球的内切与外接问题讲课

.
1

1 2
= =
=2
°
2 30
1
1
= = 1 = 1
2
2
1

= =



2 + 2 = 5
= 42 = 4 ⋅ 5 = 20

22
例4 （3）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，
则该球的表面积为(
44
3
)A. π
B.
484
π
9
81
4
C. π
D．16π
05
圆 锥 圆 柱 柱 模 型
五、圆锥与圆柱外接球的求法
R (h R) r
2
2
2
r 2 h2
R
2h
（其中为底面的外接圆半径，1 = ℎ）
h
2
2
( )r R
2
（其中为底面半径，圆柱高为ℎ）
例4
如图所示，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最
4
正四面体内切球半径为 =
6

12
．
可以补形为正方体且正方体的棱长
2
3
6
R
a

a ，即正四面体外接球半径
2
2
4
，
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内。
四面体中， = = , = = , = = . 这种四面体叫做
对棱相等四面体
01
基
础
知
识
球的性质
球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径 R，截面圆的
2

内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。

)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面

A. 4π
B. 12π
C. 16π
D.
32 3
π
·8· 惊叹数学的波澜壮阔之势 赏析数学的对称和谐之美！
领悟数学的高瞻远瞩之能 铸就数学的茅塞顿开之境！
学习数学 领悟数学 满分数学
7. (2021• 咸阳模拟 ) 在直三棱柱 ABC
- A1B1C1 中，AB = BC = 2，∠ABC =
π 2
，若该直三棱柱的外接球表面积
棱锥体积的最大值为
3
3 4
，则其外接球的半径为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D.
2 3
3 ，AC = 3，若该三
考点四 含二面角的外接球终极公式
双距离单交线公式：R2 =
m2 + n2 − 2mncosα sin2α
+
l2 4
如下图，若空间四边形 ABCD 中，二面角 C − AB − D 的平面角大小为 α，ABD 的外接球球心为 O1，ABC 的外
为 16π，则此直三棱柱的高为（ ）
A. 4
B. 3
C. 4 2
D. 2 2
图1
图2
8. (2021• 呼和浩特一模 ) 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 上，且 AB = AC = BC = BD = CD = 4，AD =
2 6 ，则球 O 的表面积为（ ）
A.
70π 3
B.
80π 3
C. 30π
接球球心为 O2，E 为公共弦 AB 中点，则 ∠O1EO2 = α，O1E = m，O2E = n，AE =
l 2
，OA = R，由于 O、O1、E、O2
四点共球，且 OE = 2R =