中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年5月测试理科数学(一卷)答案

中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试文科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14P x x =-<<，{}2Q x x =<，则()R P Q ⋂=ð（ ） A ．[)2,4 B ．()1,-+∞ C ．[)2,+∞ D ．(]1,2- 2．已知复数z 满足4zi i=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4iB ．4C ．1D ．1-3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．124．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（ ） A ．2B ．3C ．5D ．65．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π66．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．RB ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（ ） A ．6B ．8C ．9D ．108．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．411．已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a +=，且()1cos 6A B -=，则cos C =（ ） A ．23B ．34C ．23或34- D ．不存在12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c++的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______． 15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=，则()2020f =______．16．已知ABC △中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标； （2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB CD ∥，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离．20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标；（2）求NAB △面积的最大值． 21．已知函数()()1ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数a ，b 满足：22a b +=． （1）求证：2821ca b b c +++≥+；（2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a++-≤+恒成立，求c 的取值范围．中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年5月测试文科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．14．1315．38+ 16．157三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题 17．解：（1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α= 根据题意可知点1P 的横坐标为πππ314cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．解：（1）由图可得[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250，可得人数分别为5，12，5， 所以身高在[)160,170内的共有18人， 所以180.04504010a ==⨯；（2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ． 19．解（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB CD ∥， 所以四边形OBCD 为平行四边形， 又因为AB BC ⊥，所以DO AB ⊥． 因为DO PO O ⋂=，所以AB ⊥平面POD ， 所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，PO =，2PD =，所以DO PO ⊥，又因为DO AB ⊥，所以DO ⊥平面PAB ． 由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以2h =． 20．解：设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-， 所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ． （2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ， 所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+，由22421x y y kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=， 所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-=|2k2＋2|又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积21S=+=≤=当213k=时，NAB△的面积取到最大值9．21．解：（1）因为()()1lnf x x x=+，所以()1lnxf x xx+'=+，所以()12f'=，又因为()10f=，所以()f x在1x=处的切线方程22y x=-；（2）证明：当2k>时，函数()y f x=的图象与直线l交点的个数等价于函数()()1ln1k xh x xx-=-+的零点个数，因为()()()()222121211x kxkh xx x x x+-'=-=++，()0,x∈+∞，设()()2221g x x k x=+-+，因为二次函数()g x在x∈R时，()010g=>，()1420g k=-<，所以存在()10,1x∈，()21,x∈+∞，使得()10g x=，()20g x=，所以()h x在()10,x单调递增，()12,x x单调递减，()2,x+∞单调递增．因为()10h=，所以()()110h x h>=，()()210h x h<=，因此()h x在()12,x x存在一个零点1x=；又因为当kx e-=，()()()1211k kkk kk e k eh e ke e-------=--=<++，所以()h x在()1,k e x-存在一个零点；当kx e=时，()()1211kkk kk eh e k ke e-⎛⎫=-=>⎪++⎝⎭，所以()h x在()2,kx e存在一个零点；所以，函数()y f x=的图象与直线l：()1y k x=-有3个交点．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：（1）曲线C 的方程可化为2212x y +=； （2）设直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入椭圆C 方程得()221sin 2cos 10t t αα+--=，所以1222cos 1sin t t αα+=+，12211sin t t α-=+，故12PQ t t =-=， 又因为4cos AB α=，2=cos AF BF α-，所以244cos cos αα= 当cos 0α≥时，2cos 20αα+-=，解得cos 2α=， 当cos 0α<时，2cos20αα--=，解得cos 2α=，所以cos 2α=2．∴曲线2C的直角坐标方程为20x -+=或100x -=．23．[选修4-5：不等式选讲]（1）解：（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=， 若0c ≤，不等式显然成立;． 若0c >，则288411c c c c=≤=++， 所以2821ca b b c +++≥+， 当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号； 综上2821ca b b c +++≥+．（2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥， 所以114c c ++-≤，解得22c -≤≤．。

中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 5 月测试文科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D B C D C A B A D二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 2 214. 1315.3 7 8 16. 157三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．17． 解：（1）因为点 P 3 4 , 0 5 5 ，根据三角函数的定义可得 sin ……………2 分 sin ……………2 分 4 ， cos 35 5根据题意可知点 P 的横坐标为 1 ππ π 3 1 4 3 3 4 3 coscos cos sinsin3 3 3 5 2 5 2 10…………6 分 （2）根据题意可知点 P 的横坐标为 cos cos 2020π 4 42020π 44 2020 3 3 54 cos所以 3 5……………8 分π又因为 0, 5π 3，所以 , ，所以sin ……………10 分2 3 3 6 3 5第1页共5 页2πππ24sin 2 2 s in cos所以3 3 3 25……………12 分18．解：（1）由图可得[150,160)，[170,180)，[180,190]三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250，可得人数分别为5，12 ，5，………………5 分所以身高在[160,170)内的共有18人，………………6 分所以18a40100.450；………………8 分1（2）这40 个学生平均身高的估计值为15551651817512 185 540169.25．………………12 分所以这40 个学生平均身高的估计值为169.25 cm．19．解（1）取AB的中点O，连接OP,OD，因为△PAB为边长为2 的等边三角形，所以P O AB，………………2 分因为B O CD 1，AB//CD，所以四边形OBCD为平行四边形，又因为AB BC，所以D O AB，………………4 分AD CBO因为DO，所以AB平面P OD，所以PD AB；………………6 分（2）设点D到平面PBC的距离为h，P (第19 题)因为B C DO 1，P O 3 ，PD 2，所以D O PO，又因为D O AB，所以D O平面P AB，………………8 分由V D PBC V P DBC可得，1 1 1 1h BC PB PO BC DC，3 2 3 2所以 3h ．………………12 分220．解：设点A x y ，B x y ，中点M t ,1，1, 1 2 , 2y N直线AB的斜率为k，（k斜率显然存在且不为0）．B由2x4y,1 1x4y,22 2可得x x x x y y ，1 2 1 2 4 1 2 O AMx第2页共5 页（第20 题）y y y所以x x 4 1 21 2x x1 2，故2t 4k，………………3 分1 1y 1 x t y 1 x2kk k（1）直线MN : ，即，解得点N 0, 3；………6 分（2）因为直线AB经过点M t ,1，直线AB的斜率为k，所以可得直线AB的方程是：y kx 2k 2 1，由2 4 ,x yy kx2k 1,2联立可得x 2 4kx 8k 2 4 0，x x 4k,1 2所以x x8k4,212，16k16 02所以AB 1k2 x x 1k2 16 16k2 ，………………8 分1 2又因为点N到直线AB的距离为d2k 221k2，………………10 分所以△NAB的面积S 4 1k k 1 2 2 2 2k 1k 1k2 2 2 2 232 2k2 1 k2 1 k2 16 62 2k 1 k 1 k16 6，2 23 9 当 k 2 1 时，△ NAB 的面积取到最大值16 6 39 ．………………12 分 21．解：（1）因为 f x x 1ln x ，所以 f x ln x x1，x 所以 f 1 2，………………2 分 又因为 f 1 0，所以 f x在 x 1处的切线方程 y 2x 2 ； …………4 分 （2）证明：当 k 2 时，函数 y f x 的图象与直线 l 交点的个数等价于函数 lnk x 1h x x 的零点个数， x12 12 k x 1 2kx因为 h x 因为x x x x 1 12 2 ， x 0,， ………………6 分设 g x x 2 2 2k x 1，第3页 共 5 页因为二次函数 g x在 x R 时， g 0 1 0， g 1 4 2k 0 ， 所以存在 x x ，使得 g x ， 10,1 , 2 1, 1 0 g x 2 0，…………8 分 所以 h x 在0, x 单调递增， x 单调递增．x x 单调递减， 1, 2 2,1 因为 h 1 0，所以 h x h， 1 1 0h xh ， ……………10 分 2 1 0 因此 h x 在x x 存在一个零点 x 1；1, 2e 1 2 ek k kk又因为当 x e k ，k h e k 0 e1 e 1k k 所以 h x 在 e k , x 存在一个零点； 1 e 12 kk 当 x e k 时，， h ekk 0 k e 1 e 1 k k所以 h x 在x存在一个零点； 2 ,e k， 所以，函数 y f x 的图象与直线l : y k x 1有 3个交点． …………12 分（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．作答时请写清题号．22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线C 的方程可化为 x2 2 y 21；（2）设直线l的参数方程为x 1t cos,y t sin（t为参数），代入椭圆C 方程得1sin t 2t cos 10 ，………………5 分2 22 cost t所以1 2 21 sin1t t，1 2 21sin，故2 2PQ t t1 2 21sin，………6 分又因为AB4，cos2AF BF，………………8分cos4 4 2 2所以 2 2cos cos 1sin，……………6 分当cos 0时，cos 2 2 2 cos 2 0 ，解得cos 2 2 ，当cos 0时，cos 2 2 2 cos 2 0，解得cos 2 2 ，第4页共5 页所以cos 2 2 或 2 2 ．曲线的直角坐标方程为x 3y 2 0或x 3y 10 0 ………………10 分C223．【选修4−5：不等式选讲】（1）解：（1）证明：因为a b b 2 a 2b 2 4 ，………………2 分若c 0 ，不等式显然成立；8c8 8若c 0，则4 ，………………4 分c c211 2 1c8c所以，……………5 分a b b 2c 12当a b b 20，且c 1取到等号；（2）因为8c综上．a b b 2c 121 2 a 2b a 2b a2b24，……………9 分b a2b a2b a所以c 1 c 1 4 ，解得2 c 2．……………10 分第5页共5 页。

2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学（文）试题（一卷）一、单选题1．已知集合{}{}14,2P x x Q x x =-<<=<，那么()R P C Q ⋂=（ ） A ．[)2,4B ．()1,-+∞C ．[)2,+∞D ．(]1,2- 【答案】A 【解析】{}2R C Q x x =≥，所以()[)2,4R P C Q ⋂=，选A.2．已知复数z 满足4z i i =-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4iB ．4C ．1D ．1- 【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】 由4z i i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．12 【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，3z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，作直线30x y +=，讲直线30x y +=平移，当过点(2,2)时，3x y +取得最大值 ()max 33228x y +=⨯+=故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，再利用5a b +=即可求出k 的值，进而求出a ，b 的值．【详解】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，235k k a b ∴+=+=， 1k ∴=，2a ∴=，3b =，∴236ab =⨯=故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．5．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r 且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π6【答案】B【解析】根据()a b b -⊥r r r 即可得出()0a b b -=r r r g ，从而得出·1a b =r r ，进而得出1cos ,2a b <>=r r ，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【详解】Q a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r∴()21a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r 设向量a r 与a b -r r 的夹角为θ∴()1cos 2a a b a a b θ⋅-==-r r r r r r ∵()0,θπ∈∴3πθ=故选：B ．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，属于中档题． 6．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C【解析】求()ln f x x x =的导数()f x '，由()0f x '>，即可求得答案．【详解】()ln 1f x x '=+Q ， 令()0f x '>得：ln 1x >-，11x e e-∴>=． ∴函数()ln f x x x =的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题．7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】D 【解析】当1n =时，可得1a ，当2n …时，1n n n a S S -=-，验证1n =时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n …时，221232(1)3(1)45n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-， 当1n =时，上式也适合，∴数列{}n a 的通项公式为：45n a n =-∴()454541010p q a a p q p q +=-+-=+-=故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和通项公式的关系，属中档题．8．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 1x y +≤且1x y -≤等价于1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 1x y +≤等价于()()()()10,010,010,010,0x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+≤≥≥⎪-≤≥≤⎪⎨-+≤≤≥⎪⎪--≤≤≤⎩作出两个不等式组对应的平面区域都是以()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-为顶点的正方形∴“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求函数的导数，判断()0f '的正负情况，即可得出答案.【详解】∵()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴()1cos f x a ax a ⎛⎫'=+⎪⎝⎭ ∴()10cos f a a'=， 观察各选项的图象，判断()0f '的正负情况，得：观察A 选项的图象，得()10sin 0f a=>，34T <<，故234a π<< ∴223a ππ<<，3122a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故A 选项的图象不符合观察B 选项的图象，得()10sin 0f a=>，67T <<，故267a π<< ∴273a ππ<<，3172a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故B 选项的图象符合观察C 选项的图象，得()10sin 0f a=>，69T <<，故269a π<< ∴293a ππ<<，3192a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故C 选项的图象符合观察D 选项的图象，得()10sin 0f a=>，24T <<，故224a π<< ∴2a ππ<<，112a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故D 选项的图象符合故选：A.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，利用导数判断函数的性质，属于中档题．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】2=的几何意义知图像是双曲线，化简得2213y x -=，故题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数，联立方程组求解即可.【详解】设()12,0F -，()22,0F ，(),P x y2=等价于212PF PF -=∴动点P 的轨迹是以()12,0F -，()22,0F 为焦点，以2为实轴长的双曲线∴2c =，1a =，b =∴双曲线的标准方差为2213y x -= ∴题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数 联立22131y x y⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，求解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∵方程组只有一组解，故直线1y =+与双曲线2213y x -=只有一个交点 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线和直线的位置关系，根据定义判断得到曲线为双曲线是解题的关键.11．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a+=，且()1cos 6A B -=，则cos C =（ ） A ．23 B ．34 C ．23或34- D ．不存在【解析】由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得222sin sin 2sin A B C +=，再利用降幂公式与和差化积，以及同角的三角函数关系，求得cos C 的值．【详解】ABC ∆中，4cos b a C a b+=，cos 0C ∴>；2222222cos 2()a b ab c a b c ∴+=⨯=+-， 2222a b c ∴+=，222sin sin 2sin A B C ∴+=， ∴21cos21cos22sin 22A B C --+=， 即22(cos2cos2)4sin A B C -+=；22cos[()()]cos[()()]4sin A B A B A B A B C -++--+--=222cos()cos()4sin A B A B C ∴-+-=， 又1cos()6A B -=，cos()cos A B C +=-， 2212cos 4sin 4(1cos )3C C C ∴+==⨯-， 化简得212cos cos 60C C +-=，解得2cos 3C =或3cos 4C =- ∵4cos 2a b C b a =+≥，1cos 2C ≥ ∴2cos 3C =． 故选：A ．【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据条件建立方程求出m ，n 的值，然后回代，求出p 的范围，结合零点式求出a ，b ，c 的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．【详解】∵()()3112f f -=<，()()022f f => ∴11842m n p m n p p m n p -+-+=+++⎧⎨=+++⎩，即10240n m n +=⎧⎨++=⎩， 得321m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入得323()2f x x x x p =--+， ∵()312f -<，()02f > ∴3311222p p ⎧--++<⎪⎨⎪>⎩，解得23p <<，设三次函数的零点式为()()()()f x x a x b x c =---，比较系数得1ab bc ca ++=-，abc p =-， 故1111ab bc ca a b c abc p ++++==∈11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数m ，n ，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______．【答案】【解析】求出椭圆的a ，b，再由c 2c ．【详解】 椭圆2213x y +=的a =1b =，∴c ==即有12||F F =故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______． 【答案】13【解析】用列举法计算总的排法和该名学生恰好在2名老师中间的排法，由概率公式可得．【详解】设学生用a 表示，老师用A 、B 表示1名同学和2名老师随机地排成一排，总的排法有：aAB ，aBA ，AaB ，ABa ，BaA ，BAa ，共6种其中该名学生恰好在2名老师中间的有AaB ，BaA 共2种所以该名学生恰好在2名老师中间的概率为2163P ==. 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查古典概型的计算，属于基础题．15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=，则()2020f =______．【解析】将等式中的x 替换为x -，两式相减得()()88f x f x +=-+，结合()f x 是偶函数，得到函数()f x 的周期8T =，所以()()()202044f f f ==-，令4x =-代入求解即可.【详解】∵()()()2184f x f x f x +=+-……①将①中的x 替换为x -，得()()()2184f x f x f x -+=+---……②①-②得()()880f x f x +--+=又∵()f x 是偶函数，故()()f x f x -= ∴()()()888f x f x f x +=-+=- ∴()f x 是周期函数，16T =∴()()()()202012616444f f f f =⨯+==- ①式中令4x =-，得()()()2148444f f f -+=+---∴()()()214444f f f =+-，整理得()()()()()2232424410440144f f f f f ⎧⎪-+=⎪-≥⎨⎪⎪≥⎩解得()374f +=∴()()20204f f ==37+ 故答案为：378+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题. 16．已知ABC V 中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．【答案】157【解析】设BAD ∠=α，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，求出BE 、CF 、EF ，表示出2512sin 2B C α'=-，利用三角函数性质求最值，B C '取最小值时，4πα=，在BAD V 中利用正弦定理可求BD 的值. 【详解】设BAD ∠=α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，则ACF BAD α∠=∠=，3sin BE α=，3cos AE α=，4cos CF α=，4sin AF α=∴4sin 3cos EF AF AE αα=-=- ∴2222512sin 2B C BE CF EF α'=++=-∴当sin21α=，即4πα=时，min 13B C ' 在Rt ABC V 中，4sin 5ABC ∠=，3cos 5ABC ∠= 在BAD V 中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠ 即()3sin sin BD ABC αα=∠+ ∴()3sin 3sin 15sin sin cos cos sin 7BD ABC ABC ABC ααααα===∠+∠+∠.故答案为：157. 【点睛】本题主要考查空间中的线段长计算，考查正弦定理得应用，考查学生的计算能力，属于难题.三、解答题17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标； （2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1343-2）2425- 【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；（2）根据得2020P 的横坐标4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【详解】（1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α=根据题意可知点1P 的横坐标为πππ3143343cos cos cos sin sin 333525ααα-⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．【答案】（1）0.0450；18人，（2）169.25cm ．【解析】（1）根据频率分布直方图和频率的定义可得a 的值，计算身高在[)160,170内的频率，由此能估计身高在[)160,170内的人数；（2）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，直接计算可得平均身高的估计值. 【详解】（1）由图可得[)150,160，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250 所以10.12500.30000.12500.045010a ---==所以身高在[)160,170内的人数为：400.0451018⨯⨯=（人） （2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用以及平均数的计算问题，属于基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB ∥CD ，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离． 【答案】（1）见解析（2）3【解析】（1）证明AB ⊥平面POD ，由PD ⊂平面POD ，从而得到PD AB ⊥； （2）利用等体积法D PBC P DBC V V --=计算即可得结果. 【详解】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB ∥CD ， 所以四边形OBCD 为平行四边形， 又因为AB BC ⊥，所以⊥DO AB ． 因为DO PO O =I ，所以AB ⊥平面POD ， 所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，3PO =2PD =，所以DO PO ⊥， 又因为⊥DO AB ，所以DO ⊥平面PAB ． 由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 所以32h =． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和点到平面的距离计算，利用等体积法是解决点到平面的距离的关键.20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标； （2）求NAB △面积的最大值． 【答案】（1）()0,3N （2）166【解析】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，利用点差法得2t k =，写出直线MN 的方程可得N 的坐标；（2）设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得2121AB k x x =+-，利用点到直线的距离公式得点N 到直线AB 的距离，进而表示出NAB ∆的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值． 【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-， 所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ． （2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ， 所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+，由22421x yy kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=， 所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-= 又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积为：2112S AB d ==+=≤=当213k =时，NAB △ 【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()()1ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【答案】（1）22y x =-（2）见解析【解析】（1）求出原函数的导函数，可得()12f '=，再求出切点为（1，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在1x =处的切线方程；（2）函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数，通过导数判断函数的单调性，求函数的最值同0进行比较，得到结果. 【详解】（1）因为()()1ln f x x x =+，所以()1ln x f x x x+'=+， 所以()12f '=，又因为()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-；（2）证明：当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数， 因为()()()()222121211x kx k h x x x x x +-'=-=++，()0,x ∈+∞， 设()()2221g x x k x =+-+，因为二次函数()g x 在x ∈R 时，()010g =>，()1420g k =-<， 所以存在()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =， 所以()h x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,x +∞单调递增． 因为()10h =，所以()()110h x h >=，()()210h x h <=， 因此()h x 在()12,x x 存在一个零点1x =； 又因为当k x e -=，()()()12011k k k kkk e k e h e k e e -------=--=<++，所以()h x 在()1,ke x -存在一个零点；当k x e =时，()()12011k k kk k e h e k k e e -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭， 所以()h x 在()2,kx e存在一个零点；所以，函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 22．在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）cos 2α=2【解析】（1）曲线C 的极坐标方程转化为222sin 2ρρθ+=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）写出直线l 的参数方程，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()222cos 2cos 10tt αα--⋅-=，由此韦达定理、等比数列的性质，结合已知条件能求出cos α的值． 【详解】（1）∵曲线C ：2221sin ρθ=+∴222sin 2ρρθ+=∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ++=，化简得2212x y +=（2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：()222cos 2cos 10tt αα--⋅-=设P ，Q 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1222cos 2cos t t αα+=-，12212cos t t α-=-∴1222cos PQ t t α=-==- 设直线l 交直线2x =-于A 点，直线l 交直线2x =于B 点，∴1cos AF α=，3cos BF α=，4cos AB AF BF α=+=（2πα≠） ∵PQ 、AF BF -、AB 成等比数列 ∴()2AF BFPQ AB -=⋅代入数据得：22134cos cos 2cos cos αααα⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭解得：cos 2α=或cos 2α=.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查等比数列的性质，考查题目转换能力和运算求解能力，是中档题. 23．已知实数a ，b 满足：22a b +=． （1）求证：2821ca b b c +++≥+； （2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a++-≤+恒成立，求c 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）22c -≤≤【解析】（1）利用基本不等式和绝对值的三角不等式证明； （2）利用基本不等式求出12b a+的最小值，得出114c c ++-≤，再讨论c 的范围解出c . 【详解】（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=， 若0c ≤，不等式显然成立;．若0c >，则288411c c c c=≤=++， 所以2821ca b b c +++≥+，当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号； 综上2821ca b b c +++≥+． （2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥，第 21 页 共 21 页 所以114c c ++-≤，当1c ≤-时，()114c c -++-≤，解得2c ≥-，∴21c -≤≤-；当11c -<<时，1124c c ++-=≤，∴11c -<<；当1c ≥时，114c c ++-≤，解得2≤c ，∴12c ≤≤.综上，解得22c -≤≤.【点睛】本题考查 了不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值的三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题.。

中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2log (2)0A x x =->，{}245,B y y xx x A ==-+∈，则A B =U （ ）A.[)3,+∞B.[)2,+∞ C.()2,+∞D.()3,+∞【答案】C 【分析】先解对数不等式求出集合A ，再根据二次函数的单调性求出集合B ，然后根据并集的定义求解即可．【详解】解：∵2log (2)0x ->， ∴21x ->，即3x >， ∴()3,A =+∞，∴()2245212y x x x =-+=-+>， ∴()2,B =+∞，∴A B =U ()2,+∞，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，考查对数不等式的解法，考查二次函数的值域，属于基础题． 2.在复平面内，复数231ii+-的虚部为（ ）C. D. 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算和复数的模先化简该复数，再根据虚部的定义得出结论．【详解】解：∵)()()231111122ii i i i i i ++===+---+，∴复数231i i +-的虚部为，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查复数的模和虚部的定义，属于基础题．3.已知单位向量a r ，br满足22a b a b +=-r r r r ，则()()3a b a b -⋅+=r rr r （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【分析】由22a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，再根据平面向量的数量积的定义即可求出答案． 【详解】解：∵22a b a b +=-r r r r ，∴()()2222a ba b+=-r r r r ，化简得0a b ⋅=r r ，∵1a =r，1=r b ，∴()()223322a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=r r r r rr r r ，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义及其应用，属于基础题．4.下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的,a b 的值，即可得到结论． 【详解】解：由16a =，10b =，满足a b ¹，满足a b >，则16106a =-=； 满足a b ¹，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ¹，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ¹，不满足a b >，则422b =-=；不满足a b ¹，则输出2a =； 则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ．【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题． 5.在()()252211x x x ++-的展开式中，4x 的系数为（ ）A. 6-B. 6C. 10D. 4【答案】A 【分析】 因为()()()()2545221111x x x x x ++-+-=，且()41+x 的展开式的通项公式为14r r r T C x +=，()51x -的展开式的通项公式为()5151kk k k T C x -+=⋅-⋅，令4r k +=，由此可求出答案．【详解】解：∵()()()()2545221111x x x x x ++-+-=，∵()41+x 的展开式的通项公式为41441rrr r rr T C x C x -+=⋅⋅=，()51x -的展开式的通项公式为()5151kkk k T C x -+=⋅-⋅，则展开式中含4x 的项需满足4r k +=，∴展开式中4x 的系数为()()20413454511C C C C ⋅-+⋅-()()342231454511C C C C +⋅-+⋅-()540451C C +⋅-54060201=-+-+-6=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中档题． 6.在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.2C.5【答案】D 【分析】根据余弦定理结合题意得3cos 5A =，而sin cos 22B C A +⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据半角公式求解即可．【详解】解：∵22265bc a bc +=+，即22265a b c bc -=+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， ∴62cos 5bc A bc =， ∴3cos 5A =，则02A π<<， ∵ABC π++=， ∴1cos 25sin cos 222B C A A ++⎛⎫===⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查半角公式的应用，属于基础题．7.函数()32x e f x x -=-的部分图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【分析】根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知()302x e f x x -=>-，再结合导数求出函数在()2,+∞上的单调性，由此可得出答案．【详解】解：根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知()302x e f x x -=>-，则C 、D 错； 当2x >时，()32x x e f x --=，()()()23'32x f x x e x ---=， 由()'0f x >得3x >，由()'0f x <得23x <<，∴函数()f x 在()2,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，则A 对，B 错；故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．8.已知函数()31663x x f x x x e e -=--+-，若211011f f a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则a 的取值范围为（ ） A. (][),12,-∞-⋃+∞ B. ()1,2-C.()()1,00,1-UD.()[)1,12,-+∞U【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再求导研究函数的单调性，再结合奇偶性与单调性解不等式即可．【详解】解：∵()31663x x f x x x e e -=--+-，定义域为R ，∴()()31663x x f x x x e f x e --=+-+=-， ∴函数()f x 为奇函数，∵()21660x x f'x x e e -=---<-，∴函数()f x 在R 上单调递减，∵211011f f a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ ∴21111f f a a ⎛⎫⎛⎫≤-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则21111f f a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝-⎝⎭⎭， ∴21111a a ≥+-， ∴()()2011a a a +-≥-， ∴()()20110a a a -≤⎧⎨+-<⎩或()()20110a a a -≥⎧⎨+->⎩，解得11a -<<，或2a ≥， 故选：D ．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查分式不等式的解法，属于中档题． 9.已知等差数列{}n a 满足：11a =，4164a a +=，则1912222a a a⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（ ）A. 382B. 192C. 162D. 762【分析】根据等差数列的性质和求和公式可得()()1194161219191922a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+==，由此可求出答案． 【详解】解：∵等差数列{}n a 满足：11a =，4164a a +=，∴()()119416121919193822a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+===，∴191219123822222a a a a a a ++⋅⋅⋅+⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题．10.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>21y x =+相切，则a =（ ）A. 2D. 1【答案】D 【分析】由题意可得222b c e a a b c =⎪==⎨⎪⎪-=⎪⎩，解出即可．【详解】解：由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=， 直线21y x =+的一般式为210x y -+=，又椭圆22221x y a b+=，∴222b c e a a b c =⎪==⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得1a b c ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．11.设()f x 为定义于[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()12f x x =-，则方程()()22xf f x =的实数解的个数为（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】A 【分析】由题意可知，()()f f x 为偶函数，()[]0,1f x ∈，则()()()12f f x f x =-141,02134,12x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，画出函数()()f f x 和22x y =在[]0,1上的图象，结合图象即可得出结论．【详解】解：当[]0,1x ∈时，()112,0212121,12x x f x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩，∴()[]0,1f x ∈，∴当[]0,1x ∈时，()()()12f f x f x =-()()11212,0211221,12x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩141,02134,12x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩114,041141,421334,24343,14x x x x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪-<≤⎩，又()()()()f f x f f x -=，∴()()ff x 为偶函数，且22x y =为偶函数，画出函数()()f f x 和22x y =在[]0,1上的图象如图，由图可知，函数()()f f x 和22x y =的图象在[]0,1上有4个交点，∴由偶函数的性质可知，函数()()f f x 和22x y =的图象在[]1,0-上有4个交点，∴函数()()f f x 和22x y =的图象在[]1,1-上有8个交点，即方程()()22x f f x =的实数解的个数为8，故选：A ．【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点以及函数图象的交点之间的关系，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力，属于难题． 12.已知当[]0,1x ∈时，不等式()()22cos 11sin 0x x x x θθ--+->恒成立，则θ的取值范围为（ ）A. π5πππ1212k k θ+<<+（k 为任意整数） B. π5πππ66k k θ+<<+（k 为任意整数） C. π5π2π2π1212k k θ+<<+（k 为任意整数） D. π5π2π2π66k k θ+<<+（k 为任意整数） 【答案】C 【分析】可设不等式左边为()f x 并化简，求出()f x 的最小值，令其大于0，得到θ的取值范围即可．【详解】解：设()()22()cos 11sin f x x x x x θθ=--+-2(1sin cos )(2sin 1)sin x x θθθθ=++-++，①若1cos sin 0θθ++=，即3222k k θππππ=++或时，原不等式不恒成立； ②若1cos sin 0θθ++≠即3222k k θππππ≠++或时，()f x Q 在[0,1]的最小值为(0)f 或()1f 或2sin 1[]2(1cos sin )f θθθ+++，∴(0)0(1)02sin 1[]02(1cos sin )f f f θθθ⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪+⎪>++⎪⎩， ∴sin 0cos 01sin 22θθθ⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪>⎩，解得522()1212k k k Z πππθπ+<<+∈， 故选：C ．【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查三角函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力与转化能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题. 13.设数列{}n a 满足14a=，210a =，215n a a -=，3n ∀≥，则201920181ln ln 2a a -=______. 【答案】ln 5 【分析】由题意可得，(()21lnln 5n n a a -=，化简整理得112112ln ln ln ln ln 522n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11ln ln 2n n n b a a +=-，可得()122ln5ln5n n b b ---=-，由此可得ln 5n b =，从而可求出答案．【详解】解：∵215n a a -=，3n ∀≥，∴当3n ≥时，(()21lnln 5n n a a -=，即2112ln ln ln 52ln 2n n na a a --+=+， ∴1212ln 2ln ln ln 52n n n a a a ---+=，∴112112ln ln ln ln ln 522n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令11ln ln 2n n n b a a +=-，则122ln 5n n b b ---=，且1211ln ln ln 52a b a =-=，∴()122ln5ln5n n b b ---=-，又1ln 50b -=， ∴ln 5n b =，即11lnln ln 52n n a a +-=， ∴201920181ln ln ln 52a a -=， 故答案为：ln 5．【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．14.设实数x ，y 满足02203x y x y x -≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最大值为______.【答案】73 【分析】画出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义（到原点的距离的平方）转化求解即可． 【详解】解：不等式组的图象如图：22x y +的几何意义是可行域内的点和原点的距离的平方，显然A 到原点的距离最大，由2203x y x ++=⎧⎨=⎩，解得()3,8A -，则22xy +的最大值为：96473+=，故答案为：73．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题．15.假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为1、2或3，我们称为“小”，否则，若抛出的点数为4、5或6，则称为“大”.独立重复地抛这枚色子两次，已知两次都为“大”，则第1次抛出的点数为6的概率______. 【答案】13【分析】由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6，根据相互独立的事件的概率互不影响即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6， ∵独立重复地抛这枚色子两次，两次抛掷互不影响， ∴第1次抛出的点数为6的概率13p =， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查独立重复试验的应用，属于基础题． 16.已知定义于实数R 上的奇函数()f x 满足()'2f x >-，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为______. 【答案】()0,1【分析】 设()()()()2132ln 312,0g x f x x x x x =----->，则()()()2132ln 312f x x x x -<-+-()0g x ⇔<，()()''14ln 46g x f x x x x =-+-+，令()4ln 46h x x x x =-+，则()'4ln h x x =，求导后可得()()12h x h ≥=，结合题意可得()'220g x >-+=，得函数()gx 在()0+∞，上单调递增，而()10g =，由此可求出解集． 【详解】解：设()()()()2132ln 312,0g x f x x x x x =----->，则()()()2132ln 312f x x x x -<-+-()0g x ⇔<，∵()()''14ln 46g x f x x x x =-+-+，令()4ln 46h x x x x =-+，则()'4ln h x x =，由()'0hx >得1x >，由()'0h x <得01x <<，∴当1x =时，函数()h x 取得极小值同时也是最小值()12h =，∵()'12fx ->-，()2h x ≥，∴()'220gx >-+=，∴函数()g x 在()0+∞，上单调递增， 又()()()()2111132ln13120gf =-----=， ∴由()0gx <得()()1g x g <，∴01x <<， 故答案为：()0,1．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.设ABC V 中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小； （2）若2248a c +=，求ABC V 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值.【答案】（1）π3B =（2）面积S 的最大值为b =【分析】（1）在三角形中，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，结合条件可得π2sin sin 03A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求出答案；（2）由2248a c +=可得2ac ≤，则11sin 222S ac B =≤⋅=，此时2a =，1c =，再由余弦定理即可求出答案．【详解】解：（1）∵()cos coscos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=-π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵sin 0A >，0πB <<，∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=，∴ABC V 面积S 的最大值为2， 且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题． 18.如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个.为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令X 为某一家庭所生的女孩数，Y 为此家庭所生的男孩数.（1）求X ，Y 的分布列，并比较它们数学期望的大小；（2）求概率()()PX D X >，其中()D X 为X 的方差.【答案】（1）分布列见解析：EX EY =（2）14【分析】 （1）易知X 的取值为0，1，2，3，Y 的取值为0，1，利用相互独立的事件的概率公式求出相应概率，由此可得分布列，再根据数学期望的计算公式求出期望，进而比较大小；（2）结合公式()()22)(D X E X EX =-求出方差，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出结果． 【详解】解：（1）易知X 的取值为0，1，2，3，对应取值的概率为别为：()102P X ==，()211124P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()311228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 即得X 的分布列如下类似地，Y 的取值为0，1，对应取值的概率分别为：()()1038P Y P X ====，()()71108P Y P Y ==-==；得Y 的分布列如下：X0 1P18 78由X ，Y 的分布列可得它们的期望分别为：11117()012324888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，177()01888E Y =⨯+⨯=，因此()()E X E Y =；（2）()()22222221111771(012)32488864D XE X EX ⎛⎫=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭， 故()()()()71123644PX D X P X P X P X ⎛⎫>=>==+== ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望、方差，考查计算能力与推理能力，属于中档题． 19.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，60ABC ∠=︒，F 为棱PC 上一点，且:1:3PF FC =.（1）求证：BD AF ⊥；（2）求二面角A PD C--余弦值；（3）求三棱锥F APD -的体积V . 【答案】（1）证明见解析；（2）77（3）36【分析】（1）由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，又底面ABCD 为菱形可得AC BD ⊥，则BD ⊥平面PAC ，从而BD AF ⊥；（2）设菱形ABCD 的对角线交点为O ，以O 为原点，分别以OC u u u r 、OD uuu r的方向为x ，y 轴建立空间直角坐标系，借助空间向量求出平面法向量的夹角，从而求出答案；（3）由图可知P ACD F ACD V V V --=-，由题意可知三棱锥P ACD -的高为3342PA =，由此可求出答案． 【详解】解：（1）因PA ⊥平面ABCD ，故PA BD ⊥， 又因底面ABCD 为菱形，故AC BD ⊥，又PA AC A =I，,PA AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ， 而AF⊂平面PAC ，∴BD AF ⊥；（2）设菱形ABCD 的对角线交点为O ，因AC BD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OC u u u r 、OD uuu r的方向为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A-，()1,0,2P -，()3,0D ，()1,0,0C ，∴()0,0,2AP =u u u r，()3,0AD =u u u r ，()2,0,2PC =-u u u r，()3,0CD =-u u u r ，∴平面APD 和平面PCD 的一个法向量分别为()13,1,0r =-r，23,1,3r =u r，∴1212127cos ,27r r r r r r ⋅===⋅⨯r r r rr r ，由图可知二面角A PD C --的平面角为锐角， ∴二面角A PD C --7（3）由图可知，P ACD F ACD V V V --=-，因:1:3PF FC =，可知三棱锥P ACD -的高为3342PA =，∴1311232326ACD VS ⎛⎫=⨯⨯-==⎪⎝⎭△． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．20.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率3e =，其左焦点1F到此双曲线渐近线的距离为（1）求双曲线C 的方程； （2）若过点()2,0D的直线l 交双曲线C 于AB 两点，且以AB 为直径的圆E 过原点O ，求圆E 的圆心到抛物线24x y =的准线的距离.【答案】（1）2218y x -=（21+1【分析】（1）由题意可得2223c e a a b c ⎧==⎪=+=⎪⎩，解出即可； （2）由题意设直线AB的方程为2x my =+，联立直线与椭圆的方程并消元，设()11,Ax y ，()22,B x y ，可得韦达定理的结论，又以AB 为直径的圆过原点O 得12120x x y y+=，代入可求得2=±m ，根据中点坐标公式求得圆E 的圆心的纵坐标，从而可求出答案．【详解】解：（1）由题意可得2223c e a a b c ⎧==⎪=+=⎪⎩， 解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴双曲线C 的方程为2218y x -=；（2）易知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为2x my =+，联立方程22182y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得()228132240m y my -++=， 上述方程式的判别式()232830m ∆=+>，以及2810m -≠（否则直线l 不能与双曲线交两点）， 设()11,Ax y ，()22,B x y ，则1223281m y y m +=--，1222481y y m =-， 同时可得()()()2212121212284222481m x x my my m y y m y y m +=++=+++=--，以AB 为直径的圆过原点O ，知12120x x y y +=，结合2810m -≠，可知28424m +=，=m ， ∴圆E 的圆心即AB中点的纵坐标为12216281y y m m +=-=-， ∵抛物线24x y =的准线方程为1y =-，∴圆E 的圆心到抛物线24x y =的准线距离为1+1． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题． 21.设函数()3ln aef x x b x=-+，0x >，其中e 为欧拉数，a ，b 为未知实数，且0a >.如果()0,e 和(),e ∞均为函数()f x 的单调区间.（1）求a ； （2）若函数()()3hx f x cx =+在()()0,,e e ⋃∞上有极值点，c 为实数，求c 的取值范围.【答案】（1）3a =（2）22,0,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）令()3ln 3ln ae aeg x xx x x=-=-，0x >，求导得函数()g x 在()0,∞上单调递增，设()0g x =的唯一根为0x ，则0x 满足003ln aex x =，由题设得0x e =， 由此可得答案； （2）由题意得存在()()00,,x e e ∈⋃∞，使得()0h x '=，再分类讨论结合一元二次方程根的分布即可求出答案．【详解】解：（1）令()3ln 3ln ae aeg x xx x x=-=-，0x >， ∴()23)0aeg x x x'=+>（因0a >，0x >）， ∴函数()gx 在()0,∞上单调递增，设()0gx =的唯一根为0x ，即0x 满足003ln ae x x =，（利用3ln x ，ae x的函数图象很容易确定） 于是，当()00,x x ∈时，()0g x <，而当()0,x x ∈∞时，()0g x >， 从而，当()00,x x ∈时，()3ln aef x x b x =-+， 当()0,x x ∈∞时，()3ln aef x x b x=-+， 可知，()00,x 为()f x 的单调递减区间，()0,∞x 为()f x 的单调递增区间，进而，由题设得0x e =， 因此，003ln 3x x a e==； （2）若函数()()3hx f x cx =+在()()0,,e e ⋃∞上有极值点，则易知存在()()00,,x e e ∈⋃∞，使得()0h x '=，注意到()()()22333,0,333,,e c x e x xh x e c x e x x ⎧--+∈⎪⎪=⎨⎪++∈'∞⎪⎩，①若23330e c x x --+=在()0,e 上有根，等价于20ey y c +-=在1,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上有解，由一元二次方程根的分布可得，只需满足2110e c e e⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得2c e >； ②若23330e c x x ++=在(),e ∞上有根，等价于20ey y c ++=在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 由一元二次方程根的分布可得，只需满足0c <且2110e c e e⎛⎫++> ⎪⎝⎭，解得20c e -<<；综上，c 的取值范围为22,0,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查计算能力与推理能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-5：不等式选讲] 22.设()f x 为定义于()0,1上的函数，满足：（1）对任意()0,1x ∈，都有()0f x >；（2）对任意x ，()0,1y ∈，都有()()()()121f x f x f y f y -+≤-. 求证：()f x 在()0,1上的导数恒为零.【答案】证明见解析； 【分析】由题意可得，对任意x ，()0,1y ∈，都有()f x ，()1f x -，()f y ，()10f y ->， 由()()()()121f x f x f y f y -+≤-得()()()()()()1121f x f y f y f x f y f y -+-≤-，令1x y=-，可得()()()()()()221210f x f x f x f x +---≤，即()()()210f x f x --≤，则()()1f x f x =-，于是()()()()121f x f x f y f y -+≤-化为()()22f x f y ≤，即()()f x f y ≤，同理，亦有()()f y f x ≤，则()()f x f y =，由此得证．【详解】证明：要证明()f x 在()0,1上的导数恒为零，等价于证明()f x 在()0,1上恒为常数；因对任意()0,1x ∈，都有()0f x >，故对任意x ，()0,1y ∈，都有()f x ，()1f x -，()f y ，()10f y ->，对任意x ，()0,1y ∈，都有()()()()121f x f x f y f y -+≤-， 故有()()()()()()1121f x f y f y f x f y f y -+-≤-，因上式对于任意()0,1x ∈都成立，故令1x y =-，可得()()()()()()221210f x f x f x f x +---≤，即()()()210f x f x --≤，∴()()1f x f x =-，()0,1x ∀∈，于是，()()()()121f x f x f y f y -+≤-可化为()()22f x f y ≤，即()()f x f y ≤，x ∀，()0,1y ∈， 同理，亦有()()f y f x ≤，x ∀，()0,1y ∈， 因此，x ∀，()0,1y ∈，()()f x f y =，即得证()f x 在()0,1上恒为一个常数，∴()f x 在()0,1上的导数恒为零．【点睛】本题主要考查抽象函数的导数的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题． [选修2-2，推理与证明] 23.设数列{}n a 为非负实数列，且满足1220k k k a a a ++-+≥，11ki i a =≤∑，1k =，2，….求证：1220k k a a k +≤-<，1k =，2，….【答案】证明见解析； 【分析】先证10k k a a --≥，1k=，2，…，反证法，若存在某个01k ≥，使得001k k a a +<，则有从0k a 起，非负数列{}n a 单调递增，从而得出矛盾，得到假设不成立； 再证122kk a a k+-<，1k =，2，…，令10k k k b a a +=-≥，则1k k k a a b ++=，有题意可知1k k b b +≥，再由条件可得到123123k b b b kb ≥+++⋅⋅⋅+()()1122k k k k k b b +≥++⋅⋅⋅+=，由此即可证明． 【详解】证明：先证10k k a a --≥，1k=，2，…，21若存在某个01k ≥，使得001k k a a +<，则有000001122k k k k k a a a a a ++++≤-+<，即从0k a 起，非负数列{}n a 单调递增， ∴1kii a =∑将随着k 的增加而趋于正无穷，不可能永远小于等于1， 即与11k ii a =≤∑，1k =，2，…矛盾， 故10k k a a +-≥，1k=，2，…； 再证122k k a a k+-<，1k =，2，…， 令10k k k b a a +=-≥，1k =，2，…，则1k k k a a b ++=，由1220k k k a a a ++-+≥可知1k k b b +≥，1k=，2，…， 又因123411ki k i a a a a a a =≥=++++⋅⋅⋅+∑12342k b a a a a =++++⋅⋅⋅+12323k b b a a =+++⋅⋅⋅+123123k k b b b kb ka +=+++⋅⋅⋅++12323k b b b kb ≥+++⋅⋅⋅+，故有()()1231123122k k k k k b b b kb k b b +≥+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=， ∴()2221k b k k k ≤<+，即证得122k k a a k +-<，1k =，2，…； 综上：1220k k a a k +≤-<，1k =，2，…． 【点睛】本题主要考查反证法证明不等式，考查数列的递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题．。