高中数学 3.3一元二次不等式(组)与简单线性规划问题教学案 新人教版必修5

简单的线性规划问题课题：简单的线性规划问题二、教学分析：【环节一：分析引例，形成概念，规范解答】【设计思路】本环节的教学设计意在实现：①选择应用型问题引入课题，体现新课程中突出数学应用意识的理念；②承上启下，复习旧知，引入新知。

通过引例既帮助学生复习如何从实际问题中抽象出约束条件并用平面区域表示，又通过添加优化问题转入新知识的学习；③引例向学生展现了线性规划应用问题的第一种类型题：在人力、物力、资金等资源一定的情况下，如何合理规划才能完成最多的任务，即该例属于目标函数求最大值的情况，同时引例展现的可行域属于为有界区域；④避开课本中一次性给出若干概念的做法，采用在分析题目的同时逐步给出各个相应的概念的方法，力求符合学生的认知规律，循序渐进，一步步的深化问题；⑤发挥多媒体的直观、动态功能，向学生动态演示求解线性规划问题的图解方法，让学生感受动态几何的魅力，激发学习兴趣。

【引例】某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8 h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？解：设甲、乙两种产品的日生产分别为,x y 件时，工厂获得的利润为z 万元，则,x y 满足约束条件为28416412,0x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩, 作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数为23z x y =+，可变形为233z y x =-+，如图，作直线0:230l x y +=，当直线0l 平移经过可行域时，在点M 处达到y 轴上截距3z 的最大值，即此时z 有最大值.解方程组4280x x y =⎧⎨+-=⎩，得点(4,2)M ，max 2314z x y ∴=+= 当每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂获利最大为14万元。

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第2课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】1.课题导入[复习引入]二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习11、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

2.讲授新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的学段 班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++⨯+⨯≤B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=063xy即 240x y +≤ 另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥ 把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。

《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》导学案教学目的：1、了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念．2．掌握简单的二元线性规划问题的解法．教学重点： 二元线性规划问题的解法 教学难点： 二元线性规划问题的解法教学过程：一、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域 2．线性规划的有关概念二、课前热身1．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．113． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，2x －y ≤0，若y ≥k (x ＋2)恒成立，则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23 B ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 D ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞4． 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．5． 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．三、考点剖析：1、考点一： 二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、 (1)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0y ≥a，的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0(2)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≤0，2≤y ≤3的点(x ，y )构成的区域的面积为________．规律方法：随堂练： 1.(1) 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为( )A ．2 5B ．13C ．3D ． 5(2)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≥0，kx －y －2k ＋1≥0的点P (x ，y )构成三角形区域，则实数k 的取值范围是________．2、考点二：求目标函数的最值(范围)例2、(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1 (2))已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是________．规律方法 :．常见的目标函数：①形如z ＝ax ＋by 的截距型．②形如z ＝y －ax －b的斜率型．③形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2的距离型．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．随堂练：2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8(2) 点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x －y －1≤0，x ＋y ＋1≥0表示的平面区域上一点，则x ＋2y 的取值范围为( )A ．[－5，5]B ．[－2，5]C ．[－1，2]D ．[－2，2]3、考点三 ：线性规划的应用例3、当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．随堂练： 3.(1) 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，ax ＋by ＋c ≤0，且2x ＋y 的取值范围是[1，7]，则a ＋b ＋ca＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 (2) 点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx－1的最大距离为22，则k ＝________.四、课堂小结：画思维导图 五、当堂落实：1．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )2． 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )A ．－14B ．－15C ．－16D ．－173．点(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x ≤a ，若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．34、实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ≤0，当a >0，b >0时，z ＝ax ＋by 的最大值为12，则1a ＋1b的最小值为( )A.14 B ．12 C ．1 D ．25.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．6．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝yx，求z 的最小值．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

简单线性规划问题冷静讲课本节课先由师生共同剖析平时生活中的实质问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集能够表示为直角坐标平面上的地区引出问题：在直角坐标系内，怎样用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的地区求解问题？再从一个详细的二元一次不等式（组）下手，来研究一元二次不等式表示的地区及确立的方法，作出其平面区域，并经过直线方程的知识得出最值. 经过详细例题的剖析和求解，在这些例题中设置思虑项，让学生研究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的地区的观点，有益于二元一次不等式（组）与平面地区的知识的稳固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新纲领》对数学知识应用的重视. 线性规划是利用数学为工具，来研究必定的人、财、物、时、空等资源在必定条件下，怎样精打细算巧安排，用最少的资源，获得最大的经济效益. 它是数学规划中理论较完好、方法较成熟、应用较宽泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等很多方面的实质问题. 中学所学的线性规划不过规划论中的极小一部分，但这部分内容表现了数学的工具性、应用性，同时也浸透了化归、数形联合的数学思想，为学生此后解决实质问题供给了一种重要的解题方法——数学建模法. 经过这部分内容的学习，可使学生进一步认识数学在解决实质问题中的应用，培育学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 .依照课程标准及教材剖析，二元一次不等式表示平面地区以及线性规划的有关观点比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透辟理解，再加上学生对代数问题等价转变为几何问题以及数学建模方法解决实质问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为认识层次.本节内容浸透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教课的好教材，也是培育学生察看、作图等能力的好教材.本节内容与实质问题联系密切，有益于培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实质问题的能力 .教课要点要点是二元一次不等式（组）表示平面的地区.教课难点难点是把实质问题转变为线性规划问题，并给出解答. 解决难点的要点是依据实质问题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，利用图解法求得最优解. 为突出要点，本节教课应指导学生牢牢抓住化归、数形联合的数学思想方法将实质问题数学化、代数问题几何化.三维目标一、知识与技术1.掌握线性规划的意义以及拘束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本观点;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实质问题.二、过程与方法1.培育学生察看、联想以及作图的能力，浸透会合、化归、数形联合的数学思想，提升学生“建模”和解决实质问题的能力;2. 联合教课内容，培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、感情态度与价值观1.经过本节教课侧重培育学生掌握“数形联合”的数学思想，只管重视于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培育学生察看、联想、猜想、概括等数学能力;2. 联合教课内容，培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教课过程第 1课时导入新课师前方我们学习了二元一次不等式x+ y+ ＞ 0 在平面直角坐标系中的平面地区确实定方法，A B C请同学们回想一下 .（生回答）推动新课［合作研究］师在现实生产、生活中，常常会碰到资源利用、人力分配、生产安排等问题.比如，某工厂用 A、 B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A产品耗时 1小时，每生产一件乙产品使用4个 B 产品耗时 2 小时，该厂每日最多可从配件厂获取16个A配件和 12 个B配件，按每日工作8 小时计算，该厂全部可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、 y 件，应怎样列式？x 2 y 8,4x16,生由已知条件可得二元一次不等式组： 4 y12,x0,y0.生 （板演）师 比较课本 98 页图 3.39 ，图中暗影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产安排，即当点P （ x,y ）在上述平面地区中时，所安排的生产任务x 、 y 才存心义 .进一步，若生产一件甲产品赢利2 万元，生产一件乙产品赢利3万元，采纳哪一种生产安排收益最大？设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获取收益为z ，则怎样表示它们的关系？生 则 z=2x+3y.师 这样，上述问题就转变为：当x 、 y 知足上述不等式组并且为非负整数时， z 的最大值是多少？［教师精讲］师 把 z=2x+3y 变形为 y2x 1z ,这是斜率为2，在 y轴上的截距为1z 的直线 . 当 z 变3333化时能够获取什么样的图形？在上图中表示出来 .生 当 z 变化时能够获取一组相互平行的直线. （板演）师 因为这些直线的 斜率是确立的，所以只需给定一个点〔比如（ 1， 2）〕，就能确立一条直线y2 x1z ，这说明，截距 z3 能够由平面内的一个点的坐标独一确立 . 能够看到直线3 3y 2x1 z与表示不等式组的地区的交点坐标知足不等式组，并且当截距z最大时，z 取333最大值，所以，问题转变为当直线y2x 1z 与不等式组确立的地区有公共点时，能够在3 3地区内找一个点P ，使直线经过 P 时截距z 最大.3由图能够看出，当直线y2x 1 z 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M （ 4， 2）时，截33距 z最大，最大值为14. 此时2x+3y=14. 所以，每日生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可33获取最大收益 14万元.［知识拓展］再看下边的问题：分别作出x=1 ， x-4y+3=0 ， 3x+5y-25=0 三条直线，先找出不等式组所表示的平面地区（即三直线所围成的关闭地区）, 再作直线 l 0:2x+y=0.而后，作一组与直线l 0 平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行挪动直线l 0 ），从而察看 t 值的变化： t=2x+y ∈［ 3,12 ］ .x 4 y3,若设 t=2x+y ，式中变量x、 y 知足以下条件3x5y25, 求t的最大值和最小值.x 1.剖析：从变量x 、 y 所知足的条件来看，变量x 、 y 所知足的每个不等式都表示一个平面地区，不ABC.等式组则表示这些平面地区的公共地区作一组与直线l 0平行的直线： l:2x+y=t,t∈R（或平行挪动直线l 0），从而察看t值的变化：t=2x+y ∈［ 3,12 ］ .(1)从图上可看出，点（0， 0）不在以上公共地区内，当x=0， y=0 时， t=2x+y=0. 点（ 0， 0）在直线l 0： 2x+y=0 上 . 作一组与直线l 0平行的直线（或平行挪动直线l 0)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l 在 l 0的右上方时，直线l 上的点（ x,y) 知足 2x+y ＞ 0, 即 t ＞ 0.并且，直线l 往右平移时，t 随之增大（指引学生一同察看此规律）.在经过不等式组所表示的公共地区内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l 2所对应的t最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t最小.所以t max=2×5+2=12,t min=2×1+3=3.(2)(3)［合作研究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、 y 的拘束条件，因为这组拘束条件都是对于x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性拘束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所波及的变量x、 y 的分析式，我们把它称为目标函数. 因为 t=2x+y 又是对于x 、 y 的一次分析式，所以又可叫做线性目标函数.此外注意：线性拘束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 例如：我们方才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性拘束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 .那么，知足线性拘束条件的解（x,y)叫做可行解，由全部可行解构成的会合叫做可行域. 在上述问题中，可行域就是暗影部分表示的三角形地区. 此中可行解（ 5， 2）和（ 1， 1）分别使目标函数获得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）.2.设 t=0 ，画出直线 l 0.3.察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 .4.最后求得目标函数的最大值及最小值.部署作业1.某工厂用两种不一样原料均可生产同一产品，若采纳甲种原料，每吨成本 1 000 元，运费 500元，可得产品 90 千克；若采纳乙种原料，每吨成本为1500 元，运费400 元，可得产品100 千克，假如每个月原料的总成本不超出 6 000 元，运费不超出 2 000 元，那么此工厂每个月最多可生产多少千克产品？剖析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）花费限额成本 1 000 1 500 6 000运费500400 2 000产品90100解：设此工厂每个月甲、乙两种原料各x 吨、 y 吨，生产 z 千克产品，则x0,y0,1000 x1500 y6000,500x400 y2000,z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面地区，即可行域，如右图：2x3y12,x12 ,得7由4y20.205xy.7令 90x+100y=t ，作直线 :90x+100y=0 ，即 9x+10y=0 的平行线 90x+100y=t ，当 90x+100y=t 过点 M（12,20）时，直线 90x+100y=t 中的截距最大 .7 7由此得出 t 的值也最大， z max =90×12+100×20=440.77答：工厂每个月生产 440 千克产品 .2. 某工厂家具车间造、B 型两类桌子，每张桌子需木匠和漆工两道工序达成. 已知木匠做一张A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张、型桌子分别需要 3 小时和 1 小时；又A A B知木匠、漆工每日工作分别不得超出8 小时和9 小时，而工厂造一张、B 型桌子分别获收益 2A千元和 3 千元，试问工厂每日应生产A、 B型桌子各多少张，才能获取收益最大？解：设每日生产 A 型桌子x张， B 型桌子y张，x 2 y8,则 3x y9,x0, y0.目标函数为 z=2x+3y.作出可行域：把直线 l ： 2x+3y=0 向右上方平移至l ′的地点时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y 获得最大值 .x 2 y 8,解方程y得 M 的坐标为（ 2， 3） .3x 9,答：每日应生产 A 型桌子 2 张， B 型桌子 3 张才能获取最大收益 .3. 课本 106页习题 3.3A 组 2.第 2课时导入新课师 前方我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师 同学们回想一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（ 1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）;（2）设 t=0 ，画出直线 l 0 ;(3) 察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 ;(4) 最后求得目标函数的最大值及最小值. 推动新课2x y 300, x 2 y 250, 师 【例 1】 已知 x 、 y 知足不等式组0, 试求 z=300x+900y 的最大值时的整点的坐xy 0,标及相应的 z 的最大值 .师 剖析：先画出平面地区，而后在平面地区内找寻使 z=300x+900y 取最大值时的整点 .解：以下图平面地区A O BC ，点 A （ 0， 125 ），点B （ 150 ，0），点C 的坐标由方程组2x y 300 x 350 ,3 x2 y 250y 200 ,3得 C （350 ,200），3 3令 t=300x+900y ， 即y1 x t , ,3 900欲求 z=300x+900y 的最大值，即转变为求截距 t900 的最大值，从而可求 t 的最大值，因直线1 xt与直线 y1x 平行，故作 y 1 A （ 0， 125）时，对y9003 x 的平行线，当过点33应的直线的截距最大，所以此时整点A 使 z 取最大值， z ma x =300×0+900×125=112 500.师 【例 2】 求 z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、 y 知足拘束条件 3x+y ≤300，x+2y ≤250，x ≥0,y ≥0 的整数值 .师 剖析：画出拘束条件表示的平面地区即可行域再解 .解：可行域以下图.四边形 A O BC ，易求点 A （0， 126 ）， B （ 100 ， 0） , 由方程组3x y 300 x 69 3,5 x 2 y252y911.5得点 C 的坐标为（693, 911).5 5因题设条件要求整点（x,y) 使 z=600x+300y 取最大值，将点（69 ， 91 ），（ 70 ， 90 ）代入z=600x+300y ，可知当 x=70, y=90 时， z 取最大值为 z m x =600×70+300×900=69 000.ax 2y 2,师 【例 3】 已知 x 、 y 知足不等式 2xy 1, 求 z=3x+y 的最小值 .x0, y0,师剖析：可先找出可行域，平行挪动直线l 0:3x+y=0找出可行解，从而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥ 2 表示直线x+2y=2 上及其右上方的点的会合；不等式 2x+y≥1表示直线2x+y=1 上及其右上方的点的会合.可行域如右图所示.作直线 l 0:3x+y=0 ，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).∵x、 y 是上边不等式组表示的地区内的点的坐标.由图可知：当直线 l:3x+y=t经过P（0，1）时，t取到最小值1，即 z min =1.师评论：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解，不论此类题目是以什么实质问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师讲堂练习：请同学们经过达成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.y x,（1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的x 、 y 知足拘束条件x y1,y 1.5x 3 y15,（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x、 y 知足拘束条件y x 1,x5y 3.［教师精讲］y x,师（ 1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的x、 y 知足拘束条件x y1,y 1.解：不等式组表示的平面地区如右图所示：当 x=0,y=0 时， z=2x+y=0 ，点（ 0， 0）在直线 l 0:2x+y=0 上 .作一组与直线 l 0 平行的直线 l:2x+y=t,t∈R.可知在经过不等式组所表示的公共地区内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （ 2， -1 ）的直线所对应的 t 最大 .所以 z max =2×2-1=3.5x3 y 15, （2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、 y 知足拘束条件yx1,x 5y3.解：不等式组所表示的平面地区如右图所示.从图示可知直线 3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共地区内的点时，以经过点（-2 ， -1 ）的直线所对应的 t 最小，以经过点（9 , 17）的直线所对应的 t 最大 .8 8所以 z min =3×(-2)+ ５×(-1)=-11,zmax=3×9+5×17=14.88［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品 . 已知生产甲种产品 1 t ，需耗 A 种矿石 10 t 、 B 种矿石 5 t 、煤 4 t ；生产乙种产品需耗 A 种矿石 4 t 、 B 种矿石 4 t 、煤 9 t. 每 1 t 甲种产品的收益是600 元，每 1 t乙种产品的收益是1 000 元 . 工厂在生产这两种产品的计划中要求耗费A 种矿石不超出 360 t 、 B种矿石不超出 200 t 、煤不超出 300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精准到0.1 t），能使收益总数达到最大？师 剖析：将已知数据列成下表：耗费量 产品 甲产品（ 1乙产品 (1资源限额（ t ）资源t ） t)A 种矿石（ t ） 10 4 300B 种矿石 (t)5 4 200 煤 (t) 收益（元）4 9 3606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t 、 y t ，收益总数为 z 元，10 x 4 y 300, 5x 4 y 200,那么4 x 9 y 360,x 0, y 0;目标函数为 z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面地区，即可行域.作直线 l:600x+1 000y=0,即直线 :3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至l 1 的地点时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值 .5x 4 y 200,解方程组9 y 360,4x得 M 的坐标为 x=360≈12.4,y=1000≈34.4.2929答：应生产甲产品约 12.4 t ，乙产品 34.4 t ，能使收益总数达到最大.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）.（2）设 t=0 ，画出直线 l 0 .（3）察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 .（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义部署作业课本第 105 页习题 3.3A 组 3、 4.第 3课时导入新课师前方我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤 . 这节课我们持续来看它们的实质应用问题.推动新课师【例 5】营养学家指出，成人优秀的平时饮食应当起码供给0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质， 0.06 kg 的脂肪 .1 kg 食品A含有 0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质， 0.14 kg脂肪，花销28 元；而1kg 食品B含有 0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花销 21 元 . 为了知足营养学家指出的平时饮食要求，同时使花销最低，需要同时食用食品A和食物 B 各多少克？师剖析：将已知数据列成下表：食品 /kg碳水化合物 /k g蛋白质 /kg脂肪 /kg A0.1050.070.14B0.1050.140.07若设每日食用 x kg食品 A，y kg食品 B，总成本为z，怎样列式？生由题设条件列出拘束条件其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于0.105x 0.105y 0.075, 0.07x 0.14y 0.06,0.14x 0.07y 0.06,①x0,y0,7 x7 y5,7 x14y6,14 x7 y②6,x0,y 0.师作出二元一次不等式组②所表示的平面地区，即可行域. 请同学们在底稿纸上达成，再与课本上的比较 .生考虑z=28x+21y, 将它变形为y 4 xz, 这是斜率为－4、随 z 变化的一族平行直线. zz3283是直线在 y 轴上的截距，当获得最小值时，z 的值最小 . 自然直线与可行域订交，即2828在知足拘束条件时目标函数z=28x+21y获得最小值 .由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时，截距z28 最小，即z 最小 .7x7 y5,1 ,4) ，所以，当x1, y4时， z=28x+21y 取最小值，最解方程组7y 得点 M(14x67777小值为 16.由此可知每日食用食品 A 约143克，食品 B约571克，能够知足平时饮食要求，又使花销最低，最低成本为 16元 .师【例 6】在上一节课本的例题（课本95 页例 3）中，若依占有关部门的规定，初中每人每年每年收取的学费总数最多？学段班级学生数装备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人师由前方内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总数为z 万元 ,此时，目标函数z=0.16 ×45x+0.27 ×40y, 可行域以以下图把 z=7.2x+10.8y 变形为y2x5z，获取斜率为 - －2，在 y 轴上截距为5z，随 z 变化的354354一组平行直线 .由图能够看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距5z最大，即 z 最大 . 54x y30,得点 M（ 20,10 ），所以，当 x=20,y=10时， z=7.2x+10.8y取最大值，最解方程组2 y40x大值为 252.由此可知开设20 个初中班和10 个高中班时，每年收取的学费总数最多，为252万元 .师【例 7】在上一节例 4 中（课本96 页例 4），若生产 1 车皮甲种肥料，产生的收益为10 000元，若生产 1车皮乙种肥料，产生的收益为 5 000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的收益？生若设生产 x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的收益z 万元 . 目标函数z=x+0.5y,可行域以以下图：把 z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,获取斜率为-2，在y轴上截距为2z, 随 z 变化的一组平行直线 . 由图能够看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点 M 时，截距 2z 最大，即 z 最大 .18x 15y 66,M(2,2), 所以当 x=2,y=2 时， z=x+0.5y取最大值，最大值为解方程组y 10得点 4x 3.因而可知，生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的收益，最大收益为3万元 .［教师精讲］师 以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（ 1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（ 1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）；（ 2）设 t=0 ，画出直线 l 0 ；（3 ）察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4 ）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（ 1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义.部署作业课本第 105 页习题 3.3 B组 1、 2、 3板书设计第 1课时简单线性规划问题图 1讲堂小结线性规划问题的有关观点图 2第 2课时简单线性规划问题例 1讲堂小结例 3例 2第 3课时简单线性规划问题例 5讲堂小结例 7例 6习题详解（课本第104 页练习）1.(1)目标函数为z=2x+y ，可行域以下图，作出直线y=-2x+z,可知z要取最大值，即直线经过点 C时，x y 1,解方程组得 C（2，-1），y1,所以 z max=2x+y=3.（ 2）目标函数为z=3x+5y, 可行域以下图，作出直线z=3x+5y, 可知直线经过点B时，z获得最大值 ; 直线经过点 A 时，z获得最小值.解方程组y x 1,y x1,和x 5y 35x 3 y15.可得点 A（-2，-1）和点 B（1.5,2.5）.所以 z max=17，z min =-11.2. 设每个月生产甲产品 x 件，生产乙产品y 件，每个月收入为z，目标函数为z=3x+2y ，需要知足的条件是x 2 y 400,2x y 500,x0,y 0,作直线 z=3x+2y ，当直线经过点 A 时，z获得最大值.解方程组x 2 y 400,2x y 500,可得点 A（200，100）,z的最大值为800.( 课本第 106 页习题 3.3)A组1.绘图求解二元一次不等式：（1）x+y≤2;(2)2x-y＞2;(3)y ≤ -2;(4) x ≥3.2.3. 解：设每周播放连续剧甲 x 次，播放乙连续剧y 次，目标函数z=60x+20y, 所以题目中包括的80x 40 y 320,x y 6, 80x 40y 320,限制条件为0,解方程组得（ 2， 4）. 所以 z 的最大值为 200xx y6y 0,（万） .4. 解：设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台，则生产冰箱 12-x-y 台，产值为 z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包括的限制条件为1 x 1 y1(120 xy) 40,3xy 120,2 3 4x y100,120 x y 20,即0,x 0,xy 0.y0,3x y 120,10 台，可行域如图，解方程组y得 M 点坐标为 （ 10， 90 ）. 所以每周应生产空调器x 100,彩电 90 台，冰箱20 台，才能使产值最高，最高产值是1050 千元.B 组1.2.3. 解：设甲粮库要向 A 镇运送大米x 吨、向 B 镇运送大米y 吨，总运费为 z ，则乙粮库要向 A 镇运送大米（ 70-x ）吨、向 B 镇运送大米（ 110-y ）吨，目标函数（总运费）为z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70 - x)+20 ×8×(110 -y)=60x+90y+30 200.所以题目中包括的限制条件为x y 100,(70 x) (110 y) 80,0 x 70, y 0.所以当 x=70,y=30 时，总运费最省 ,z min=37 100 （元），所以当 x=0,y=100 时，总运费最不合理,z max=39 200 （元） .使国家造成不应有的损失2 100 元.答：甲粮库要向 A 镇运送大米70 吨，向 B 镇运送大米30 吨，乙粮库要向A 镇运送大米0 吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元 . 最不合理的调运方案是甲粮库要向 A 镇运送大米 0 吨、向B镇运送大米 100 吨，乙粮库要向 A 镇运送大米70 吨、向B镇运送大米10 吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失 2 100元 .备课资料备用习题1. 某糖果厂生产、两种糖果，A 种糖果每箱获收益40 元，B种糖果每箱获收益 50 元，其生产A B过程分为混淆、烹饪、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需均匀时间：（单位：分钟）混淆烹饪包装A153B241每种糖果的生产过程中，混淆的设施至多能用12 小时，烹饪的设施至多只好用30 小时，包装的设施只好用15 小时，试求每种糖果各生产多少箱可获取最大收益？剖析：找拘束条件，成立目标函数.解：设生产 A 种糖果x 箱，B种糖果y 箱，可获取收益z 元，则此问题的数学模式在拘束条件x 2 y 720,5x 4y 1800,3x y 900,下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其界限O A： y=0，AB：x0,y 03x+y-900=0 ，BC： 5x+4y- 1 800=0，C D： x+2y-720=0 ， DO： x=0.由 z=40x+50y, 得y 4 x z，它表示斜率为4，截距为z50 的平行直线系，z550550越大，从而可知过 C 点时截距最大，z 获得了最大值 .越大， zx 2 y720解方程组C(120,300).5x 4 y1800∴z max=40×120+50×300=19 800, 即生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，可得最大收益19 800 元.评论：因为生产 A 种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果合计使用的混淆时间为120＋2×300＝ 720 （分），烹饪时间5×12 0＋4×300＝ 1 800 （分），包装时间3×120＋ 300 ＝660（分），这说明该计划已完好利用了混淆设施与烹饪设施的可用时间，但对包装设施却有240分钟的包装时间未加利用，这类“剩余”问题构成了该问题的“废弛”部分，有待于改良研究.2.甲、乙、丙三种食品的维生素A、 B含量及成本以下表：甲乙丙维生素（单位 /千600700400 A克）维生素（单位 /千800400500 B克）成本（元 / 千克）1194某食品营养研究所想用x 千克甲种食品，y 千克乙种食品，z 千克丙种食品配成100 千克的混淆食品，并使混淆食品起码含56 000 单位维生素A和 63 000单位维生素B.（1）用x、y表示混合食品成本 C；（2）确立x、y、z的值，使成本最低.剖析 : 找到线性拘束条件及目标函数，用平行线挪动法求最优解.解: （ 1）依题意 x 、 y、 z 知足 x+y+z=100z=100-x-y.∴ 成本=11x+9y+4z=7x+5y+400 （元） .C（2）依题意600x700y400z56000, 800x400y500z63000,∵z=100 -x-y,2x3y160,∴ 3x y130,x0, y0.作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立3xy130交点(50,20). 2x 3 y160A作直线 7x+5y+400= C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋ 400 ＝C＝850 元 .∴x=50 千克， z=30 千克时成本最低 .。

《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析新课标人教A版高中数学必修五§3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）教材利用生产安排的具体实例，介绍了简单的线性规划问题的图解法，引出线性规划的相关概念。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。

它已成为人们为合理利用有限资源制订最佳决策的有力工具。

简单（涉及两个变量）的线性规划通常用来解决两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。

这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了集合、化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法。

通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、学情分析数学知识方面：学生在学习了二元一次不等式、直线方程；理解了二元一次不等式（组）表示平面区域，并会画出平相应面区域；经历了从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的过程。

数学思想方面：通过前一节课的学习，学生已初步体会了集合、化归、数形结合的数学思想。

学生在问题的探索过程存在以下困难：（1）含两个变量的函数问题学生没有接触过，直接求最值对学生的思维要求跨度太大；（2）学生对动态直线系的理解有困难；（3）学生数学建模意识比较缺乏。

三、设计思路以实际问题为载体，以培养学生能力为目标，引导学生进行自主探究。

让学生通过阅读、分析、观察、对比、联想、等活动，掌握本节课的知识与技能；经历知识产生、发展的过程，增强分析、解决问题的能力，应用数学的意识；体会其中的数学思想。

四、学习目标1.了解线性规划的意义以及相关基本概念；了解线性规划问题的图解法；2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程；3.进一步体会集合、化归、数形结合的数学思想。

教学准备1. 教学目标1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。

3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。

2. 教学重点/难点重点：求二元一次不等式表示的平面区域。

难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。

3. 教学用具4. 标签教学过程一．复习导入：（设计意图：为下面学习作铺垫）2．今天学习3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域（写出课题）二．新课讲授：1．放映多媒体，出示实例问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分析：放映多媒体，出示下表学生填表（设计意图：帮助学生理清已知条件，为列不等式组做准备）（设计意图：消除学生错误认识）老师：引导学生回忆一元一次不等式的解法（放映多媒体）⑤老师用多媒体演示正确步骤（设计意图：通过学生探索，总结出画二元一次不等表示的平面区域的方法和步骤以及注意事项，有利于培养学生独立分析解决问题的能力）6．学生总结画二元一次不等表示的平面区域步骤：学生口答，老师板书1.画边界2.判断不等式表示的区域3.用阴影线表示所要区域三、课堂练习：教师利用多媒体出示题目：（设计意图：通过练习巩固所学内容）四．小结：①这节课学习了哪些知识和技能？②这节课学到了哪些研究问题的方法？学生思考，发表自己的意见，老师指导。

（设计意图：培养学生反思归纳能力）五．作业：①193页习题3.3第1题板书。

《简单的线性规划问题》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3节）《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。

（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。

三、教学重、难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。

二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。

【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。

解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。

（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。

解析：作出图形找整点即可。

（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。

解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。

解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。

（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。

解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。

例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。