M
(tk
) P tk
tk
M
(tk
)
Rk
1
4
• Continuous System
dxt F (t)xt dt G(t)d t
dxt dt F (t)xt G(t)wt
dzt M (t)xt dt dt
yt M (t)xt vt
• Continuous Filter
dxˆtt F (t)xˆtt dt Ptt M (t)R1(t) dzt M (t)xˆtt dt
11
递推最小二乘方法
J N
1 2
(
x0
x0 ) P01(x0
x0 )
1 N
2 k 1
yk
Ck xk )
Rk1 yk
Ck xk
1 2
Nn
, xN ;w1 ,
,wN } J N
cond. xk k,k 1xk 1 wk
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
可观测性—离散滤波器
信息矩阵：
n
(n,1) (i, n)C (i)Ri1C(i) (i, n)
i 1
完全可观测：离散系统是完全可观测的当且仅当，对 某个n>0，有M(n,0)>0。
一致完全可观测：如果对某个正整数N>0，以及所有 的n≥N，都有0<aI≤M(n,n-N) ≤bI ，a和b为正的常数， 那么离散系统是一致完全可观测的。
4.5 卡尔曼滤波
1960 年由 Kalman 和 Bucy 提出（空间技术的发展）
是线性最小均方误差滤波 把对信号的先验知识用信号的模型形式表示 时域状态变量法 递推形式的线性最小均方误差算法。
卡尔曼滤波建立在已知随机信号模型的基础上 ；它适用于时变非平稳随机 序列。动态估计
1
第四章 滤波方法 Estimation with Applications to Tracking and Navigation
dxˆtt F (t)xˆtt dt
dPtt dt F (t)Ptt Ptt F (t) G(t)Q(t)G (t)
tk t tk 1
xˆtk
tk
xˆtk
tk
K
(tk
)
yk
M
(tk
)
xˆtk
tk
Ptk
tk
Ptk
tk
K
(tk
)M
(tk
) P tk
tk
K (tk
)
Ptk
tk
M
(tk
)
dzt M (t)xt dt dt
3
• Continuous-Discrete System xt0 N (xˆt0 , Pt0 )
dxt F (t)xt dt G(t)d t
E{d t d t} Q(t)dt
yk M (tk )xtk vk
vk N (0, Rk ), Rk 0
• Continuous-Discrete Filter xt0 ,{t},{vk} are independent.
22
稳定性—离散滤波器
递推公式：
xˆk P(k | k) P1(k | k 1) (k | k 1)xˆk 1 C (k)Rk1yk 引理1：如果离散系统是一致完全可观测和一致完全
可控的，并且P0 ≥ 0，那么P(k|k) 对于所有的k ≥ N一
致上有界。
P(k
|
k)
M
1 (k ,
k
N
)
(k,
xk 1 c (k 1, k)xk c (k) c (k)wk 1,
yk M c (k)xk vk , wk N (0,Qc (k)), vk N (0, Rc (k)), x0 N (xˆc (0), Pc (0))
xkk1 xk 1 xˆkk1, xkk xk xˆkk
P(k | k) E(xkk xkk ),
dxt F (t)xt dt G(t)d t
yk M (tk )xtk vk
• Discrete System
xk 1 (tk 1, tk )xk (tk )wk 1
yk M (tk )xk vk
• Continuous System
dxt F (t)xt dt G(t)d t
P(k 1 | k) E(xkk1xkk1)
一致渐近稳定的。
一致渐近稳定性：对于系统 xk 1 (tk 1, tk )xk uk 1
(tk ,t0 ) c2 exp c3 (tk t0 )
24
稳定性—离散滤波器
递推公式： xˆk P(k | k) P1(k | k 1) (k | k 1)xˆk 1 C (k)Rk1yk 定理：如果离散系统是一致完全可观测和一致完全可 控的，假定P1(k|k), P2(k|k)分别对应P01, P02 ≥ 0，令
dPtt dt F (t)Ptt Ptt F (t) G(t)Q(t)G (t) Ptt M (t)R1(t)M (t)Ptt
E{d t d t} Q(t)dt E{dt dt} R(t)dt, R(t) 0 {t },{t } are independent.
5
6
7
8
9
10
Pk P1(k | k) P2 (k | k) 那么
Pk c22 exp 2c3 (tk t0 ) P01 P02 0 (k )
25
误差灵敏度—离散滤波器
xk1 (k 1, k)xk (k) (k)wk 1,
yk M (k)xk vk , wk N (0,Q(k)), vk N (0, R(k)), x0 N (xˆ(0), P(0))
k
N
)
1 ab a
I
引理2：如果离散系统是一致完全可观测和一致完全
可控的，并且P0 >0，那么P(k|k) 对于所有的k ≥ N一
致下有界。P(k
|
k)
M
(k,
k
N
)
1 (k ,
k
N
)1
a 1 ab
I
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稳定性—离散滤波器
递推公式： xˆk P(k | k) P1(k | k 1) (k | k 1)xˆk 1 C (k)Rk1yk 定理：如果离散系统是一致完全可观测和一致完全可 控的，并且P0 ≥ 0，那么对应的离散卡尔曼滤波器是
By Yaakov Bar-Shalom, X. Rong Li, Thiagalingam Kirubarajan
STOCHASTIC PROCESSES AND FILTERING THEORY
By Andrew H. Jazwinski
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• Continuous-Discrete System
