u u u r r ，E ，F 分别是1AD ，BD的中点．(1)用向量a r ，b r ，c r表示1D B u u u u r ，EF u u u r ；(2)若1D F xa yb zc =++u u u u r r r r，求实数x ，y ，z 的值．17．如图，圆锥PO 的轴截面PAB 是边长为4的等边三角形，C 是OB 的中点，D 是底面圆周上一点，2π3DOC ∠=.(1)求DC 的值；(2)求异面直线PA 与DC 所成角的余弦值.18．如图1，在ABV V 中，AC BC CV ==，AC VB ⊥于C ．现将ABV V 沿AC 折叠，使V AC B --为直二面角(如图2)，D 是棱AB 的中点，连接CD 、VB 、VD ．(1)证明：平面VAB ⊥平面VCD ；(2)若1AC =，且棱AB 上有一点E 满足14BE BA =，求二面角C VE A --的正弦值． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，3,2PA AD CD BC ====．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，设点G 是线段PB 上的一点．(1)求证：CD ⊥平面P AD ； (2)若23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． (3)设CG 与平面AEF 所成角为θ，求sin θ的范围.。

云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法中，正确的有（）A ．过点()1,2P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线10x +=的倾斜角为60o C ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-D ．过点()5,4并且倾斜角为90 的直线方程为40y -=2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1123AC xAB yBC zC C =++，则x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．233．设{},,i j k 是单位正交基底，已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()8,6,4，其中a i j =+，b j k =+ ，c k i =+ ，则向量p在基底{},,i j k 下的坐标是（）A ．()12,14,10B ．()10,12,14C ．()14,12,10D ．()4,3,24．已知()2,1,0a b +=- ，()0,3,2a b -=-，则cos ,a b 的值为（）A ．13B ．3C ．3D ．35．已知()()()0,0,0,1,1,1,1,2,2A B M -，则M 到直线AB 的距离为（）AB C ．1D 6．已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．[]1,1-C ．(),-∞+∞D ．(][),11,-∞-+∞ 7．在空间直角坐标系中，向量()2,1,a m =-，()4,2,4b =- ，下列结论正确的是（）A ．若//a b r r，则2m =B ．若a b ⊥ ，则52m =-C ．若,a b 为钝角，则52m <D ．若a 在b 上的投影向量为16b，则4m =8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得()f x =的最小值为()A ．B ．C ．4D ．89．关于方程22220x y ax ay ++-=表示的圆，下列叙述中正确的是（）A ．圆心在直线y x =-上B ．其圆心在x 轴上C ．过原点D二、多选题10．对于直线1:230l ax y a ++=，()2:3130l x a y a +-+-=.以下说法正确的有（）A ．12//l l 的充要条件是3a =B ．12l l ⊥的充要条件是25a =C ．直线2l 一定经过点()1,1M -D ．点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为511．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 三、填空题12．两平行直线3450x y ++=和6200x my ++=间的距离是.13．点()2,0P 关于直线l ：10x y ++=的对称点Q 的坐标为.14．给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a ，b垂直的向量；（ii ）a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯=；②AB AD AD AB ⨯=⨯ ；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为()()()1,0,3,2,0,3A B C -．(1)求AB 边上的高所在直线的方程；(2)求ABC V 的面积．16．如图，在梯形ABCD 中，π,22,,,2AD BC ABC AB BC AD E F G ∠====∥分别为边AB ，,CD BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)证明：BD EG ⊥；(2)求BD 与平面ABF 所成角的正弦值．17．已知圆M 经过原点和点()3,1-，且它的圆心M 在直线250x y +-=上.(1)求圆M 的方程；(2)若点D 为圆M 上的动点，定点()2,0C ，求线段CD 的中点P 的轨迹方程.18．如图在四棱锥A BCDE -中，//CD EB ，1CD =，2EB =，CB BE ⊥，AE AB BC ===，AD =，O 是AE 的中点.(1)试在AB 上确定点F 的位置，使C 、D 、O 、F 四点共面，并证明；(2)求点O 到平面ACD 的距离；(3)在棱BE 上是否存在点M ，使得半平面ADM 与半平面ABC 所成二面角的余弦值为，若存在，求:EM MB ，若不存在，说明理由.19．A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与点,P Q 任一点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，点D 在射线BC 上.(1)若AD 是角A 的平分线，且3b c =，由A 点对BC 施以视角运算，求(),;B C D 的值；(2)若60,4,A a AB AD ==⊥ ，由A 点对BC 施以视角运算，(),;2B C D =-ABC V 的周长；(3)若120A =o ，4=AD ，由A 点对BC 施以视角运算，(),;cB C D b=，求4b c +的最小值.。

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。

智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．数列1,12-,13,14-,15,……的一个通项公式n a =（ ）A ．(1)nn -B ．1n -C ．1(1)n n --D ．1n【答案】C【分析】根据分母的特征和每项的正负性特征,可以选出答案. 【详解】因为数列的正负交替,分母是正整数的次序,所以na =1(1)n n--. 故选C【点睛】本题考查了已知数列求数列的通项公式,本题也可采用根据四个选项中数列通项公式求出前几项,看是否符合已知的数列的前几项.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】C【分析】根据等差数列的性质，得到x b a =-，再根据()2b a x a =+-，即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ， ∴2a x x b +=+，解得x b a =-．又()()22223b a x a a x a b a b a =+-=-+=-+-=-．∴3b a =，∴13a b =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，属于基础题型. 3．已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（ ） A ．24 B ．27 C ．36 D ．54【答案】C【解析】计算得到54a =，根据1995992a a S a +=⨯=得到答案. 【详解】3485465312a a a a a a a ++=++==，故54a =，199599362a a S a +=⨯==. 故选：C .【点睛】本题考查了根据等差数列性质求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos a B b A =，则ABC 为（ ） A ．等腰且直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得22a b =，即可得解.【详解】由cos cos a B b A =结合余弦定理可得22222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅=⋅， 化简得22a b =，即a b =，所以ABC 为等腰三角形. 故选：D.5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．在ABC 中，30a =，25b =，150A =，则ABC 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．无解 D ．无法确定【答案】A【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再由小边对小角即可判断. 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin a bA B=， 所以sin 25sin1505sin 3012b A B a ⋅===， 因为b a <，所以B A <，所以角B 是锐角，进而可得角C 和边c 都是唯一的， 所以ABC 的解的个数为1， 故选：A.7．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8．在锐角三角形ABC 中，已知2A C =，则ac 的范围是A ．()0,2B ．()2,2 C ．()2,3D ．()3,2【答案】C【分析】根据正弦定理得到2cos aC c =，计算64C ππ<<，得到答案. 【详解】sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===，又A B C π++=，2A C =，锐角三角形ABC ， ∴64C ππ<<，故23cos ,22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故23ac <<. 故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）A 3B 3C 6D 6【答案】D【分析】根据题中条件，在ABD △中先由余弦定理求出cos A ，利用同角三角函数关系求出sin A ，利用正弦定理可求出sin BDC ∠，然后在BDC 中利用正弦定理求解sin C 【详解】解：设AB x =，则,,33AD x BD x BC x ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以 222sin 1cos -A A ， 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BDADB A=∠，则sin sin2AB xADB AxBD∠===，所以sin BDC∠=在BDC中，由正弦定理得，sin sinBD BCC BDC=∠，则sinsinxBD BDCCBC⋅∠===故选：D【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若3613SS=，则612SS=（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【分析】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，根据题意可将69,S S都用3S表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，∵3613SS=，即633S S=，()6333S S S S--=，∴9633S S S-=，12934S S S-=，∴936S S=，31210S S=，∴63123331010S SS S==.故选：A.11．若数列{}n a满足119a=，()*13Nn na a n+=-∈，则数列{}n a的前n项和最大时，n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为119a=，13n na a+-=-，所以数列{}n a是以19为首项，3-为公差的等差数列，所以()()1913223na n n=+-⨯-=-．要使{}n a的前n项和最大，则需1nnaa+≥⎧⎨≤⎩，即2230223(1)0nn-≥⎧⎨-+≤⎩，所以192233n ≤≤，又*n ∈N ，所以7n =， 故选：B12．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】B【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ， 有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ．二、填空题13．ABC 中，60,2A a b =︒==，则c =______． 【答案】3【分析】根据余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，由60,2A a b =︒==，得22224cos 60c c =+-⋅︒，即2742c c =+-，2230c c ∴--=，解得：1c =-（舍）或3c =. 故答案为：3.14．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos )c A A b =，b =c =，则ABC 的面积为______．【解析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式化sin sin()B A C =+，展开后可求得tan C ，即C 角，再由余弦定理求得a ，最后由三角形面积公式求得面积．【详解】由正弦定理得：sin (cos )sin C A A B -=，因为sin sin()B A C =+所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A -=+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，5tan 6C C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C ==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是用正弦定理化边为角，然后由三角函数公式变形求出角C ．15．在数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =_________.【答案】12.【分析】先设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到{}n a 的通项，从而得出结果.【详解】设数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，因为732,1a a ==，则731114116=-=++d a a ，所以124=d ， 所以311135(3)1132424-+=+-=+=++n n n n d a a ， 因此2415=-+n a n ，解得1112=a .故答案为12【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 16．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，首项12015,a =-且20142012220142012S S -=,则2015S =______． 【答案】2015-【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20142012220142012S S -=可求得2d =，然后利用等差数列的求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由20142012220142012S S -=可得1120142013201220112014201222220142012a d a d⨯⨯++-= 解得2d =， 又因为12015,a =- 所以()20151201520142015201520152015201420152S a d ⨯+=⨯-+⨯==- 故答案为：2015-三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc +-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）1313sin 362222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为57+【解析】正余弦定理解三角形.19．为如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3c =，1b =，3BAC π∠=，M 为线段BC 上一点.（1）若3sin 7AMB ∠=，求AM 的长； （2）若BM AM =，求AMC 的面积. 【答案】（121；（233【分析】（1）利用余弦定理求得BC 、cos B ，从而求得sin B ，利用正弦定理求得AM . （2）求得三角形ABM 的高，通过求ABM 的面积来求得AMC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，因为3c =，1b =，3BAC π∠=，由余弦定理2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠= 所以22257cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221sin 1cos 14B B =-=， 在ABM 中，由正弦定理sin sin AM ABB AMB=∠33217=，所以212AM =.（2）取AB 的中点H ，因为MB MA =，所以MH AB ⊥， 因为21sin 14B =、57cos 14B =，所以3tan 5B =，所以13333tan tan 22510HM HB B AB B =⋅=⋅=⨯=， 193220ABMSAB HM =⋅=， 所以AMCABCABMSSS=-=19333sin 22010AB AC BAC ⋅⋅∠-=.20．已知{n a }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且55S =，63=-S ．求数列{n a }的通项n a 及n S .【答案】2317310,22n n a n S n n =-+=-+．【分析】先用基本元的思想将已知条件转化为1,a d 的形式，解方程组求得1,a d ，由此求得数列的通项公式及前n 项和.【详解】由55S =，有63S =-有1151056153a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得173a d =⎧⎨=-⎩ ，()()713310n a n n =+--=-+，∴ ()27310317222n n S n n n +-+==-+．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.属于基础题. 21．已知数列{}n a 满足()1144,42n n a a n a -==-≥，令12n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）()21n n a n+=.【分析】（1）由题设1422n n a a --=-，得到12n a -=12+112n a --，进而得到112n n b b --=，由此可知数列{}n b 为等差数列. （2）由（1）求得122n n a =-，两边同时取倒数，进而求得求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）因为()1442n n a n a -=-≥，可得12(2)422(1)n n n n a a n a a +--=-=≥， 所以111122(2)22n n n n a a a a +==+---，即1111222n n a a +-=--， 又因为12n n b a =-，即()1112n n b b n +-=≥， 又由14a =，可得111122b a ==-， 所以数列{}n b 构成首项为12，公差为12的等差数列. （2）由（1）可得数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭构成首项为12，公差为12的等差数列， 所以1111(1)2222n n n a a =+-⨯=--，所以()2221n n n na +==+， 即数列{}n a 的通项公式()21n n a n +=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，注意数列n 的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断，着重考查推理与运算能力.22．已知{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-．(1)求{}n a 的通项公式n a ;(2)求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)25n a n =-+(2)4【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；（2）利用等差数列的前n 项和公式可得关于n 的二次函数，利用配方法即可求解.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件得11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得132a d =⎧⎨=-⎩， ∴1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）221(1)4(2)42n n n S na d n n n -=+=-+=--+， ∴当2n =时， n S 取得最大值4．。

河南省信阳市固始县高级中学第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1132a b c++ C ．1132a b c-+ 3．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x = ，（）A ．22B ．234．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（A ．56B ．23A ．CD ⊥平面ABC12．在正三棱柱ABC -[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，AB △B ．当1μ=时，三棱锥C ．当12λ=时，有且仅有一个点D ．当12μ=时，有且仅有一个点三、填空题13．直线320x y +-=14．已知,a b 是空间两个向量，15．若三个向量(3,3,2a =16．四种电子元件组成的电路如图所示，0.9,0.8,0.7,0.6，则该电路正常工作的概率为四、问答题17．已知ABCD Y 三个顶点的坐标为()0,0A ，()3,0B ，()5,3C ，求它的对角线AC ，BD 所在直线的方程.五、证明题19．如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，M ，N 分别为AC ，AB 的中点，PM AB ⊥.(1)求证：AB PN ⊥；(2)若2AB BC ==，3BP PM ==，求二面角N PM B --的余弦值.六、问答题(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．七、证明题21．如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．八、问答题。

高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则（ ） ()U A B ⋃=ðA ．{−2，3} B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则. {}1,0,1,2A B ⋃=-(){}U 2,3A B =- ð故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2．复数等于31(i )i -A ．8 B ．－8C ．8iD ．－8i【答案】D【分析】利用复数的除法及乘方运算即得.【详解】因为.331(i )(i i)8i i -=+=-故选：D.3．在中，已知，则角为（ ） ABC A 1,6AC BC B π===C A ．B ．C ．或D ．或2π4π2π6π6π56π【答案】C【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：在中，已知，ABC A 1,6AC BC B π===因为， sin sin AC BCB A=所以sin sin BC BA AC⋅=所以或， 3A π=23π所以或.2C π=6π故选：C.4．若，，，则 0.52a =πlog 3b =22πlog sin 5c =A ． B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c a b >>b c a >>【答案】A【详解】因为，，，因此选A 0.521a =>π0log 31b <=<22πlog sin 05c =<5．在平行六面体中，若，则（ ）1111ABCD A B C D -11BD xAB y AD z AA =++(),,x y z =A ． B ． ()1,1,1()1,1,1-C ． D ．()1,1,1-()1.1.1-【答案】D【分析】利用向量的加法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.1BDx y z 【详解】解：，又因，， 1111BD BB B D =+ 11BB AA = 11B D BD AD AB ==- ，∴111BD AA AD AB xAB y AD z AA =+-=++，，，1x ∴=-1y =1z =故选：.D6．设有直线m 、n 和平面、.下列四个命题中，正确的是 αβA ．若m ∥,n ∥,则m ∥nααB ．若m ,n ,m ∥,n ∥,则∥ ⊂α⊂αββαβC ．若，m ,则m α⊥β⊂α⊥βD ．若，m ，m ,则m ∥ α⊥β⊥β⊄αα【答案】D【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确， B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确， C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确， D 选项中由α⊥β，m ⊥β，m ，可得m ∥α，故是正确命题， ⊄α故选D7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为初一年级 初二年级 初三年级女生 373 x y 男生 377 370zA ．24B ．18C ．16D ．12【答案】C【详解】试题分析：由题意可知，因此三年级的总人数为，所以应0.19,3802000xx =∴=500y z +=在三年级抽取的学生人数为人，故选C. 50064162000⨯=【解析】分层抽样.8．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则R ()f x 1x =[]0,1x ∈()31x f x =-（ ）(2000)(2001)(2002)(2021)f f f f ++++= A ．-2 B ．0 C ．2 D ．4【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以确定函数的周期，利用周期性进行求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， ()f x 1x =(1)(1)f x f x -=+因此有，可得，因为函数是奇函数， ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=+()f x 所以可得，即有，从而， ()(2)f x f x -=+(2)(4)f x f x -+=+()(4)f x f x =+因此该函数的周期为，当时，，所以，4[]0,1x ∈()31x f x =-(0)0,(1)2f f ==的图象关于直线对称，，，()f x 1x =(2)(0)0f f ==(3)(1)(1)2f f f =-=-=- (2000)(2001)(2002)(2021)(0)(1)(2)(1)5[(0)(1)(2)(3)](0)(1)50022,f f f f f f f f f f f f f f ++++=++++=+++++=⨯++= 故选：C二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ． B ．1010x x y -=-()22log 1y x =+C ． D ．3y x =|sin |y x =【答案】AC【解析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称x R ∈A ：记，所以，所以函数是奇函数，又因()1010-=-x x f x ()1010()x x f x f x --=-=-()1010-=-x x f x 为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B ：记10x y =10x y -=1010x x y -=-，则，所以函数是偶函数，不符合题()22()log 1=+g x x ()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ()22()log 1=+g x x 意；C ：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性3()h x x =33)()()(=-=--=-h x h x x x 3()h x x =质，函数是增函数，符合题意；D ：记，则，所以3()h x x =()|sin |=t x x ()|sin()||sin |()-=-==t x x x t x 函数为偶函数. ()|sin |=t x x 故选：AC10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，A =B =下列结论中正确的是（ ） A ．该试验样本空间共有个样本点 B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.11．函数（其中）的图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ>><（ ）A ．是函数的周期 2π()f xB ． π3ϕ=C ．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度()cos2g x x =()f x 6πD ．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度 ()cos2g x x =()f x π12【答案】ABD 【分析】根据可得最小正周期，再求得，代入分析可得，可判断7ππ4123T =-2ω=7π12x =π3ϕ=AB ，再结合三角函数图象变化的性质判断CD 即可. 【详解】对A ，由图可知，，最小正周期T 满足，所以， 1,A =7πππ41234T =-=T π=所以是函数的周期，故正确； 2π()f x A 对B ，，即，将代入可得，得2π2πω==()()sin 2f x x ϕ=+7π12x =7π3π22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，又，所以，故B 正确； π2π3k ϕ=+π2ϕ<π3ϕ=对C ，由上述结论可知，为了得到，应将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()cos2sin 22g x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x向左平移个单位长度.故C 错误，D 正确.12π故选：ABD.12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，1111ABCD A B C D -E F G AB AD 11B C 以下说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为2 C EFG -B ．平面1A C ⊥EFGC ．异面直线EF 与AGD ．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是EFG 【答案】BD【分析】对A ，直接由锥体体积公式求解判断；对BC ，结合建系法直接判断；对D ，补全截面直接判断.【详解】对A ，，故A 错误；111321332C EFG ECF V S CC -=⋅⋅=⋅⋅=△对B ，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，DA x DC y 1DD z ，，则，，()()()()()10,2,0,2,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2C A E F G ()2,0,0A ()12,2,2A C =-- ()1,1,0EF =，，，则平面，B 正确；()0,2,2EG = 10A C EF ⋅= 10A C EG ⋅=1A C ⊥EFG对C ，，，，故C 错误； ()1,1,0EF = ()1,2,2AG =-cos ,EF 对D ，作中点，的中点，的中点，连接，则正六边形11C D N 1BB M 1DD T ,,,,GN GM FM TN ET，故D 正确.EFMGNT 26S ==故选：BD三、填空题13．已知向量，，，若与垂直，则_________.)a =()0,1b =(c k = 2a b + ck =【答案】3-【分析】利用向量坐标垂直数量积为0求参数. k 【详解】解：由题意得：因为与垂直，所以，即2a b + c()20a b c +⋅= 20a c b c ⋅+⋅=，解得. 0+=3k =-故答案为：3-14．已知函数，则____________. ()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩142log f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】/ 120.5【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，212241122222log log log -==-=-又，所以，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩12141222log f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. 1411222log f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：1215．如图，已知球O 的面上四点，DA ⊥平面ABC ．AB ⊥BC ，DA =AB =BCA B C D 、、、O 的体积等于________．【答案】92π【详解】由题意，三角形DAC ,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边， 所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等）， 所以球的半径就是线段DC 长度的一半，即， 1322R DC ===所以球的体积.34932V R ππ==故答案为：.92π16．如图，直三棱柱中，，点分别是棱111ABC A B C -12,1,120AA AB AC BAC ∠====E F 、1AB CC 、的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的E 111ABC A B C -F 最短路程是__________．【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面和侧面展在同一个平面，连接，求出ABC 11BCC B EF 的长度即可.EF 【详解】若将底面沿展开使其与侧面在同一个平面，连接，因为ABC AC 11ACC A EF 120BAC ∠= ，所以与棱不相交，所以不合题意，EF若将底面沿展开和侧面展在同一个平面，连接，则与棱相交，符合题ABC BC 11BCC B EF EF BC 意，此时为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，EF过作的平行线，过作的平行线，交于点，交于，E 1BBF 11B CG EG BCH 因为，点分别是棱的中点，12,1,120AA AB AC BAC ∠====E F 、1AB CC 、所以，，1,12BE CF HG ===30ABC ∠=︒BC =所以1,4EH BH ==所以, 15144FG EG ===+=所以， EF ===四、解答题17．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中1111ABCD A B C D -E 1DD F 1BB 点．(1)求直线与平面所成角的余弦值．CE 1AB E(2)求直线到平面的距离． 1FC 1AB E 【答案】(2) 23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再由CE 1AB E 平方关系求余弦值.（2）利用向量法证明平面，求得点到平面的距离即可. 1//FC 1AB E F1AB E 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，(0,0,0)D ()2,0,0A (0,2,0)C ()12,2,2B 1(0,0,2)D ()0,0,1E (2,2,0)B ()10,2,2C ，(2,2,1)F 所以，，()2,0,1AE =- ()10,2,2AB = (0,2,1)CE =-设平面的法向量为，1AB E (),,n x y z =，令，可得， 120220n AE x z n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =2,2y z =-=故可取.()1,2,2n =-设直线与平面所成角，CE 1AB E θ所以，可得sin θcos θ===直线与平面CE 1AB E （2）由（1）知，，平面的法向量为，()12,0,1FC =- 1(0,0,1)B F =-1AB E ()1,2,2n =-因为，所以，1210(2)120n FC ⋅=-⨯+⨯-+⨯= 1n FC ⊥ 又平面，所以平面，1FC ⊄1AB E 1//FC 1AB E 设到平面的距离为，F 1AB E d 则， 23d =由直线与平面平行的性质知，直线到平面的距离为.1FC 1AB E 2318．在中，内角的对边分别为，且.ABC A , , AB C , , a b c sin cos b A B =（1）求角的大小；B （2）①，②，③，角.3b =sin 2sin C A =c =a C 【答案】（1）；（2）答案见解析.3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，可求得；B （2）选①②，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可得，由勾股定理逆定理得角；选①③，aC 由正弦定理求得，得角，在直角三角形中求得；选②③，由正弦定理直接求得，再由sin C C a a 勾股定理逆定理得角．C 【详解】解：（1）因为在中，内角，，的对边分别为，，，ABC A A B C a b c 所以，()0AB C π∈,,,由正弦定理，可将化为，，sin cos b A B =sin sin cos B A AB =sin 0A ≠则，即；sin B B =tan B =3B π=（2）若选①②，由可得，sin 2sin C A =2c a =因为，由余弦定理可得，3b =2222cos b a cac B =+-则，解得22952a a =-a =由得． 222c a b =+2C π=若选①③，由正弦定理可得，，则，所以，则； sin sin C B cb =sin 1C =2C π=6A π=因此 sin ac A ==若选②③，由可得，因为得．sin 2sin C A =2c a =c =a =222c a b =+2C π=19．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：()()22kg BMI m =体重身高BMI 为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是BMI 18.5<18.5BMI 23.9≤<24BMI 27.9≤<BMI 28≥社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：BMI ，，，，，得到相应的频率分布直方图．[)12,16[)16,20[)20,24[)24,28[]28,32(1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数；a BMI (2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机[)16,20[)24,28抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．BMI 【答案】(1)； 0.04a =23(2)815【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和a 为求解中位数即可；0.5（2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得[)16,20[)24,2824概率.【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为，41所以，解得；()0.010.10.080.0241a ++++⨯=0.04a =因为，两组频率之和为，而的频率为， [)12,16[)16,20()0.010.0440.2+⨯=[)20,240.140.4⨯=故中位数在之间，设为，[)20,24x 则，解得，()0.2200.10.5x +-⨯=23x =即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为.BMI 23（2）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为[)16,201000.04416⨯⨯=[)24,281000.08432⨯⨯=，所以两组人数比值为，1:2按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，6[)16,20[)24,2824记这组两个样本编号为，这组编号为，[)16,201,2[)24,283,4,5,6故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：62()()()()()()()()(){1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,Ω=()()()()()()3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6}设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组”A =BMI 则，()()()()()()()(){}1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6A =故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为. ()815P A =BMI 81520．已知函数．()2cos cos f x x x x =(1)求函数的最大值；()f x (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平()y f x =移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间． π6()y g x =()g x 【答案】(1)32(2)， ππ2π,2π22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值进行求解即可；（2）根据三角函数图象的变换性质，结合正弦函数的单调性进行求解即可.【详解】（1） ()21cos 211cos cos 2cos 22222x f x x x x x x x +===+， π1cos(2)32x =++∴当时，取得最大值； πcos 213x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 32（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），()y f x =得到，再把得到的图象向左平移个单位， π1cos()32y x =++π6得到的图象， ππ11cos(sin 6322y x x =+++=-+所以，当单调递增时，单调递减， ()1sin 2g x x =-+sin y x =()g x 故函数的单调递减区间为，． ()g x ππ2π,2π22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈21．如图，在四面体中，平面，，，．M 是的A BCD -AD ⊥BCD BC CD ⊥2AD =BD =AD 中点，P 是的中点，点Q 在线段上，且．BM AC 3AQ QC =（1）证明：平面；//PQ BCD （2）若二面角的大小为，求的大小．C BMD --60︒BDC ∠【答案】（1）证明见解析；（2）.60︒【分析】（1）取中点，连接，先证明面面平行再证明线面平行；MD G ,PG QG （2）根据三垂直线作法先找到二面角的平面角，然后根据线段长度关系求解出C BM D --BDC ∠的大小.【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：MD G ,PG QG因为为中点，为中点，所以，M AD G MD 3AG GD =又因为，所以，所以， 3AQ QC =AQ AG QC GD=//QG CD 又因为为中点，为中点，所以，P BM G MD //PG BD 又，所以平面平面，,PG QG G BD CD D == //GPQ BCD 又平面，所以平面；PQ ⊂GPQ //PQ BCD（2）设，过作交于点，过作交于点，连接，如BDC θ∠=C CH BD ⊥BD H H HI BM ⊥BM I IC 下图所示：因为平面，所以，又，所以平面，AD ⊥BCD AD CH ⊥AD BD D = CH ⊥ABD 因为平面，所以，又因为，，BM ⊂ABD CH BM ⊥HI BM ⊥HI CH H = 所以平面，所以，所以二面角的平面角为， BM ⊥HIC BM IC ⊥C BM D --60HIC ∠=︒因为，所以，BC CD BD CH ⨯=⨯cos CH θθ=又因为，所以，所以， 90BCH CBD θ∠=︒-∠=sin sin BH BCH BCθ∠==2BH θ=又因为，所以， 1sin 3HI MD MBD BH BM ∠====2HI θ=又因为为直角三角形且，HIC A 60HIC ∠=︒所以，所以， 3cos tan 60sin HC HI θθ︒====tan θ=60θ=︒所以的大小为.BDC ∠60︒【点睛】本题考查空间中线面平行的证明和几何法求解二面角有关的问题，对学生的空间位置关系的理解能力与证明能力要求较高，难度一般.证明线面平行除了可以使用判定定理之外，还可以通过面面平行来证明.22．已知函数，的对称轴为且．()2f x x bx c =-+()f x 1x =()01f =-(1)求、的值；b c (2)当时，求的取值范围；[]0,3x ∈()f x (3)若不等式成立，求实数的取值范围.()()2log 2f k f >k 【答案】(1)，2b =1c =-(2)[]22-,(3)或01k <<4k >【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得的值，由可求得的值； b ()01f =-c （2）利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；()f x （3）由可得出关于的不等式，解之即可.()()2log 2f k f >k 【详解】（1）解：二次函数的对称轴方程为，可得，且. ()f x 12b x ==2b =()01f c ==-因此，，.2b =1c =-（2）解：由（1）可知，当时，. ()221f x x x =--[]0,3x ∈()()[]2122,2f x x =--∈-（3）解：由，可得， ()()2log 21f k f >=-()222log 2log 0k k ->可得或，解得或. 2log 0k <2log 2k >01k <<4k >。

2021-2022学年河南省新乡市高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．ac >bcC ．D ．22a b -≥22ac bc >22a b>【答案】D【分析】举出反例可判断A 、C ，由不等式的基本性质可判断B ，由指数函数的单调性可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，当，时，，故A 错误；0a =1b =-2210a b -=-<对于B ，当时，，故B 错误；0c ≤ac bc ≤对于C ，当时，，故C 错误；0c =22ac bc =对于D ，由函数在上单调递增可得，故D 正确.2xy =R 22a b>故选：D.【点睛】本题考查了不等式性质的应用及不等关系的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.2．在中，，，，则ABC ∆30A =︒105C =︒8b ==aA ．4B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题可先通过三角形内角和为180度解出角的度数，再通过解三角形的正弦定理得出答B 案．【详解】因为，30A =︒105C =︒，所以18045B A C =︒--=︒．根据解三角形正弦定理可得，解得D ．8sin 30sin 45a =︒︒a =【点睛】解三角形的正弦定理：sin sin a bA B =．3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．8【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的n 4524a a +=648S =1a d 方程组，通过解方程组求数列的公差.{}n a 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=611656615482S a d a d ⨯=+=+=联立，解得.11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =故选：C.4．数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为{}n a 262n a n =-n n A ．12B ．12或13C ．13D ．14【答案】B【分析】本题可以先通过数列的通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得{}n a {}n a {}n a 出数列的前项和，然后得出其的最大值．{}n a n 【详解】因为，262n a n =-所以数列是一个首项为、公差为的数列．124a =，{}n a 242-所以数列的前项和为{}n a n 224262252n nS n n n +-=⨯=-，由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为{}n a n n S 252n =可知的值为12或13，故选B ．n 【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点．5．在中，若，，则为（ ）ABC 2a =b =30A =B A ．B ．或C ．D ．或6060 1203030 150【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解【详解】由得，解得，sin sin a bA B=212=sin B =所以或.60B =120故选：B6．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．D ．【答案】C【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC ，根据面积公式求出三角形面积.C ∠【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，30C ∠=6AB BC ==由三角形面积公式：.166sin 2S B =⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.7．求和：()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯⨯+ A ．B ．C ．D ．1nn +1n n-12n n ++1n n+【答案】A【分析】本题中的可以化为，可以化为，可以化为，再112⨯1112-123⨯1123- ()11n n ⨯+111n n -+将其依次求和，得出结果．【详解】1111212=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ，()11111n n n n =-⨯++所以()111111111111111223341122334111n n n n n n n ++++=-+-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯++++ ，故选A ．【点睛】裂项相消法：()1111n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪⨯++⎝⎭．8．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于{}n a 13a =14a 22a 3a {}n a A ．1B ．-1C ．-2D ．2【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解.【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以 ，即{}n a ()0q q ≠1234,2,a a a 2114a a q +14a q =，解得2440q q -+= 2.q =【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项.9．在中，，则ABC ∆cos cos 2b C c B b +=b a =A B ．C ．D ．122【答案】B【分析】本题可以将转化为、转化为，通过化简得出，最cos C 2222a b c ab +-cos B 2222a c b ac +-2a b =后得出结果．【详解】cos cos 2b C c B b +=，，222222222a b c a c b b c bab ac +-+-⨯+⨯=22222a b a b a==，，即故选B ．1 22b b a b ，==【点睛】解三角形的余弦公式：．222cos 2a b c C ab +-=10．若△ABC 中，，则此三角形的形状是（ ）2sin()sin()sin A B A B C +-=A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两sin C sin()sin A B C -=角和与差的正弦函数公式化简.【详解】中，，ABC ∆ sin()sin A B C +=已知等式变形得：，即，∴2sin sin()sin C A B C -=sin()sin sin()A B C A B -==+整理得：，即，sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+2cos sin 0A B =或（不合题意，舍去），cos 0A ∴=sin 0B =0A π<< ，90A ∴=︒故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．11． 已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则1291a a －，，，－12391b b b －，，，，－221()b a a －＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98【答案】B【详解】试题分析：先由等差数列和等比数列的性质，得，()21198413a a d ----===-；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以()()22199b =-⨯-=23b =-.故选B.2218()3=83b a a -⨯-－＝【解析】等差数列的性质；等比数列的性质.12．已知数列满足{}n a 110,n a a +==2017a =A ．0B．C D【答案】A【分析】本题可先由推出的值，再由推出的值，再由推出的值，以此类推后可以发1a 2a 2a 3a 3a 4a现数列是一个循环数列，然后得出结果．{}n a【详解】120a a ===，，23a a ===340a a === 由上述可知，数列是每三项一次循环的数列，{}n a 则有故选A ．201710a a ==，【点睛】如果一个数列中的项数每隔几项就会重复，那么则说明这个数列是循环数列．二、填空题13．不等式的解集为_____________________．2450x x -++<【答案】【详解】试题分析：变形为，所以解集为2450x x -++<()()2450150x x x x -->∴+->【解析】一元二次不等式解法14．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________．{}n a n 2n S n n =+{}n a n a =【答案】2n【分析】利用求得.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 【详解】当时，，1n =112a S ==当时，，2n ≥()221112n n n a S S n n n n n-⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦当时上式也符合，所以.1n =2n a n =故答案为：2n15．设等差数列的前项和为则________.{}n a 1020,100,400,n S S S ==30S =【答案】900【分析】本题可以通过等差数列的前项和计算得出结果．n 【详解】因为数列是等差数列，{}n a 所以成等差数列，1020103020S S S S S --、、所以()201010302030302600300900S S S S S S S -=+-=-=，，．【点睛】如果数列是等差数列，则有{}n a 232n n nn nS S S S S --、、．16．已知的三边长构成公差为2ABC 长为________.【答案】15【分析】本题可先根据三边长构成公差为2的等差数列可将三边设为，再通过最大22n n n -+、、以及对应边，再通过三角形的余弦公式得出的值，最后120︒n 求出周长．【详解】设三边长分别为22n n n -+、、，A 所以角等于或A 60︒120︒，因为角是最大角，A 所以角等于, 角对应边为A 120︒A 2n +，根据三角形的余弦公式得，()()()22222cos12022n n n n n-+-+︒=-解得三角形周长为5n =，2215n n n -+++=．【点睛】最大的角对应的边也是最长的．三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，.2sin a b A =（1）求B 的大小．（2）若，求b .a =5c =【答案】（1）；（2）π6B =b 【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；sin 2sin sin A B A =sin B B （2）利用余弦定理，可得，即可求出.2222cos b a c ac B =+-b 【详解】（1）由，得，2sin a b A =sin 2sin sin A B A =因为，所以，sin 0A ≠1sin 2B =又因为B 为锐角，所以．π6B =（2）由余弦定理，可得，解2222cos 27252552457b a c ac B =+-=+-⨯=-=得b =【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．(1)为等差数列的前项和，,，求.n S {}n a n 26S S =1a =5a(2)在等比数列中，若求首项和公比.{}n a 422324,6,a a a a -=+=1a q 【答案】（1）；（2）首项,公比51a =-115a =5q =【分析】（1）本题可通过解得的值，再得出的值．26S S =45a a +5a （2）本题可通过得出，在利用等比数列性质与化简得4223246a a a a -=+=、3430a a +=236a a +=出结果．【详解】（1）由题意可得：根据等差数列的性质可得：()6234564545201,1S S a a a a a a a a -=+++=+==∴=-，（2）在等比数列中,，,可得,{}n a 4224a a -=236a a +=3430a a +=而,可得.又知,.()3423a a q a a +=+5q =()22316a a a q q +=+=115a =首项,公比．115a =5q =【点睛】等比数列有11n n mn m a a q a q --==．19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．ABC A B C a b c 2sin a B =(1)求角的大小；A (2)若，求的取值范围．6a =b c +【答案】(1)π3(2)(⎤⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出答案；（2）通过已知结合锐角三角形内角范围求出的范围，然后结合正弦定理表示、，再由和差角B b c 公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解.【详解】（1），2sin a B =，2sin sin A B B ∴=，sin 0B ≠sin A ∴=为锐角的内角，A ABC.π3A ∴=（2），sin sin sin b c a B C A ====，b c B C ∴+=+，23B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1sin 2B B B ⎫=++⎪⎪⎭，6cos B B =+，12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题意与小问1可得：，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62B ∴<<，ππ2π363∴<+<B，πsin 16⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭B.(b c ⎤∴+∈⎦20．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a=5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 21．已知分别是的三个内角所对的边．,,a b c ABC ∆,,A B C (1)若的面积，求的值；ABC∆260ABC S c A ︒∆===,a b (2)若，且，试判断的形状．=cos a c B sin b c A =ABC ∆【答案】（1）；（2）等腰直角三角形．1a b ==【详解】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b 边，得，再由由余弦定理得：1sin 2ABC S bc A ∆==12sin 602b ∴⋅︒=1b =，所以（2）判断三角形形状，利用边的222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=a =关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以cos a c B =2222222a c b a c a b c ac +-=⋅⇒+=，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.90C ∠=︒Rt ABC ∆sin a A c =ab c ac =⋅=ABC ∆解：（1）， 2分1sin 2ABC S bc A ∆= ，得 3分12sin 602b ∴⋅︒=1b =由余弦定理得：， 5分222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=所以分a =222a cb +-在中，，所以 11分Rt ABC ∆sin a A c =a b c a c =⋅=所以是等腰直角三角形； 12分ABC ∆【解析】正余弦定理22．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn ＝，且数列{bn}的前项和为Sn ＝360，求的值.2log n a n n 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) n ＝20232n n a -=【详解】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式得到关于首项、公比的方程组，求解方程组，结合通项公式有；232n n a -=(2)结合(1)的结论可得bn ＝ 则{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列， 结合等差223,n log a n =-数列前n 项和公式得到关于n 的方程，结合解方程可得n ＝20.*n ∈N 试题解析：(Ⅰ)设等比数列{an }的公比为q ，则214512128a a q a a q ==⎧⎨==⎩解之得， ∴即 ；1124a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩111142n n n a a q --==⨯232n n a -=(Ⅱ) bn ＝2322223,n n log a log n -==-∵bn ＋1－bn ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，又，11b =-∴{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列，∴Sn ＝＝360，()1232n n -+-即 n 2－2n －360＝0，∴n ＝20或n ＝－18（舍去），因此，所求n ＝20.。

2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥− ，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅ 的取值范围是（ ）A ．11,4 −−B ．1,02 −C ．1,04 −D ．11,42 −−3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b = ，则a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．333,,22 B ．333,,244 C ．333,,422 D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）AB C D 5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++ C ．1132a b c −+ D ．1162a b c −−+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC 共面，则λ=（ ） A ．12 B ．13 C ．512 D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−= ，则b a − 的最小值为（ ） AB C D 8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 .14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16.（本小题15分）如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． 18.（本小题17分） 如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM ⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．。

福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．若{},,a b c r r r 和{},,a b b c m +-r r r r r 都为基底，则m r不可以为（ ）A ．a rB ．c rC ．a c +r rD ．-r r a c3．若直线3m y x n m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在y 轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线1322y x =+的倾斜角的2倍，则（ ） A ．4m =-，3n =- B ．4m =，3n = C ．4m =，3n =-D ．4m =-，3n =4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11A D 的中点，则直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值为（ ）A B C D 5．集合{}6,2,3A =-，集合{}7,1,2B =-，从A ，B 中各任意取一个数相加为a ，则直线1:430l x ay +-=与直线2:440l ax y ++=平行的概率为（ ）A ．19B ．49C ．13D ．296．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC V 是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =u u u u r u u u r ，D 为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =u u u r u u u r ，则MN =（ ）A ．5B ．3 CD 7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11ABCD C ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π68．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A．B ．C ．3D ．6二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()()1122,,,x y x y 两点的所有直线，其方程均可写为112121y y x x y y x x --=-- D ．已知()()2,4,1,1A B ，若直线:20l kx y k ++-=与线段AB 有公共点，则21,32k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =-r ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--r，则l α⊥B ．若空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a r ，b r 满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 夹角为钝角D ．若空间向量()1,0,1=r a ，()0,1,1b =-r ，则a r在b r 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．122CQ AB AD AA =--+u u u r u u u r u u u r u u u rB ．点1C 到直线CQ C ．3CQ =u u u rD ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为4三、填空题12．求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．13．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，当AM 、BN 最短时，AM MN ⋅=uuu r uuu r．14．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为．四、解答题15．在三棱锥P-ABC 中，2AB BC PC PB ====，90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，PB AC ⊥．(1)求证：平面PBE ⊥平面ABC ； (2)求点C 到平面P AB 的距离．16．已知ABC V 的顶点()4,2A -，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=．(1)求直线AB 的方程；(2)若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，且14AA =，14CC CE =u u u u r u u u r，直线AE 与1AC 交于点F .(1)证明：1AC ⊥平面ABE . (2)求二面角1A BE A --的正弦值.18．在面积为S 的ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． (1)求C 的值；(2)若c ABC V 周长的最大值；(3)若ABC V 为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求ABC V 面积的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.。

2022-2023学年度上学期高二第一次月考试题数学考试时间：120分钟 试卷总分：150分命题范围：必修第一册+第二册+第三册+第四册的第九章+必修四的第十章结束占20%；必修四的第十一章+选择性必修一第一章+第二章2.1~2.4（曲线方程）结束占80%说明：本试卷由第1卷和第11卷组成.第1卷为选择题，第11卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上.第I 卷（选择题60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1.已知复数3i213iz +=+-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在ABC 中，若45,60,A B BC ===AC =（ ）B. C. D. 3.如图所示的Rt O A B '''中，O A A B =''''，斜边1O B ''=，该图是一个平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是（ ）B.1 D. 4.已知()()6,0,2,1,21,2a b λμλ==+-，若a b ∥，则实数,λμ的值分别为（ ） A.11,52B.11,52--C.5，2D.5,2--5.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12,23，则谜题没被破解的概率为（ ） A.1 B.56 C.13 D.166.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A.13.25立方丈B.26.5立方C.53立方丈D.106立方丈7.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3y x =+的最短距离为（ ）B.1C.2D. 8.如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）A.CD 与BE 是异面直线B.异面直线AB 与CD 所成角的大小为45C.由A B C ､､三点确定的平面截球所得的截面面积为3πD.球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为3二､多项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）9.下列说法中，正确的有（ ）A.过点()1,2P 且在,x y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B.圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是外切C.直线10x -+=的倾斜角为60D.过点()5,4且倾斜角为90的直线方程为50x -=10.已知函数()()()122log 2log 4f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A.()f x 的定义域是[]4,2- B.()1y f x =-是偶函数C.()f x 在区间[)1,2-上是增函数 D.()f x 的图象关于直线1x =-对称11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（ ）A.多面体有12个顶点，14个面B.多面体的表面积为3C.多面体的体积为56D.多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）12.已知曲线4C =，以下判断正确的是（ ） A.曲线C 与x 轴交点为()2,0± B.曲线C 关于原点对称C.曲线C.的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣D.曲线C第I 卷（主观题90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.平面α的法向量为m ，若向量AB m ⊥，则直线AB 与平面α的位置关系为__________.14.函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为__________. 15.已知向量,a b 满足||1,||2,||3a b a b ==-=，则a b -在b 上投影的数量为__________. 16.已知圆22:240C x y x y m ++-+=与y 轴相切，过()2,4P -作圆C 的切线则切线1的方程为__________.四､解答题（本大题共6小题，共计70分）17.（本小题满分10分）已知直线12:330,:20l ax y l x y ++=++=. （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l ∥时，求直线1l 与2l 之间的距离.18.（本小题满分12分）已知()()1,4,2,2,2,4a b =-=-. （1）若12c b =，求cos ,a c 的值； （2）若()()3ka b a b +⊥-，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是矩形，1326BC CC ==，D 为AB 的中点，且1A D =（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1CB 与平面1A CD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，G 是棱1CC 上一点，且12C G GC =.（1）证明：EF ∥平面11ABB A ；（2）从①三棱锥1C ABC -的体积为1；①1C C 与底面ABC 所成的角为60°；①异面直线1BB 与AE 所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角A EG F --的余弦值. 22.已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =. （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分①EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由.2022-2023学年度上学期高二9月月考试题数学试卷标准答案一､【单项选择题】1.A2.C3.A4.A5.D6.B7.A8.C二､【多项选择题】9.BD 10.BCD 11.ACD 12.BCD【详细解答】1.3i22i 13iz +=+=+-由复数的几何意义可知选A. 2.在ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC AC A B =，即2sin45sin60AC=，解得：AC =故选C ；3.画出原图形AOB ，如图所示，在Rt O A B '''中，,1O A A B O B ''''''==，则2O A ''=，故在原图形AOB中，,1OA OB OA OB ⊥==，所以这个平面图形的面积是112⨯=故选：A.4.()()()()6,0,2,1,21,2,1,21,26,0,2a b x λμλλμλ==+-∴+-=，1165210,1222x x λλμμλ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪∴-=∴⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故选A5.设“甲独立地破解出谜题”为事件A ，“乙独立地破解出谜题”为事件B ，()()12,23P A P B ==，故()()12,23P A P B ==，所以()111236P AB =⨯=，即谜题没被破解的概率为16.选D ； 6.由题意，下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈. 则刍童的体积为()()124332342326.56V ⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⎣⎦丈.故选B . 7.由直线与圆的位置关系可知选A8.取,DF EF 中点,N M ，连接,,,,,AB BC AC BM MN CN ，如图，因BEF 为正三角形，则BM EF ⊥，而平面BEF ⊥平面DFE ，平面BEF ⋂平面DFE EF =，BM ⊂平面BEF ，于是得BM ⊥平面DFE ，同理CN ⊥平面DFE ，即,BM CN BM CN ==∥因此，四边形BCNM 是平行四边形，有BC NM DE ∥∥，则直线CD 与BE 在同一平面内，A 不正确； 由选项A ，同理可得AB DF ∥，则异面直线AB 与CD 所成角等于直线DF 与CD 所成角60，B 不正确；由选项A 知，132BC MN DE ===，同理可得3AB AC ==，正ABC 外接圆半径r = 由A B C ､､三点确定的平面截球所得的截面圆是ABC 的外接圆，此截面面积为3,C π正确；体积为36π的球半径R ，由34363R ππ=得3R =，由选项C 知，球心到平面ABC 的距离d ==由选项A ，同理可得点A 到平面DFE 的距离为，即平面ABC 与平面DFE 的距离为，所以球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为3R d BM ++=+，D 不正确. 故选：C9.过点()1,2P 且在,x y 轴截距相等的直线有两条，一条经过原点，另一条不经过原点，故A 错误； 一个圆的圆心为()0,0，半径为2，另一圆的圆心为()4,3，半径为3，根据圆与圆的位置关系可知B 正确；由于直线10x -+=30，故C 错误； 过点()5,4且倾斜角为90的直线方程为50x -=，故D 正确，故答案为：BD .10.对于A ，由题意可得函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦，由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为()4,2-，故A 错误；对于()()()2,1log 33B y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()()2log 33g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦， 即()1y f x =-是偶函数，故B 正确： 对于C ，()()()()22222212log 24log 28log (1)9log (1)9f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+=--+=--++=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦令2(1)9t x =-++，可得12log y t =，当[)1,2x ∈-时，2(1)9t x =-++是减函数，外层函数12log y t =也是减函数， 所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 正确；对于()()()()2,2log 42D f x x x f x ⎡⎤--=-+-=⎣⎦，得()f x 的图象关于 直线1x =-对称，故D 正确.故选BCD .11.解：可将半正多面体补成棱长为1的正方体，其顶点是正方体各棱的中点，总共有12个顶点，6814+=个面，故A 正确；半正多面体的棱长为2，表面积为22863S =+⨯=⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 体积可看作正方体割去八个三棱锥，31115182326V ⎛⎫∴=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故C 正确；又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以该多面体有外接球，故D 正确.故选ACD .12.对于A ，令0y =，有214,x x +==x 轴的交点为()),，故A 错误；对于B ，若(),x y 4=，将(),x y --代入得：4,==即曲线C 是关于原点对称的，故B 正确；对于C ，欲求y 的范围，只需令0x =即可，有2214,5y y -==或3-（舍），y ∴=y 的取值范围是⎡⎣，故C 正确；对于D ，设曲线C 上的点的坐标为(),x y ，到原点的距离的平方为222r x y =+，4=4=，()2221164r y ∴+=+，如欲r 尽可能地小，则20y =，解得2min min 3,r r ==D 正确；故选BC D.三､【填空题】13.AB ⊂平面α或AB ∥平面α. 14.()5112,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【注：不写k Z ∈不给分】 15.32-16.2x =-或34100x y +-= 【详细解答】13.由题意，平面α的法向量为m ，向量AB m ⊥，若AB ⊂平面α，则AB m ⊥成立，若AB ⊄平面α，则AB ∥平面α，∴直线AB 与平面α的位置关系为AB ⊂平面α或AB ∥平面α， 故答案为：AB ⊂平面α或AB ∥平面α.14.()sin sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令322,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得51122,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5112,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 15.因为1,2,3a b a b ==-=，所以222()23a b a b a b -=+-⋅=，所以1a b ⋅=，所以a b -在b上投影的数量为()2143222a b b a b b b-⋅⋅--===-. 16.由圆22:240C x y x y m ++-+=，得22(1)(2)5x y m ++-=-，因为圆22:240C x y x y m ++-+=与y 1=，解得4m =当过()2,4P -的直线的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-， 圆心到直线2x =-的距离为1，符合题意；当过()2,4P -的直线的斜率存在时，设直线方程为()24y k x =++，1=，解得34k =-，则切线l 的方程为3542y x =-+，即34100x y +-=.所以满足条件的切线l 的方程为2x =-或34100x y +-=.四､【解答题】【详细答案】17.【解析】（本小题满分10分）（1）直线1212:330,:20,l ax y l x y l l ++=++=⊥， 所以30a +=，解得3a =-. （2）当12l l ∥时，3a =，直线1:330l ax y ++=为：10x y ++=， 所以直线1l 与2l之间的距离为：d ==18.【解析】（本小题满分12分） 因为已知()()1,4,2,2,2,4a b =-=-， （1）若()11,1,22c b ==-， 则144cos ,116a c a c a c -++-⋅===⋅+. （2）()()()223133ka b a b ka k a b b +⋅-=+-⋅-()()21132883240,k k=+-⨯-+--⨯=求得实数7427k =. 19.（1）由已知得113AA CC ==，1AD =，1A D =， 22211AD AA A D ∴+=，1AA AD ∴⊥，11//CC AA ，1CC BC ⊥，1AA BC ∴⊥，又AD BC B =，且AD ，BC ⊂平面ABC ，1AA ∴⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，1CD AA ∴⊥，在正三角形ABC 中，D 为AB 的中点，则CD AB ⊥， 又1AB AA A ⋂=，CD平面11ABB A ；（2）如图所示，取BC 的中点为O ，11B C 的中点为Q ，由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而OA ，OB ，OQ 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OQ ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0C -，12D ⎛ ⎝⎭，(1A ，()11,3,0B ，3,0,22CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1CA =，()12,3,0CB =， 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30230x z x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 令1x =，则z =23y =，所以21,,3n ⎛= ⎝，设直线1CB 与平面1A CD 所成角为θ，则1113130sin cos ,65n CB n CB n CB θ⋅===⋅20.【解析】（本小题满分12分）（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=， 所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d ==则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB = 所以公共弦长为【解法一】设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫-⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +-+-=.【解法二】由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得x =；当x =时，y =；当x =y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b ⎧⎛⎛⎛⎛⎪+=+ ⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222321722222r ⎛⎫⎛=-+--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（1）证明：取11A B 的中点M ，连接ME ，MB ，因为E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则11////ME B C BF ，111122ME B C BC BF ===， ∴四边形MEFB 为平行四边形，//EF MB ∴，EF ⊂/平面11ABB A ，MB ⊂平面11ABB A ，//EF ∴平面11ABB A .（2）解：在平面ACC 1中过点1C 作1C O AC ⊥于O ，连接OB ， 平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1C O ∴⊥平面ABC ，选择条件①：三棱锥1C ABC -的体积1111121332ABCV C O SC O =⋅⋅=⋅⋅⨯，1C O ∴= 在1Rt C OC中，1OC =，∴点O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，故以O 为原点，OB ､OC ､1OC 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)B，(0,E -，1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭，20,3G ⎛⎝⎭，∴33,22EF ⎛=⎝，50,,3EG ⎛= ⎝⎭， OB AC ⊥，平面ABC 平面11ACC A AC =，OB ⊂平面ABC ， OB ∴⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A 即平面AEG 的一个法向量为()3,0,0=OB ，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00nEF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3022503x y y z +=⎪⎨⎪=⎪⎩，令1y =，则3x =，z =，∴23,1,3n ⎛= ⎝⎭，cos ,||||3OB nOB n OB n ⋅∴===⋅⨯，显然二面角A EG F --为锐二面角，故二面角A EG F --. 选择条件①：1C C 与底面所成的角为60︒，160C CO ∴∠=︒，1OC ∴=，∴点O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，故以O 为原点，OB ､OC ､1OC 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则)B，(0,E -，1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭，20,3G ⎛⎝⎭，∴33,22EF ⎛=⎝，50,,3EG ⎛= ⎝⎭， OB AC ⊥，平面ABC 平面11ACC A AC =，OB ⊂平面ABC ， OB ∴⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A 即平面AEG 的一个法向量为()3,0,0=OB ，设平面EFG 的法向量为(),,n x yz =，则00n EFn EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30253x y y z +=⎨⎪=⎪⎩，令1y =，则x =z =，∴23,1,3n ⎛=⎝⎭， cos ,||||3OB nOB n OB n ⋅∴===⋅⨯，显然二面角A EG F --为锐二面角，故二面角A EG F --. 选择条件①：11BB AA ∥，1A AE ∴∠即为异面直线1BB 与AE 所成的角，即130A AE ∠=︒， 12AA =，11A E =，160AA E ∴∠=︒，即160C CO ∠=︒，1OC ∴=，故以O 为原点，OB ､OC ､1OC 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)B，(0,E -，1,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,33G ⎛⎝⎭，∴33,22EF ⎛=⎝，50,,3EG ⎛= ⎝⎭， OB AC ⊥，平面ABC 平面11ACC A AC =，OB ⊂平面ABC ， OB ∴⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A 即平面AEG 的一个法向量为()3,0,0=OB ，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00n EF nEG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3025033x y y z +=⎨⎪-=⎪⎩， 令1y=，则3x =，z =，∴23,1,3n ⎛= ⎝⎭，cos ,||||3OB nOB n OB n ⋅∴===⋅⨯，显然二面角A EG F --为锐二面角，故二面角A EG F --.22.【解析】（1）设(),P x y ，由于2PB PA =.=224x y +=. （2）①设存在定点Q 满足条件，设直线l 的方程为y kx b =+.设()()1122,,,E x y F x y .联立224y kx bx y =+⎧⎨+=⎩， 化为：22()4x kx b ++=，所以()2221240,Δ0kxkbx b +++-=>.212122224,,11kb b x x x x k k-∴+=-=++无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，则0kDE kDF +=所以1212033y y x x +=--.所以()()()()1221330kx b x kx b x +-++-=， 所以()()12122360kx x b k x x b +-+-=，所以()22242236011b kbk b k b k k -⋅---=++， 化为：33430..144k b k b y b x ⎛⎫+=∴=-∴=-+ ⎪⎝⎭，可得直线经过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②如果斜率不存在时，直线过定点Q 时，满足题意.∴存在过定点4,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠.。

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.2.如图所示，已知三棱锥，点M ，N 分别为AB ，OC 2023-2024学年河南省开封市五县高二上学期第一次月考联考数学试题的中点，且，，，用，，表示，则等于( )A. B. C. D.3.已知：，：，那么它们的位置关系是( )A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含4.若向量，，且与的夹角的余弦值为，则( )A. 2B. C.或D. 2或5.若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为( )A. B. C. D.6.经过中三个点的圆的方程不可以是( )A. B. C.D.7.如图，在大小为的二面角中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是( )A. B. C. 1 D.8.设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是( )A. B. C. D.9.已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能10.设a，b，c分别是中角A，B，C所对的边，则直线与的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直11.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 312.关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________.14.平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面所成二面角的大小为__________.15.直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是__________.16.在中，若，，则面积的最大值为__________.三、解答题：本题共6小题，共70分。

高二数学上学期第一次月考测试题和答案高二数学月底考试是检测学习成效的重要手段，只有平时认真对待每一次数学月考，才能够在高考数学考试中超常发挥。

以下是店铺为大家收集整理的高二数学月考测试题，希望对大家有所帮助!高二数学上学期第一次月考测试题(理科卷)(考试时间：120分钟总分：150分)一、(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.以两点A(-3，-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(A) k>4?(B)k>5?(C) k>6?(D)k>7?(第3题)3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )A. B. C. D.4. 将51转化为二进制数得 ( )A.100 111(2)B.110 110(2)C.110 011(2)D.110 101(2)5.读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILE i<=5S= S+iI= i+1WENDPRINT SENDI= 5S= 0DOS = S+iI = i-1LOOP UNTIL i<1PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A 程序不同，结果不同B 程序不同，结果相同C 程序相同，结果不同D 程序相同，结果不同6.(如图)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是( )A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=-10 则输出的是( )A. 1B. 0C. 20D. -208..若点P(1，1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A. B.C. D.9. 三个数390, 455, 546的最大公约数是 ( )A.65B.91C.26D.1310. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )A. 和B. 和C. 和D. 和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ). .12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样二、题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.14. 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2 v1=2×5-5=5 则v3= ________.15. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16.若集合A={(x，y)y=1+4-x2}，B={(x，y)y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)对甲?乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲?乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.(本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图;(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19.(本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?参考公式：20. (本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.21.(本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框 =f( )其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有 ;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值 .22.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围.高二数学月考测试题参考答案一、题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、题(13)、 15..10..20 (14)、 108. (15 ) 16 (16) 512三、解答题1718. 解析】 (1)频率分布直方图如图…………6分(2) (克) …………12分19. 解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x=255=5，y=2505=50，i=15x2i=145，i=15y2i=13 500，i=15xiyi=1 380.于是可得b=i=15xiyi-5x yi=15x2i-5x2=1 380-5×5×50145-5×52=6.5; ——————7分a=y-bx=50-6.5×5=17.5，因此，所求回归直线方程是=6.5x+17.5. ——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元. ————————————12分20. 【解析】：(1)平均数是=1 500+≈1 500+591=2 091(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ——————————————4分(2)平均数是≈1 500+1 788=3 288(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. ——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2) 要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0,即 ,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22. 解析：(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a，a)，半径为2a. ——————————2分直线l的方程化为：x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是-2a+42=22-a. ——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2(2a)2-(22-a)2 ——————————5分=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0(2)因为直线l与圆C相切，则有m-2a2=2a，——————————8分即m-2a=22a.又点C在直线l的上方，∴a>-a+m，即2a>m. ——————————10分∴2a-m=22a，∴m=2a-12-1.∵0。

【高二】2021 2021学年高二数学上册第一次月考测试题(含答案)【高二】2021-2021学年高二数学上册第一次月考测试题(含答案)“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”联考2021-2021学年上学期第一次月考高二文科数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、（本问题共有12个子问题，每个子问题得5分，总计60分。

每个子问题给出的四个选项中只有一个符合问题的要求）一.一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1~50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是()a、抽签法B、分层抽样法C、随机数表法D、系统抽样法2.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，在这个问题中，下面说法正确的是（?a、 1000名学生是整个B。

每个学生都是一个人c．100名学生中每一名学生是样本d．样本的容量是1003.将88转换为十六进制数（）a.324(5)b.323(5)c.233(5)d.332(5)4.计算机执行右边的程序语句后，输出结果为（）a．，b．，c、，d5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（） a、至少一个黑色球，两个都是黑色球B，至少一个黑色球和至少一个红色球c、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球d、至少有一个黑球与都是红球6.一名篮球运动员在一个赛季40场比赛中的得分干叶图如右下图所示：中位数和模式为（）a．3与3b．23与3c、 23和23d。

3和237．直线l1:ax+3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0,若l1∥l2,则a=()n=5s=0当小于15s=s+nn=n-1wend普林顿enda、 -3B。

2C.-3或2D。

3或-28．下列程序执行后输出的结果是（）A.1b。

0c。

1d。

二9．有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，若希望中奖的机会最大，则应该选择的游戏是（）10.当使用秦九韶算法计算当时多项式的值时，该值为a.5.2b.1c.3.2d.4.211.一组数据的平均值为，方差为。