(苏教版)高一数学必修一配套练习：2.6.2函数模型及应用(2)

§2.6函数模型及其应用课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数:y＝kx＋b(k≠0)(2)二次函数:y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)指数函数:y＝a x(a>0且a≠1)(4)对数函数:y＝log a x(a>0且a≠1)(5)幂函数:y＝xα(α∈R)(6)指数型函数:y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤:(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示:x(h)012 3细菌数300600 1 200 2 4002．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x ＋1)给出，则2021年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位:小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)t 50110250Q 150108150(1)Q与上市时间t的变化关系:Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a log b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表: 月份 1 2 3产量(千件) 50 52 53.9 y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问:用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面:(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤:(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析 由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的关系式为y ＝300·2x (x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75. 2．300解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.3．减少7.84%解析 设某商品价格为a ，依题意得:a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，即减少7.84%.4．①解析 由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．2 3 cm 2解析 设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥23(当且仅当x ＝6时，取“＝”)． 6．15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180. ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.7．2 250解析 设每台彩电的原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8－x ＝270，解得x ＝2 250(元)．8．400解析 由题意，x ＝1时y ＝100，代入求得a ＝100,2021年年底时，x ＝15，代入得y ＝400.9．2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2， ∴2＝12k e ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解 设每床每夜租金为10＋2n (n ∈N )，则租出的床位为100－10n (n ∈N 且n <10)租金f (n )＝(10＋2n )(100－10n )＝20[－(n －52)2＋2254]， 其中n ∈N 且n <10.所以，当n ＝2或n ＝3时，租金最多，若n ＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n ＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n 应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得:⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得: ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)． ∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即1012m⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。

第19课时函数模型及其应用(2)教学过程一、问题情境在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y可以用公式y=N(1+p)x表示.二、数学建构问题1某公司拟投资1000万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(参考数据:1.094≈1.4116, 1.095≈1.5386, 1.096≈1.6771)题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣.具体解答如下:本金1000万元,年利率为10%,按单利计算,5年后收回的本息和是1000×(1+10%×5)=1500(万元);本金1000万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回的本息和是1000×(1+9%)5=1538.6(万元).因此,按年利率为9%的每年复利一次计算要比按年利率为10%的单利计算更有利,5年后多得利息38.6万元.三、数学运用【例1】(教材P98例2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?(结果精确到0.1)(见学生用书课堂本P69) [处理建议]题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具体数据对号入座后,并不难得到答案.[规范板书]解由题意知40-24=(88-24)·,即=,解得h=10.故T-24=(88-24)·.当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·,即=,两边取对数,用计算器求得t≈25.4.因此,约需要25.4min,可降温到35℃.[题后反思]本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算.【例2】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010?(参考数据:lg3≈0.477, lg2≈0.301)(见学生用书课堂本P70) [处理建议]现有细胞100个,可以先逐个研究1h、2h、3h、4h后的细胞总数,找到规律后寻找出相应的函数关系式.[规范板书]解1h后,细胞总数为×100+×100×2=×100;2h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;3h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;4h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;可见,细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式为y=100×,x∈N*.由100×>1010,得>108,两边取以10为底的对数,得x lg>8,∴x>.∵=≈45.45,∴x>45.45.答:约经过46h,细胞总数将超过1010.[题后反思]本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式;解类似a x>b这类不等式,通常在不等式的两边同时取对数,然后利用对数函数的单调性求解.这种通过观察几个特殊值的特征,从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”,在数学中会经常用到.【例3】(教材P99例3)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(见学生用书课堂本P70)[处理建议]题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数MP(x);本题涉及两个函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意.[规范板书]解由题意知,x∈[1, 100],且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20+74125,当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是单调减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.[题后反思]本题中边际利润函数MP(x)在x=1时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的步骤进行,其中建立数学模型是关键.*【例4】某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).(例4)已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售q(百件)与销售价p(元/价)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其他费用为每月13200元.(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务?此时每件消费品的价格定为多少元?[规范板书]解(1)设该店的月利润为S元,有职工m名,则S=q(p-40)×100-600m-13200.又由图可知q=所以,S=由已知,当p=52时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200=0,解得m=50.即此时该店有50名职工.(2)若该店只安排40名职工,则月利润S=当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元;当58<p≤81时,求得p=61时,S取最大值6900元.综上,当p=55时,S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务,依题意有12n×7800-268000-200000≥0.解得n≥5.所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.[题后反思]①本题有效信息必须从图象上去读取,由于给出的图象是两段线段,故建立的函数关系式为分段函数,分段函数应特别注意函数关系与定义域间的对应;②对于分段函数的最值问题,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值.四、课堂练习1.复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+r)x,x∈N*.2.单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+rx),x∈N*.3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为14.(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771)(第4题)4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积为2500m2.(围墙厚度不计)五、课堂小结建立函数模型就是将实际应用问题转化成数学问题,是数学化解决实际应用问题的关键,一般通过对函数性质的研究来解决数学问题,从而达到解决实际应用问题的目的.。

让学生学会学习第34课 函数模型及其应用（2）1．2x y =，*x N ∈； 2．B ； 3.B ； 4．7%； 5．1000.9576x y =； 6．（1）x 年后该城市人口总数为()1001 1.2%xy =⨯+；（2）10年以后该城市人口总数为()10101001 1.2%100 1.012112.7y =⨯+=⨯≈ （3）设x 年后该城市人口将达到120万人，即()1001 1.2%120x⨯+= 1.0121.012120log log 1.2015100x ==≈（年） 所以，15年后该城市人口将达到120万人.7． ()1354.81%y x =+； 8．()*5*1000,05,5000 1.5,6,t t t N y t t N-⎧<≤∈⎪=⎨⨯≥∈⎪⎩ ； 9．B10．当成本大于525元时，月初出售好；当成本小于525元时，月末出售好；当成本等于525元时，月初、月末均可出售．11．第一种方案．12．甲利息：()()510000 2.88%120%14400.81152⨯⨯⨯-=⨯= 乙利息：()[]55100001 2.25%120%10000100001 1.8%10000932.99+--⎡⎤⎣⎦=+-=甲利息—乙利息219.01=13．作出函数5y =，70.25,log 1, 1.002x y x y x y ==+=的图象，观察图象发现，在区间[]10,1000上，模型0.25, 1.002x y x y ==的图象都有一部分在直线5y =的上方，只有模型7log 1y x =+的图象始终在直线5y =的下方，这说明只有按照模型7log 1y x =+进行奖励才符合公司的要求.下面通过计算确认：对于模型0.25y x =，在区间[]10,1000上递增，当20x =时，5y =，当20x >时，5y >，所以该模型不符合要求.对于模型 1.002x y =，在区间[]10,1000上递增，由图象和计算可知，在区间()805,806内有一个点0x 满足01.0025x =，∴当20x >时，5y >，所以该模型也不符合要求. 对于模型7log 1y x =+，它在区间[]10,1000上递增，且当1000x =时，7log 10001y =+ 4.555≈<，∴它符合奖金总数不超过5万元的要求.又当[]10,1000x ∈时，令7()log 10.25f x x x =+-，它在区间[]10,1000x ∈上递减，∴()(10)0.31670f x f <≈-<，即7log 10.25x x +<，所以按模型7log 1y x =+奖励，奖金不超过利润的25%.。

函数模型及其应用一、选择题1、某人在2008年9月1日到银行存入一年期a 元，若每到第二年的这一天取出，再连本带利存入银行（假设银行本息为r%），则到2013年9月1日他可取出回款（ ） A 、a(1＋r%)6（元）B 、a(1＋x%)5（元）C 、a ＋6(1＋r%)a （元）D 、a ＋5(1＋r%)a （元）2、如图，纵向表示行走距离d ，横向表示行走时间t ，下列四图中，哪一种表示先快后慢的行走方法。

（ ）3、往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.80元，超过20克不超过40克付邮费1.60元，依次类推，每增加20克，增加付费0.80元，如果某人寄出一封质量为72克的信，则他应付邮费（ ） A 、3.20元B 、2.90元C 、2.80元D 、2.40元4、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ） A 、10%B 、9%C 、11%D 、1119%5、建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米，则总造价与一底连长x 的函数关系式为（ ）A 、4320()y x x =+B 、4320()480y x x =++C 、4160()y x x=+D 、4160()240y x x=++二、填空题1、已知气压P （百帕）与海拔高度h(米)的关系式为300071000()100hP =，则海拔6000米处的的气压为 。

2、某商品零售价从2007年比2008年上涨25%，欲控制2009年比2007年只上涨10%，则2009年要比2008年应降低 。

C 3、在△ABC 中，AB ＝10，AB 边长的高CD ＝6， E F 四边形EFGH 为内接矩形，则矩形EFGH 的最大面积为 。

A H D G B 4、某企业年产量第二年增长率为r%，第三年增长率为R%，则这两年的平均增长率为 。

5、拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[]m ＋1)给出（其中m ＞0，[]m 是大于或等于m 的最小整数），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 。

函数模型及其应用（1）【本课重点】 ：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】 ： 1、某 地 高 山 上 温 度 从 山 脚 起 每 升 高 100 米 降 低 0.7 ℃ 。

已 知 山 顶 的 温 度是14.1℃，山 脚的温 度 是26℃。

则 此 山 高 米。

2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产x 台计算机的总成本C= ____________（万元），单位成本P= （万元），销售收入R= （万元），利润L= （万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。

3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y 万元与营运年数x(x *N ∈)的函数关系式为y=-x 2+12x-25,则每辆客车营运 年使其营运年平均利润最大。

【典例练讲】：例1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ，慢车到终点需要16min ，快车比 慢车晚发3min ，且行使10min 后到达终点站。

试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。

两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？例2、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y 亿度与 (x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。

（1）求y 与x 之间的函数关系式。

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？ [收益=用电量×（实际电价-成本价）]例3、在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-，某公司 每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台()x N *∈的收入函数为()2300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差。

§2.6.2 函数模型及应用(2)
课后训练
【感受理解】
1．有一批机器设备，它原来的总价值为72万元，由于使用折旧，平均每年比上一年要降值%5.5，求第五年末这批机器设备的价值。

2．如图ABC ∆中，AB m AB ,10=边上的高m CD 6=，四边形EFGH 为矩形，那么矩形EFGH 的最大面积为 ；
3．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为kt e y =，其中k 为常数，t 表示时间，y 表示细菌个数，则k = ，经过5小时，1个病菌能繁殖为 。

4．将进价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每上涨1元，则销售量减少10个，为了获得最大利润，则此商品的售价应为 元；
【思考应用】
5．在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮资0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮资1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮资0.80元（信重在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为82.5g ，那么他应付邮资_______________。

6．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2019年1月1日可取回款 _______________。

7．某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元．
【拓展提高】
8．某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，约经过 年能使现有资金翻一番．（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）。

函数模型及其应用【复习目标】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．【重点难点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．【自主学习】一、课前预习：1.某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是C ,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是3.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是4.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算【共同探究】例1.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．例2.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．例3．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．【巩固练习】1.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是．2.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数时, 按（2）方法更省钱．3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入广告费,才能获得最大的广告效应．答案：1.8 C︒2.多赚28.92元3.150台4.神州行例1. (1)依题得，60122011033t tyt t≤≤=-+<≤⎧⎪⎨⎪⎩(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则441320132=⇒=+-t t ,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有,4)4(320232320232=+--+-t t 解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时（t 3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，,4)9()4(320232320232=+--+--t t 解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．例2. 设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意，y=kx+b ，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W 节车厢，则W=2x y=2x （－2x+24）=－4x 2+48x=－4（x －6）2+144， ∴当x=6时，W max =144，此时，y=12，最多营运15840人．例 3. 解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=10000ab ［－kx 2+100(1－k)x+10000］. (1)取k=12，y=10000ab ［－12x 2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上涨50%时， y 最大为98ab. (2)因为y=10000ab［－kx 2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=50(1)k k-，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x ＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以50(1)k k-＞0，解之0＜k ＜1．巩固练习： 1. 6002cm 2. 大于34 3. 2500。

课堂练习(二十二) 函数模型及其应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升．直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )C [从亮亮的体温变化可以看出图象应为：早晨37 ℃以上――→降上午37 ℃(中午)――→升下午晚上――→降半夜37 ℃.] 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元B [依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．]3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的45.经过x年，剩留的物质是原来的64125.则x 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [先求剩留量y 随时间x (年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y ＝1×45＝45，经过2年，y ＝45×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，…，那么经过x 年，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x .依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫45x＝64125，解得x ＝3.]4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费S (元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．8元B ．9元C ．10元D ．12元C [设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t . 当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，所以k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．]5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．60B ．75C ．90D ．100B [由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150，∴t 150＝32，t 1＝75.] 二、填空题6．一等腰三角形的周长为40，底边y 是关于腰x 的函数，它的解析式为________．y ＝40－2x (10<x <20) [由题意得2x ＋y ＝40，所以y ＝40－2x .∵y >0，∴40－2x >0，∴x <20. 又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >y ，y ＝40－2x ，解得x >10，∴10<x <20.]7．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为____________万件．18 [利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．]8．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．甲 [对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]三、解答题9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解得h ＝10. 故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10， 当T ＝32时，32－24＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10＝18，解得t ＝30， 因此，约需30 min ，可降温到32 ℃.10．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a(1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12， 解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，再砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．[等级过关练]1.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要再经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2，所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中正确的是( )A ．①②④B ．①④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤C [①显然正确；当t ＝5时，y ＝25＝32>30，故②正确；当t ＝2时，y ＝4，当t ＝3.5时，y ＝11.31<12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12 m 2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1 m 2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2 m 2，故④不正确；当浮萍面积为2 m 2时，t 1＝1，当浮萍面积为3 m 2时，t 2＝log 2 3，当面积为6 m 2时，t 3＝log 2 6，而1＋log 2 3＝log 2 6，故⑤正确．]2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．60,16 [因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c4＝c2＝30，② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.]3．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是____________cm 2.23 [设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x ) cm. ∴S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎪⎫4－x 32＝318(x －6)2＋23≥2 3.]4．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．[解] 设两个函数：y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)， y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c .依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35万件比f (4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好.。

2012高一数学 函数模型及其应用（2）学案一、学习目标：1、 能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；2、 进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；一、 复习旧知：问题1、函数的表示方法有、 、 、问题2、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）二、 问题解决：问题3、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．问题4、 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系： 每间客房定价 20 18 16 14 住房率65%75%85%95%要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？A BO C DE问题5、今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD 表示(市场售价的单位为元／500g)．请写出市场售价S (t )(元)与上市时间t (天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习反馈：练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( )元一个销售，每天可卖200个．若这种商（1）售价为15元时，销售利润为多少？ A C D B hH CD（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？课堂小结：课后作业：1、基础达标1、某地高山上温度从山脚开始每升高100m降低0.6℃。