第10讲 对数与对数函数

对数与对数函数 知识梳理1、对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 【扩展】两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 2、对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈3、画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象42-2-4-55探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x =提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征函数的性质（1）图象都在y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（3）当a ＞1时，log xa y =是增函数，当0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当a ＞1时x ＞1，则log a x ＞00＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时x ＞1，则log a x ＜00＜x ＜1，log a x ＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜a ＜1图象性 质（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数精讲精练（1）对数运算的例题【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.【例3】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.【例4】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；（2）2log (4747)++-.【例5】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题） 【例6】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【例7】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值.（2）对数函数图象和性质的例题【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.【例5】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例6】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<【例7】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？课堂作业（1）对数幂的运算1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）12155-=（2）42log x = （3）1327x =（4）1()644x= （5）lg0.0001x = （6）5ln e x =2．求log log log ,a b c b c Na⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.3．计算331log log 5533+的值.4、判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n=5. 用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xyz =____________; （2）23log 8a x y =______________________;（3）75log (42)z ⨯=______________; （4）5lg 100=_____________________; 6. 已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 7、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 8、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ ）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -9、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（ ）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 10、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、123 C 、122 D 、13311. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。

⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。

特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。

（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。

对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。

如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。

其中a称为底数，N称为真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。

常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。

自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。

它的定义域为正实数集，值域为实数集。

对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。

当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。

对数公式在数学中有广泛的应用。

例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。

还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。

在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。

总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。

4、已知a>b>c，那么a>b>c。

3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。

2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。

5、如果a>1，且a-x-logaxy。

1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评 方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案 －1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8， 即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的． 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围． 解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小． 已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围． 解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数 答案 D解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析 方法一 若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值． 解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析 从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围． 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解 －1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

对数与对数函数对数的概念如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中__a__叫作对数的底数，__N__叫作真数对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)；④log am M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(2)对数的性质：①a log a N＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0且a≠1)(3)对数的重要公式：①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.对数函数的图像与性质：反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.一、选择题设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>c C．a<b<c D．a>b>c解析∵a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32<log33＝1设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c解析由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图像得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b解析根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b<a<c.设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a解析∵a＝log2π>log22＝1，b＝log12π＝log21π<log21＝0,0<c＝1π2<1，∴b<c<a.已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且log x m＝24，log y m＝40，log xyz m＝12，则log z m的值为()A.160 B.60 C.2003 D.320解析由已知得log m(xyz)＝log m x＋log m y＋log m z＝112，而log m x＝124，log m y＝140，故log m z＝112－log m x－log m y＝112－124－140＝160，即log z m＝60.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A.d ＝ac B.a ＝cd C.c ＝ad D.d ＝a ＋c解析 log 5b ＝a ，lg b ＝c ，log 5b lg b ＝a c ，log 510＝a c ，∵5d＝10，∴log 510＝d ，∴d ＝a c ，cd ＝a ，故选B若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0，12)C.(12，1) D.(0,1)∪(1，＋∞) 解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，∴0<a <1， 同时2a >1，∴a >12，综上，a ∈(12，1).当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)解析 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12， x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除选项A.若()f x ＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)解析 作出f (x )的大致图像(图略).由图像知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c ，由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10已知函数()f x ＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则()()1f f ＋31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，∴f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D ，选C函数()f x ＝lg(|x |－1)的大致图像是( )解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数()f x ＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a >1，则0<b <1，此时()f x ＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，故选B.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )解析 由题图可知y ＝log a x 的图像过点(3,1)，∴log a 3＝1，即a ＝3. A 项，y ＝3－x ＝(13)x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误.函数y ＝ln1|2x －3|的图像为( )解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D ，当x >32时，为减函数，当x <32时，为增函数，∴选A.若()f x ＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.设函数()f x ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若()f a >()f a -，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.设()f x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使()f x <0的x 的取值范围是( )A.(－1,0)B.(0,1)C.(－∞，0)D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.设函数()f x ＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则()f x 是( )A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A.定义在R 上的函数()f x 满足()f x -＝－()f x ，()2f x -＝()2f x +，且x ∈(－1,0)时，()f x ＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，∵4＜log 220＜5，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2)5-+＝－1二、填空题设函数()f x 满足()f x ＝1＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭log 2x ，则f (2)＝________解析 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12log 2x ，故f (2)＝1＋12log 22＝32已知函数()f x ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，f (x ＋1)，x <2，则f (log 23)的值为________.解析 由题意知f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (log 26)＝2log 61()2＝16.若函数()f x ＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________解析 由题意f (x )的图像如下图，则⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是_________ 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)若函数()f x ＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是_________ 解析 由题意得⎩⎨⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3设()f x ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使()f x <0的x 的取值范围是________解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.三、解答题已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围.解析 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成.∵函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减，又∵函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1).设()f x ＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及()f x 的定义域； (2)求()f x 在区间[0，32]上的最大值.解析 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.专项能力提升设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f，q ＝2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r <q C.q ＝r >p D.p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .选B.设函数()f x 定义在实数集上，()2f x -＝()f x ，且当x ≥1时，()f x ＝ln x ，则有( )A.13f ⎛⎫⎪⎝⎭<()2f <12f ⎛⎫⎪⎝⎭ B.12f ⎛⎫⎪⎝⎭<()2f <13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<13f ⎛⎫⎪⎝⎭<()2f D.()2f <12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图像关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，∴离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2).已知函数()f x ＝lnx1－x，若()f a ＋()f b ＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________. 解析 由题意可知lna 1－a ＋lnb 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值. 解析 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log ax ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32，又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1).∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得.若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132-，此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)--＝2∉[2,8]，舍去.若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝321()2＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。