2018-2019年高考数学一轮复习精品试题第10讲 对数与对数函数

第10讲对数与对数函数知识梳理1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1aa =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)必考题型全归纳题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln3411e 812-+=______．【答案】1-【解析】114ln3144111e81331)33112⨯-+-+=-++=--=-.故答案为：1-【对点训练1】（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．【答案】110/0.1【解析】由题设1log 10lg a b a ==，则1lg 2lg a a+=-且0a >，所以22lg 2lg 1(lg 1)0a a a ++=+=，即lg 1a =-，故110a =.故答案为：110【对点训练2】（2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为________．【答案】{}|1x x =-【解析】因为()2lg(2)lg 3x x -=-,则22232030x x x x ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，解得=1x -，所以方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为{}|1x x =-.故答案为：{}|1x x =-【对点训练3】（2024·山东淄博·统考二模）设0,0p q >>，满足()469log log log 2p q p q ==+，则pq=__________.【答案】12/0.5【解析】令()469log log log 2p q p q k ==+=，则4,6,29k k k p q p q ==+=，所以22469k k kp q +=⋅+=，整理得2222133kk k ⎛⎫⎛⎫⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2132k k =(负值舍去)，所以421632k k k k p q ===.故答案为：12.【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）计算34223log 32log 9log log 64⋅-+的值为______.【答案】8【解析】原式2523223222233=log 2log 3log log 65log 2log 3log log 644⋅-+=⋅-+2222365log log 65log 5log 88344=-+=+=+=.故答案为：8.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）若14log 2a =，145b =，用a ，b 表示35lo g 28=____________【答案】11ab a++-【解析】因为145b =，所以14lo g 5b=，1414143514141414log 28log 14log 21log 28log 35log 14log 5log 21ab a++===+-+-.故答案为：11ab a++-.【对点训练6】（2024·上海·高三校联考阶段练习）若123==a b m ，且112a b-=，则m =__________．【答案】2【解析】123a b m == ，且112a b-=，0m ∴>且1m ≠，123log ,log a m b m ∴==，11log 12,log 3m m a b ∴==，11log 12log 3log 42m m m a b∴-=-==，2m ∴=.故答案为：2.【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）()()()226622lg 3lg 2log 3log 2lg 3lg 2⋅+++=____________；【答案】1【解析】原式()()226662lg 3lg 2log 3l l lg 6g og 2⋅=⋅++()()226666log 3log 22log 3log 2=++⋅()266log 3log 2=+()26log 61==．故答案为：1.【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2)l g (o 24xx <-解集为_____．【答案】1(0,)2【解析】不等式222log 24log 24(log 2)(4)202x x x x xx -⇔--<<<<⇔，解240x ->，即222x <，有21x <，解得12x <，解224x x -<，即22220x x +->，化为2)(21)0(2x x +->，有21x >，解得0x >，因此102x <<，所以不等式2)l g (o 24xx <-解集为1(0,2.故答案为：1(0,2【对点训练9】（2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()2f x ≥-的解集是__________.【答案】][14,0,4⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x <时，0x ->，所以()2()log f x x -=-，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()()log f x f x x =--=--，所以当0x <时，()2()log f x x =--，所以()22log ,0()0,0log ,0x x f x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪>⎩，要解不等式()2f x ≥-，只需20log 2x x >⎧⎨≥-⎩或()20log 2x x <⎧⎨--≥-⎩或002x =⎧⎨≥-⎩，解得14x ≥或40x -≤<或0x =，综上，不等式的解集为][14,0,4∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭.故答案为：][14,0,4∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭.【对点训练10】（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log 17xx +=的解为_________．【答案】4x =【解析】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由于函数42,log xy y x ==在()0,x ∈+∞上均为增函数，又()4442log 416117f =+=+=，故方程42log 17xx +=的解为4x =.故答案为：4x =.【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()log a y x b =+（a ，b 为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0.5a =，2b =B ．2a =，2b =C ．0.5a =，0.5b =D ．2a =，0.5b =【答案】D【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以1a >，排除A ，C ；又因为函数过点(0.5,0),所以0.51b +=，解得0.5b =．故选：D【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点（）A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(3,2)D ．(2,0)【答案】A【解析】当2x =时(2)log 122a f =+=，即函数图象恒过(2,2).故选：A【对点训练12】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数()()22log 1f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),12,-∞+∞B ．()()0,12,⋃+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B【解析】由题意，不等式()0f x <，即()22log 10x x --<，等价于()22log 1x x <-在()0,∞+上的解，令()2log g x x =，()()21h x x =-，则不等式为()()g x h x <，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式()0f x <的解集为()()0,12,⋃+∞，故选：B【对点训练13】（2024·北京·高三统考学业考试）将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x-+【答案】B【解析】将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数21log y x =+.故选：B.【对点训练14】（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．【答案】{}13x x <<【解析】由3312log (1)(2)0log (1)(2)2x x x x x x --->⇒>--，在同一直角坐标系内画出函数()()31log ,(1)(2)2f x xg x x x ==--的图象如下图所示：因为()()331f g ==，所以由函数的图象可知：当(1,3)x ∈时，有()()f x g x >，故答案为：{}13x x <<【对点训练15】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）A2B ．2C ．3D 【答案】ABC【解析】分别记函数()4x f x =，()log a g x x =由图1知，当1a >时，不满足题意；当01a <<时，如图2，要使102x <≤时，不等式4log xa x ≤恒成立，只需满足11((22f g ≤，即1214log 2a≤，即12log 2a ≤，解得12a ≤<.故选：ABC【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(,1]-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(,1)-∞【答案】B【解析】设函数1y ax =-，因为()f x 在(,1]-∞上为减函数，所以1y ax =-在(,1]-∞上为减函数，则0a -<解得0a >，又因为10y ax =->在(,1]-∞恒成立，所以min 10y a =->解得1a <，所以a 的取值范围为01a <<，故选:B.【对点训练16】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）正数,a b 满足2224log log a bb a -=-，则a与2b 大小关系为______．【答案】2a b </2b a>【解析】因为2224log log a bb a -=-，所以22222222log 4log 2log log 212log 21a b b ba b b b +=+=++-=+-，设2()2log x f x x =+，则()(2)1f a f b =-，所以()(2)f a f b <，又因为2x y =与2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以2()2log x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以2a b <.故答案为：2a b <.【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，则a 等于_________【答案】2【解析】当1a >时，函数()log a f x x =在[]1,4上单调递增，则()4log 42a f ==，解得2a =，当01a <<时，函数()log a f x x =在[]1,4上单调递减，则()1log 12a f ==，无解，综上，a 等于2.故答案为：2.【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m ，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【答案】3【解析】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x 在[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2a =，所以44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故答案为：3.【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】当01a <<时，外层函数log a y u =为减函数，对于内层函数21u x ax =-+，240a ∆=-<，则0u >对任意的实数x 恒成立，由于二次函数21u x ax =-+有最小值，此时函数()()2log 1a f x x ax =-+没有最小值；当1a >时，外层函数log a y u =为增函数，对于内层函数21u x ax =-+，函数21u x ax =-+有最小值，若使得函数()()2log 1a f x x ax =-+有最小值，则2401a a ⎧∆=-<⎨>⎩，解得12a <<.综上所述，实数a 的取值范围是()1,2.故答案为：()1,2.【对点训练20】（2024·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）【对点训练21】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数()214log 2y x x =--的单调递区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【答案】B【解析】函数()214log 2y x x =--的定义域为(,1)(2,),-∞-⋃+∞令22t x x =--，又14log y t =在定义域内为减函数，故只需求函数22t x x =--在定义域()(),12,-∞-⋃+∞上的单调递减区间，又因为函数22t x x =--在(),-1∞-上单调递减，()214log 2y x x ∴=--的单调递区间为(),1-∞-.故选：B【对点训练22】（2024·陕西宝鸡·统考二模）已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()f x 的图像关于直线1x =对称D ．()f x 有最小值，但无最大值【答案】C【解析】由题意可得函数()()lg lg 2f x x x =+-的定义域为(0,2)，则()()2lg lg 2lg(2)f x x x x x =+-=-+，因为22y xx =-+在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，且lg y x =在(0,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，A ，B 错误；由于()2lg(2)lg ()f x x x f x -=-+=，故()f x 的图像关于直线1x =对称，C 正确；因为22y xx =-+在1x =时取得最大值，且lg y x =在(0,)+∞上单调递增，故()f x 有最大值，但无最小值，D 错误，故选：C【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）若函数2,1,()2log ,1x a a x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[2,)+∞C ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,1[2,)⋃+∞【答案】D【解析】若()f x 在R 上单调递增，则122log 1a a a a >⎧⎨+≤+⎩，解得[2,)a ∈+∞，若()f x 在R 上单调递减，则0122log 1a a a a <<⎧⎨+≥+⎩，解得(0,1)a ∈．综上得(0,1)[2,)a ∈+∞ .故选：D【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()29x f x x +=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ，由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立，由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =.在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+，所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(),5-∞-【解析】因为1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，所以12log 2a x x <-对1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立.记()12log 2f x x x =-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需()min a f x <.因为12log y x =在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，2y x =-在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()12log 2f x x x =-在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 25f x f ==-，所以5a <-.故答案为：(),5-∞-【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <，∴实数m 的取值范围是(),0∞-．故答案为：(,0)-∞.【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2223,log f x x x g x x m =-+=+，若对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(],1-∞-【解析】因为对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥，所以()()12min min f x g x ≥，因为()223x x x f =-+的对称轴为1x =，所以()f x 在[]2,4上单调递增，所以()()min 23f x f ==，又因为()2log g x x m =+在[]16,32上单调递增，所以()()min 164g x g m ==+，所以34m ≥+，所以1m ≤-，即(],1m ∈-∞-，故答案为：(],1-∞-.【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.（2）由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<.综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）因为2()32log f x x =-，2()log g x x =，[]()1()y f x g x =+⋅令()()()222242log log 2log 12y h x x x x ==-⋅=--+，∵[]1,4x ∈，∴[]2log 0,2x ∈，所以当2log 1x =，即2x =时取最大值()max 2h x =，当2log 0x =或2，即1x =或4x =时取最小值()min 0h x =，∴函数()h x 的值域为[]0,2.（2）由()()2f x fk g x ⋅>⋅得()()22234log 3log logx x k x -->⋅，令2log t x =，∵12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，∴[]2log ,1t x n n =∈+，∴()()343t t k t -->⋅对一切的[],1t n n ∈+恒成立，①当0n =时，若0=t 时，R k ∈；当(]0,1t ∈时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t<+-，函数9415t t+-在(]0,1t ∈单调递减，于是1t =时取最小值-2，此时2x =，于是(),2k ∈-∞-；②当1n =时，此时[]1,2t ∈时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t<+-，∵9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号，即9415t t+-的最小值为-3，(),3k ∈-∞-；③当2n ≥时，此时[],1t n n ∈+时，()()343 t t k t--<恒成立，即9415k t t<+-，函数9415t t +-在[],1t n n ∈+单调递增，于是t n =时取最小值9415n n-+，此时2n x =，于是9,415k n n ⎛⎫∈-∞-+ ⎝⎭.综上可得：当0n =时(),2k ∈-∞-，当1n =时(),3k ∈-∞-，当2n ≥时，9,415k n n ⎛⎫∈-∞-+⎪⎝⎭【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知1a >，1b >，21a aa =-，2log 1bb b =-，则以下结论正确的是（）A ．22log aa b b+=+B ．21112log ab+=C ．2a b -<-D ．4a b +>【答案】ABD【解析】对于A ，由题意知，a ，b 是函数1()111x h x x x ==+--分别与函数()2x f x =，2()log g x x =图象交点的横坐标，由1y x=的图象关于y x =对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为1()11h x x =+-，所以()h x 的图象也关于y x =对称，又()f x ，()g x 两个函数的图象关于直线y x =对称，故两交点(),2aa ，()2,logb b 关于直线y x =对称，所以2log a b =，2a b =，故A 正确；对于B ，结合选项A 得21aa b a ==-，则ab a b =+，即111a b +=，即21112log a b +=成立，故B 正确；对于C ，结合选项A 得2log (24)a b b b b -=-<<，令2()log b b b ϕ=-，则1()10ln 2b b ϕ'=-<，所以2()log b b b ϕ=-在(2,4)上单调递减，则2()log 442b ϕ>-=-，故C 错误；对于D ，结合选项B 得11()24b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++> ⎪⎝⎭(a b¹，即不等式取不到等号)，故D 正确．故选：ABD．【对点训练29】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m ，n 满足：ln e ln m n n n m =-，则nm的最小值为______.【答案】2e 4【解析】由ln e ln mn n n m =-可得：e ln ln mm n n=+,所以ln e ln ln m n n m --=，ln ln e ln ln e ln m n m m n m m m -+-=+=+，设()e x f x x =+，()e 10xf x '=+>，所以()f x 在R 上单调递增，所以()()ln ln f m n f m -=，则ln ln m n m -=，所以e ln ln mn m=，所以e m n m =，所以2e m n m m =，令()()()2243e 2e e e 2,xx x x x x x g x g x x x x-⋅-⋅=='=，令()0g x '>，解得：2x >；令()0g x '<，解得：02x <<；所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()2mine 24g x g ==.故n m 的最小值为2e 4.故答案为：2e 4.【对点训练30】（多选题）（2024·广东惠州·统考一模）若62,63a b ==，则（）A ．1ba>B ．14ab <C ．2212+<a b D ．15b a ->【答案】ABD【解析】因为63,62b a ==，所以66log 3,log 2b a ==，则1a b +=，选项A ，6226log 3log 3log 21log 2b a ==>=，故A 正确；选项B ，因为666log 3log 2log 61a b +=+==，且0,0,a b a b >>≠，所以21()24a b ab +<=，故B 正确；选项C ，因为22211()2121242a b a b ab ab +=+-=->-⨯=，故C 错误；选项D ，因为()666324355log log log 61232b a -==>=，故D 正确，故选：ABD ．【对点训练31】（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知1x ，2x 分别是方程e 3x x +=和ln 3x x +=的根，若12x x a b +=+，实数a ，0b >，则271b ab+的最小值为（）A ．1B ．73C ．679D ．2【答案】D【解析】e 3,e 3x x x x +==-；ln 3,ln 3x x x x +==-.函数e x y =与函数ln y x =的图象关于直线y x =对称，由3y x y x=-⎧⎨=⎩解得32x y ==，设33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，则123232x x +=⨯=，即3a b +=，()()22222273211717171333b b b b b b ab b b b bb b -+++++==-=----221173b b b +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，令211b t +=，则121t b -=，则222712117731132121b b t ab b b t t ⎛⎫ ⎪++⎛⎫ ⎪=-+=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4417726465t t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ =-+≥-= ⎪ ⎪+- ⎝⎭⎝，当且仅当6418,8211,,333t t b b a b t ===+==-=时等号成立.故选：D【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152xx -=，故有2225log x x -=故1x 和2x 是直线5y x =-和曲线2x y =、曲线2log y x =交点的横坐标.根据函数2x y =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2x y =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称.即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +-+-=，求得x 1+x 2=5，故选：D.【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．10【答案】A【解析】方程32x x ⋅=可变形为方程23x x =，方程3log 2x x ⋅=可变形为方程3log 2x x=，1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，2025高考数学必刷题1x ∴是函数3x y =与函数2y x =的交点横坐标，2x 是函数3log y x ==与函数2y x =的交点横坐标， 函数3x y =与函数3log y x =互为反函数，∴函数3log y x =与函数2y x =的交点横坐标2x 等于函数3x y =与函数2y x =的交点纵坐标,即12(,)x x 在数2y x =图象上，又2y x = 图象上点的横纵坐标之积为2，122x x ∴=，故选：A。

§ 2.5 对数与对数函数考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015 2016 20171. 理解对数的观点及其运算性质, 会10,3 分 12,6 分对数与对 用换底公式 .12,4 分 22,约 5理解3,5 分7,5 分 5(文),数函数2. 理解对数函数的观点9( 文), 分; 能解决与对5 分 数函数性质相关的问题 .6 分剖析解读 1. 对数函数是函数中的重要内容 , 也是高考的常考内容 .2. 考察对数运算 ( 例 :2015 浙江 12 题 ), 对数函数的定义和图象以及主要性质 ( 例:2016 浙江 12 题 ).3. 估计 2019 年高考试题中 , 对数运算和对数函数还是考察的要点之一 . 考察仍会合中在对数运算 , 对数 函数的定义与图象以及主要性质上, 复习时应惹起高度重视 .五年高考考点 对数与对数函数1.(2016 浙江文 ,5,5 分 ) 已知 a,b>0 且 a ≠ 1,b ≠1. 若 log a b>1, 则 ()A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0 答案 D2.(2017 北京文 ,8,5 分 ) 依据相关资料 , 围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361, 而可观察宇宙中一般物质的原子总数 N 约为 1080. 则以下各数中与 最靠近的是 ()( 参照数据 :lg3 ≈ 0.48) A.10 33B.10 53C.10 73D.10 93 答案 D3.(2016 四川 ,5,5 分 ) 某企业为激励创新 , 计划逐年加大研发资本投入. 若该企业 2015 年整年投入研发资本 130 万元 , 在此基础上 , 每年投入的研发资本比上一年增加 12%,则该企业整年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是 ( 参照数据 :lg1.12 ≈0.05,lg1.3 ≈ 0.11,lg2 ≈ 0.30)( ) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 答案 B 4.(2015 陕西 ,10,5 分 ) 设 f(x)=lnx,0<a<b, 若 p=f( ),q=f ,r= (f(a)+f(b)), 则以下关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q 答案 C5.(2014 辽宁 ,3,5 分) 已知 a= ,b=log 2 ,c=lo, 则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a 答案 C6.(2014 天津 ,4,5 分) 函数 f(x)=lo (x 2-4) 的单一递加区间为()A.(0,+ ∞ )B.(- ∞,0)C.(2,+ ∞ )D.(- ∞,-2)答案 D7.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若log a b+log b a= ,a b=b a,则a=,b=.答案4;28.(2015浙江文,9,6分)计算:log2=,=.答案- ;39.(2015 福建 ,14,4 分 ) 若函数 f(x)= (a>0, 且 a≠ 1) 的值域是 [4,+ ∞ ), 则实数 a 的取值范围是.答案(1,2]10.(2014 重庆 ,12,5 分 ) 函数 f(x)=log 2· lo (2x) 的最小值为.答案 -教师用书专用 (11 — 14)11.(2013 课标全国Ⅱ ,8,5 分) 设 a=log 36,b=log 510,c=log 714,则()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案 D12.(2014福建,4,5分)若函数y=log a x(a>0,且a≠ 1)的图象如下图, 则以下函数图象正确的选项是()答案 B13.(2013 湖南 ,5,5 分 ) 函数 f(x)=2lnx 的图象与函数g(x)=x 2-4x+5 的图象的交点个数为 ()A.3B.2C.1D.0答案 B14.(2013 山东 ,16,4 分 ) 定义“正对数” :+ln x=现有四个命题 :①若 a>0,b>0, + b +则 ln (a )=bln a;②若 a>0,b>0, 则 ln +(ab)=ln +a+ln +b;③若 a>0,b>0, 则 ln + ≥ ln +a-ln +b;④若 a>0,b>0, 则 ln +(a+b) ≤ ln +a+ln +b+ln2.此中的真命题有.( 写出全部真命题的编号 )答案①③④三年模拟A 组 2016— 2018 年模拟·基础题组考点 对数与对数函数1.(2018 浙江嵊州高级中学期中 ,2) 已知 log 5[log 3(log 2x)]=0, 那么 x=() A.5 B.3 C.8 D.1 答案 C2.(2017 浙江镇海中学模拟卷三 ,5) 设 x 是实数 , 则“ lnx+x>0 ”是“ ln(lnx)+x>0 ”的 ()A. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件答案 B3.(2016 浙江新高考研究卷二 ( 慈溪中学 ),2) 为了获得函数 y=lox 的图象 , 只要将函数 y=log 2 的图象( )A. 向右平移 1 个单位 , 再向下平移 1 个单位B. 向左平移 1 个单位 , 再向下平移 1 个单位C. 向右平移 1 个单位 , 再向上平移 1 个单位D. 向左平移 1 个单位 , 再向上平移 1 个单位答案 A4.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中 ,11)16 、 17 世纪之交 , 跟着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展, 改良 数字计算方法成了事不宜迟 , 约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中, 为了简化此中的计算而发了然对数. 以后天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系 , 即 a b =N? b=log a N. 此刻已知 ab.2 =3,3 =4, 则 ab=答案 25.(2017 浙江名校协作体期初 ,12) 已知 4a -3a b =16,log 2a= , 则 a=,b=.答案 3;log 3166.(2017 浙江柯桥区质量检测 (5 月 ),14) 若正数 a,b 知足 3+log 2a=1+log 4b=log 8(a+b), 则a= ,b= .答案;7.(2017 浙江名校协作体 ,11) 已知 x>0,y>0,lg2 x +lg8 y =lg2, 则 xy 的最大值是.答案8.(2016 浙江宁波一模 ,9) 已知 log 2=m,log 3=n,a>02m+n;若用 m,n 表示 log 6, 则且 a ≠ 1, 则 a =a a4log 46= .答案12;B 组 2016— 2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期中,3) A. 充分不用要条件 B. 必需不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不用要条件设a>0,b>0,则“ log 2a+log2b ≥ log 2(a+b)”是“ ab ≥ 4”的 ()答案 A2.(2017 浙江名校 ( 绍兴一中 ) 沟通卷一 ,6) 已知函数 f(x)= 的定义域与函数 g(x)=ln(x2-ax+1) 的值域均为 R,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[1,2] B.(- ∞ ,-2)C.[-2,1]D.[2,+ ∞ )答案 D且 (x+1)y=16, 则 log x+logy 的最大值是 ()3.(2017浙江名校 ( 杭州二中 ) 沟通卷三 ,7) 已知实数 x,y>0,42A.2B.C.3D.4答案 C二、填空题4.(2018 浙江嵊州高级中学期中 ,2) 已知函数 f(x)= 则 f=; 若 f(x 0)=-2, 则x 0 =.答案 -1;5.(2018 浙江萧山九中 12 月月考 ,11) 若函数 f(x)= +lgx, 则 f(x) 的定义域为; 不等式 f(x)>1的解集是 .答案;(1,+ ∞ )6.(2017 浙江杭州质检 ,11)lg2+lg5= ;- =.答案 1;17.(2017 浙江台州质量评估 ,11) 已知函数 f(x)= 则 f(0)=,f(f(0))=.答案 1;08.(2017 浙江镇海中学模拟卷一 ,12) 已知函数 f(x)= 则 f(x) 的值域是; 若方程 f(x)-a=0恰有一个实根 , 则实数 a 的取值范围是.答案 [0,+ ∞ );{0} ∪ [2,+ ∞) a (a 2x +t),9.(2016 浙江金丽衢十二校第一次联考 ,18( 改编 )) 已知函数 f(x)=log 此中 a>0 且 a ≠ 1, 若存在实 数 m,n(m<n), 使得 x ∈ [m,n] 时 , 函数 f(x) 的值域也为 [m,n], 则 t 的取值范围是 .答案C 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1对于对数观点及运算的解题策略1.(2016 浙江模拟训练卷 ( 一),13)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且 f(x+2)+f(x)=0,当 x ∈ [0,1]时 ,f(x)=2x则 f(lo125)=.-1,答案2.(2017 浙江台州 4 月调研卷 ( 一模 ),14) 已知 a=2x ,b=, 则 log 2b= , 知足 log a b ≤1 的实数 x 的取值范围是.答案 ;(- ∞ ,0) ∪方法 2对数函数的图象和性质的应用的解题策略3.(2017浙江镇海中学模拟卷( 六 ),17)函数f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 abcd 的取值范围是f(x)=.若a,b,c,d 互不同样, 且答案(32,34)。

第 06节对数与对数函数【考纲解读】考点考纲内容 5 年统计剖析展望对数运算 1. 对数运算；2. 对数函数的图象和性质及其应用；1.理解对数的观点，掌握对 3. 除独自考察外，在大题数的运算，会用换底公式 .2014?浙江文8；理 7；中考察对数运算、对数函2．理解对数函数的观点，掌对数函数2015?浙江文9；理10， 12；数的图象和性质的应用是握对数函数的图象、性质及热门 .的图象和应用 .2016?浙江文 ,5 ；理12；4. 备考要点：性质 3.认识对数函数的变化特2018?浙江 10， 22.（1）对数运算征 .（2）对数函数单一性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类议论问题.【知识清单】1.对数的观点假如 a x＝ N( a>0，且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作x＝log a N，此中 a 叫做对数的底数， N叫做真数.对点练习a b11设 2＝ 5＝m，且a＋b＝2，则 m等于()A.10B.10C.20D.100【答案】 A【分析】由已知，得a＝ log 2m， b＝ log 5m ，则1111log m 2＋ log m5＝ log m10＝2 .解得 m10 .a b log 2 m log 5m2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：① a log a N＝N；②log a a b＝b( a>0，且 a≠1)(2)对数的运算法例假如 a>0且 a≠1， M>0， N>0，那么①log a( MN)＝ log a M＋log a N；M②log a N＝log a M－ log a N；n③log a M＝n log a M( n∈R) ；n n④log a m M＝ log a M( m，n∈R，且m≠0). m(3) 对数的重要公式log N①换底公式： log b N＝a( a，b均大于零且不等于1) ；log ba1②log a b＝log b a，推行 log a b· log b c· log c d＝ log a d.3. 对数函数及其性质(1) 观点：函数y＝log a x( a>0，且 a≠1)叫做对数函数，此中x 是自变量，函数的定义域是(0 ，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域： (0 ，＋∞)值域： R性质当 x＝1时， y＝0，即过定点(1，0)当 x>1时， y>0；当 x>1时， y<0；当 0< <1时，y <0当 0< <1时，y>0x x在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数【要点难点打破】考点 1对数的化简、求值【 1-1 】【 2018 年新课标 I 卷文】已知函数，若，则________．【答案】 -7【分析】剖析：第一利用题的条件，将其代入分析式，获得，进而获得，进而求得，获得答案 .【 1-2 】【2018 届安徽省宿州市第三次检测】已知，，，则（）A.-2B.2C.D.【答案】 C【分析】剖析：由题意第一求得m, n 的关系，而后联合对数的运算法例整理计算即可求得最后结果 .此题选择 C选项.【 1-3 】若log a2 m,log a3n, 则 a2 m n________, 用m, n表示log46为________.【答案】12 ，m n. 2m【分析】∵2= ,3= ,∴m n=3，log a=2,aa am n m n2×3=12，a2 +=( a )2× a =2log 4 6log a 6log a 2log a 3m nlog a 42log a 2.2m【意会技法】1.对数运算法例是在化为同底的状况下进行的，所以，常常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，一定保证恒等变形．2.a b＝N b＝ log a N (a>0且a≠1)是解决相关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵巧运用．3.利用对数运算法例，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转变．4.有限制条件的对数化简、求值问题，常常要化简已知和所求，利用“代入法”.【举一反三】【变式一】【2017 北京】依据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为 3361，而可观察宇宙MM中一般物质的原子总数N约为1080.则以下各数中与N最凑近的是（）（参照数据： lg3 ≈0.48 ）（ A） 1033（B） 1053（ C） 1073（D） 1093【答案】 D【变式二】【 2018 届浙江省宁波市高三上期末】已知4a5b10 ，则12__________ ．a b【答案】 2【分析】4a5b10 ，a log 410,1lg4, b log 510,1lg5 ，12a b lg42lg5lg4lg25lg100 2 ，故答案为 2.a b【变式三】【 2017 届浙江省丽水市高三放学期测试】计算：lg0.01log 3 27__________ ；12 3 ,3 2 ,log 2 5 三个数最大的是__________．【答案】1log 2 5【分析】① lg0.01 log 3 27lg10 2log 333231 ；② 2 311,3 2 4 2,log 2 5 log 2 4 2 ,所以最大的数是 log 2 5 .8考点 2对数函数的图象、性质及其应用【 2-1 】【 2018 届湖南省张家界市高三第三次模】在同向来角坐标系中，函数 f x 2ax ，g x log a x 2 （ a 0 ，且 a 1）的图象大概为（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】由题意，当 a 0，函数 f x 2ax 为单一递减函数，若0a1时，函数f x 2ax 与的零点x02，且函数g x log a x 2在2，上为单一递减函2a数；若 a 1 时，函数 f x 2 ax 与的零点x02g x log a x 2 在2，且函数a2，上为单一递加函数. 综上得，正确答案为 A.【 2-2 】【 2018 届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得建立的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：先判断出偶函数在上单一递减，而后依据对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解．详解：由题意知函数的定义域为，当时，，∴在上单一递减，∵是偶函数，∴在上单一递加．∵，∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式建立的取值范围是．应选 B．【 2-3 】【 2018 年天津卷理】已知，，，则 a， b，c 的大小关系为A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：由题意联合对数函数的性质整理计算即可求得最后结果.详解：由题意联合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.此题选择 D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们往常都是运用指数函数的单一性，但好多时候，因幂的底数或指数不同样，不可以直接利用函数的单一性进行比较．这就一定掌握一些特别方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不一样，则第一考虑将其转变成同底数，而后再依据指数函数的单一性进行判断．对于不一样底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又正确．【 2-4 】已知函数f ( x)log 1x,x 0,k 有两个不等的实根，则实数2若对于 x 的方程 f (x)2x,x 0,k 的取值范围是( )A．(0,) B． (,1) C． (1,)D ．(0,1]【答案】 D【分析】在 x(,0] 时， f (x) 是增函数，值域为(0,1] ，在 x(0,) 时， f ( x) 是减函数，值域是 (,) ，所以方程 f ( x)k 有两个不等实根，则有 k(0,1].【 2-5 】【2017课标 1】已知函数f (x)lnx ln(2x) ，则A．f (x)在（0，2）单一递加B．f (x)在（0，2）单一递减C． y=f (x)的图像对于直线 x=1对称D． y=f (x)的图像对于点（1， 0）对称【答案】 C【意会技法】1. y log a x的底数变化，其图象拥有以下变化规律：（ 1）上下比较：在直线x 1 的右边， a1时，底大图低（凑近x轴）；0 a11时，底大图高（凑近 x 轴）．（2）左右比较（比较图象与 y的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.2.波及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．3.波及对数函数单一性问题，要注意底数的不一样取值状况．4.比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单一性；若底数不一样，第一化同底数.5. 对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．6.数形联合思想、分类议论思想、转变与化归思想的应用，是本节的一突出特色．【举一反三】【变式一】【 2018 届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】剖析：利用指数函数的单一性和对数函数与指数函数的对称性可得解.详解：由于， . 所以函数单一递减，清除B，D.与的图象对于轴对称. 清除 A.应选 A.5.1)，【变式二】【2017 天津，理6】已知奇函数 f ( x)在R上是增函数，g( x)xf (x) .若 a g (log2b g(2 0.8 ) ，c g (3)，则a，b， c的大小关系为（ A） a b c（ B） c b a（ C） b a c（ D）b c a【答案】C【分析】由于 f (x)是奇函数且在R 上是增函数，所以在x 0 时， f ( x)0 ，进而 g ( x)xf ( x)是R上的偶函数，且在[0,) 上是增函数，a g (log 25.1)g(log2 5.1)，20.8 2 ，又4 5.18 ，则2log 2 5.13，所以即020.8log 2 5.1 3 ，g(2 0.8 ) g(log 2 5.1) g(3) ，所以 b a c ，应选C．【变式三】【 2017 河南（中原名校）模拟】若函数 f x log a x 2 x ( a 0,a 1)的两个零点是 m, n ，则（）A.mn 1B.mn 1C.mn 1D.以上都不对【答案】 C【分析】【变式四】【 2017课标 II 】函数f ( x)ln( x22x8)的单一递加区间是A.( , 2)B. (,1)C.(1,)D.(4,)【答案】 D【分析】函数存心义，则：x22x 80，解得： x 2 或 x 4 ，联合二次函数的单一性、对数函数的单一性和复合函数同增异减的原则可得函数的单一增区间为4,.应选 D.【变式五】【 2018 届福建省泉州市第二次（ 5 月）质量检查】已知偶函数在上单一递增，则A. B.C. D.【答案】 D【分析】剖析：依据偶函数的定义，以及 f （ x）在（ 0，+∞）上单一递加，这样依据函数单一性定义以及幂函数、指数函数和对数函数的单一性即可判断每个选项的正误，进而选出正确选项．详解： f （ x）为偶函数，且在（0，+∞）上单一递加；A． f （﹣ 3e） =f （ 3e），且 2e＜ 3e；∴f（ 2e）＜ f （ 3e）；∴f（ 2e）＜ f （﹣ 3e），∴该选项错误；B． f （﹣ e3） =f （ e3），且 e2＜ e3；∴f（ e2）＜ f （ e3）；∴f（ e2）＜ f （﹣ e3），∴该选项错误；C.，；∴；∵f （ x）是偶函数，且在（ 0，+∞）上单一递加；∴ f （ x）在（﹣∞， 0）上单一递减；∴，∴该选项错误；D.，；∴；∴，∴该选项正确．故答案为：D【易错试题常警惕】易错典例：函数y log 1 ( x24x3) 的单一递加区间为()3A． (3 ，＋∞ )B．(－∞，1)C． ( －∞， 1) ∪(3 ，＋∞ )D．(0 ，＋∞)易错剖析：解答此题，易于由于忽略函数的定义域，而致使错误．而函数 y log 1u 在(0，＋∞)上是减函数，3∴y log 1( x24x 3) 的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为(－∞，1)．3温馨提示：(1)复合函数的单一性，按照“同增异减”；(2)注意按照“定义域优先”的原则.【学科修养提高之思想方法篇】数形联合百般好，隔裂分家万事休——数形联合思想我国有名数学家华罗庚曾说过 :" 数形联合百般好，隔裂分家万事休。

2019年北师大版高考数学一轮复习课时规范练10 对数与对数函数基础巩固组1.(2018河北衡水中学17模,1)设集合A={x|0.4x<1},集合B={x|y=lg(x2-x-2)},则集合A∪(∁R B)=()A.(0,2]B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)2.函数y=的定义域是()A.[1,2]B.[1,2)C.D.3.已知x=ln π,y=lo,z=,则()A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x4.(2018湖南湘潭三模,3)已知a=,b=lo,c=log3,则()A.b>c>aB.a>b>cC.c>b>aD.b>a>c5.已知y=log a(2-ax)(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上是减少的,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.[2,+∞)6.已知函数f(x)=log2(x2-2x-3),则使f(x)是减少的的区间是()A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-∞,-1)7.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.C.lo xD.2x-28.若函数f(x)=log a(ax-3)在[1,3]上递增,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1)C. D.(3,+∞)9.(2018河北唐山三模,10)已知a=,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a10.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a11.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.12.已知函数f(x)=log a(ax2-x+3)在[1,3]上是增加的,则a的取值范围是.综合提升组13.(2018山东潍坊三模,9)已知a=,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b14.函数y=|log2x|-的零点个数是()A.0B.1C.2D.315.(2018安徽宿州三模,10)已知m>0,n>0,log4m=log8n=log16(2m+n),则log2-log4n=()A.-2B.2C.-D.16.已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是.创新应用组17.(2018福建南平一模,10)已知函数f(x)=2 017x+log2 017(+x)-2 017-x,则关于x的不等式f(2x+3)+f(x)>0的解集是 ()A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)18.已知函数f(x)=x-a ln x,当x>1时,f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(e,+∞)D.(-∞,e)参考答案课时规范练10 对数与对数函数1.C由题意得A={x|0.4x<1}={x|x>0},B={x|x2-x-2>0}={x|x<-1或x>2},∴∁R B={x|-1≤x≤2},∴A∪(∁R B)={x|x≥-1}=[-1,+∞).故选C.2.D由lo(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒<x≤1.3.D∵x=ln π>1,y=lo<lo=,z==∈.∴x>z>y.故选D.4.D∵a==∈(0,1),b=lo>lo=1,c=log3<log31=0,∴b>a>c.5.C因为y=log a(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上递减,u=2-ax在[0,1]上是减少的,所以y=log a u是增加的,所以a>1.又2-a>0,所以1<a<2.6.D由x2-2x-3>0知,定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).而函数u=x2-2x-3在(-∞,-1)上是减少的,所以使f(x)是减少的的区间是(-∞,-1).7.A由题意知f(x)=log a x.∵f(2)=1,∴log a2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.8.D∵a>0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则f(x)=log a u必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3.故选D.9.C∵a==log22=log2<log23=b, ==<<=1,∴c<b,a=log33=log3>log3=log34=c.∴c<a<b.10.C因为f(x)是奇函数且在R上是增函数,所以在x>0时,f(x)>0,从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1),20.8<2,又4<5.1<8,则2<log25.1<3,即0<20.8<log25.1<3,所以g(20.8)<g(log25.1)<g(3),所以b<a<c,故选C.11.- 显然x>0,则f(x)=log2·lo(2x)= log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-,当且仅当x=时,有f(x)min=-.12.∪(1,+∞)令t=ax2-x+3,则原函数可化为y=f(t)=log a t.当a>1时,y=log a t在定义域内递增,故t=ax2-x+3在[1,3]上也是递增,所以可得a>1;当0<a<1时,y=log a t在定义域内递减,故t=ax2-x+3在[1,3]上也是递减,所以可得0<a≤.故a>1或0<a≤.13.A∵幂函数y=是R上的增函数,∴a<b<1,函数y=lo x是减函数,∴c=lo>lo=1,∴a<b<c.14.C函数y=|log2x|-的零点个数即为方程|log2x|=实根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.15.C∵log4m=log8n=log16(2m+n),∴log2=log2=log2(2m+n,∴==(2m+n,∴m3=n2,m2=2m+n,将n=m2-2m代入m3=n2,得m2-5m+4=0,得m=4,或m=1(不合题意),∴n=8.log2-log4n=log22-log48=1-=-.16.(-∞,-2)∪由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<;当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪.17.D根据题意,对于f(x)=2 017x+log2 017(+x)-2 017-x,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=2 017-x+log(-x)-2 017x=-[2 017x+log2 017(+x)-2 017-x]=-f(x),2 017即函数f(x)为奇函数;对于f(x)=2 017x+log2 017(+x)-2 017-x,分析易得其为增函数.所以f(2x+3)+f(x)>0⇔f(2x+3)>-f(x)⇔f(2x+3)>f(-x)⇔2x+3>-x,解得x>-1,即不等式f(2x+3)+f(x)>0的解集是(-1,+∞).故选D.18.D f'(x)=1-=,当a≤1时,f'(x)≥0在(1,+∞)内恒成立,则f(x)是递增的,则f(x)>f(1)=1恒成立,可得a≤1.当a>1时,令f'(x)>0,解得x>a;令f'(x)<0,解得1<x<a,故f(x)在(1,a)内递减,在(a,+∞)内递增.所以只需f(x)min=f(a)=a-a ln a>0,解得1<a<e.综上,a<e,故选D.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 【必会结论】1．对数的性质(a ＞0且a ≠1) (1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN＝N .2．换底公式及其推论(1)log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)；(2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a ；(3)log am b n＝n mlog a b ；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．高频考点一 对数式的运算例1、(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________．答案 3解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 22＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.(2)已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝________.答案 2解析 因为3a＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412，1a ＝log 12 3，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log123＋log124＝log1212＝2.【变式探究】(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【方法规律】对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．解析 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. (2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 答案 (1)A (2)－1高频考点二 对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案 (1)B (2) a >1【方法规律】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2 ) D ．(2，2) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案 (1)C (2)B高频考点三 对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b解析 由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．答案 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax ， 则t(x)＝3－ax 为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a ， 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<32.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ． [1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 (1)D (2)A (3)C解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log33<log32<log33，log51<log52<log55，log23>log22， ∴12<a<1,0<b<12，c>1，∴c>a>b. (2)令函数g(x)＝x2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－－，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、[2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数． 又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0，g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增．a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a >b .故选C.【变式探究】(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b解析 (1)根据幂函数y ＝x0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y ＝log0.3x 的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1. 所以b<a<c.(2)∵a＝log2π>log22＝1，b ＝log 12π＝log21π<log21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b<c<a.(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝310log 35.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log3x ，y ＝log4x 的图象，如图所示．由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1， ∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.答案 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.高频考点六 有关对数运算的创新应用问题例6、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【感悟提升】在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.【变式探究】里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．答案 6 10000解析 根据题意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震的最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．1. （2018年天津卷）已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.，本题选择D选项.2. （2018年天津卷）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x 00 +极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x 1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值. 因为，故，所以.下面证明存在实数t ，使得.由（I ）可得，当时，有，所以存在实数t ，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线.1、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093.故选D. 答案 D2、[2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数． 又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0，g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增．a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a >b .故选C.1、【2016·浙江卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．2、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b解析 由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．答案 B【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D【解析】因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.（2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·广东卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．【答案】50（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·天津卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.（2014·重庆卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2 x ·log2(2x )＝12log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( ) A ．{x|x<－1或x>－lg 2} B ．{x|－1<x<－lg 2} C ．{x|x>－lg 2} D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·山东卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④【解析】①中，当a b≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln ＋(a b)＝ln a b＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b<1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b)＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立； ③中，当a b ≤1，即a≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln a b ＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2， 又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln a ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【解析】a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，所以a>b>c，选D.（2013·浙江卷）已知x，y为正实数，则( )A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故选择D.。

课时规范练10 对数与对数函数基础巩固组1.函数y=√log 23(2x -1)的定义域是( )A.[1,2]B.[1,2)C.[12,1]D.(12,1]2.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3-x +1,x ≤0,则f (f (1))+f (log 312)的值是( )A.2B.3C.4D.53.(2017广西名校联考)已知x=ln π,y=lo g 13√32,z=π-12,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x4.(2017安徽淮南一模,文9)已知e 是自然对数的底数,a>0,且a ≠1,b>0,且b ≠1,则“log a 2>log b e ”是“0<a<b<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2017福建龙岩模拟)已知y=log a (2-ax )(a>0,且a ≠1)在区间[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2)D.[2,+∞)6.若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,13)D.(3,+∞)7.已知函数f (x )=a x+log a x (a>0,a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.48.若函数y=f (x )是函数y=a x(a>0,且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则f (x )=( ) A.log 2x B.12xC.lo g 12xD.2x-29.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=-1x (x ),且在区间(0,1)内f (x )=3x,则f (log 354)=( )A .32 B .23C .-32D .-23〚导学号24190870〛10.(2017湖北荆州模拟)若函数f (x )={log x x ,x >2,-x 2+2x -2,x ≤2(a>0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是 .11.函数f (x )=log 2√x ·lo g √2(2x )的最小值为 .12.已知函数f (x )=log a (ax 2-x+3)在[1,3]上是增函数,则a 的取值范围是 . 〚导学号24190871〛综合提升组13.(2017全国Ⅰ)若x ,y ,z 为正数,且2x=3y=5z,则 ( )A .2x<3y<5zB .5z<2x<3yC .3y<5z<2xD .3y<2x<5z14.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x-2)=f (x+2),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x+15,则f (log 220)等于( )A.1B.45C.-1D.-4515.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b c B.log c a<log c b C.a c <b cD.c a>c b〚导学号24190872〛16.已知定义在R 上的奇函数f (x ),当x ∈(0,+∞)时,f (x )=log 2x ,则不等式f (x )<-1的解集是 .创新应用组17.(2017北京,文8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080,则下列各数中与xx 最接近的是( ) (参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093〚导学号24190873〛18.(2017安徽马鞍山一模,文10)已知函数f (x )=x-a ln x ,当x>1时,f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(e,+∞)D.(-∞,e) 〚导学号24190874〛答案：1.D 由lo g 23(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒12<x ≤1.2.D ∵log 312<0,由题意得f (f (1))+f (log 312)=f (log 21)+3-log 312+1=f (0)+3log 32+1=30+1+2+1=5.3.D x=ln π>1,y=lo g 13√22<lo g 13√33=12,z=π-12=√π∈(12,1).∴x>z>y.故选D .4.B 解 当a>1,0<b<1时,log a 2>0,log b e <0,推不出0<a<b<1,不是充分条件;当0<a<b<1时,log a 2>log b 2>log b e,是必要条件,故选B .5.C 因为y=log a (2-ax )(a>0,且a ≠1)在[0,1]上单调递减,u=2-ax 在[0,1]上是减函数,所以y=log a u 是增函数,所以a>1.又2-a>0,所以1<a<2.6.D ∵a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选D .7.C 显然函数y=a x 与y=log a x 在[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x+log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.8.A 由题意知f (x )=log a x.∵f (2)=1,∴log a 2=1. ∴a=2.∴f (x )=log 2x.9.C 由奇函数f (x )满足f (x+2)=-1x (x ),得f (x+4)=-1x (x +2)=f (x ),所以f (x )的周期为4,f (log 354)=f (3+log 32)=f (-1+log 32)=-f (1-log 32)=-31-log 32=-(3×12)=-32.10.[12,1) 当x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)内递增,在(1,2]上递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是-1.又f (x )的值域是(-∞,-1],∴当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12≤a<1.11.-14 显然x>0,∴f (x )=log 2√x·lo g √2(2x )=12log 2x ·log 2(4x 2)=12log 2x ·(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=(log 2x +12)2−14≥-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14. 12.(0,16]∪(1,+∞) 令t=ax 2-x+3,则原函数可化为y=f (t )=log a t.当a>1时,y=log a t 在定义域内单调递增,故t=ax 2-x+3在[1,3]上也是单调递增,所以{12x≤1,x -1+3>0,x >1,可得a>1;当0<a<1时,y=log a t 在定义域内单调递减,故t=ax 2-x+3在[1,3]上也是单调递减,所以{12x ≥3,9x -3+3>0,0<x <1,可得0<a ≤16.故a>1或0<a ≤16. 13.D 由2x =3y =5z,同时取自然对数,得x ln 2=y ln 3=z ln 5.由2x 3x=2ln33ln2=ln9ln8>1,可得2x>3y ;再由2x 5x =2ln55ln2=ln25ln32<1,可得2x<5z ; 所以3y<2x<5z ,故选D .14.C 由f (x-2)=f (x+2),得f (x )=f (x+4).因为4<log 220<5,所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220) =-f (log 245) =-(2log 245+15)=-1. 15.B 对于A,log a c=1log xx,log b c=1log x x.∵0<c<1,∴对数函数y=log c x 在(0,+∞)内为减函数, ∴若0<b<a<1,则0<log c a<log c b ,1logxx >1log x x,即log a c>log b c ; 若0<b<1<a ,则log c a<0,log c b>0,1log xx<1log x x,即log a c<log b c ;若1<b<a ,则log c a<log c b<0,1logxx>1log x x,即log a c>log b c.故A 不正确;由以上解析可知,B 正确;对于C,∵0<c<1,∴幂函数y=x c在(0,+∞)内为增函数.∵a>b>0,∴a c>b c,故C不正确;对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=c x在R上为减函数.∵a>b>0,∴c a<c b,故D不正确.16.(-∞,-2)∪(0,12)由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<12;当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪(0,12).17.D设xx =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与xx最接近的是1093.故选D.18.D f'(x)=1-xx =x-xx,当a≤1时,f'(x)≥0在(1,+∞)内恒成立,则f(x)是单调递增的, 则f(x)>f(1)=1恒成立,∴a≤1.当a>1时,令f'(x)>0,解得x>a;令f'(x)<0,解得1<x<a,故f(x)在(1,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.所以只需f(x)min=f(a)=a-a ln a>0,解得1<x<e.综上,a<e,故选D.。