对数与对数函数专题

专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a c <B ．2ab =C ．1abc a =+D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（ ）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ）A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断.【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A 【解析】c =0.30.2<0.30=1；log 27>log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3， log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用 例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误； 又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减， 则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b 答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ， 所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5， 所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1， 故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212， 所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为． 答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

对数与对数函数（讲义）知识点睛一、对数与对数的运算1.对数（1）如果x a N =(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =⇔log a x N =．（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．2.对数的运算性质（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么①log ()log log a a a M N M N ⋅=+；②log log log aa a MM N N=-；③log log ()n a a M n M n =∈R ．（2）换底公式：log log log c a c bb a=(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．（3）log (010)a b a b a a b =>≠>，；．二、对数函数及其性质1.定义：一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．2.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质：0<a <1a >1图象定义域(0，+∞)值域R性质①过定点(1，0)，即x =1时，y =0②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数3.对数函数底数变化与图象分布规律1log a y x =；②log b y x =；③log c y x =；④log d y x =，则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<；x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>．4.反函数对数函数与指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．精讲精练1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）32=8_______________；（2）415625-=_______________；（3）13127=3-_______________；（4）lg 0.0013=-_____________；（5）0.3log 2=a _____________；（6）ln x =_____________．2.求下列各式的值．（1）43log (927)⨯（2）1lg lg 4lg 52++（3）661log 12log 2-（4）22333399(log 2)(log )log log 422++⋅（5）2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅（6）48525(log 5log 5)(log 2log 2)++3.已知234log [log (log )]0x =，则x 的值为_________．4.已知3485log 4log 8log log 25m ⋅⋅=，那么m 的值为（）A ．9B ．18C ．12D ．275.已知4823log 3x y ==，，则x +2y 的值为（）A ．3B ．8C ．4D ．log 486.已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =（）A ．17B ．72C ．108D ．317.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy的值为_________．8.设lg a ，lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个实根，则2(lg )ab的值等于（）A ．2B ．12C ．4D ．149.已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b +=_____．10.下列函数表达式中是对数函数的是（）A ．0.01log (0)y x x =>B ．22log y x =C ．2log (2)(2)y x x =+>-D ．2ln(1)y x =+11.若点(a ，b )在lg y x =图象上，且a ≠1，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ，B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )12.若函数log ()a y x b =+(a >0，a ≠1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2，b =2B ．2a b ==C ．a =2，b =1D ．a b ==13.直接写出下列函数的定义域：311log (2)_______________2345log (3)_______________16_______________ln(1)x y x y y y y x y x -=-====-=+=+（）；（）；（）；（）；（）；（）．14.已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12[log (3)]y f x =-的定义域是_____________．15.函数212log (613)y x x =++的值域为（）A ．RB ．[8，+∞)C ．(-∞，-2]D ．[-3，+∞)16.函数log a y x =在区间[2，π]上最大值比最小值大1，则a =__________．17.下列判断不正确的是（）A ．22log 3.4log 4.3<B ．0.20.3log 0.4log 0.4<C ．67log 7log 6>D ．30.3log log 4π<18.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度19.函数21log (01)1a x y a a x +=>≠-，的图象过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．(1，0)B ．(-2，0)C ．(2，0)D ．(-1，0)20.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-(a >0，且a ≠1)．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．21.设a ，b ∈R 且a ≠2，定义在区间(-b ，b )上的函数1()lg12axf x x+=+满足：()()0f x f x +-=．（1）求实数a 的值；（2）求b 的取值范围．22.已知关于x 的方程212log 210x a x ⋅--=有实数根，求a 的取值范围．23.已知函数2log [(21)]a y x a x a =--+的定义域为R ，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．（1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33=-；（4）3100.001-=；（5）0.32a =；（6）e x =2．（1）11；（2）1；（3）12；（4）4；（5）1；（6）543．644．A 5．A 6．B 7．48．A 9．210．A 11．D 12．A13．（1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(0；（5）(12)(23)⋃，，；（6）(10)(02]-⋃，，14．5[22，15．C16．2π或2π17．D18．C 19．B20．（1）(-1，1)；（2）偶函数，证明()()()()f x g x f x g x -+-=+21．（1）2a =-；（2）102b ≤<22．02a ≤<23．33(11)(1122，-⋃+对数与对数函数（随堂测试）1.函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0，+∞)，则正实数a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．42.求函数2log (4)(01)a y x x a a =->≠，且的单调递减区间．【参考答案】1.B2.当01a <<时，f (x )的单调递减区间为(0，2]；当1a >时，f (x )的单调递减区间为[2，4)对数与对数函数（作业）1.求下列各式的值．（1）lg +（2）553log 10log 0.125+（3）22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅（4）22lg 5lg83+（5）20321log log ()52-+-（6）231lg 25lg 2lg log 9log 22+-⨯2.下列对数运算中，一定正确的是（）A ．lg()lg lg M N M N +=⋅B ．ln ln n M n M =C ．lg()lg lg M N M N⋅=+D ．lg log lg a b b a=3.已知3log 2a =，那么33log 22log 6-用a 表示是（）A ．5a -2B ．-a -2C ．3a -(1+a )2D ．3-a 2-14.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c+=+5.已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y⋅=+D ．lg()lg lg 222x y x y⋅=⋅6.设方程22(lg )lg 30x x --=的两实根是a ，b ，则log log a b b a +等于（）A ．1B ．-2C ．-4D ．103-7.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．5a >或2a <B ．23a <<或35a <<C ．25a <<D ．34a <<8.函数()ln1xf x x =+-的定义域为（）A ．(0，+∞)B ．(1，+∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)9.已知函数12()2log f x x =的值域为[-1，1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．22B ．[11]-，C ．1[2]2，D ．2(])2-∞⋃∞，+10.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>11.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>12.函数12log 2y x =+的单调增区间为（）A ．()-∞∞，+B ．(2)-∞-，C ．(2)-∞+，D ．(2)(2)-∞-⋃∞，，+13.若函数log (01)a y x a =<<在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A ．22B ．24C ．12D ．1414.函数log (2)5a y x =-+过定点（）A ．(1，0)B ．(3，1)C ．(3，5)D ．(1，5)15.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．16.设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠，在()-∞+∞，上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．17.已知函数e 1(1)()ln (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则(ln 2)f 的值为_________．18.函数12log (1)()2(1)x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域是_________________．19.已知13log 2a =，0.62b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为_____________．20.给出下列命题：12log 2log a a x x =；2函数2log (1)y x =+是对数函数；3函数1ln1xy x+=-与ln(1)ln(1)y x x =+--的定义域相同；4若log log a a m n <，则m n <．其中正确的命题是_________．21.已知函数()f x 在[0)+∞，上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，求x 的取值范围．22.设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，求实数a 的取值范围．23.已知函数3()2log f x x =+(1≤x ≤9)，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值．【参考答案】24．（1）1；（2）3；（3）1；（4）2；（5）4；（6）12-25．D26．B27．B28．D29．D30．B31．B32．A33．D34．C35．B36．B37．C38．A39．C40．141．(2)-∞，42．a <c <b43．③44．11010x <<45．1a >或10a -<<46．22阅读材料反函数趣谈在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，同学们思考一下，x 是不是y 的函数？在指数函数2x y =中，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =．这样，对于任意一个(0)y ∈+∞，，通过式子2log x y =，在R 中都有唯一确定的x 和它对应．此时，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =((0))y ∈+∞，是函数2x y =()x ∈R 的反函数．注意到，在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是函数，但是习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们对调函数2log x y =中的字母，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是指数函数2x y =()x ∈R 的反函数．由前面的讨论可知，指数函数2x y =()x ∈R 与对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数log (01)a y x a a =>≠，且和指数函数x y a =(01)a a >≠，且互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个(0)y ∈+∞，，都有唯一确定的2log x y =和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y 只有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素y ，通过对应法则y=f (x )存在着一一对应关系．清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．通过画出指数函数2x y =与对数函数2log y x =的图象后，我们发现它们是关于直线y=x 对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x 对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f (x )=C （C 为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数10110x xy =+，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由10110x x y =+得到(110)10x x y +=，解得101x y y =-，反函数即为lg 1y x y =-，反函数的定义域为原函数的值域，也就是01y y >-，原函数的值域即为(01)，．练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A ．22y x x=+B ．||y x =C ．2lg y x =D ．11y x =-2.函数21x y =-的反函数为_____________．3.已知函数1212x x y -=+，求它的值域．【参考答案】1.D2.2log (1)y x =+3.(-1，1)。

一．对数的运算指对互化：⇔=N a x ____________对数恒等式：1.___________________2.___________________3._______________4.______________对数的运算性质：1.___________________2.___________________3._______________换底公式：1.___________________2.___________________特殊对数：⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为_________；⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为_________.1.求下列各式的值．（1）355log ＋212log －1505log －145log ；（2）log 2125×log 318×log 519.2.若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -=3.（1）lg12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；（2）log 535＋212log －log 5150－log 514；（3）4lg 2lg 5lg 22+-（4）（多选）以下运算中正确的有()A.lg5+lg2=1 B.5⋅−52=0C.2log 23−30= 2D.log 89⋅log 2716=89（5）（多选）下列等式成立的是()A.lg2+lg5−lg8lg50−lg40=1B.lg4+lg5−12lg0.5+lg8=2C.lg14−2lg 73+lg7−lg18=0 D.(lg2)2+lg2lg5+lg5=24.已知log 189＝a，18b ＝5，用a、b 表示log 36455.已知实数x、y、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1，(1)求证：2x ＋1y ＝2z；(2)试比较3x、4y、6z 的大小二．对数函数的定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数定义域是．6.函数()()31f x lg x =+的定义域是7.函数(21)log x y -=的定义域是三．对数函数的性质1a >01a <<图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是函数（4）在上是函数(5)y<0⇔y=0⇔y>0⇔(6)y<0⇔y=0⇔y>0⇔8.较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6；⑵3log π，2log 0.8；⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8；⑷5log 3，6log 3，7log 39.比较大小⑴8.1log 37.2log 3；⑵5log 67log 610.已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（）.A x y z <<.B z x y <<.C z y x <<.D y z x<<11.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则（）.A a c b <<.B b c a <<.C a b c <<.D b a c<<12.函数log (1)2a y x =++的图像必过定点______________.13.函数log (2)21a y x x =++-的图像过定点______________14.解不等式2)1(log 3≥--x x 15.解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 16.()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________17.解关于x 的不等式：2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤018.图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（）A 、103,51,34,2B 、51,103,342C 、2,34,103,51D 、51,103,2,3419.若函数()(01)x f x a a a -=>≠且是定义域为R 的增函数，则函数()log (1)a f x x =+的图像大致是（）20.（多选）已知函数=lg 2−414()A.的最小值为1B.∃∈，1+=2C.l 92>23D.o90.1−12)>o30.18−12)21.设1a >，函数()log a f x x =在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________________22.若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =________________23.函数2log (3)y x =-的定义域为________________24.函数()()2log 31xf x =+的值域为________________四．对数型函数25.已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求()f x 的单调区间；⑶求函数()f x 的值域.26.已知[]3()2log (1,9)f x x x =+∈，求函数[]22()()()g x f x f x =+的最大值与最小值.27.已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域（2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域28.已知()x f y =是二次函数，且()80=f 及()()121+-=-+x x f x f ⑴求()x f 的解析式⑵求函数()x f y 3log =的递减区间及值域29.已知：函数2()f x x x k =-+，且(2)22log 2,(log ),(0,1)f f a k a a ==>≠.⑴求,k a 的值；⑵当x 为何值时，函数(log )a f x 有最小值？求出该最小值.30.（多选）已知函数op =lg(1−p ，则A.op 的定义域为(−∞,1) B.op 的值域为C.o −1)+o −4)=1D.=o 2)的单调递增区间为(0,1)。

考向11 对数与对数函数1．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．6. 比较对数值的大小（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 （2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 （3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alog aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n＝n mlog a M (m ，n ∈R，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞) 值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n mlog a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限.1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（ ） A ．[1,0)(0,1)- B ．[1,0)(0,1]-⋃ C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(0,1]-⋃2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知2log 3,37ba ＝＝，则21log 56＝（ ） A ．3ab a ab++B ．3a ba ab++C ．3ab a b++ D ．3b a ab++3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知4log 3a =，5log 3b =，4log 5c =，则（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．21．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()f x x =-；若0.250.3a -=，0.25log 0.3b =，0.3log 2.5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()1y f x =-的图像关于1x =对称，满足()()2f x f x -=，且()f x 在()1,0-上递减，若125a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()12b f n =-，()3 log 18c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：S N 为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ） A ．2B ．99C ．101D ．99994．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（多选题）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数()21log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则不等式()lg 3f x >的解集为___________.8．（2021·全国高三其他模拟）已知不为1的正实数,m n 满足1133log log ,m n >则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上） ①1111m n >--；②m n e e > ；③()ln 0n m ->；④31m n -<；⑤11m n>． 9．（2019·吉林高三其他模拟（理））已知等比数列{}n a 满足()212345log 5a a a a a =，等差数列{}n b 满足33b a =，则12345b b b b b ++++=___________.10．（2021·山东高三其他模拟）已知数列{}n a 满足22log 1n n a n +⎛⎫=⎪+⎝⎭．给出定义：使数列{}n a 的前k 项和为正整数的k ()*k ∈N 叫做“好数”，则在[]1,2021内的所有“好数”的和为______．11．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设()f x 定义域为R ，已知()f x 在[)1,+∞上单调递减，()1f x +是奇函数，则使得不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>成立的x 取值范围为___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()log 1a f x x =+，函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()f x 的图象． （1）写出()g x 的解析式：（2）若1a >，[)0,1x ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围．1．（2020·全国高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<2．（2008·山东高考真题（文））已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<3．（2013·辽宁高考真题（文））已知函数()()()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．（2020·海南高考真题）（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )6．（2020·北京高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 7．（2019·上海高考真题）函数()()20f x x x =>的反函数为___________8．（2014·重庆高考真题（理））函数22()log log (2)f x x x =⋅的最小值为__________．9．（2014·广东高考真题（理））若等比数列的各项均为正数，且，则1220ln ln ln a a a +++= .10．（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________1．【答案】C 【分析】根据题意列不等式组，化简得出结论. 【详解】由题意得10,10,0,x x x ->⎧⎪+>⎨⎪≠⎩解得10x -<<或01x <<.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)-.故选：C. 2．【答案】A 【分析】运用对数运算法则和换底公式进行求解. 【详解】由37b =，可得3log 7b =， 所以()()33213log 72log 56log 37⨯=⨯33333log 7log 2log 3log 7+=+131b a b +⨯=+3ab a ab+=+. 故选：A 3．【答案】A 【分析】先由对数的性质可得01a <<，01b <<，1c >，然后利用作差法判断,a b 的大小即可 【详解】首先01a <<，01b <<， 因为lg 3lg 4a =，lg 3lg 5b =，所以()lg 3lg 5lg 4lg 3lg 30lg 4lg 5lg 4lg 5a b --=-=>⋅，所以01b a <<<，因为4log 51c =>，所以b a c <<.故选：A. 4．【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】根据题意，作出()f x 的图像如下所示：令()0g x =，得()f x x a =+，所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点， 所以只需函数()f x 的图像与直线y x a =+有两个不同的交点， 根据图形可得实数a 的取值范围为(1,)-+∞， 故选：BCD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．1．【答案】D 【分析】由奇函数性质及0x >的解析式，求得()f x x =-，在实数范围内单调递减，比较数的大小a b c >>，从而有()()()f a f b f c <<. 【详解】当0x >时，()f x x =-，由奇函数的性质知，()f x x =-，x ∈R ，函数单调递减；又0.250.31a -=>，0.25log 0.3(0,1)b =∈，0.3log 2.50c =< 则a b c >>由函数单减知，()()()f a f b f c << 故选：D 2．【答案】A 【分析】根据题意得出()f x 是以2为周期的周期函数，且在()0,1上递增函数，再根据指数函数与对数函数的性质，32log 2ln 2<<<，结合单调性，即可求解. 【详解】由函数()1y f x =-关于1x =对称，可得函数()f x 关于0x =对称，即()()f x f x -=， 又由函数()f x 满足()()2f x f x -=，可得()()2f x f x -=-，即()()2f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，则1122()552()a f f ==-，()1(ln2)2b f n f ==-，333log 18log 182()()(log 2)f c f f =-==，1222<=，且331log log 2ln 22=<， 因为()f x 在()1,0-上递减，可得函数()f x 在()0,1上递增函数，所以3(log 18)(ln 2)f f f <<-，即a c b <<. 故选：A. 3．【答案】C 【分析】利用香农公式求1C 的值，根据12C 的值求SN的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍. 【详解】 当99SN =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999SN =， 所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍. 故选：C . 4．【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A 5．【答案】AD 【分析】分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断. 【详解】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确； ()()12()ln 1ln 1ln ln(1)11x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211x y e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令)()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD 6．【答案】()1,11,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，21()log 1f x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭()f x =，()f x 是偶函数，0x >时，21()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又(1)3f =，所以由(lg )3f x >得lg 1x <，1lg 1x -<<且lg 0x ≠，解得11010x <<且1x ≠．故答案为：()1,11,1010⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错． 7．【答案】6 【分析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值. 【详解】 由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=. 故答案为：6 8．【答案】④⑤. 【分析】根据对数函数单调性先分析出,m n 的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析. 【详解】 因为1133log log m n >且,m n 不为1，由对数函数13log y x =的单调性可知0m n <<， ①当01,1m n <<>时，110,011m n <>--，所以1111m n <--，故①不一定成立； ②因为m n <，由指数函数xy e =的单调性可知m n e e <,故②不成立； ③当01m n <<<时，01n m <-<，所以()ln 0n m -<，故③不一定成立； ④因为0m n -<，所以0331m n -<=，故④一定成立； ⑤因为0m n <<，所以110m n>>，故⑤一定成立； 故答案为：④⑤.9．【答案】10 【分析】由已知结合等比数列的性质可求3a ，然后结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为等比数列{}n a 中，()()521234523log log 5a a a a a a ==，所以32a =， 因为332b a ==，则由等差数列的性质得123453510b b b b b b ++++==. 故答案为：10. 10．【答案】2026 【分析】先计算出数列{}n a 的前k 项和，然后找到使其为正整数的k ()*k ∈N ，相加即可得到答案．【详解】 由题，22212222log log log 11211n n S n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭222342log log log 231n n +⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭()()22222log log 2log 2log 212n n n +==+-=+-． 所以，()2log 21k S k =+-．因为k S 为正整数，所以()2log 210k +->，即220k k +>⇒>． 令()2log 2m k =+，则22=-m k ． 因为[]1,2021k ∈，所以[]23,2023m∈．因为2xy =为增函数，且12101122,24,,21024,22048====所以[]2,10m ∈．所以所有“好数”的和为210231022222222229202612-⨯-+-++-=-⨯=-．故答案为：2026． 【点睛】本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前n 项和公式的灵活运用． 11．【答案】()3,4 【分析】根据()1f x +是奇函数判断函数的对称中心1,0（），()()120f x f x +>等价于122x x +<，()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<，即可得到关于x 的不等式，求出x 的范围. 【详解】因为()1f x +是奇函数，故()f x 图像关于()1,0 对称，由题设()()110f x f x -++=，因为()f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()120f x f x +>等价于122x x +<，因此不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<， 即22log [(3)]log 4x x -< ，即234x x -< 且30x -> ， 解得x 取值范围为()3,4. 故答案为：()3,412．【答案】（1）()1log 1a g x x=-；（2）(],0-∞． 【分析】（1）设(),P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标在函数()f x 的图象上得log (1)a y x =--+，再(),P x y 是函数()y g x =图象上的点，可得答案； （2）求[)0,1x ∈时，利用换元法求出()()f x g x +的最小值可得答案． 【详解】（1）由题意，设(),P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点， 则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(),x y --， 因为已知点Q 在函数()f x 的图象上， 所以()y f x -=-，而()()log 1a f x x =-+， 所以()log 1a y x -=-+，所以log (1)a y x =--+， 而(),P x y 是函数()y g x =图象上的点， 所以()1log (1)log 1a a y g x x x==--+=-． （2）当[)0,1x ∈时，()()11log (1)log log 11a aa x f x g x x x x++=++=--， 下面求当[)0,1x ∈时，()()f x g x +的最小值，令11x t x +=-，则11t x t -=+， 因为[)0,1x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥， 所以111xx+≥-， 又1a >，所以1log log 111aa xx+≥=-， 所以()()0f x g x +≥，所以[)0,1x ∈时，()()f x g x +的最小值为0， 因为当[)0,1x ∈时，总有()()f x g x m +≥成立， 所以0m ≤，即所求m 的取值范围为(],0-∞．1．【答案】A 【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 2．【答案】A 【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<，11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 3．【答案】D 【详解】试题分析：设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫+=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为D.考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.4．【答案】A 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．【答案】AC 【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项. 【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m jP Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅.()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 6．【答案】(0,)+∞ 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】 由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．【答案】0y x => 【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当0x >时，20x >，即()0f x > 又x=y ⇒=∴反函数为：y x =，0x >【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域. 8．【答案】14- 【解析】试题分析：()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以，当21log 2x =-，即22x =时，()f x 取得最小值14-. 所以答案应填：14-. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.9．【答案】50. 【详解】 由得551011101122,a a e a a e ==，所以1220ln ln ln a a a +++=105012201011ln()ln()ln 50.a a a a a e ⋅⋅===【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 10．【答案】2 【详解】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===.。