课标版文数一轮(2)第二章-函数(含答案)8-第八节 函数与方程_....ppt29页PPT

高考数学一轮复习学案：2.8 函数与方程（含答案）2.8函数与方程函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点方程实根的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择.填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点1函数零点的定义对于函数yfxxD，把使fx0的实数x叫做函数yfxxD 的零点2三个等价关系方程fx0有实数根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点3函数零点的判定零点存在性定理如果函数yfx在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0的图象与零点的关系000的图象与x轴的交点x1,0，x2,0x1,0无交点零点个数210知识拓展有关函数零点的结论1若连续不断的函数fx在定义域上是单调函数，则fx至多有一个零点2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1函数的零点就是函数的图象与x轴的交点2函数yfx 在区间a，b内有零点函数图象连续不断，则fafb0，所以fx在R上单调递增，又f11e30，因此函数fx有且只有一个零点4P92A组T4函数fx12x12x的零点个数为________答案1解析作函数y112x 和y212x的图象如图所示，由图象知函数fx有1个零点题组三易错自纠5已知函数fxxxx0，gxxex，hxxlnx的零点分别为x1，x2，x3，则Ax11时，由fx1log2x0，解得x12，又因为x1，所以此时方程无解综上函数fx只有1个零点7函数fxax12a在区间1,1上存在一个零点，则实数a的取值范围是________答案13，1解析函数fx的图象为直线，由题意可得f1f10的零点个数是________答案2解析当x0时，令x220，解得x2正根舍去，所以在，0上有一个零点；当x0时，fx21x0恒成立，所以fx在0，上是增函数又因为f22ln20，所以fx在0，上有一个零点，综上，函数fx的零点个数为2.2函数fx4cos2x2cos2x2sinx|lnx1|的零点个数为________答案2解析fx21cosxsinx2sinx|lnx1|sin2x|lnx1|，x1，函数fx 的零点个数即为函数y1sin2xx1与y2|lnx1|x1的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则fx有两个零点思维升华函数零点个数的判断方法1直接求零点；2利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；3利用函数图象的交点个数判断跟踪训练1已知函数fxx22x，x0，|lgx|，x0，则函数gxf1x1的零点个数为A1B2C3D4答案C解析gxf1x11x221x1，1x0，|lg1x|1，1x0x24x2，x1，|lg1x|1，x0，解得a9.又由图象得a0，00的大致图象图略观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数gxfxxm有零点命题点3根据零点的范围求参数典例若函数fxm2x2mx2m1的两个零点分别在区间1,0和区间1,2内，则m的取值范围是__________答案14，12解析依题意，结合函数fx的图象分析可知m需满足m2，f1f01，由基本不等式，得t12t122，当且仅当t21时取等号，故a222.答案11,02，222。

第八节函数与方程及应用热点命题分析学科核心素养本节是高考的热点，主要考查：(1)利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间；(2)判断函数零点、方程根的个数；(3)根据零点(方程根)的情况求参数的取值范围；(4)函数模型及应用．一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大.本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第34页知识点一函数的零点1．函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：(1)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)·f(b)＜0.则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．•温馨提醒•二级结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．必明易错1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．1．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B2．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________． 答案：13．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0,4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－8,1]4．(易错题)给出下列命题：①函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f (a )·f (b )＜0； ③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点；④若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)． 答案：③④知识点二 函数模型及应用 指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a ＞1)y ＝log a x (a ＞1)y ＝x n (n ＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增续表函数性质y＝a x(a＞1) y＝log a x(a＞1) y＝x n(n＞0) 增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)答案：B2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大．答案：3授课提示：对应学生用书第35页题型一函数零点个数或所在区间的判定自主探究1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为() A．2B．3 C．4 D．5 答案：B2．(2021·揭阳模拟)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 与y ＝的交点横坐标所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －，易知f (x )单调递减，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， ∴函数零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即所求交点横坐标所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 答案：B3．(多选题)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f (－3)·f (6)＜0，那么下列结论中正确的是( )A ．f (x )可能有三个零点B ．f (3)·f (－4)≥0C ．f (－4)＜f (6)D ．f (0)＜f (－6)解析：因为f (x )是定义域为R 的偶函数，又f (－3)·f (6)＜0，所以f (3)·f (6)＜0.又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，且f (3)＜0，f (6)＞0，所以函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f (0)的值没有确定，所以函数f (x )可能有三个零点，故A 正确；又f (－4)＝f (4)，4∈(3,6)，所以f (－4)的符号不确定，故B 不正确；C 项显然正确；由于f (0)的值没有确定，所以f (0)与f (－6)的大小关系不确定，所以D 不正确． 答案：AC1.判断函数零点个数的三种方法(1)解方程法：若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数．2.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，其次看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.题型二函数模型及应用合作探究[例]温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高10 K，化学反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应速率与温度之间的关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius 公式：k＝A e－E aRT，式中A为指前因子(A＞0)，e为自然对数的底数，E a为表现活化能，R为摩尔气体常数．通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下的化学反应速率常数与其相应的温度之间的关系．已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2，则ln k1k2＝()A.(T2－T1)RE a ln A B．(T1－T2)RE a ln AC.E a(T2－T1)RT1T2D．E a(T1－T2)RT1T2[答案] D1.与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．[对点训练]某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解析：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， 因为x 为整数，所以3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈Z . (2)对于y ＝50x －115,3≤x ≤6，x ∈Z ， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，6＜x ≤20，x ∈Z ，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．函数与方程及模型应用中的核心素养(一)直观想象——数形结合思想在已知函数零点或方程根确定参数范围中的应用 [例1] (多选题)(2021·辽宁沈阳质监改编)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，0＜x ≤2，12f (x －2)，x ＞2，则下列选项正确的是( )A ．函数f (x )的最大值为1B ．函数f (x )的最小值为0C ．函数f (x )的零点有无数个D ．函数g (x )＝8[f (x )]2－6f (x )＋1的零点个数为14[解析]∵x∈(0,2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝12f(x－2)，∴当x∈(0，＋∞)时，将f(x)在区间(0,2]上的图象依次向右平移2个单位长度的同时，再将图象上所有点的纵坐标缩小为原来的12，就可以得到函数f(x)在(0，＋∞)上的图象．又f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．作出y＝f(x)的图象如图所示．由图可知选项A，B，C正确．令g(x)＝0，得f(x)＝12或f(x)＝14，易知直线y＝12与y＝f(x)的图象有6个交点，直线y＝14与函数y＝f(x)的图象有10个交点，∴函数g(x)共有16个零点，选项D不正确．[答案]ABC已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决．(3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解．(二)数学建模——函数建模在实际问题中的应用[例2]某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x －q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．[解析](1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．读题(文字语言)→建模(数学语言)→求解(数学应用)→反馈(检验作答)[对点训练]某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2008200920102011…投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 解析：(1)将(3,1)，(5,2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)， 得⎩⎨⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12. 当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎨⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎨⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x ＝2x －32.当x ＝9时，y ＝＝8，不符合题意：将(3,1)，(5,2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)， 得⎩⎨⎧ 1＝log a (3＋b )，2＝log a (5＋b )，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)． 当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．。

第8讲 函数与方程、函数的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1,0)内有零点． 答案 D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D3．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4．(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5．(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 答案 C 二、填空题6．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________. 解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案 －2 17．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 解析 设过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 答案 88．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则a 的值为________．解析 函数y ＝|x －a |－1的图像如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12 三、解答题9．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 10．(2017·陕西实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图像(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点． 答案 D12．(2017·合肥质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 答案 B13．(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示．则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 答案 (0,2)14．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解 (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a <b 且f (a )＝f (b )， 得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0<m <1时，函数f (x )的图像与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根.。

第八节函数与方程(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使①f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与②x轴有交点⇔函数y=f(x)有③零点.2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有④f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间⑤(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得⑥f(c)=0,这个⑦c也就是方程f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.▶提醒(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数 y=ax 2+bx+c (a>0)的图象与x 轴的交点⑧(x 1,0),(x 2,0) ⑨(x 1,0)无交点零点个数 ⑩ 两个一个无4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε. 第二步,求区间(a,b)的中点x 1. 第三步,计算 f(x 1) :(i)若 f(x 1)=0 ,则x 1就是函数的零点;(ii)若 f(a)·f(x 1)<0 ,则令b=x 1(此时零点x 0∈(a,x 1)); (iii)若 f(x 1)·f(b)<0 ,则令a=x 1(此时零点x 0∈(x 1,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. (4)在区间D 上单调的函数在该区间内至多有一个零点. (5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( )(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)若函数f(x)在(a,b)上的图象是连续的,且函数在(a,b)上单调,且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(5)对于任意的a∈R,函数f(x)=e x+a一定有零点.()(6)对于任意的a∈R,函数f(x)=ln x+a一定有零点.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)✕(5)✕(6)√2.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案C3.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案B4.在下列区间中,函数f(x)=3x-x2有零点的是()A.[0,1]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-1,0]答案D5.根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123e x0.371 2.727.3920.0 9x+212345 A.(-1,0)B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)6.若函数f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案 (13,1)函数零点所在区间的判断典例1 (1)设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)( ) A.在区间(1e ,1),(1,e)内均有零点B.在区间(1e ,1),(1,e)内均无零点C.在区间(1e ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间(1e ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 (2)已知函数y=(12)x -2与y=x 3图象的交点坐标为(x 0,y 0),则x 0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 答案 (1)D (2)B解析 (1)令f(x)=0,得13x=ln x.作出函数y=13x 和y=ln x 的图象,如图,显然y=f(x)在(1e ,1)内无零点,在(1,e)内有零点.故选D. (2)设f(x)=(12)x -2-x 3,显然此函数是减函数,f(1)=(12)1-2-13=1>0, f(2)=(12)2-2-23=-7<0,即f(1)f(2)<0,∴f(x)在区间(1,2)内存在零点,且是唯一零点.∴x 0∈(1,2).故选B.确定函数零点所在区间的方法(1) 解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定 区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.1-1 函数f(x)=ln x-2x 2的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 B 易知f(x)=ln x-2x 2在定义域(0,+∞)上是增函数, 又f(1)=-2<0, f(2)=ln 2-12>0.根据零点存在性定理,可知函数f(x)=ln x-2x 有唯一零点,且在区间(1,2)内.故选B.1-2 若x 0是方程(12)x=x 13的解,则x 0属于区间( ) A.(23,1) B.(12,23) C.(13,12)D.(0,13)答案 C 令g(x)=(12)x, f(x)=x 13, 则g(0)=1>f(0)=0,g (12)=(12)12<f (12)=(12)13, g (13)=(12)13>f (13)=(13)13, ∴13<x 0<12.确定函数的零点命题方向一 判断零点个数典例2 (1)函数f(x)=3sin π2x-lo g 12x 的零点个数是( )A.2 B .3 C.4 D .5(2)若a 满足x+lg x=4,b 满足x+10x=4,函数f(x)={x 2+(a +b)x +2,x ≤0,2,x >0,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数是( )A.1 B .2 C.3 D .4答案 (1)D (2)C解析 (1)由f(x)=0得3sin π2x=lo g 12x,在同一平面直角坐标系内画出函数y=3sin π2x 和y=lo g 12x 的图象,如图所示,,从图象上看,两个函数的图象有5个交点,所以原函数有5个零点,故选D.(2)由已知,得lg x=4-x,10x =4-x.在同一平面直角坐标系中作出y=10x ,y=lg x 以及y=4-x 的图象,其中y=10x ,y=lg x 的图象关于直线y=x 对称,直线y=x 与y=4-x 的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)={x 2+4x +2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时,由x 2+4x+2=x,得x=-1或x=-2;当x>0时,x=2,所以方程f(x)=x 的解的个数是3.2-1 函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点个数为( )A.1 B .2 C.3 D.4答案 B 易知函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数⇔方程|log 0.5x|=12x =(12)x的根的个数⇔函数y 1=|log 0.5x|与y 2=(12)x的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.2-2 已知函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x,x >0,则函数y=f(f(x))+1的零点个数是( )A.4 B .3 C.2 D.1答案 A 由f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1, 由f(-2)=f (12)=-1,得f(x)=-2或f(x)=12. 若f(x)=-2,则x=-3或x=14; 若f(x)=12,则x=-12或x=√2.综上可得函数y=f(f(x))+1的零点个数是4,故选A.命题方向二 求零点典例3 已知函数f(x)={e x -1-1,x <2,log 3x 2-13,x ≥2,则f(x)的零点为( )A.1,2B.1,-2C.2,-2D.1,2,-2 答案 A解析 当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0,即e x-1=1,解得x=1,满足题意; 当x ≥2时,令f(x)=log 3x 2-13=0,则x 2-13=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.2-3 已知f(x)={xlnx,x >0,x 2-x -2,x ≤0,则其零点为 .答案 1,-1解析 当x>0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x ≤0时,由f(x)=0,即x 2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍).综上,函数的零点为1,-1.函数零点的应用典例4 (1)若函数f(x)=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x 2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是 .答案 (1)C (2)(14,12)解析 (1)因为函数f(x)=2x -2x -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(2)依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足{m ≠2,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,即{m ≠2,[m -2-m +(2m +1)](2m +1)<0,[m -2+m +(2m +1)][4(m -2)+2m +(2m +1)]<0, 解得14<m<12. 方法技巧根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.3-1 已知函数f(x)=4x +a ·2x+1+4没有零点,则实数a 的取值范围是 .答案 (-2,+∞)解析 设2x=t,则t 2+2at+4=0在(0,+∞)上无解,分离参数得a=-4-t 22t=-(2t +t2),则-(2t +t2)≤-2,当且仅当t 2=2t ,即t=2时取等号,因为直线y=a 与y=-(2t +t2)的图象在(0,+∞)上没有交点,所以a>-2.3-2 m 为何值时,函数f(x)=x 2+2mx+3m+4:(1)在(-1,3)上有两个零点? (2)有两个零点且均比-1大?解析 (1){-1<-m <3,f(-1)>0,f(3)>0,Δ>0⇒{-3<m <1,1-2m +3m +4>0,9+6m +3m +4>0,4m 2-4(3m +4)>0⇒m ∈(-139,-1).(2)设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2,由题意得{-b2a >-1,f(-1)>0,Δ>0⇒{-m >-1,1-2m +3m +4>0,Δ>0⇒m ∈(-5,-1).A 组 基础题组1.若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260f(1.437 5)=0.162f(1.406 25)=-0.054那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( ) A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案 C2.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( ) A.y=lo g 12x B.y=2x -1C.y=x 2-12 D.y=-x 3答案 B3.已知f(x)=x 2+6x+c 有零点,但不能用二分法求出,则c 的值是( ) A.9 B.8 C.7 D.6答案 A 函数f(x)=x 2+6x+c 有零点,但不能用二分法求出,说明此二次函数图象与x 轴只有一个交点,即Δ=36-4c=0,解得c=9,故选A.4.函数f(x)=x 2-1x -1在区间(k,k+1)(k ∈N)内有零点,则k=( )A.1B.2C.3D.0答案 A 因为k ∈N 时,函数f(x)=x 2-1x -1在区间(k,k+1)上单调递增,且f(1)=12-11-1=-1<0, f(2)=22-12-1=52>0,所以函数f(x)=x 2-1x -1在区间(1,2)上有零点,即k=1,故选A.5.已知函数f(x)=(15)x-log 3x,若x 0是函数y=f(x)的零点,且0<x 1<x 0,则f(x 1)的值( ) A.恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0答案 A 由题意,可得函数f(x)=(15)x-log 3x 在(0,+∞)上是减函数,当0<x 1<x 0时,有f(x 1)>f(x 0).又x 0是函数f(x)的零点,因此f(x 0)=0,所以f(x 1)>0,即f(x 1)的值恒为正值,故选A. 6.已知函数f(x)=6x -log 2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)答案 C 因为f(1)=6-log 21=6>0, f(2)=3-log 22=2>0, f(4)=32-log 24=-12<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(2,4),故选C.7.函数f(x)=1-xlog 2x 的零点所在的区间是( ) A.(14,12) B.(12,1) C.(1,2) D.(2,3)答案 C f (14)=1-14log 214=1+12=32>0, f (12)=1-12log 212=1+12=32>0, f(1)=1-0>0, f(2)=1-2log 22=-1<0,由f(1)f(2)<0,知选C.8.函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C 由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞).在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.9.方程2x +3x=k 的解在[1,2)内,则k 的取值范围是 .答案 [5,10)解析 令f(x)=2x +3x-k,则f(x)在R 上是增函数.当方程2x +3x=k 的解在(1,2)内时, f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.综上,k 的取值范围是[5,10).10.函数f(x)=e x +12x-2的零点有 个.答案 1解析 ∵f(x)在R 上单调递增,又f(0)=1-2<0, f(1)=e-32>0,∴函数f(x)有且只有一个零点.11.已知关于x 的方程2kx 2-2x-5k-2=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k 的取值范围是 .答案 (-∞,-43)∪(0,+∞)解析 关于x 的方程2kx 2-2x-5k-2=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1.则k ≠0.根据函数的零点存在性定理知,当k>0时,只需满足f(1)=-3k-4<0⇒k>-43,即k>0,当k<0时,只需满足f(1)=-3k-4>0⇒k<-43, 综上所述,k ∈(-∞,-43)∪(0,+∞).12.若函数f(x)=4x -2x -a,x ∈[-1,1]有零点,则实数a 的取值范围是 .答案 [-14,2]解析 ∵函数f(x)=4x -2x -a,x ∈[-1,1]有零点,∴方程4x -2x -a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x -2x在[-1,1]上有解.方程a=4x -2x 可变形为a=(2x -12)2-14,∵x ∈[-1,1],∴2x ∈[12,2],∴(2x -12)2-14∈[-14,2]. ∴实数a 的取值范围是[-14,2].13.已知函数f(x)={2x -a,x ≤0,x 2-3ax +a,x >0有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .答案(49,1]解析依题意,要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x≤0时,方程2x-a=0,即2x=a必有一个根,此时0<a≤1;当x>0时,方程x2-3ax+a=0有两个不等的实根,即方程x2-3ax+a=0有两个不等的正实根,于是有{Δ=9a2-4a>0,3a>0,a>0,解得a>49,因此,满足题意的实数a需满足{0<a≤1,a>49,即49<a≤1.B组提升题组1.设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案A因为函数f(x)=e x+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时,a∈(0,1).又g(x)=ln x+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln2+1>0,所以g(b)=0时,b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0<f(b).2.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2x·log2x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c答案D令f(x)=2x+log 2x=0,则log2x=-2x.令g(x)=2-x-lo g12x=0,则log2x=-2-x.令h(x)=2x log2x-1=0,则2x log2x=1,log2x=12x=2-x.所以函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2x log2x-1的零点可以转化为求函数y=log2x与函数y=-2x,y=-2-x,y=2-x的图象的交点,如图所示,可知0<a<b<1,c>1,∴a<b<c.故选D.3.若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x ∈[0,1]时, f(x)=x,则函数y=f(x)-log 3|x|的零点个数是( )A.8B.4C.3D.2答案 B 由题意知, f(x)是周期为2的偶函数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=log 3|x|的大致图象,如图.观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log 3|x|有4个零点.4.已知函数f(x)=log 2(2x +1).(1)求证:函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;(2)若g(x)=log 2(2x -1)(x>0),且关于x 的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m 的取值范围. 解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈(-∞,+∞),且令x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=log 2(2x 1+1)-log 2(2x 2+1)=log 2 2x 1+12x 2+1,∵x 1<x 2,∴0<2x 1+12x 2+1<1,∴log 2 2x 1+12x 2+1<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(2)∵g(x)=m+f(x),∴m=g(x)-f(x)=log 2(2x -1)-log 2(2x +1)=log 2 2x -12x +1=log 2 (1-22x +1),∵1≤x ≤2,∴2≤2x ≤4,∴log 2 13≤log 2(1-22x +1)≤log 2 35,故m 的取值范围为[log 213,log 235].。

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第8讲函数与方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识］考点1 函数零点1．定义:对于函数y＝f（x）(x∈D)，把使f(x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）(x∈D)的零点．2．三个等价关系3．存在性定理考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0）的图象与零点的关系Δ〉0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0）,（x2,0）（x1，0)无交点零点x1,x2x1无对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f（b）<0的函数y＝f（x)，通过不断地把函数f （x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[必会结论]1．若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a)·f （b）＜0，则函数y＝f(x）一定有零点．2。

由函数y＝f(x）在闭区间［a,b]上有零点不一定能推出f(a）·f（b）＜0，如图所示．所以f（a)·f（b)＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b］上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点（不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．3．若函数f(x）在[a,b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f（a）·f(b）＜0⇒函数f（x)在［a，b］上只有一个零点．[考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×")(1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）(2）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）在当b2－4ac〈0时没有零点．（)(3)函数y＝f（x）在区间(a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a)·f(b)＜0.( ）（4）若f（x)在区间[a,b］上连续不断,且f（a)·f(b）＞0，则f(x)在（a，b)内没有零点．( )（5）函数f（x)＝kx＋1在［1,2]上有零点,则－1≤k≤－错误!.( ）答案（1)×（2)√（3）×(4)×(5）√2．[课本改编]函数f(x）＝x－错误!的零点个数是( ）A．0 B．1C．2 D．无数个答案C解析令f（x）＝0，解x－错误!＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2。

学习资料2。

8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x）（x∈D）,把使成立的实数x叫做函数y=f(x)（x∈D）的零点.（2）与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0）的图象与零点的关系图象与点个数3。

二分法函数y=f（x）的图象在区间［a,b］上连续不断,且，通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1。

若y=f(x）在闭区间[a,b]上的图象连续不断，且有f(a）f(b)〈0,则函数y=f（x）一定有零点。

2.f(a)f（b）<0是y=f（x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3。

若函数f（x）在［a，b]上是单调函数，且f(x）的图象连续不断，则f(a）f（b)<0⇒函数f(x）在区间[a，b］上有且只有一个零点.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×"。

(1)函数f(x)=x2-1的零点是(—1，0)和(1,0）。

()（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在b2—4ac〈0时没有零点.() (3）只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值。

()(4）已知函数f（x）在（a，b）内图象连续且单调，若f(a）f（b)<0,则函数f（x）在[a，b］上有且只有一个零点.（）（5）函数y=2sin x—1的零点有无数多个.(）2.(2020云南玉溪一中二模）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是(）A。

(-2,—1）B.(-1，0）C.（0，1)D。

(1，2)3.（2020山东济南二模，2）函数f(x）=x3+x-4的零点所在的区间为（）A.(—1,0）B.(0,1)C。

第八节函数与方程1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点❶.2．函数的零点与方程根的联系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．3．零点存在性定理4．二次函数图象与零点的关系(2)零点一定在定义域内.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般由判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成．[熟记常用结论]1．若函数f (x )在[a ，b ]上单调，且f (x )的图象是连续不断的一条曲线，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在[a ，b ]上只有一个零点．2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )f (b )＜0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、选填题1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.2．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4)D ．(4，＋∞)解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x ＋3x 在R 上是增函数， ∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (－1)·f (0)＜0，∴函数f (x )有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.4．函数f (x )＝(x 2－2)(x 2－3x ＋2)的零点为________．答案：－2， 2，1,2考点一函数零点所在区间的判断[基础自学过关][题组练透]1．(2019·郑州名校联考)已知实数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B ∵2a ＝3,3b ＝2，∴a ＞1,0＜b ＜1，又f (x )＝a x ＋x －b 是单调递增函数，∴f (－1)＝1a－1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，∴f (x )在区间(－1,0)上存在零点．故选B.2．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13， 则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.3．(2019·河北武邑中学调研)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)内，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝－1＋ln 2＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案：2[名师微点]确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． [口诀记忆]端点函数符号反，区间(a ，b )有零点.考点二判断函数零点个数[师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x ＜0.函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2，选A.[答案] A[解题技法]函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f (x )在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[过关训练]1．(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________． 解析：如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.答案：32．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0的零点个数是________．解析：当x ＜0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2或x ＝0(舍去)，所以当x ＜0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1＜0，f (2)＝e 2－4＞0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点．答案：23．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )＝0.∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3. 答案：3考点三函数零点的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 根据函数零点个数或存在情况求参数范围[例1] (1)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1](2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] (1)画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0＜a ≤1；当x ＞0时，f (x )有一个零点，需－a ＜0，即a ＞0.综上，0＜a ≤1，故选A.(2)令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.[答案] (1)A (2)C考法(二) 根据函数零点的范围求参数范围[例2] 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是____________．[解析] 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)＜0，f (1)·f (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)＜0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]＜0，解得14＜m ＜12.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，12考法(三) 求函数多个零点(方程根)的和[例3] (2019·石家庄质量检测)已知M 是函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx (x ∈R)的所有零点之和，则M 的值为________．[解析] 将函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx 的零点转化为函数h (x )＝|2x －3|与g (x )＝8sin πx 图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h (x )与g (x )的图象，如图，因为函数h (x )与g (x )的图象都关于直线x ＝32对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f (x )的所有零点之和M ＝8×32＝12.[答案] 12[规律探求][过关训练]1．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 解析：选D 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ＜1，1x ＋1－1，－1＜x ＜0，g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．{－1}∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C ．{－1}∪⎣⎡⎭⎫15，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析：选C 作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图所示．函数g (x )的零点个数⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 的交点个数．直线y ＝4mx ＋m 过点⎝⎛⎭⎫－14，0，当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15；当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，1x 0＋1－1，由y ′＝－1(x ＋1)2得切线的斜率为－1(x 0＋1)2，则－1(x 0＋1)2＝1x 0＋1－1－0x 0＋14，解得x 0＝－12，所以4m ＝－1⎝⎛⎭⎫－12＋12＝－4，得m ＝－1.结合图象可知当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．。

第8讲 函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________．解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )．令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.答案 0，－122．(2017·苏州期末)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点． 答案 13．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞)．答案 (0，＋∞)4．(2017·徐州月考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞5．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________．解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点． 答案 0或－146．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 27．(2015·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点． 答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题9．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝ －(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围． 解由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ，又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2. 答案 (1,2]12．(2017·镇江调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．解析 关于x 的方程f (x )＝k (x －1)至少有两个不相等的实数根，即y ＝f (x )与y ＝k (x －1)的图象至少有两个不同的交点，作出函数图象如图，函数在点(1,0)处的切线斜率为1，即当k ＝1时，方程f (x )＝k (x －1)只有一个实数根，当直线y ＝k (x －1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，k ＝－13，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)13．(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0. 又m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根， ∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根， 不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。