高中数学课下能力提升九二项式系数的性质及应用苏教版选修6

2019最新高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升（九）二项式系数的性质及应用-含解析一、填空题1．已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．2．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．3．若展开式中只有第6项的系数最大，则n＝________.4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．5．若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________．二、解答题6．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C＋×C＝2××C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，则的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r，令r＋1＝4，得r＝3，则第四项为T4＝Cx5＝7x5.答案：7x52．解析：令x＝1，2n＝64⇒n＝6.由Tr＋1＝C·36－r·x·(－1)r·x－r2＝(－1)rC36－rx3－r，令3－r＝0⇒r＝3.所以常数项为－C33＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n＝10.答案：104．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C22(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C＝C，得3n＋1＝n＋6(无整数解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，。

二项式系数的性质及应用对于n ∈N ﹡,(a+b)n=0C n a n+1n C a n-1b+…+rnC a n-r b r+…+1-n n C ab n-1+n n C b n. 右边二项展开式中的r n C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,有如下性质：(1) 对称性:在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即0C n =n n C ,11C n n n C =-,…, r n C =rn n -C ，r=0,1,2, …,n.(2) 增减性与最大值: 二项式系数r n C ,当k<21+n 时二项式系数是递增的，当k>21+n 时二项式系数是递减的，若n 为偶数，则中间一项的二项式系数2C nn 最大，若n 为奇数，则中间两项的二项式系数21C -n n ，21C +n n 最大。

(3)所有二项式系数的和为2n，即0C n+1n C +2n C +…+n n C =2n。

(4)奇数项的系数和等于偶数项的系数和且等于2n-1，即0C n +2n C +4n C +…=1n C + ++53n C n C =2n-1.在解题时要注意二项式展开式中某项的系数不同于该项的二项式系数，下面看其应用。

一、二项展开式的系数问题举例 1. 若(1-2x)2012=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2012x 2012(x ∈R),求(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+… ( a 0+a 2012)=________（用数字作答）。

分析:求系数和有关问题时，常采用赋值法。

解:令x=0得a 0=1，原式=2012a 0+(a 1+a 2+a 3+…+a 2012)=2011a 0+(a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2012)，再令x=1得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2012=1，所以(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+… ( a 0+a 2012)=2012.评注:对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段，在运用时要仔细观察式子特点，寻找x 赋何值时(-1，1，0或其它值)可使已知所得等式更接近所求。

1.5.2 二项式系数的性质及应用（2）学习目标1、掌握二项式系数的四个性质。

2、培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力。

学习过程：一、预习：回顾复习：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L .2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n nC +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++L L 二、课堂训练：例1． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值例2．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L例3、已知nx x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．例4、已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除练习：1．求和：()2341012311111111111n n n n n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ．2．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．3．求()102x +的展开式中系数最大的项三、巩固练习：1、已知n x x )1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．2、nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．3、设n m x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．4、填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是________________.5、在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ）．A ．160B ．240C ．360D ．800 6、已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________ 7、(1)求证：n n n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++⋅-⋅+-Λ (2)若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值．8、若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除。

课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 2．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 3．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．5．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5. 答案：7x 52．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3.所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r (－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． 7．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋n＋1－8n－9C n＋1n＋1·8＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9 ＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。

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课下能力提升（八) 二项式定理一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．2．（四川高考改编）在x（1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．3．二项式错误!错误!的展开式中的常数项为________．4．若（x＋1）n＝x n＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1,那么n＝________．5。

错误!错误!的展开式中有理项共有________项．（用数作答)二、解答题6．求错误!错误!的第4项,指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么?7．若错误!错误!展开式的常数项为60,则常数a的值．8．已知错误!错误!的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．答案1．解析：第3项的二项式系数为C210＝错误!＝45。

答案：452．解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C错误!＝15。

答案:153．解析:∵T r＋1＝C错误!(－1)r x15－5r，令15－5r＝0，∴r＝3.故展开式中的常数项为C错误!（－1)3＝－10。

答案：－104．解析:a＝C错误!，b＝C错误!，又∵a∶b＝3∶1,∴错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝3,解得n＝11。