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函数 f(x)在区间(a，b)上的最值 在区间(a，b)上函数 f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一 定有最值．常见的有以下几种情况： 如图，图①中的函数 y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值； 图②中的函数 y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值； 图③中的函数 y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；
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图④中的函数 y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值．( × ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( √ ) (3)函数 f(x)在区间[a，b] 上的最大值和最小值一定在两个端点处取 得．( × )
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2．做一做 (1)设函数 f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则 f(x)________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数 y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． (3)已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为 1，则 m＝ ________.
答案 (1)无 (2)15 (3)1
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探究1 求已知函数的最值 例 1 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解] (1)f′(x)＝3x2－2ax.因为 f′(1)＝3－2a＝3，所以 a＝0. 又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3. 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0.
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(2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a.
因为 f－23＝12577，f(1)＝72，又 f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数 f(x)在 [－2,2]上的最大值是 7，最小值是－1.
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(2)f′(x)＝12＋cosx， 令 f′(x)＝0，解得 x＝23π或 x＝43π. 因为 f(0)＝0，f23π＝π3＋ 23，f43π＝23π－ 23，f(2π)＝π， 所以函数 f(x)在[0,2π]上的最大值是 π，最小值是 0.
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
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1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函
数在[a，b]上一定能够取得 □01 最大值 和 □02 最小值 ，并且函数的最值必
在极值点或区间端点取得．
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当－1<23a<0，即－32<a<0 时，f(x)在－1，23a上单调递增；在23a，0上单 调递减，则 f(x)max＝f23a＝－247a3.
－1－a，a≤－32， 综上所述，f(x)max＝－247a3，－32<a<0，
0，a≥0.
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2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 □03 极值 ； (2)将函数 y＝f(x)的 □04 各极值与 □05 端点处的函数值
中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
f(a)，f(b)比较，其
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拓展提升 常见结论
(1)当 f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点 处取得．
(2)当图象连续不断的函数 f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可 以断定 f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．
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【跟踪训练 1】 (1)求函数 f(x)＝x3－12x2－2x＋5 在区间[－2,2]上的最大 值与最小值；
(2)求函数 f(x)＝12x＋sinx 在区间[0,2π]上的最大值与最小值． 解 (1)因为 f(x)＝x3－12x2－2x＋5，所以 f′(x)＝3x2－x－2.令 f′(x)＝0， 得 x1＝－23，x2＝1.
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探究2 由函数的最值确定参数的值 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为 3，最小值为 －29，求 a，b 的值．
[解] 由题设知 a≠0，否则 f(x)＝b 为常函数，与题设矛盾． f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)．
当23a≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4A．
当23a≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0. 当 0<23a<2，即 0<a<3 时，f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递 增，
从而 f(x)max＝80－2<4aa<03<.a≤2， 综上所述，f(x)max＝80－a>42a.a≤2，
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[条件探究] 将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？
[解] 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a．
当23a≥0，即 a≥0 时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而 f(x)max＝f(0)＝0； 当23a≤－1，即 a≤－32时，f(x)在[－1,0]上单调递减， 从而 f(x)max＝f(－1)＝－1－a；
