参数方程与普通方程的互化导学案

参数方程与普通方程的互化

【学习目标】 1．参数方程与普通方程的互化

2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法

3．培养严谨的数学思维品质

【学习难点和重点】等价变形

【课堂讲解】

参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它们可以相互转化。将曲线的参数方程化为普通方程，可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等；而将普通方程化为参数方程，可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标，从而给研究曲线的有关问题带来方便。

例1：将下列曲线的参数方程化为普通方程：

一、代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数t ，注意等价变形

（1）)(221R t t y t x ∈⎩

⎨⎧-=+= (2)⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1

9122t y t x

二、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形

(3))454(sin cos sin cos πθπθθθθ≤≤⎩

⎨⎧+=⋅=y x （4）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθ

θy x （5）)20(sin 4cos 5πθθθ<≤⎩

⎨⎧==y x

三、平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等价变形

（6）)0(21

12≠⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x

（7）)0(112222≠⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x

四、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形

（8）t y t t x (3

1⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数）

（9）θθ

(cos 21⎩⎨⎧+==y x 为参数）

点评：参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”，消去参数t 的方法有时是从方程组的一个式子解出t 代入另一式；有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。

例2：设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2-4y=0化为参数方程

点评：把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。一般可设x=f(t)（或y=g(t)）,将x （或y ）代入F(x,y)=0解出y=g(t)(或x=f(t)),即可得参数方程：t t g y t f x ()()

(⎩⎨⎧==是参数）

例3：点M 为椭圆122

22

=+b y a x (a>b>0)在第一象限内线段AB 弧上的

动点，求四边形OAMB 的面积S 的最大值

【课后反馈】

1. 将下列曲线的参数方程化为普通方程：

（1）)(sin cos 22

R y x ∈⎪⎩⎪⎨⎧==θθθ

（2）)0(1

21≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t y t x

（3）)(2cos sin 1R t t y t x ∈⎩⎨⎧=+= （4）),0,0()

1

()

1

(是参数t t b a t t b y t t a x ≠≠⋅⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-=+=

（5）)(sin 21R y x ∈⎩

⎨⎧+==θθ 2. 椭圆⎩⎨⎧+=+=θ

θsin 32cos 41y x 的长轴上两个顶点的坐标是__________

3. 双曲线⎩⎨⎧+=+-=θ

θsec 322tan 22y x 的两条渐进线的夹角大小为___________

4. 直线x+3y-4=0和圆ϕϕ

ϕ≤⎩⎨⎧==0(sin 2cos 2y x )2π<的位置关系是（ ） （A ）相交但不过圆心 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离

5.参数方程)30(2

4322≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t y t x 所表示的曲线是（ ） （A ） 一支双曲线 (B) 线段 (C) 圆弧 (D) 射线

6．按下列条件，把x 2+y 2-2rx=0(r>0)化为参数方程

（1） 以曲线上的点与圆心的连线和x 轴正方向的夹角ϕ为参数

（2） 以曲线上的点与原点的连线和x 轴正方向的夹角θ为参数

7．根据下列条件研究参数方程⎩

⎨⎧+-=+=ααsin 1cos 2t y t x 表示何种曲线 （1）α为参数，t 为常数

（2）α为常数，t 为参数

8.已知直线l 经过点P(-3,3)、倾斜角为arccos()54

-且与曲线⎩

⎨⎧=+=ϕϕsin 3cos 31y x 相交于A,B 两点，求|AB|的值 9．已知炮弹运动轨迹的参数方程是)0(21sin cos 0200t t gt t v y t v x <≤⎪⎩

⎪⎨⎧-==αα，设v 0是定值， α可以变动，α为何值时，炮弹的射程最大？最大值是多少？

10．设排球场总长为18米，网高为2米，运动员站在离网3米远的线上正对网竖直跳起，把球水平向前击出，如果击球点高度为2.5米，问球水平向前击出时，速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界。

11．椭圆122

22=+b

y a x (a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两个端点B 1,B 2的连线交x 轴于点N 和K ，长轴右端点为A,求证：2

||||||OA OK ON =⋅

【学习体会】