土水特征曲线的通用数学模型研究

100429665/2004/12(02)20182205　Journal o f Engineering G eology　工程地质学报土水特征曲线的通用数学模型研究Ξ戚国庆　黄润秋(成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家专业实验室　成都　610059)摘　要　土水特征曲线对于研究非饱和土的物理力学特性至关重要。

根据土水特征曲线可以确定非饱和土的强度、体应变和渗透系数,甚至可以确定地下水面以上水份分布。

由于土体物理力学特性的差异,导致描述其土水特征曲线的数学模型也各不相同。

因此,建立土水特征曲线的通用数学表达式,显得尤为必要。

本文对土水特征曲线数学模型进行了研究,依据这些模型的数学表达式形式,将其划分为4种类型。

分别由这4种类型的数学模型推导出具有统一表达式形式的土水特征曲线通用数学模型,并运用陕北高原黄土土水特征曲线试验数据对通用数学模型进行了研究。

关键词　土水特征曲线　通用数学模型　幂函数多项式　基质吸力中图分类号:T U43 文献标识码:AAN UNIVERSAL MATHEMATICAL MODE L OF SOI L-WATER CHARAC2 TERISTIC CURVEQI G uoqing H UANG Runqiu(Chengdu Univer sity o f Technology,Chengdu,　610069)Abstract　The s oil-water characteristic curve is very im portant for studying the physical and mechanical characteristics of unsaturated s oils.Strength,v olumetric strain and permeability coefficient,and even m oisture-distribution above ground water surface can be determined by the s oil-water characteristic curve.A mathematical m odel of s oil-water characteristic curve is established,based on s oil,structure and the shape of s oil-water characteristic curve.Mathemati2 cal m odels of s oil-water characteristic curve differ due to varying physical and mechanical properties of unsaturated s oils.It is,thus,necessary to establish universal expression of s oil-water characteristic curve.In this paper,mathe2 matical m odels of s oil-water characteristic curve are divided into four types based on the patterns of mathematical m od2 els.An universal mathematical m odel with unified functional pattern is derived.The s oil-water characteristic curve of loessal s oils in north Shaannxi loess plateau,is used to verify the universal mathematical m odel.K ey w ords　S oil-water characteristic curve,Universal mathematical m odel,P olynomial expression of power function, SuctionΞ收稿日期:2003-05-27;收到修改稿日期:2004-03-15.基金项目:国家自然科学基金重大研究计划项目资助(项目编号:90102002)第一作者简介:戚国庆(1969-),男,高级工程师,主要从事地质工程研究工作.Email:hrq@1　引　言土水特征曲线的研究,起源于土壤学和土壤物理学。

当时主要着重于天然状态下表层土壤吸力的变化、土壤的持水特性及水分运动特征的研究,基质吸力值一般小于100kPa[1]。

近年来,由于非饱和土力学理论在边坡稳定性评价以及降雨型滑坡预测等方面的广泛应用[2,3],对非饱和土的土水特征曲线进行了更加深入的研究,越来越多的数学模型被用来估算非饱和土的水分特征曲线。

大部分用于描述土水特征曲线的数学模型都是根据经验、土体结构特征和曲线的形状而建立起来的。

1994年,Fredlund等根据土体孔径分布曲线,用统计分折理论给出了适用于所有土类的土水特征曲线表达式[4],但公式形式复杂,应用不便。

包承纲等通过研究,注意到Fredlund等的土水特征曲线,在进气值和残余含水量两个特征点之间近乎为一条直线。

于是建议以对数方程来表征土水特征曲线[5]。

由于土水特征曲线表达式在形式上具有幂函数、对数函数的特征,不难使人联想到运用分形几何方法来描述土水特征曲线。

因而出现了一些土水特征曲线的分形模型[6]。

土水特征曲线的分形模型试图在土体结构与土水特征曲线之间建立联系,依据土体结构的分形特征,推求出其土水特征曲线的数学表达式,所得出的土水特征曲线的表达式亦具有分形特征,目前尚处于探索阶段。

土水特征曲线的数学模型都比较复杂,未知参数多由经验得到,而且参数比较多,应用起来比较困难。

本文在对土水特征曲线数学模型研究的基础上,将土水特征曲线数学模型依据其数学表达式划分为4种类型,发现所有的数学模型都可以展开成基质吸力的多项式形式。

提出将基质吸力的多项式表达式作为土水特征曲线的通用数学模型。

其精度可以通过增加多项式的项数来提高。

2　土水特征曲线的数学模型对于非饱和土,土水特征曲线的数学模型并不是唯一的。

土的类型不同,所得出的数学模型也有所不同。

依据其数学表达式的形式可分为以下4类。

2.1　以对数函数的幂函数形式表达的数学模型Fredlund等通过对土体孔径分布曲线的研究,用统计分析理论推导出适用于全吸力范围的任何土类的土水特征曲线表达式[4]:θθs=F(ψ)=C(ψ)1{ln[e+(ψ/a)b]}c(1)C(ψ)=1-ln(1+ψ/ψr)ln(1+106/ψr)式中:a、b、c为拟合参数,a为进气值函数的土性参数,b为当基质吸力超过土的进气值时,土中水流出率函数的土性参数,c为残余含水量函数的土性参数;ψ为基质吸力;ψr为残余含水量θr所对应的基质吸力;θ为体积含水量;θs为饱和体积含水量。

公式(1)中,体积含水量的取值范围为:θ∈[0,θs],基质吸力ψ的取值范围为:ψ∈[0,ψmax],ψmax 为土体含水量θ=0时,所能达到的最大基质吸力。

由此可见,公式(1)适用于全吸力范围的任何土类。

但公式(1)形式较为复杂,给实际应用带来诸多不便。

2.2　幂函数形式的数学模型Van G enuchten通过对土水特征曲线的研究,得出非饱和土体含水量与基质吸力之间的幂函数形式的关系式[7]:θ-θrθs-θr=F(ψ)=1[1+(ψ/a)b](1-1b)(2)式中:拟合参数为a、b,符号意义同前。

公式(2)中,体积含水量θ的取值范围为:θ∈(θr,θs],基质吸力ψ的取值范围为:ψ∈[0,ψr)。

公式(2)适用于描述基质吸力变化范围为ψ∈[0,ψr)的土水特征曲线。

2.3　土水特征曲线的分形模型土水特征曲线的分形模型基于土体质量分布具有分形特征,以及孔隙数目与孔径之间的具有分形关系的认识。

依据分形孔隙数目与孔径之间关系和Y oung-Laplace方程得到分形模型的通用表达式[6]:θ-θrθs-θr=F(ψ)=(ψψb)D v-3(3)式中,D v为孔隙体积分布的分维值,D v<3。

公式(3)中,体积含水量θ的取值范围为:θ∈(θr,θs],基质吸力ψ取值范围为:ψ∈[ψb,ψr)。

公式(3)适用于描述基质吸力变化范围为ψ∈[ψb,ψr)的土水特征曲线。

实际上,公式(3)也是一种幂函数形式的数学模型。

381戚国庆等:土水特征曲线的通用数学模型研究2.4　对数函数形式的数学模型包承纲等通过对非饱和土气相形态的研究和划分,认为在实际的应用中,只有部分连通和内部连通两种气相形态需要着重研究[5]。

对照Fredlund等的土水特征曲线(公式(1)),发现该曲线在进气值和残余含水量两个特征点之间近乎为一条直线。

于是建议以对数方程来表征土水特征曲线,并将其简化为:θ-θrθs -θr=F(ψ)=lgψr-lgψlgψr-lgψb(4)其中ψb为土的进气值。

公式(4)中,体积含水量θ的取值范围为:θ∈[θr,θs],基质吸力ψ的取值范围为:ψ∈[ψb,ψr]。

公式(4)适用于描述基质吸力变化范围为ψ∈[ψb,ψr]的土水特征曲线。

公式(4)较公式(1)、(2)、(3)大为简化,其精度能满足一般工程需求。

3　土水特征曲线的级数展开式上述4类数学模型的右端项都是关于基质吸力的函数,可以写成:θθr =F(ψ)(或θ-θrθs-θr=F(ψ))(5)考虑到基质吸力ψ的取值范围,在公式(1)、公式(2)中,ψ=0处函数皆有定义,但公式(1)中的1/ {ln[e+(ψ/a)b]}c项,公式(2)中的1/[1+ (ψ/a)b](1-1b)项,在ψ=0处的n阶导数不存在,因而,公式(1)、公式(2)不能直接展开为ψ的幂级数。

公式(3)、公式(4)中基质吸力ψ的取值范围分别为:ψ∈[ψb,ψr)、ψ∈[ψb,ψr]。

也不能直接展开为ψ的幂级数[8]。

在ψ=ψb处,四类数学模型的函数皆有定义且存在n阶导数,因此,可以将公式(1)、公式(2)、公式(3)、公式(4)在ψ=ψb处展开为T aylor级数:θθr=F(ψb)+F′(ψb)(ψ-ψb)+F″(ψb)2!(ψ-ψb)2+……+F n(ψb)n!(ψ-ψb)n+Q n(ψ)(6)Q n(ψ)=F(n+1)(ξ)(n+1)!(ψ-ψb)n或:θ-θrθs-θr=F(ψb)+F′(ψb)(ψ-ψb)+F″(ψb)2!(ψ-ψb)2+……+F n(ψb)n!(ψ-ψb)n+Q n(ψ)(7)Q n(ψ)=F(n+1)(ξ)(n+1)!(ψ-ψb)n其中,θθs为土体的饱和度;θ-θrθs-θr为土体的有效饱和度;Q n(ψ)为拉格朗日余项。