2017-2018学年河北省保定市高一上学期期末考试数学卷

河北省保定市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）A．342B．390C．402D．462第(2)题设，是正数，曲线关于直线对称，若取得最小值，则该直线的方程为（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，在上有且仅有2个极小值点，则实数的取值范围（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，则（）A．-6B．0C．4D．6第(5)题已知集合，，则中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0第(6)题在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（）A．B．C．D．第(7)题若函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．在上有最小值D．的图象关于直线对称第(8)题某公司为了解本公司的用电情况，统计了4天气温x（℃）与用电量y（度）之间的相关数据如下表所示：x9121518y60m3020若它们之间的线性回归方程为，则（）A．48B．50C．52D．54二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为R，满足，当时，.对，下列选项正确的是（）A．，则m的最小值为B．，则m的值不存在C．，则D ．时，函数所有极小值之和大于2e第(2)题已知，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．第(3)题据某地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率数据制成如图所示的折线图，已知8月份当地的人均月收入为2000元，现给出如下信息，其中不正确的信息为（）A．9月份当地人均月收入为1980元B．10月份当地人均月收入为2040元C．11月份当地人均月收入与8月份相同D．这四个月中.当地12月份人均月收入最低三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_________．第(2)题2022年11月29日，神舟十五号载人飞船成功发射升空，在飞船入轨后未来6个月里，空间站将逐步解锁、安装并测试15个科学实验机柜，开展涵盖空间科学研究与应用、航天医学、航天技术等领域的40余项空间科学实验和技术试验．已知此科学实验机柜在投入使用前会进行调试工作，现有8个科学实验机柜，其中包括5个A类型、3个B类型，两名调试员计划共抽取3个机柜进行调试，则至少有1人抽到B类型机柜进行调试的概率为______．第(3)题平面截半径为2的球O所得的截面圆的面积为，则球心O到平面的距离为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围．第(2)题如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求点到平面的距离.第(3)题已知函数(1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程；(2)求函数的单调区间.第(4)题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,．(1)求的值；(2)若，求．第(5)题如图，在三棱柱中，平面平面.(1)若分别为的中点，证明：平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.。

河北省保定市高一上学期数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2020·攀枝花模拟) 已知全集为，集合，，则元素个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （1分） (2019高一上·河南月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （1分） (2018高一上·旅顺口期中) 下列四组函数中，表示同一函数的是（）．A .B .C .D . ，4. （1分）若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4在区间[3，5）上有零点，则m的取值范围是（）A . （0，4）B . [4，9）C . [1，9）D . [1，4]5. （1分） (2020高一上·铜陵期末) 已知函数，则函数的大致图象是（）A .B .C .D .6. （1分） (2020高一下·宣城期末) 黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：（），若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A .B .C .D .7. （1分）设,若,且则下列结论正确的是（）A .B .C .D .8. （1分） (2016高一上·河北期中) 设a，b，c∈R，函数f（x）=ax5﹣bx3+cx，若f（﹣3）=7，则f（3）的值为（）A . ﹣13B . ﹣7C . 7D . 139. （1分）(2013·江西理) 如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1 ， l2之间，l∥l1 ，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2 ，则函数y=f（x）的图象大致是（）A .B .C .D .10. （1分）函数的零点在区间（）内A .B .C .D .11. （1分） (2020高三上·赣县期中) 已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A .B .C .D .12. （1分）已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前nn项的和,则＝（）A . 45B . 55C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·宁波期中) ________．14. （1分）若2∈{﹣2x，x2﹣x}，则x=________．15. （1分） (2018高一上·云南期中) 函数在区间上的最小值为________．16. （1分） (2020高一上·义乌期末) 已知函数（且）.若，则 ________；若函数的值域是，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共12分)17. （1分） (2019高一上·丰台期中) 已知集合， .求：（1）；（2） .18. （2分）设函数y=f（x）定义在R上，对任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；（2）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．19. （2分）(2019·安徽模拟) 已知函数 .（1）若在上只有一个零点，求的取值范围；（2）设为的极小值点，证明： .20. （3分）已知方程x2+bx+c=0的两实根为﹣1和3，（1）求b与 c；（2）解不等式：x2+bx+c＞0．21. （2分）经市场调查，某商品在最近90天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足f（t）= ，价格近似地满足g（t）=．（1）写出该商品的日销售额S（销售量与价格之积）与时间t的函数关系；（2）求该商品的日销售额S的最大值．22. （2分）(2019·赤峰模拟) 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，判断函数的单调性，并写出证明过程；（2）若，求证：对任意，都有参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共12分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

河北省保定市第一中学2023-2024学年高一上学期12月阶段
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．()()()f a f c f b <<
B ．()()()f a f b f c <<
C ．()()()
f c f b f a <<D ．()()()
f b f c f a <<二、多选题
．．
．．
某超市在双十二当天推出单次消费满元有机会获得消费券的活动，个等级，等级x 与消费券面值的关系式为(8
2
1,2,3,4ax y b x +=+=常数，且a 为整数.已知单张消费券的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为
C ．消费券的等级越大，面值越大
D ．单张消费券的最小面值为10元
四、解答题
五、计算题
六、解答题
19．已知函数()244x x
f x -=⨯+.
(1)求()f x 的最小值；
(1)当质点P运动10s后，求
(2)在质点P从点F运动到点。

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。

-2 B。

-1 C。

1 D。

22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。

- B。

C。

-2 D。

2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。

- B。

C。

-2 D。

23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。

3/33 B。

- C。

3 D。

33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。

3/33 B。

- C。

2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题（每小题2分，本题共16分）1．剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类 不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群 众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是．．轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是 A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠3. 实数9的平方根是A ．3B ．±3C．3± D ．814. 在下列事件中，是必然事件的是A ．买一张电影票，座位号一定是偶数B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．阴天就一定会下雨5. 下列变形中，正确的是A. (23)2＝2×3＝6B.2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍7. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题（每小题2分,本题共16分）9. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．10. 如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票，其中有3张“猴票”，2张“鸡票”和1张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________． 13.mn ＝______________． 14. 小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21， 则x 为 .15. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值 为______________．16. 如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ， =n OP （n 为自然数，且n ＞0）三、解答题（本大题共9小题，17—25小题，每小题5分，共45分） 17．计算：238)3(1230-+----π18. 计算：1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，AF=DC. 求证：BC =EF .20. 解分式方程：3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：23311x x x---- .小宇做得最快，立刻拿给李老 师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程，帮 助小宇改正错误．23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- （A ） =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- （B ） = 33(1)x x --+ （C ） = 26x -- （D ）（1） 上述计算过程中， 哪一步开始．．出现错误？ ；(用字母表示) （2） 从（B ）到（C ）是否正确？ ；若不正确，错误的原因是 ； （3） 请你写出此题完整正确的解答过程．D22.如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF （1（2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是23. 先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ．24. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

2017-2018学年高一上学期期末复习数学模拟卷一（必修1必修2）一、单选题（每小题5分，共计60分） 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为（ ） A . B . C .D .【答案】A 【解析】点关于轴对应点故点关于轴对应点为，故选A 。

2．如图是正方体或四面体，P Q R S ，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：A ，B ，C 选项都有//PQ SR ，所以四点共面，D 选项四点不共面. 考点：空间点线面位置关系．3．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A . a c b <<B . b a c <<C . a b c <<D . b c a <<【答案】B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<< , 01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B .4．已知直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，则直线l1与l2的位置关系是（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直【答案】B【点评】本题考查了斜率存在的两条直线平行的充要条件、斜截式，属于基础题．5．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的侧面积是（）A BC D【答案】D【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面是一个直角梯形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其侧面有三个是直角三角形，面积分别为111222,121,1222⨯⨯=⨯⨯=⨯=，还有一个三角形，其边长分别为，所以该三角形也是直角三角形，其面积为12=，所以其侧面积为3+=D ． 考点：根据几何体的三视图还原几何体，求其侧面积．6．在ABC ∆中，0090,30,1C B AC ∠=∠==，M 为AB 的中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 间的，则M 到平面ABC 的距离为A ．12 B C ．1 D ．32 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得2AB =，1AM BM MC ===，BC =AMC 为等边三角形，取CM中点，则AD CM ⊥，AD 交BC 于E ，则AD ===222BC AC AB =+ ，知90BAC ∠= ，又cos EAC ∠=2222cos AE CA CE CA CE ECA =+-⋅∠=222AC AE CE =+,∴90AEC ∠= ．∵222AD AE ED =+，∴AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A BCM -的高，AE =,设点M 到面ABC 的距离为h ，则因为BCM S ∆=，所以由A BCM M ABC V V --=11132h =⨯⨯，所以12h =，故选A ．考点：翻折问题，利用等级法求点面距离．【思路点睛】该题属于求点到面的距离问题，属于中等题目，一般情况下，在文科的题目中，出现求点到平面的距离问题时，大多数情况下，利用等级法转换三棱锥的顶点和底面，从而确定出所求的距离所满足的等量关系式，在做题的过程中，可以做一个模型，可以提高学生的空间想象能力，提升做题的速度．7．若log 2log 20m n <<，则,m n 满足的条件是A 、1m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<<【答案】Clg lg 00 1.n m n m ⇔<<⇔<<<故选C8．已知圆C ： ()()22111x y ++-=与x 轴切于点A ，与y 轴切于点B ，设劣弧AB的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）A . 2y x =+B . 1y x =+C . 2y x =-D . 1y x =+-【答案】A9．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则其图象可能是( )【答案】D【解析】由条件知：(1)0,0,0;f a b c a c =++=><排除答案A ,C ;(0)0f c =≠排除B ; 故选D10．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．7B .223 C . 476 D .233【答案】D【解析】依题意可知该几何体的直观图如图，其体积为23－2×13×12×1×1×1＝233. 11．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A .B . 2CD 【答案】A点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 2AB x =-.12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）学科+网A ．669B ．670C ．2008D ．1【答案】D考点：函数的周期性．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知圆O：，圆C：，则两圆的位置关系为________．【答案】外切【解析】圆的圆心坐标是，半径；圆的圆心坐标是，半径，两圆圆心距离，由可知两圆的位置关系是外切，故答案为外切.14．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．【答案】【解析】由三视图可以知道：该几何体是一个三棱锥．其中底面，，则该三棱锥的最长棱的长是，，故答案为．15．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则B A U = ． 【答案】{0,1,2,3,6,9} 【解析】试题分析：{}{}{}0,1,2,3,|3,0,3,6,9A B x x a a A ===∈={}0,1,2,3,6,9A B ∴= 考点：集合的并集运算点评：两集合的并集即将两集合的所有的元素组合到一起构成的新集合16．已知函数222,2,()log 1,2,x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩ 则((4))f f =_______，函数()f x 的单调递减区间是_______．【答案】1，(1,2) 【解析】试题分析：因为2(4)log 41211f =-=-=，所以2((4))1211f f =-+⨯=；当2x >时，2()log 1f x x =-为单调递增函数；当2x ≤时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，函数()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为(1,2)． 考点：1、分段函数的求值；2、对数的运算；3、函数的单调性． 三、解答题（共计70分）17．（10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13 5 4 4AC AB BC AA ====，，，，点D 是AB 的中点．C 1DB 1A 1CBA（1）求证：11AC CDB ∥平面； （2）求三棱锥1B CDB -的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)4． 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理；(2)依据题设运用体积转换法进行探求． 试题解析：（1）设11BC B C O = ，连接OD ，由直三棱柱性质可知，侧面11BCC B 为矩形， ∴O 为1BC 中点， 又∵D 为AB 中点， ∴在1ABC △中，1OD AC ∥，又∵1OD CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， ∴11AC CDB ∥平面．（2）由题 5 3 4AB AC BC ===，，，∴222CA CB AB +=，即CA CB ⊥， 又由直三棱柱可知，侧棱1AA ABC ⊥底面，∴111111134443322B CDB B CDB BCD V V S BB --⎛⎫==⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭△．考点：线面平行的判定定理及三棱锥的等积转换法等有关知识的综合运用．18．（12分）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =（11x -≤≤）是奇函数．又已知()y f x =在[]0,1上是一次函数，在[]1,4上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．（1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求()y f x =，[]1,4x ∈的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）2()2(2)5f x x =--（14x ≤≤）．【解析】试题分析：（1）先根据条件求出(4)f ，(1)f ，即得(1)(4)f f +；（2）采用待定系数法设出二次函数解析式即可．考点：1、函数的性质；2、函数解析式．19．（12分）已知函数()()()()()log 1,2log 2,0a a f x x g x x t t R a =+=+∈>且1a ≠.(Ⅰ) 若1是关于x 的方程()()0f x g x -=的一个解，求t 的值；(Ⅱ) 当01a <<且1t =-时，解不等式()()f x g x ≤；(Ⅲ)若函数()()221f x F x a tx t =+-+在区间（-1,2]上有零点，求t 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2t =- (Ⅱ) 15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭(Ⅲ) 2t ≤-或t ≥【解析】试题解析：（Ⅰ）∵若1是关于x 的方程()()0f x g x -=的解，()()22log 2log 2,22a a t t =+∴+=∴，又2202t t t +=-∴∴>=+ ，.(Ⅱ) 1t =- 时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又()224501214,,015210201x x x x x x x a ⎧-≤⎧+≥-⎪⎪∴∴≤≤⎨⎨>->⎪⎪⎩<⎩<∴ ，，∴解集为：15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭； （Ⅲ）若0t =，则()0F x =在]1,2-（上没有零点.下面就0t ≠时分三种情况讨论：方程()0F x =在]1,2-（上有重根12x x =，则0=，解得t =；① ()0F x =在]1,2-（上只有一个零点，且不是方程的重根，则有120FF -<（）（），解得21t t <-> 或，又经检验：21t t =-=或时，()0F x =在]1,2-（上都有零点，21t t ∴≤-≥或.②;()0F x =在]1,2-（上有两个相异实根，则有：()()0011221020t t F F ⎧>⎪∆>⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪->⎪>⎪⎩或()()0011221020t t F F ⎧>⎪∆>⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<⎪<⎪⎩1t <<，③;综合①②③可知t 的取值范围为2t ≤-或t ≥考点：函数的零点.不等式的解法【名师点睛】本题考查函数零点判定定理、对数不等式的解法，属中档题，解对数不等式要注意考虑对数函数定义域．分情况讨论时要注意分类标准，做到不重不漏.20．（12分）将12cm 长的细铁线截成三条长度分别为a 、b 、c 的线段，（1）求以a 、b 、c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值；学！科网（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。

高一1+3期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至必修第二册第六章前三节.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知向量()2,5OA =--，()6,3OB =-，()1,2OC m m =-，若AB O C∥，则实数m 的值为（）A.2B.12C.2- D.12-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，()4,8AB OB OA =-=- ，且()1,2OC m m =-，由AB O C ∥可得4812m m -=-，解得12m =.故选：B2.若cos 4t =，则tan 4=（）A.1t t- B.1t tC. D.【答案】A 【解析】【分析】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.【详解】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 40<，则sin 4=，故sin 4tan 4cos 4t==-.故选：A3.已知角θ的终边经过点3,−4，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tan β=（）A.17-B.7C.17D.7-【答案】B 【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角θ的终边经过点3,−4，则4tan 3θ-=将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则41πtan 13tan tan 7441tan 13θβθθ---⎛⎫=-=== ⎪+⎝⎭-.故选：B.4.水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（）A.8π3+B.4π3+C.8π3D.4π3+【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到2π3BDC ∠=，AB AC ==，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.【详解】取优弧BC 所在圆的圆心D ，连接AD ，,BD CD ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，则4,2AD BD CD ===，所以π6BAD CAD ∠=∠=，则2π3BDC ∠=，AB AC ===，故优弧BC 对应的圆心角为4π3，对应的扇形面积为2148π2π233⨯⨯=，而122ABD ACD S S ==⨯= ，所以该封闭图形的面积为88ππ33ABD ACD S S ++=+故选：C5.已知π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()πcos sin 3π23π5πcos sin 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.B.-C.36-D.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】()πcos sin 3πsin sin 2tan 3π5πsin cos cos sin 22ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可知15sin cos cos 222ααα-=，即sin 3cos 2αα=，则tan α=.故选：D.6.若直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，则（）A.函数()f x 的周期为πB.函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为,22⎡-⎢⎣⎦C.函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.将函数()f x 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，可以得到sin y x =的图象【答案】C 【解析】【分析】由已知，得()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出周期，判断A ；求出()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域，判断B ；求出()f x 的单调递增区间，判断C ；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D.【详解】因为直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，所以()2π03f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122b =-+，解得b =所以()πcos 2cos 3f x x x x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，则其周期为2π，故A 错误；当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos ,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2cos 23x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 错误；由[]()ππ+2π,2π3x k k k +∈-∈Z ，则()4ππ+2π,+2π33x k k k ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦Z ，则函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为()4ππ+2π,+2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()3π4πππ,+2π,+2π233k k k ⎛⎫⎡⎤⊆--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，所以函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；将函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，则得到1πππ2cos cos sin 2632y x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 错误.故选：C.7.已知ABC V 外接圆圆心为O ，G 为ABC V 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若72AB AC AO += ，则sin BOG ∠=（）A.72 B.378C.4D.78【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到23AG AD = ，47AO AD =，所以,,,A O G D 四点共线，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，求出各边长，所以3cos 4BOG ∠=，由同角三角函数关系得到答案.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则2AB AC AD +=，00GA GB GC GA GA AB GA AC ++=⇒++++= ，故()13GA AB AC =-+，3AB AC AG += ，则23AG AD = ，而72AB AC AO += ，所以()264777AO AB AC AG AD =+==，所以,,,A O G D 四点共线，又O 为ABC V 外接圆圆心，连接,OB OC ，则OB OC OA ==，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，则4,3AO BO OD ===，所以3cos cos 4OD BOG BOD OB ∠=∠==，故4s 7in BOG ∠==故选：C8.已知0ω>，π2ϕ<，函数()()2sin 1f x x ωϕ=++的图象如图所示，A ，C ，D 是()f x 的图象与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O ，B ，若在区间(),a b 上，()f x 有2027个零点，则b a -的最大值为（）A.1014πB.3040π3C.2022πD.3038π3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象得到π6ϕ=-和2ω=，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，数形结合得到当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，得到答案.【详解】将原点坐标代入得1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2sin 16f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，OB 的中点横坐标为π0π326-+=-，故1ππ66sin ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--，又对应的点为y 轴左侧第一个最低点，所以πππ662ω--=-，解得ππ63ω=，解得2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππ2π,Z 662k x k -=-+∈或11Z 2π7π2π,66k k x -=+∈，解得π,Z x k k =∈或112ππ,Z 3k x k =+∈，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，在(),a b 上，()f x 有2027个零点，要求b a -的最大值，则当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，故最大值为π21ππ3101401134401⨯+=⨯.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点()1,1M -，()3,2N -，与向量MN 方向相反的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角C.若向量()2,1a =- ，()6,2b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为2a- D.20a b a b a +=-=≠ ，则a b + 与a b - 的夹角为60°【答案】BC 【解析】【分析】对于A 选项，考单位向量，向量MN方向相反的单位向量为MN MN-；对于B 选项，先找出α为第四象限角，从而得到角2α为第二或第四象限角；对于C 选项，向量b 在向量a上的投影向量为cos a a b a b a aaθ⋅⋅=⋅；对于D 选项，由平行四边法则，作图求解即可.【详解】对于A ，()4,3,5MN MN =-= ，与向量MN方向相反的单位向量为43,55MN MN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误;对于B ，sin sin 0cos 0cos sin sin 0cos 0cos αααααααα⎧⋅>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪⋅<⎪⎩，故α为第四象限角，π2π2π,Z 2k k k α-+<<∈，πππ,42k k α-+<<故角2α为第二或第四象限角，故B 选项正确；对于C,向量b 在向量a上的投影向量为cos 2a a b a b a a aaθ⋅⋅=⋅=-，故C 选项正确；对于D ，如图，由平行四边形法则，20a b a b a +=-=≠，故a b ⊥且30ACO ︒∠=，60AOC ︒∠=,作//OE BA ,OE BA = ,故COE ∠即为a b + 与a b - 的夹角，且OCE △为等腰三角形，故120COE ︒∠=，故选项D 错误；故选：BC.10.已知π04βα<<<，且()3sin 10αβ-=，tan 4tan αβ=，则（）A.3sin cos 5αβ= B.1sin cos 10βα=C.4sin 2sin 225αβ=D.π6αβ+=【答案】BCD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式以及商数关系求解出sin cos ,sin cos αββα的值，可判断AB 选项；根据二倍角的正弦公式可求解出sin 2sin 2αβ的值，由此可判断C 选项；逆用两角和的正弦公式求解出()sin αβ+的值，结合角的范围可求αβ+的值，由此可判断D 选项.【详解】因为()3sin 10tan 4tan αβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以3sin cos sin cos 10sin 4sin cos cos αββααβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3sin cos sin cos 10sin cos 4sin cos αββααββα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2sin cos 51sin cos 10αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故A 错误，B 正确；又因为()()()()214sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4sin cos sin cos 451025αβααββαββα===⨯⨯=，故C 正确；因为()211sin cos sin cos sin 5102αββααβ+=+=+=，且π04βα<<<，所以()π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，故D 正确；故选：BCD.11.已知点O 是ABC V 内的一点，则以下说法正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，ABC S ，BOC S 分别表示ABC V ，BOC 的面积，则:3:1ABC BOC S S =△△B.若()sin sin AB AC AO AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R ，则动点O 的轨迹一定通过ABC V 的重心C.若0AB CA BA CB BC CA OA OB OC AB CA BA CBBC CA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅+=⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC V 的垂心D.若E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且2AC BG ==，0PA PC ⋅= ，则PE PF ⋅的最大值为154【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，得到2OH OF -=，从而得到所以13OF AB =，即可判断；B 选项，作出辅助线，得到2AO AF AE λ=，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心；C 选项，作出辅助线，得到AB CA MN AB CA +=，故OA ⊥MN ，并得到O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上.D 根据0PA PC ⋅=得到点P 的轨迹，将,PE PF 转化为11,22BO GA BO GA +-uu u r uu r uu u r uu r ，然后求数量积，根据点P 的轨迹求最值.【详解】对于A ：如图，,F H 分别为,BC AC 的中点，()23020OA OB OC OA OC OB OC ++=⇒+++= ，则420OH OF += ，故2OH OF -= ，所以2133OF HF AB ==，故:1:3BOC ABC S S = ，A正确；对于B ：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，取BC 的中点F ，连接AF ，则sin AB B AE = ，sin AC C AE =，则()2sin sin AB AC AB AC AO AB AC AF AB B AC C AE AEAE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心，B 正确；对于C ：,AB CA AB CA分别表示,AB CA 方向上的单位向量,AN MA，故AB CA AN MA MN AB CA+=+=，0AB CA OA OA MN AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，故OA ⊥MN ，由三线合一可得，O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上，则点O 是ABC V 的内心，C 错误.D 选项，设BG 中点为O，因为0PA PC ⋅=，所以点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，结合上图，()()PE PF BE BP BF BP⋅=-⋅-1122BA BP BC BP ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222BG GA BP BG GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122BO GA BP BO GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122PO GA PO GA ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214PO GA =- 214PO =- ，当PO 为直径时PE PF ⋅ 最大，最大为154，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．）12.已知α，β都为锐角，5cos 13α=，()3sin 5αβ-=，则cos β=______．【答案】5665【解析】【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系分别得到sin α，()cos αβ-，再由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，结合和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为α，β都为锐角，所以ππ22αβ-<-<，由5cos 13α=可得12sin 13α==，由()3sin 5αβ-=可得()4cos 5αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=.故答案为：566513.在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，BM BC λ= ，2CN NA =，若6AM BN ⋅=- ，则实数λ的值为______．【答案】1-【解析】【分析】用AB 、AC作为一组基地表示出AM 、BN ，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为BM BC λ=，所以()()1AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，又2CN NA =，所以13AN AC = ，则13BN AN AB AC AB =-=- ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，所以12332AC AB ⋅=⨯⨯= ，所以()113AM BN AB AC AC AB λλ⎛⎫⎡⎤⋅=-+⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22111133AB AC AB AC AC ABλλλλ=--+-⋅+-⋅()()2114113333333λλλλλ=--+-⨯+⨯-=-，又6AM BN ⋅=-，即336λ-=-，解得1λ=-.故答案为：1-14.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=．若1BC =2sin cos 2222ααα--的值为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的定义可得43sin ,cos 55ββ=-=，进而由图可得π3αβ=+，利用二倍角公式即可化简求解45【详解】由于B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 在单位圆上，设OB 终边所对角为π,,02ββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由于1BC =，故π3BOC ∠=,43sin ,cos 55ββ=-=，所以π3αβ-=，故π3αβ=+，221sin cos 2cos 12sin cos 222222222αααααα⎛⎫--=--⨯ ⎪⎝⎭31ππππ4cos sin cos cos cos sin 2263625αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量()2cos ,1a θ=，()2sin ,1b θ=- ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a b ⊥，求角θ的大小；（2）若2a b b -=，求tan θ的值．【答案】（1）π12θ=或5π12θ=（2）1tan 3θ=【解析】【分析】（1）由a b ⊥ ，得0a b ⋅=，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出θ的值即可；（2）由题意解出24cos θ-2sinθcosθ3=，进而弦化切得出23tan θ2tan θ-10+=，再根据角的范围解出1tan 3θ=即可.【小问1详解】由a b ⊥ ，得0a b ⋅= ，所以4cos sin 10θθ-=，即1sin 22θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)θ∈，所以π26θ=或5π26θ=，解得π12θ=或5π12θ=.【小问2详解】由题得，224a b b -= ，化简得2223a a b b-⋅=即224cos 12(4sin θcos 1)3(4sin θ1)θθ+--=+，整理得24cos θ-2sinθcosθ3=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ≠，齐次化后得242tan θ3tan θ1-=+，即23tan θ2tan θ-10+=，即(3tanθ-1)(tanθ1)0+=，解得1tan θtan θ13==-或因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3θ=.16.如图，在ABC V 中，12AM AB = ，23CN CB = ．设AB a =，AC b = ．（1）用a，b 表示AN ，MN ；（2）若P 为ABC V 内部一点，且4199BP a b =-+．求证：M ，P ，N 三点共线．【答案】（1）AN = 1233b a + ，1136MN b a=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出1233AN b a =+ ，进而得到1136MN AN AM b a =-=+；（2）计算出11918MP b a =+，结合（1）可得3MN MP =，证明出结论.【小问1详解】由题可知，22(33AN AC CN AC CB AC AB AC =+=+=+- ）12123333AC AB b a =+=+，12111()33236MN AN AM b a a b a=-=+-=+ 【小问2详解】14111()299918MP MB BP a a b b a=+=+-+=+3MN MP =，且有公共点MM ∴，P ，N 三点共线.17.已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+- ；22sin 39cos 2139cos 21+- ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos3022︒=︒=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 3030cos304444+-=+-=（2）证明：()()22sincos 60cos 60αααα+--- 2211sin cos cos 2222αααααα⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题18.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：φx ω+0π2π3π22πxmπ3n5π6p()sin φA x ω+033-0（1）求出实数m ，n ，p 和函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图象.已知()g x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值；（3）在（2）的条件下，当θ取最小值时，若对ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()1g x a =-恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π5π13π,,121212m n p ===，π()3sin(26f x x =-（2）π4（3）(2,1]-【解析】【分析】（1）根据表中()f x 的最值可得3A =，根据5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可解得,ωϕ的值，从而得出解析式；（2）根据伸缩平移变换可得π()3sin(42)6g x x θ=--，结合5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，从而求得实数θ的最小值；（3）在（2）的条件下结合ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数的性质，数形结合即可得解.【小问1详解】由题意得5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π44T =，所以πππππ5π5ππ13π,,341234126412m n p =-==+==+=，故π5π13π,,121212m n p ===，根据表中已知数据，3,πA T ==，所以2ω=，ππ232ϕ∴⨯+=，所以π6ϕ=-，π()3sin(2)6f x x ∴=-.【小问2详解】π()3sin(2)6f x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得π()3sin(42)6g x x θ=--的图象，则5π4π2π,Z 126k k θ⨯--=∈，得3ππ,Z 42k k θ=-∈，所以当1k =时，此时θ最小值为π4.【小问3详解】当θ取最小值π4时，2π()3sin(4)3g x x =-，当ππ[,]66x ∈-时，2π4π4,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时2π()3sin(4)3,32g x x ⎡=-∈-⎢⎣⎦，()1g x a =- 恰有两个实数根，所以()g x 与1y a =-的图象有两个交点，结合图象可知310a -<-≤，即21a -<≤，(2,1]a ∴∈-.19.已知平面直角坐标系中，点s 0，点()0,B b （其中a ，b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 上靠近A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R，求λ的值；（2）如图所示，设点1P ，2P ，3P ，…，1n P -是线段AB 的n 等分点，其中*n ∈N ，2n ≥，①当2028n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ，b 的式子表示）；②当1a b ==，8n =时，求()()*1,1,,i i j OP OP OP i j n i j ⋅+≤≤-∈N 的最小值．（说明：可能用到的计算公式：()11232n n n +++++= ，*n ∈N ）．【答案】（1）23λ=（22220292a b +1516【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解；（2）①由特殊到一般，可得对满足条件的,m n ，m n OP OP OA OB +=+，即可化简求向量的模；②根据条件用,OA OB表示出向量(),i i j OP OP OP + ，再由数量积化简，转化为关于,i j 的式子，分类讨论求最值.【小问1详解】因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=- 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，则13AP AB = ，可得113λ-=-，所以23λ=.【小问2详解】①由题意得，12027120282028OP OA OB =+，22026220282028OP OA OB =+ ，20271202720282028OP OA OB =+ ，所以12027OP OP OA OB +=+ ，事实上，对任意正整数,m n ，且2028m n +=时，202820282028m m m OP OA OB -=+ ，202820282028n n n OP OA OB -=+ ，有m n OP OP OA OB +=+ ，所以1220272029()2OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+，所以12202720292OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+= .②当1a b ==，8n =时，888i i i OP OA OB -=+ ，888j j j OP OA OB -=+，∴16()88i j i j i j OP OP OA OB -+++=+，∴816()()()[]8888i i j i i i j i j OP OP OP OA OB OA OB --++⋅+=+⋅+2(8)[16()]()(4)1264646432i i j i i j i j i i --++-+-+=+=令2(4)1264()32i j i i M j -+-+=，当1i =，2，3时，22(4)71264536()(7)3232i i i i i M j m -⨯+-+-+≥==当2i =或3时，上式有最小值为1516当4i =时，2412464()132M j -⨯+==当5i =，6，7时，21160()(1)32i i M j M -+≥=，当5i =或6时，上式有最小值为1516综上，()i i j OP OP OP ⋅+ 的最小值为1516.【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高.。