当前位置：文档之家 › 第六章 结构位移计算

第六章 结构位移计算

  • 格式：ppt
  • 大小：1.41 MB
  • 文档页数：51

下载文档原格式

  / 51

合集下载

第六章 结构位移计算

第六章 结构位移计算
同，截面的I、A均为常数。
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第6章
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移

第六章 结构位移计算

第六章 结构位移计算
§6-1 概述
1、位移的分类
（1）、线位移 （2）、角位移 （3）、相对线位移
F
1 1 23
3
3 4 3 4 3 x4 34 3 y 3
q
3
（4）、相对角位移
1
12 1 2
2
2
2、产生位移的原因 荷载和非荷载因素（温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差） 3、计算位移的目的 （1）、校核结构的刚度 （2）、施工过程中的位移计算 （3）、位移计算是分析超静定结构的基础 （4）、位移计算是动力分析和稳定分析的基础
5 (0.33 3) ()
30
(1 3)
)
2
3
-
0.33
FN图
+
0.33
M图
M=1
1
4
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
() FRc
其中：
FR ——单位力作用下的支座反力
c —— 支座位移
—— 所有杆件的计算结果求和
正负号：支座位移与单位力作用下的支座反力方向一致时取 “+”，不一致时取“-”
2
10kN/m 2EI
M=1 3
EI
4m
3、求 3
80 80
1 1 801 4 ( 80 4) 1 3 3 2 EI 2 EI
1
1 4m
20
1
2 ( 20 4) 1 3 2EI
M图
MP图(kN· m)

213 .3 ( EI
)
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
2
M图(m)
2 2 160 2 2 40 0 160 0 40 2 6 EI

第6章结构位移计算

第6章结构位移计算
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点旳水平相对线位移
§6-1 概述
计算构造位移旳目旳 （1）为了校核构造旳刚度。 （2）构造旳施工中，也需要构造旳位移。
图示构造进行悬臂拼装时，因为自重及吊车等荷载作用，产生位移
fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
化产生旳K点旳竖向位移△Kt。α为
材料旳线膨胀系数。
ΔKt FNdut Mdt FS tds
杆轴线处旳温度变化为
t
h2 h
t1
h1 h
t2
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t t1 t2 2
dt
t2ds t1ds
h
Δtds
h
对于杆件构造温度变化不引起剪切变形，γt=0。
t t2 t1
§6-6 静定构造温度变化时旳位移计算
将温度变化引起旳微段变形代入位移计算公式可得
ΔKt
FNtds
M
tds
h
t
FNds
t
Mds h
若各杆为等截面杆
ΔKt
tAFN
t
h
AM
AFN FN图的面积，AM M图的面积
符号旳拟定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。
对于桁架
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
duP
FNPds EA
Pds
kFSPds GA
k—剪切变形旳 改正系数
§6-4 静定构造在荷载作用下旳位移计算
平面杆件构造在荷载作用下旳位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI

第6章 结构位移计算(1)

第6章 结构位移计算(1)
44
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 44/126页 -
正负号规则：
1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积 的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
正
MP
MP
负
MP
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 45/126页 -
正
45
2） 和 以拉力为正，压力为负； 3） 和 的正负号见下图。
12
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 12/126页 -
§ 6-2 变形体系的虚功原理
一、 功、实功与虚功
1. 实功
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自 身引起的位移上所作的功称为实功。
13
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 13/126页 -
2. 虚功
外力在其它原因（其它荷载、温度变化、支 座位移等）引起的位移上所作的功称为虚功。
略去高阶微量后，得杆件的变形虚功为：
16
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 16/126页 -
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
对于由直杆构成的结构：
17
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 17/126页 -
二、 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于 符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所 有外力所做的虚功总和等于零 。
位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
2
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 2/126页 -
§ 6-1 概 述
一、 结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变， 称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面 位置和方向的改变，称为位移。 1. 截面的位移（绝对位移）

第6章 静定结构位移计算

第6章 静定结构位移计算

二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C

6第六章结构位移计算 共77页

6第六章结构位移计算 共77页
(1)建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 公路工程：1/600跨度 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
δWe =δWi
外力虚功 = 变形虚功
变形体虚功原理的证明:
qx
ab
a b 1.利用变形连续条件计算
为什么dWn≡0?(相互作用力+协调位移) 为什么dWn≡0?(刚体位移+平衡条件)
微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
几个任问何题一:个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等1.于虚变功形原体理各里微存段在外两力个在状微态段：变形位移上作的虚功之和δWi。
变力形状态体必虚须功满原足理平的衡条证件明；: 位移状态必须满足协调条件。
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利2用. 原变形理连的续证性明条表件计明算:原理适用2.于利任用平何衡(条线件性条和件非计线算性)的
[N P NkQ P Q M P M ]d s EA GA EI

第六章结构的位移计算和刚度计算


各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A


E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o

第6章 结构位移计算(李廉锟_结构力学)


§6-2 变形体系的虚功原理
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
F1
1 W F1 Δ11 2
1 11
F1
2
21
F2
1 11
21
2
12
22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δW F1 Δ12
§6-2 变形体系的虚功原理
3.广义位移和广义力
广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。 广义力 ——与广义位移对应的就是广义力， 可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方 向相反的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组 广义位移对应的广义力。
1 3 即 FC δC F ( δC ) F ( δC ) 0 2 4
5 故 FC F 4
C
D
E
注意: 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡 方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。
§6-2 变形体系的虚功原理
例：当A支座向上移动一个 已知位移c1，求点B产生的竖向 位移⊿。 在拟求线位移的方向加单位力 由平衡条件
§6-3 位移计算的一般公式 几点说明：
单位荷载法
(1) 所建立的虚功方程 ，实质上是几何方程。 (2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位 广义力 P=1 (3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。 特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
总的来讲： 单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程 平衡方程 几何方程
dwi FN d FSd Md

第六章结构位移计算


广义的位移——角、线位移；相对、绝对位移
△C
△D
C C′
A
A
F F
D′ D
B
B
3. 引起位移的原因
（1）荷载作用——内力——变形——位移 （2）温度变化——结构变形——位移 （3）支座位移——几何位置改变——位移
5 第六
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度——位移是否超过许用限值，防止构件和结构产
生过大的变形而影响结构的正常使用。
F
W 1 F 变力功 2
9 第六
F
M=Fd
d F
F
WM 力偶功
广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以 是一个力偶、一对力偶；广义位移是相应的沿力方向 的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。
10 第六
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力 2)作功的力系为一个集中力偶
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
3 第六
§6—1 概 述
1. 变形和位移
任何结构都由可变形体(固体)材料组成, 在荷载作用下会产 生变形和位移。
A''
B''
将ds虚位移分解为：
C
D
刚体虚位移: ABCD A'B'C'D'
变形虚位移: A'B'C'D' A''B''C''D''

静力结构位移


m 1
R
A R C
1 1 ( BY BX ) l 260 BY BX l 2h 0.06 0.04 0.005 0.0025 0.0075 rad 12 2 8
§6—8互等定理
线弹性结构一 （1）功的互等定理 两组外力P1，P2作用→两种状态 I1：P1——M1，N1，Q1
cv
2 2 l ql 2 5 l EI 3 2 8 8 4 5ql 4 () 384EI
【例6—4】相对位移
【例6—5】变形曲线 M＝0→反弯点， 受拉面→弯曲方向
【例6－6】 M→叠加 （图6－22）
1 （1 y1 2 y2 3 y3 ) EI
5
AY t0N
t
M
§7—7静定结构支座移动时位移计算
静定结构、支座移动时 ——不引起内力——无变形， ——产生刚体位移 求任意点的任意位移，虚功原理香港： ——W外=0 单位荷载法
KC RC
R 与C方向一致乘积为正
[例6—9] 求A端转角θA 解：
（2）对按刚体虚功原理与变形体虚功计算 （虚位移分解二步：刚体位移：ABCD → ABC”D” 变形体位移：AB—C”D” → C’D’ W总=W刚+W变（W刚=0 刚体虚功原理） W总=W变 （b） ∴W外=W变 （d） 改写为 W = Wi （7-1） 变形功（Wi）计算（图7-4b） 变形分为 轴向变形du → 线位移→对应轴力dN 弯曲变形dφ→ 角位移→对应力矩dM 剪切变形γds(=dη)线位移→对应剪力Dq （仅考虑微段的变形，而不考虑刚体位移时，外力不做功， 只有截面内力做功） dWi=Ndu+Mdφ+Qγds ∴Wi=∑∫Ndu+∑∫Mdφ+∑∫Qγds
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第6章
第6 章
结构位移计算
6.1 概述 变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。 线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。 截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。 ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。
第6章
（4）讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy (1 ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy [1 ( ) 2 ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
（2）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差
c
c
t1
t2 t1
绝对位移
AV
BV
相对位移

广义位移
第4 6章
二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600。 2、计算超静定结构必须考虑位移条件。 P 3、施工技术的需要。 P P
P P/2 P P/2
Pa
a 3a 1 Pa a 2 a 2 4 a 2 2 Pa EI 2 32 2 2
a
P=1 a/2 3a/4
a
a/2
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
M
1 Pl 2 l Pl 3 ΔC = = EI 2 6 12 EI
P
？
6
5Pl/6 l/2
FN FNP l ΔD 8mm() EA
第6章
梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 ΔKP MM P ds EI
公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： （1）杆轴为直线； 计算可以简化 （2）EI=常数； （3） M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
（2）实际状态中，各杆内力为
qx2 AB段： M P , FNP 0, FSP qx 2 ql 2 BC段： M P , FNP ql, FSP 0 2
（3）代入位移计算公式
5 ql4 ql2 kql2 5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy (1 ) 2 2 8 EI EA 2GA 8 EI 5 Al 5 GAl
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
FN FNP ds kFS FSP ds MM P ds ΔKP EI EA GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
ΔKP MM P ds EI
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
ΔKP
FN FNP ds F F l N NP EA EA
注意：当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
+
h
第6章
例：求梁B点转角位移。
例：求梁B点竖向线位移。
A
EI
P
B
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MPql/2Pl/4 l/2第6章
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右）
ΔD —D点水平线位移（向左）
ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
第6章
一、产生位移的原因：
（1）荷载
A1
MK图 y1 Mi 图
y2
A2
1 1 Δ A1 y1 A2 y2 EI EI
6、几种常见图形的面积和形心的位置：
7、非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
A y
a
A1
Mi
c
al 2c d bl c 2d 2 3 3 2 3 3 l( 2ac 2bd ad bc ) 6
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷 载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第6章
四、功、实功和虚功
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P

W P
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
W FK ΔK FR1c1FR 2c2 FR3c3 1 ΔK FR c
WV FN du Md FSds
变形虚功为
由虚功原理 W WV
ΔK FR c FN du Md FSds
单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式
如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外。
M x tan
tanα为常数
第6章
6.5
图乘法
一、图乘法应满足的条件 1、杆件为等截面直杆。 2、EI为常数。 3、M、MP图形中至少有一个为直线图形。
第6章
二、图乘法证明
y
d dx o y yc B

Mk(x)
M MP ds l EI 1 B M M P dx A EI
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4 6章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P A B P
（3）
3 4 6 2
4
3 9
9
A y
（4 ）
2
c
= 9/6 ×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
3
A y
c
= 9/6×（－2×6×2+2×0×3
6
9
+6 ×3－0×2） = － 9
第6章
b)非标准抛物线乘直线形
a h c l
b d
＝
a
b
A yc l
d 2 hl c (2 ac 2bd ad bc ) 6 3 2
1 EI

B
A
x tgM P dx
Mi (x)
b 1 tg xM P dx a EI
B 1 tg xdA w A EI
x
A
xo
x

1 tg x0 Aw EI


1 A yc EI
结论：在满足前述条件下，积分式 之值 等于某一图形 面积A乘以该面积形心所对应的另一直线图 形的纵yc,再除以EI。
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
ΔA ΔB AB d
1 1 ΔA ΔB 荷载所做的虚功 ΔA ΔB AB d d d
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。
t C
P
t

W Pt
第6章
M
M
M
P
A
B
P

A
B
W P
P---广义力; ---广义位移
第6章
6.2
变形体虚功原理和单位荷载法
一、变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位 移，外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作 的虚功总和，简单地说，外力虚功等于变形虚功。 外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。 变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。
虚功原理应用：
虚位移原理——虚设位移状态（可求实际力状态的未知力）
虚力原理——虚设力状态（可求实际位移状态的位移）
第6章
图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形， 求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。 虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的 △K 上作虚功。
第6章
外力虚功为
设 FK=1
MP
A
l P=1
M
B
m=1
l 3l/4
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
例：求图示梁中点的挠度。
1 1 3a 3a Pa EI 2 4
P
P Pa
？
a
MP
C
Pl
A y 0 1 l l 5 Pl C × × ×
EI
l/2
MP
2 2 2
P=1
C
l/2
5 Pl 3 48 EI
d ds
略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：
WV FN 1du 2 FS 1dv 2 M 1d 2
第6章
对整个结构有：
WV dWV FN du Md FSds
虚功方程为：
W WV
W FN du Md FSds
求图a所示结构K点的竖向位 移△KP。位移计算公式为