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高中数学竞赛专题讲座---代数极值

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代数极值很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.一、条件极值问题例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++=,求1221311111nn nn a a a a a a a a a a -+++++++++++++的最小值.解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++用常数1代换,得1212111()21122n n a a a a a a a a +++++==+++--,同理,21322112na a a a a +=++++-,……, 112112n n n a a a a -+=+++-,令111nini i jj a y a a ===-+∑∑,则12222222ny n a a a +=+++---. 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221n ni i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111(21)(2)22nn ni i i i i in a a a ===-=-⋅--∑∑∑ 2212n i n =⎛⎫-= ⎝∑.∴2221n y nn +-,即222121n n y n n n -=--.当且仅当 121n a a a n ====时,上式等号成立.从而,y 有最小值21nn -. 评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.例2 设1xy =,且0x y >>.求22x y x y+-的最小值.解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则2222()2()222x y x y xy yx y x y y+-+∆+==--∆.当且仅当y ∆=即x y ==.因此22x y x y +-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111212121a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +===∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭2()x y z ++.从而,2()1222[(2)(2)(2)]y z xx y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++,即1111212121a b c +++++.当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明23222333121aa ab c+++而得到最小值.二、多元函数极值问题例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值.解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =.评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法. 例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足112nii x =∑,求121(,,,)(1)nn i i f x x x x ==-∏的最小值.解:当1221,,,,n n n x x x x x --+都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+=, ①则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------其中121212n nx x x x x x '''+++=+++.再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)(1)1()2n n x x x x x x --->-+++,其中等号当1231,02n x x x x =====时取得.∴所求最小值为12. 评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.例6 给定实数25a >.对于满足条件55111i i i ix a x==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求{}{}1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.解:由对称性,设12345x x x x x ,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,2342342341111(,,)(1)(1)a f x x x x x x u u x x x ==++++++++2111u +++ ⎝,3,(3)10a u a u---+,356a a au-++-.另一方面,将34,x x看作常数,23422(,,)(,,0)a f x x x xxβαγαβγ==⋅++>.2x>时,f为凸函数,在21x=或2x u=时取得最大值.同理,f在34,1x x=或u时取得最大值.设f取得最大值时,234,,x x x中有k个为u,3k-个为1,0,1,2k=.此时,1(31)(31)kf ku k u ku u=+-+++-++=222(1)3(1)(4)(41)u u u uk ku u u--++-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为32k=,故1k=或2时,f取得最大值.23421(,,)(23)(3)6()13a f xx x u uu u∴=++=++21=+,1125,626a a au--+-u∴={}{}1234512345max,,,,min,,,,x xx x xx x x xx22,⎡⎤⎢⎥∈⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、无理函数极值问题例7求函数()fx的最大值.解:由于()fx==.令2(3,2),(0,1),(,)A B P x x,则()f x PA PB=-.于是,问题转化为在抛物线2y x=上求一点P,使PA PB-最大.因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组2121030y xyx⎧=⎪⎨--=⎪--⎩确定,消去y,得2330x x--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()f x有最大值AB=评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB-例8 求函数()2f x x=.解:由于()22f x x x =+=+可令1,[,]2222x ππθθ-=∈-,则12x θ=.于是5()()11sin()2f x g θθθθϕ===++,其中ϕ=. 因为[,]22ππθ∈-,故]22ππθϕ+∈+,从而sin()[θϕ+∈,即7()[1]2g θ∈,故min max 7()1()2f x f x ==. 评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.例9 求函数y =的最小值．解：先求定义域(,0][2,)-∞⋃+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min min{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．评注:运用单调性,简单巧妙.例10 求函数y =解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和，故min y =．解法二:y =≥=≥0x =时，两等号同时成立，故min y =．例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=． 解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-． 126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u (1)．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（2）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，686)6(8)(-+-=---=x x x x x x x f ，x -8 ，61-+x x在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求2222xy yzx y z+++的最大值. 解:)222xy yz ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭222222211112222a a x y by z x b y z a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令1122a b a b =+=,解得5a b ==.所以22252()2xy yz x y z +++.当且仅当105x z ==时等号成立. 故2222xy yzx y z+++评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.例13 对所有,,a b c R +∈,+.解:作代换x y z ===,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2228a x a bc =+,即22181bcx a =-.同理,222218181,1ac ab y b z c -=-=.将以上三式相乘, 得222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故222222222111(1)(1)(1)111x y z x y zx y z ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222[()]x x x y z 2->∑∏222[()(2)](2y z x y z yz x y z +++=∏∏512=.矛盾.所以1x y z ++.从而,当a b c ==时,所求最小值为1.评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.例14 已知,,a b c R +∈,求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216461612a x y zb x y zc x y z =-++=-+=+-. 故914191496138432861648a b c y x z x z y b c c a a b x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由均值不等式得 上式1116147461286164848⨯+⨯+⨯-=.当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,所求最小值为4748.评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求222223111p a b c =-++++的最大值. 解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,)2παβγ∈.由abc a c b ++=,得1a cb ac+=-,即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++2cos 21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+22sin sin(2)3cos γαγγ=++22102sin 3cos 33sin 2sin 3γγγγ+=-+.因此,当12,sin 23παγγ+==,即,24a b c ===时,max 103p =. 评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.。

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高中数学竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题第二讲 均值、柯西、排序不等式开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

一、知识精讲1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。

②),(2*R b a ab ba ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。

2.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。

注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

1.均值不等式：设123,,,n a a a a 是n 个正实数，记n Q =，12nn a a a A n+++=，n G =12111n nn H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a ===。

,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。

2.柯西不等式：柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则2222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。

高中数学竞赛培训教程 初等代数

高中数学竞赛培训教程 初等代数

高中数学竞赛培训教程初等代数第一章代数基础整数是数学中最基本的数，包括正整数、负整数和零。

在代数中，我们经常使用整数来进行运算和表示未知数。

1.2 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

在代数中，我们常常使用有理数来计算方程的根，解方程组等。

实数是包括有理数和无理数的数集。

在代数中，我们必须了解实数的性质和运算法则，才能进行更复杂的数学运算和证明。

第二章一次方程与不等式2.1 一次方程一次方程是指最高次项为一次的代数方程。

我们需要学习如何解一次方程，并利用解方程的方法解决实际问题。

2.2 一次不等式一次不等式是指最高次项为一次的不等式。

我们需要学习如何解一次不等式，并应用不等式来解决实际问题。

2.3 一次方程与一次不等式的应用一次方程与一次不等式在实际问题中的应用非常广泛。

我们需要学会如何将实际问题转化为一次方程或一次不等式，并利用解方程和解不等式的方法得出问题的解。

第三章二次方程与不等式3.1 二次方程的定义与性质二次方程是指最高次项为平方项的代数方程。

我们需要学习二次方程的基本性质，如判别式、根的性质等。

3.2 二次方程的解法解二次方程是数学中非常重要的一部分。

我们需要学会使用求根公式、配方法等解二次方程，以及利用因式分解、完全平方式解二次方程。

3.3 二次不等式的解法解二次不等式是在二次方程的基础上进一步扩展的。

我们需要学会使用判别式、区间判断等方法来解二次不等式，并应用它们来解决实际问题。

第四章分式与分式方程4.1 分式的定义与性质分式是指一个整数与一个非零整数的比值。

我们需要学习分式的基本性质，如约分、通分、化简等。

4.2 分式的运算分式的加减乘除是数学中常见的运算。

我们需要学习如何进行分式的加减乘除，并应用它们解决实际问题。

4.3 分式方程的解法分式方程是包含分式的方程。

我们需要学会解分式方程，并利用解方程的方法解决实际问题。

第五章根式与根式方程5.1 根式的定义与性质根式是指包含根号的数。

全国高中数学联赛竞赛大纲稿及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲稿及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容; 补充要求：面积和面积方法;2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点;到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心;三角形内到三边距离之积最大的点--重心;4、几何不等式;5、简单的等周问题;了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大; 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大;在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小; 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小;6、几何中的运动：反射、平移、旋转;7、复数方法、向量方法; 平面凸集、凸包及应用;二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带绝对值的函数的图像;三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式;2、第二数学归纳法;递归,一阶、二阶递归,特征方程法; 函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程;3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用;4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用;5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式;6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理;7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质;三、立体几何1、多面角,多面角的性质;三面角、直三面角的基本性质;2、正多面体,欧拉定理;3、体积证法;4、截面,会作截面、表面展开图;四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用;2、二元一次不等式表示的区域;3、三角形的面积公式;4、圆锥曲线的切线和法线;5、圆的幂和根轴;五、其它抽屉原理; 容斤原理; 极端原理; 集合的划分; 覆盖;数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题,如果：1当n＝1时,命题成立；2假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n＝k+1时,命题也成立;那么,命题对于一切自然数n来说都成立;2、棣美弗定理：设复数z=rcosθ+isinθ,其n次方z^n = r^n cosnθ+isinnθ,其中n为正整数;3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法;其步骤为：假设方程有解,并设X为最小的解;从X推出一个更小的解Y;从而与X的最小性相矛盾;所以,方程无解;4、同余：两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a ≡ b mod m ,读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余; 比如26 ≡ 14 mod 12定义设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|a-b,则称a与b关于模m同余,记作a≡bmod m,读作a同余于b模m.;有如下事实：1若a≡0mod m,则m|a；2a≡bmod m等价于a与b分别用m去除,余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法; 详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系;例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系;可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类;7、高斯函数：fx=ae-x-b^2/c^2 其中a、b与c为实数常数 ,且a > 0.8、费马小定理：假如p是质数,且a,p=1,那么 a^p-1 ≡１mod p 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的p-1次方除以p的余数恒等;9、欧拉函数：φ函数的值：通式：φx=x1-1/p11-1/p21-1/p31-1/p4…..1-1/pn,其中p1, p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数;φ1=1唯一和1互质的数就是1本身;若n是质数p的k次幂,φn=p^k-p^k-1=p-1p^k-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质;欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φmn=φmφn;特殊性质：当n为奇数时,φ2n=φn, 证明于上述类似;10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1 ,… ,mk 为两两互素的正整数,m＝m1,…mk ,m＝miMi,i＝1,2,… ,k ;则同余式组x≡b1modm1,…,x≡bkmodmk的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk modm;式中M'iMi≡1 modmi,i＝1,2,…,k ;11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程称为裴蜀等式：若a,b是整数,且a,b=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立;它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.11、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线,则FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理： 如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F,且满足FB AF EA CE DC BD ••=1,则D 、E 、F 三点共线; 13、塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点,AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M,则1=••PA CP NC BN MB AM14、塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上,且满足1=••PA CP NC BN MB AM ,则AN 、BP 、CM 相交于一点;15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和;推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c,对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+16、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2,则有AC AB DCBD = 外角平分线定理：如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D,则有AC AB DC BD = 17、托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形,则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD18、三角形位似心定理：如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P19、正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===R 为△ABC 外接圆半径余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边,则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;20、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC,PE ⊥AC,PF ⊥AB,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,此直线称为西姆松线;21、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF不论其六顶点排列次序如何,其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线;。

高中数学竞赛专题讲座---离散极值

高中数学竞赛专题讲座---离散极值

离 散 极 值一. 知识与方法所谓离散极值，就是指以整数、集合、点、线、圆等离散对象为背景，求它们满足某些约束条件的极大值或极小值。

这类问题的解法与一般函数（连续变量）极值的解法有很大的差异。

对于这类非常规的极值问题，要针对具体问题，认真分析，细心观察，选用灵活的策略与方法，通常可以从论证与构造两方面予以考虑。

先论证或求得该变量的上界或下界，然后构造一个实例说明此上界或下界可以达到，这样便求得了该离散量的极大值或极小值。

在论证或求解离散量的上界或下界时，通常要对离散量做出估计，在估计的过程中，构造法、分类讨论法、数学归纳法、反证法、极端原理、抽屉原理等起着重要的作用。

二. 范例选讲例1. m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n ，问3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论。

（1987年第二届全国数学冬令营试题）思路分析：先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界，然后举例说明此上界可以达到，从而得到3m+4n 的最大值。

解：设a 1,a 2,…,a m 是互不相同的正偶数，b 1,b 2,…,b n 是互不相同的正奇数，使得a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+… +b n =1987 ①，这时分别有：a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m=m(m+1) ②，b 1+b 2+…+b n ≥1+3+…+(2n -1)=n 2 ③，由①,②,③得m²+m+n 2≤1987,因而有（m+21）2+n 2≤119874+ ④，由④及柯西不等式，得3（m+21）+4n≤4119875)21(.432222+≤+++n m ,由于3m+4n 为整数，所以3m+4n 221≤ ⑤，另一方面，当m=27,n=35时，m 2+m+n 2=1981<1987,且3m+4n=221。

故3m+4n 的最大值为221。

评注：在论证过程中用到了柯西不等式与一般二元一次不定方程的求解方法。