高中数学竞赛专题讲座之 数列
一、选择题部分
1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2
2
45
n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ）
()A 1a
()B 2a
()C 3a ()D 4a
2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ）
A 、98
B 、99
C 、100
D 、101
3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）
A. 2007
B. 2008
C. 2006
D. 1004
4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125
1
的最小整数n 是 （ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-
3
1
的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=
3
11]
)31
(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。
5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=n
n x x -+313，则
∑=2005
1
n n
x
= （ ）
A ．1
B ．-1
C ．2+3
D ．-2+3
解：x n+1=
n n x x 3
3
133
-
+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6
π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1,
x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有
∑===2005
1
11n n
x x
。故选A 。
6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、
的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅>则数列{n C }的前10项和为 ( C )
A .1010A
B + B. 1010
2
A B + C.1010A B ⋅
7．（2006年浙江省预赛）设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 14321)123(222=++=f 。记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝
(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ） 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有
Λ→→→→→→→→→→→164204214589583716402006
从16开始，n f 是周期为8的周期数列。故.145)16()16()16()2006(48250420042006====⨯+f f f f 正确答案为D 。 二、填空题部分
1.数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1
(21n n n a a S +
=,则n a
O
O O M N N N
15101051146411331121111
2．（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，d c b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 194 ．
3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这
个数列前n 项和为S(n)，则)
(lim 3
n S n n +∞→=___________。
4．（2006年江苏）等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比1
2
q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n = 12 时，()f n 有最大值．
5. 在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {}
Λ,2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线x y 2
32=
上从左向右依次取点列{}Λ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-∆（Λ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。
【解】：设第n 个等边三角形的边长为n a 。则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为（2
121n
n a a a a +
+++-Λ， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++++-223121n n a a a a Λ）
。 再从第n 个等边三角形上，我们可得n B 的纵坐标为
n n n
a a a 23212
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-。从而有
⎪⎭⎫ ⎝⎛
++++=-2232
3
121n n n a a a a a Λ，即有 2
211212n n n a a a a a +
+++=-Λ。 由此可得2212
12n n n a a a a a +=+++Λ （1） , 以及 2
11121212---+=+++n n n a a a a a Λ （2）
（1）－（2）即得 ))((2
1
)(21111---+-+-=
n n n n n n n a a a a a a a . 变形可得 0))(1(11=+----n n n n a a a a .
由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a 。在（1）式中取n ＝ 1，可得 2112
1
21a a =，
而01≠a ，故11=a 。 因此第2005个等边三角形的边长为 20052005=a 。
6.(2005年浙江)已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = !
20051
!2005+。
【解】：由 n x x n n n +=++1)1(，推出 1
1
11+-=
-+n x x n n 。因此有 )!
1(1
2)1()1(1)1()1(1)1(11111211+=-+-==-+-=+-=+-=---+n n n n x n n n x n n x n x x n n n n ΛΛ.
即有 1)!1(1
1++=+n x n 。 从而可得 !
20051!20052005+=x 。
7. (2005全国)记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4
433221=∈+++==i T a a a a
a M T i 将M 中的元素
按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
A ．43273767575+++
B ．43272767575+++
C ．43274707171+++
D ．4327
3707171+++
解：用p k a a a ][21K 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以4
7，得
32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=
M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个
