2013届高考数学一轮复习精品学案：第1讲 集合

集合部分一， 解决集合问题应注意的问题1，明确集合的三种表示方法，能够灵活的应用和转化； 2，明确集合的元素的意义，确定对象的类型，即元素是点、还是说、还是图形、还是向量等；如集合2A={x|y=x 1}-和2B={y|y=x 1}-不是同一个集合 3，弄清集合是由哪些元素组成的，善于对集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）之间进行相互转化；化简出集合的最简形式； 4，注意集合元素的互异性，在求值问题中不要忘记检验是否满足这一性质，这是集合题目的隐含条件； 5，注意空集的特殊性和特殊作用，注意空集性质的应用； 6，判断集合关系的方法和研究集合问题的方法是从元素下手； 7，注意运用数形结合思想、分类讨论思想、化归和转化思想来解决集合的问题； 8， 集合问题多与函数、方程、不等式等知识综合在一起，应注意各类知识之间的联系和融会贯通； 二， 常见的结论1，若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个2，若集合A 中元素的个数用card(A)表示，则集合A 和集合B 的并集中元素的个数为()()()()card A B card A card B card A B =+-；则集合A 、B 、C 三个集合的并集中元素的个数为()()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card C B card A B C =++---+ 3， 集合交集和并集的混合运算的两个公式：()()()u u u A B A B c c c =()()()u u u A B A B c c c =4， 空集的性质（1）A ∅⊆（2）()A A ∅⊂≠∅（3）A ∅=∅（4）A A ∅=5，A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆6，A B B A A B ⊆⊆⇔=且7，A B ⊂是A B ⊆的充分不必要条件三， 例题分析1、（12浙江理1）设集合{|14}A x x =<<，集合2{|230}B x x x =--≤, 则()R A C B =（ ） A 、(1,4) B 、(3,4) C 、(1,3) D 、 (1,2)(3,4)【解析】此题考查集合的交集和补集的运算，考查一元二次不等式的解法2{|230}{|13}{|13}R B x x x x x C B xx x =--≤=-≤≤⇒=<->或， ()R A C B =}43|{<<x x 。

2013年高考数学一轮复习精品学案第1讲集合一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

第一课时 集合课前预习案1．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.4．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。

（一）集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：(1) (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； 常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（二）元素与集合的关系 4．集合与元素的关系用符号 ， 表示（三）集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．7．两个集合相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了Φ=A 的情况。

9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．（}0{、Φ和}{Φ的区别；0与三者间的关系）（四）集合的运算11．交集：由集合A 与B 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ． 12．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ．13．补集：集合A 是集合U 的子集，由 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集，记作U C A 即U C A ＝ ．（五）集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B B ∩A ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B B ∪A2．()A C A U ⋂＝ ，()A C A U ⋃＝ ，()U C C A = ．3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ A ∩B ＝A ⇔（六）B A 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card ；1．不能形成集合的是（ ）（A ）大于2的全体实数 （B ）不等式356x -<的所有解（C ）方程31y x =+所对应的直线上的所有点 （D ）x 轴附近的所有点2．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a +=，则b a -=A ．1B ．1-C ．2D ．2-3.设集合{A x x x =≥=，则下列关系中正确的是（ ）（Ａ）x A ⊂（Ｂ）x A ∉（C ）{}X A （D ）{}x A ⊂4.i 是虚数单位，若集合S=}{1,0,1-，则（ ）A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈D ．2S i ∈5.若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A6．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N （C =)M I ∅，则=N M （ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅7．（12山东理）已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则()U C A B 为（） A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,4课内探究案考点一 集合之间的关系【典例1】1.已知{1}A {1,2,3,4,5},⊆求（1）满足条件的所有集合A 的个数；（2）所有元素之和为奇数的集合A 的个数.2.已知集合{}2310A x x x =--≤0。

一．课题：集合（1）二．教学目标：1.理解集合的概念和性质．2.了解元素与集合的表示方法．3.熟记有关数集．4.培养学生认识事物的能力三．教学重、难点：集合概念、性质.四．教学过程：（一）复习：回顾初中代数中涉及“集合”提法（二）新课讲解：1.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.由此上述例中集合的元素是什么？（例（1）的元素为1、3、5、7，例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，例（3）的元素为满足不等式323x x +>+的实数x ，例（4）的元素为所有直角三角形，例（5）为高一·三班全体男同学.）请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.一般用大括号表示集合，则上几例可表示为……由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉（ ∉ 也可表示为 ）两种.请同学们熟记上述符号及其意义.∈请同学回答：已知a b c m ++=，2{|}A x ax bx c m =++=，判断1与A 的关系. [1A ∈]五．课堂练习：课本P 5，练习1、2补充练习：若23{1,3,1}m m m -∈-+，求m 。

[1m =-或2]m =-六．小结：1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号.七．课后作业：课本P 7，习题1.1 第1题.。

第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全A⊆B，A＝B相同B⊆A空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P .故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．答案：{x |x 是直角}3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98.(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则集合A 可以为( )A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆{B ∩C }＝{1，8}，故选A.(2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集∁U A∩B＝( )合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B ＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}．若A∪B＝R，则m的值可以是( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m>1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}， 长度为13－14＝112. 综上，M ∩N 的长度的最小值为112. 答案：112[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：选C.由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A，因为∁R B＝{x|x≥0}，所以(∁R B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117 解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }，所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B ＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B ＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选 B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y =2x2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .(填序号).答案 ②③3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法正确的是 （填序号）. ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 ②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同③B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同④B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案 ①③④4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则能表示y 是x 的函数的图象是 （填序号）.答案 ②③ 5.已知f （x 1）=x 2+5x ,则f (x )= .答案 251x x +(x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3.例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx x g --（2）已知函数f (2x）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域.解 （1,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即-3＜x ＜0或2＜x ＜ 3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤ 2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤ 4. 故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)，销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x), 5 整理得y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). 7（2则y -(1.2-1)×1 000＞0, 10分即-60x 2+20x +200-200＞0,即3x 2-x ＜0. 12分解得0＜x ＜31，适合0＜x ＜ 1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0＜x ＜31. 13答 （1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31). 14例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值.解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t∴f （t ）=lg12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17，∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2.（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G依题意，则有AH =2a ，AG =23a .（1） 当M 位于点H 的左侧时,N ∈AB由于AM =x ，∠BAD =45°. ∴MN =x . ∴y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a ）.（2）当M 位于HG由于AM =x∴MN =2a ，BN =x -2a.∴y =S 直角梯形AMNB =2·21a ［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a ≤<（3）当M 位于点G由于AM =x ，MN =MD =2a -x . ∴y =S 梯形ABCD -S △MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x =t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f (t ),则函数y =f (t )的图象（如下图所示）大致是 (填序号).答案一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 . 答案 34.已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=2,则f (-3)= . 答案 6 7.已知函数f (x ),g (x)则f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是. 答案 1 28.已知函数ϕ (x)=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16, ϕ (1)=8,则 ϕ(x )= .答案 3x +x5二、解答题 9.求函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域.解 由,110010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、b ,有f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x ); （2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ①又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ②两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ), ∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1). 11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙o的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB，垂足为E ，连接BD ， 那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2=AE ×AB ，即AE =R x 22，∴CD =AB -2AE =2R -Rx 2，所以y =2R +2x +（2R -Rx 2）,即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R xx ,解得0＜x ＜2R .所以y =-R x 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）. 12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50. 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050. 所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.§2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则下列对f (x )=0的根说法不正确的是 （填序号）.有且只有一个 ②有2个至多有一个 ④没有根答案 ①②2. 已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的 函数（用“增”、“减”填空）. 答案 减3.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .答案 ［1，3］4.（2009·徐州六县一区联考）若函数f (x )是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0满足f (xy )=f (x )+f (y )，则不等式f (x +6)+f (x )＜2f (4)的解集为 . 答案 （0，2）5.已知函数f (x )=x 2-2x +3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 . 答案 ［1，2］例1已知函数f (x )=a x+12+-x x (a ＞1).证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,12x x a-＞1且a1x ＞0,∴a ,0)1(12112>-=--x x x x x a a a 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f (x 2)-f (x 1)=a12x x a -+12121122+--+-x x x x ＞0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f (x )=a x+1-13+x (a ＞1), 求导数得f ′(x )=a xln a +2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a xln a ＞0,2)1(3+x ＞0,f ′(x )＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵a ＞1,∴y =a x为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y =a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 例2判断函数f (x )=12-x 在定义域上的单调性.解 函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )= 12-x , 可分解成两个简单函数.f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数. 例3（1）y =4-223x x -+;(2)y =2x -x 21-;(3)y =x +x4;(4)y =4)2(122+-++x x . 解 （1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2，当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］. （2） 方法一 令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∴y =1-t 2-t =-（t +)212+45.∵二次函数对称轴为t =-21,∴在［0，+∞）上y =-(t +)212+45故y max =-(0+)212+45=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二 ∵y =2x 与y=-x 21-均为定义域上的增函数，∴y =2x -x 21-是定义域为{x |x ≤21}上的增函数， 故y max =2×212121⨯--=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］. (3)方法一 函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值. ∴当x ＞0时,y =x +x 4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得. 当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二 任取x 1,x 2,且x 1＜x 2, 因为f (x1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f (x )递减. 故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时，f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （4y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (14分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,并且当x ＞0时，f (x )＞1.（1）求证：f (x )是R（2）若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)＜3.解 （1）设x1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞1. 2f (x2)-f (x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1＞0. 5分∴f （x 2）＞f (x 1).即f (x )是R 上的增函数. 7分 （2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5∴f （2）=3， 10分∴原不等式可化为f (3m 2-m -2)＜f (2),∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2-m -2＜2, 12分 解得-1＜m ＜34,故解集为（-1, 34）. 14分1.讨论函数f （x ）=x +xa（a ＞0）的单调性.解 方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1＞x 2＞0,f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a）=(x 1-x 2)·（1-21x x a ）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a＞1, 则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f (x 1)＜f (x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数. 当x 1＞x 2≥a 时，0＜21x x a＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f (x 1)＞f (x 2), 故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数. 方法二 由f ′（x ）=1-2x a =0可得x =±a当x ＞a 时或x ＜-a 时，f ′(x )＞0，∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数. 同理0＜x ＜a 或-a ＜x ＜0时，f ′（x ）＜0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 2.求函数y =21log （4x -x 2）的单调区间.解 由4x -x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y = 21log t .∵t =4x -x 2=-（x -2）2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf （x ）=f （x +1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x -20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x +4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x解 （1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000） =-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ）.MP （x ）=P （x +1）-P （x ）=-20（x +1）2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P （x ）=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）.因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值. 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f (x )满足f ()21x x =f (x 1)-f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. （1）求f (1)（2）判断f (x（3）若f (3)=-1,解不等式f (|x |)＜-2.解 （1）令x 1=x 2＞0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1, 由于当x ＞1时，f (x )＜0, 所以f )(21x x ＜0,即f (x 1)-f (x 2)＜0, 因此f (x 1)＜f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f (21x x )=f (x 1)-f (x 2)f ()39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. 由于函数f (x )在区间（0,+由f (|x |)＜f (9),得|x |＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x |x ＞9或x ＜-9}.一、填空题1.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是 .答案 ［23，4） 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是 （填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根 ③没有实根 ④必有惟一的实根 答案 ①③3.函数y =lg(x 2+2x +m )的值域是R ,则m 的取值范围是 . 答案 m ≤14.函数f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )=f (log a x ) (0＜a ＜1)的单调减区间是 . 答案 ［a ,1］5.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx a x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 .答案 ［71，31） 6.若函数f (x )=(m -1)x 2+mx +3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 .答案 ［0，+∞）7.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 .答案 (-)32,21 8.已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则-f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ,b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间（a ,b ）上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ,b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则)()(x g x f 在（a ,b )上是递增函数.其中命题正确的是 （填序号） 答案 ① 二、解答题9.已知f (x )在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,试解不等式f (x )+f (x -8)≤2. 解 根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m +n )=f (m )+f (n ),且当x ＞0时有f (x )＞0. （1）求证：f (x )在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f (1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x -2)］＜2. （1）证明 设x 2＞x 1,则x 2-x 1＞0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)＞0, ∴f (x 2)＞f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2). 又f ［log 2(x 2-x -2)］＜2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］＜f (2).∴log 2(x 2-x -2)＜2,于是⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2＜x ＜-1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集为{x |-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}. 11.已知f (x )=ax x-(x ≠a).（1）若a =-2,试证f (x )在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f (x )在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明 任设x 1＜x 2＜-2,则f (x 1)-f (x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x xx∵(x 1+2）(x 2+2)＞0,x 1-x 2＜0,∴f (x 1)＜f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. （2）解 任设1＜x 1＜x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a ＞0,x 2-x 1＞0,∴要使f (x 1)-f (x 2)＞0,只需(x 1-a )(x 2-a )＞0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1.12.已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-32.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； （2）求f (x )在［-3，3］上的最值. 解 （1）f (x )在R上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x ＞0时，f (x )＜0,∴f (x 2-x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数. （2）∵f (x )在R 上是减函数， ∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.§ 2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 .答案02.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 . 答案03.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1) f (b +2)(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空).答案＞4.已知f （x ）=122)12(+-+xx a 是奇函数，则实数a 的值为 .答案15.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a ＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+ g (0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例1判断下列函数的奇偶性.（1）f (x )=2211x x -⋅-;(2)f (x )=log2(x +12+x ) (x ∈R ); (3)f (x )=lg|x -2|.解 （1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f (-1)=0,∴f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f (x )的定义域为R ， 又∵f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.方法二 易知f (x )的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.（3）由|x -2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数. 例2已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ). (1)求证：f (x )（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f (1)=-21,试求f (x )在区间［-2，6］上的最值. （1）证明∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.∵f （x +y ）-f （x ）+f （y ），令y =-x,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ∴f (0)-f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（2）解 方法一 设x ,y ∈R +，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y∴f （x +y ）-f （x ）=f （y ）.x ∈R +，f （x ）＜0,∴f (x +y )-f (x )＜0,∴f (x +y )＜f (x ).∵x +y ＞x ,f (x )在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f (6)为最小值. ∵f (1)=-21,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1, f (6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x 1＜x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)-f (x 1)＜0.即f (x )在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（16分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ).（1）求证：f (x )（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ∵f （x +2）=-f （x∴f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2∴f （x ）是以4为周期的周期函数， 4（2）解 当0≤x ≤1时，f (x )=21x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x . ∵f (x )是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7 故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 8又设1＜x ＜3,则-1＜x -2＜1,∴f (x -2)=21(x -2), 10分 又∵f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x∴-f （x ）=21（x -2∴f （x ）=-21（x -2）（1＜x ＜3）. 11∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x12由f (x )=-21,解得x =-1. ∵f （x ）是以4为周期的周期函数. ∴f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z). 14令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051, 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ∴在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分1.（1）f （x ）=（x -2）xx -+22（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---xx（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x 解 （1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数. （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f x x x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x ＜-1时，f （x ）=x +2，-x ＞1, ∴f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）. x ＞1时，f （x ）=-x +2-x ＜-1，f (-x )=x +2=f (x ). -1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y =f (x )的定义域为R ，且对任意a ,b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )，且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)=-3. (1)证明：函数y =f (x )是R（2）证明：函数y =f (x )（3）试求函数y =f (x )在［m ,n ］（m ,n ∈Z ）上的值域.（1）证明 设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)＜f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.（2）证明 ∵f （a +b ）=f （a ）+f （b ）恒成立，∴可令a =-b =x ,则有f （x ）+f （-x ）=f （0又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.从而∀x ∈R ，f （x ）+f （-x ）=0∴f （-x ）=-f （x ）.故y =f (x )是奇函数. （3）解 由于y =f (x )是R∴y =f （x ）在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)=…=nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,∴f (1)=-1,∴f (m )=-m , f (n )=-n . ∴函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f （x 1+x 2） =f （x 1）·f （x 2），且f (1)=a ＞0. （1）求f (21)及f (41) （2）证明：f （x（3）记an =f (2n +)21n，求a n . （1）解 ∵对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2∴f （x ）=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］.∴f （1）=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .∵f (1)=a ＞0, ∴f (.)41(,)214121a f a ==（2）证明 ∵y =f （x ）的图象关于直线x =1∴f （x ）=f （1+1-x ），即f （x ）=f （2-x ），x ∈R .又由f （x ）是偶函数知，f （-x ）=f （x ），x ∈R∴f （-x ）=f （2-x ），x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f （x ）=f （x +2），x ∈R .这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解 由（1）知f （x ）≥0，x ∈［0，1］.∵f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n n f nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21n f n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=∵f （x ）的一个周期是2，∴a n =f (2n +n 21)=f (n21),∴a n =a n 21.一、填空题1.f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的 条件.答案 充分不必要2.设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a = . 答案 -13.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 .答案 24.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）. ①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x . 答案5.(2009· 徐州六县一区联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= . 答案 -16.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为 .答案 f(x)=x (|x |-2)7.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .答案 48.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +4二、解答题9.已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f (x )=f (x +1)+f (x -1)恒成立. (1)求证：f (x )是周期函数. (2)已知f (3)=2，求f (2 004).（1）证明 ∵f (x )=f (x +1)+f (x -1),∴f (x +1)=f (x )-f (x -1),则f (x +2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x ∴f (x +3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ∴f (x +6)=f []).()3(3)3(x f x f x =+-=++ ∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f (2 004)=f (334×6)=f (0)=-f (3)=-2.10.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解 ∵f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f （x ）=x lg （2+x ），即f （x ）=-x lg （2+x ） （x ＞0）.∴f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ). 11.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .(1)试判断f (x )的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数. （2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43,∵a ≤21,故函数f (x )在（-∞，a ］上单调递减， 从而函数f (x )在（-∞，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43,∵a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+∞)上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1. 12.设函数f (x )在（-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0. （1）试判断函数y =f （x )的奇偶性；（2）试求方程f (x )=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论. 解 （1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f （x )是非奇非偶函数. （2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.§2.4指数与指数函数基础自测1. 已知a ＜41，则化简42)14(-a 的结果是 . 答案 a 41-2.设指数函数f (x )=a x(a ＞0且a ≠1)，则下列等式正确的有 （填序号）. ①f (x +y )=f (x )·f (y ) ②f (xy )n=f n(x )·f n(y ) ③f (x -y )=)()(y f x f ④f (nx )=f n(x )答案 ①③④3.函数f (x )=a x-b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）.①a ＞1,b ＜0 ②a ＞1,b ＞0 ③0＜a ＜1,b ＞0 ④0＜a ＜1,b ＜0 答案①②③4.关于函数f (x )=2x-2-x(x ∈R )①f (x )的值域为R②f (x )是R③对任意x ∈R ,有f (-x )+f (x )=0成立.其中正确结论的序号是 .答案 ①②③5.已知集合M ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=-+Z x x N x ,4221|,1,11，则M N= .答案 {}1-例1已知a =91,b =9.求： （1）;315383327a a a a ⋅÷--（2）111)(---+ab b a .解 （1）原式=3127⨯a .3123⨯-a÷［a21)38(⨯-·21315⨯a= 2167-a )2534(+--=a 21-.∵a =91，∴原式=3. （2）方法一 化去负指数后解..11)(11b a abab b a ab b a ab ba+=+=+=+--∵a =,9,91=b ∴a +b =.982方法二 利用运算性质解. .11)(11111111111a b a b b a b b a a ab b a +=+=+=+-----------∵a =,9,91=b ∴a +b =.982例2函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则f (b x) f (c x).(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空)答案例3（1）f (x )=3452+-x x;(2)g (x )=-(5)21(4)41++x x .解 （1）依题意x 2-5x +4≥0, 解得x ≥4或x ≤1,∴f （x ）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u =,49)25(4522--=+-x x x ∵x ∈（-∞，1］∪［4，+∴u ≥0，即452+-x x ≥0，而f (x )=3452+-x x ≥30=1,∴函数f (x )的值域是［1，+∞）.∵u =49)25(2--x ,∴当x ∈（-∞，1］时，u当x ∈［4，+∞）时，u 是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可f （x ）=3452+-x x 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故f （x ）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g (x )=-(,5)21(4)21(5)21(4)412++-=++x x xx∴函数的定义域为R ，令t =()21x (t ＞0),∴g (t )=-t 2+4t +5=-(t -2)2+9,∵t ＞0,∴g (t )=-(t -2)2+9≤9,等号成立条件是t =2,即g (x )≤9,等号成立条件是(x )21=2，即x =-1，∴g （x ）的值域是（-∞，9］.由g (t )=-(t -2)2+9 (t ＞0),而t =(x )21是减函数，∴要求g (x )的增区间实际上是求g (t )求g (x )的减区间实际上是求g (t )的增区间. ∵g （t ）在（0，2］上递增，在［2，+由0＜t =(x )21≤2,可得x ≥-1,t =(x )21≥2,可得x ≤-1.∴g （x ）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1故g (x )的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 例4（14分）设a ＞0,f (x )=x x aa ee +是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）求证：f (x )在（0，+∞）上是增函数.（1）解 ∵f （x ）是R 上的偶函数，∴f （-x ）=f （x ）， 2分∴,e e ee x x x x a a a a +=+--∴（a -)e 1e )(1x x a -=0对一切x 均成立， 4分∴a -a1=0，而a ＞0,∴a =1. 6分 （2）证明 在（0，+∞)上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2, 8分则f (x 1)-f (x 2)=1e x +1e 1x -2e x -2e 1x=)e e (12x x - ().1e 121-+x x10分∵x 1＜x 2,∴,e e 21x x <有.0e e 12>-xx∵x 1＞0,x 2＞0,∴x 1+x 2＞0,∴21e x x +＞1, 12分21e 1x x +-1＜0.∴f (x 1)-f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2),故f (x )在（0,+∞）上是增函数. 14分1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a解 （1）原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a b a b a b a b a（2）原式=-)(45)4(25233136121332361------÷-=⋅÷b a b a b a b a.4514545232321ab abab b a -=⋅-=⋅-=--2.已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b ;④b ＜a ＜0;⑤a =b.其中不可能成立的有 （填序号）.答案③④3.求下列函数的单调递增区间：（1）y =(226)21x x -+;(2)y =262--x x .解 （1）函数的定义域为R . 令u =6+x -2x 2,则y =(u )21.∵二次函数u =6+x -2x 2的对称轴为x =41, 在区间［41，+∞）上，u =6+x -2x 2是减函数， 又函数y =()21u是减函数，∴函数y =(226)21x x -+在［41，+∞）上是增函数.故y =(226)21x x -+的单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u =x 2-x -6,则y =2u, ∵二次函数u =x 2-x -6的对称轴是x =21, 在区间［21，+∞）上u =x 2-x -6是增函数. 又函数y =2u为增函数，∴函数y =262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数. 故函数y =262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）. 4.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )=142+xx.（1）求f （x )在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f (x )在（0，1）上是减函数.（1）解 当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1). ∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=-f （-x ）=-.142142+-=+--x x x x .由f (0)=f (-0)=-f (0)，且f (1)=-f (-1)=-f (-1+2)=-f (1),得f (0)=f (1)=f (-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f （x ）={}⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xx xx (2)证明 当x ∈(0,1)时，f (x )=.142+xx设0＜x 1＜x 2＜1,则f (x 1)-f (x 2)=,)14)(14()12)(22(1421422211222111++--=+-++x x x x x x x x x x∵0＜x 1＜x 2＜1,∴22x -12x ＞0，212x x + -1＞0,∴f (x 1)-f (x 2)＞0,即f (x 1)＞f (x 2),故f (x )在（0，1）上单调递减.一、填空题1.2311213,)32(,-的大小顺序为 .答案 213121)32(3-<< 2.若a ＜0,则2a ,,)21(a (0.2)a的大小顺序为 . 答案 (0.2)a＞a )21(＞2a3.若函数y =4x-3·2x+3的定义域为集合A ，值域为［1，7］，集合B =（-∞，0］∪［1，2］，则集合A 与集合B 的关系为 . 答案 A =B4.若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x在区间［1，2］上都是减函数，则a 的取值范围是 .答案 （0，1］5.(2009·常州二中期中)当函数f (x )=2-|x -1|-m 的图象与x 轴有公共点时，实数m 的取值范围是 .答案 （0，1］6.当x ＞0时，函数f (x )=(a 2-1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是 .答案 a ＞2或a ＜-27.若函数f (x )=a x-1 (a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a 等于 .答案 38.函数y =a x（a ＞0,且a ≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a 的值是 . 答案21或23二、解答题9.要使函数y =1+2x+4xa 在x ∈（-∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.解 由题意得1+2x+4xa ＞0在x ∈（-∞,1］上恒成立，即a ＞-xx 421+在x ∈（-∞，1］上恒成立.又∵-xx 421+=-(,4121)21()21()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x∵x (],1,-∞∈∴(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21)21x .令t =(.,21,41)21()(,)212⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈++-=t t t f x 则则f (t )在［21,+∞）上为减函数，f (t )≤f ()21=-(,4341)21212-=++即f (t )∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,.∵a ＞f (t ),∴a ∈（-43，+∞）. 10.已知函数f (x )=(.)211213x x +-（1）求f (x )的定义域；（2）讨论f (x )的奇偶性；（3）证明：f (x )＞0.（1）解 由2x-1≠0⇒x ≠0,∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).（2）解 f (x )=(3)21121x +- 可化为f (x )=,)12(2123x x x -⋅+ 则f (-x )=).()12(212)()12(21233x f x x xx xx =-⋅+=--⋅+--∴f (x )=（)21121+-x x 3是偶函数. （3）证明 当x ＞0时，2x＞1,x 3＞0. ∴（)21121+-x x 3＞0. ∵f (x )为偶函数，∴当x ＜0时，f (x )=f (-x )＞0. 综上可得f (x )＞0. 11.已知函数f (x )=12-a a （a x -a -x） (a ＞0，且a ≠1).(1)判断f (x )的单调性；（2）验证性质f (-x )=-f (x ),当x ∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f (1-m )+f (1-m 2)＜0的实数m 的范围.解 （1）设x 1＜x 2,x 1-x 2＜0,1+211x x a+＞0.若a ＞1,则21x x a a <,12-a a ＞0,所以f (x 1)-f (x 2)=)11)((121212x x x x a a a a a ++--＜0，即f (x 1)＜f (x 2),f (x )在（-∞,+∞）上为增函数； 同理，若0＜a ＜1，则21x x a a >,12-a a ＜0, f (x 1)-f (x 2)=)(1212x x a a a a --(1+211x x a+)＜0,即f (x 1)＜f (x 2),f (x )在（-∞,+∞）上为增函数. 综上，f (x )在R 上为增函数. （2）f (x )=),(12x x a a a a ---则f (-x )=)(1x x a a a a ---,。

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1．( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A [A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C [∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R|ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则A B ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] A ≠，应分(1)(2018·长沙模拟已知集合合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(1)C (2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►考法1 集合的运算【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2(1)D (2)D (3)C [(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2}C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C (2)D (3)C (4)A [(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z，y ∈Z}，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z，y ∈Z，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可． 集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]。