空间几何体的外接球和内切球问题
空间几何体的外接球和内切球问题
类型1 外接球的问题
1.必备知识：
(1)简单多面体外接球的球心的结论.
结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
(2)构造正方体或长方体确定球心.
(3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.
2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法
1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径
例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ）
A.3
B.6
C.36
D.9
训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.25π
B.26π
C.32π
D.36π
训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2
，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π
例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773
π B.2873π C.19193π D.76193
π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )
A.23π
B.234π
C.64π
D.643
π 类型2 内切球问题
1.必备知识：
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.
2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.
【例3】 体积为4π3
的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 空间几何体的外接球和内切球问题近几年高考题
1、（2019全国1卷第12题）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）
A ．
B ．
C ． D
2、（2018全国3卷第10题）．设A B C D ，，
，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等
边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2017全国1卷第16题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______．
4、（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A.π
B.
3π4 C.π2 D.π4 5、（2016年全国1卷第6题）．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3
，则它的表面积是 ( )
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
6、（2016年全国3卷第10题）在封闭的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若
AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是( )
(A)4π (B)9π2 (C)6π (D)
32π3
7、（2015年全国1卷第11题）．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）
（A ） 1 （B
）2 （C ）4 （D ）8
8、（2015年全国2
卷第9题）．已知
是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥
体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π 7.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的
表面积为( )
A.81π4
B.16π
C.9π
D.27π4
9、（2013年课标1卷第6题）、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A 、500π3cm 3
B 、866π3cm 3
C 、1372π3cm 3
D 、2048π3cm 3
10、（2012课标卷第11题）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 22
11、（2011课标卷第15题）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且
,则棱锥的体积为 。
12、（2010课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A ） （B ） （C ） （D ） ABCD O 6,AB BC ==O ABCD -2a π273
a π2113a π25a π
