当前位置：文档之家 › 九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理同步检测新版湘教版

九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理同步检测新版湘教版

  • 格式：doc
  • 大小：413.00 KB
  • 文档页数：9

2.3垂径定理同步检测一、选择题1．下列语句中，不正确的个数是( )①弦是直径②半圆是弧③长度相等的弧是等弧④经过圆内一点可以作无数条直径A．1 B．2 C．3 D．42. 如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40°B．45°C．50°D．60°3. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°4．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )A．80°B．160°C．100°D．80°或100°5.如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( )A．3 B．4C．3 2 D．4 26.(2014年贵州黔东南6．（4分）)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 2cm二、填空题7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为________．8. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．9．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．10．当宽为 3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为________cm.11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥M N于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．三、解答题12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P.求证：(1)D 是BC 的中点；(2)△BEC∽△ADC.13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⌒BD的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F. 求证：CF ＝BF.14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E ，连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC ＝OD.15. 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8 m，罐底最低点到地面CD距离为1 m．设油罐横截面圆心为O，半径为5 m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin 53°≈0.8，tan 56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)参考答案：1、解析 直径是弦，但弦不一定是直径故①不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故②正确，等弧是能够重合的弧故③不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故④不正确。

)答案 C2.解析 连接OB ，∵∠A＝50°，∴∠BO C ＝2∠A＝100°，∵OB ＝OC ，∴∠OCD ＝∠OBC＝12(180°－∠BOC)＝40°.答案 A3.解析 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ABD ＝55°，∴∠A ＝90°－∠ABD＝35°，∴∠BCD ＝∠A＝35°.答案 A4．解析 如图，∵∠AOC＝160°，∴∠ABC＝12∠AOC ＝12×160°＝80°， ∵∠ABC ＋∠AB′C＝180°，∴∠AB ′C ＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.∴∠ABC 的度数是：80°或100°.答案 D5.解析 作OM⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，连接OB ，OD ，由垂径定理、勾股定理得：OM ＝52－42＝3，∵弦AB 、CD 互相垂直，∴∠DPB ＝90°，∵OM ⊥AB 于M ，ON⊥CD 于N ，∴∠OMP ＝∠ONP＝90°∴四边形MONP 是正方形，∴OP＝3 2.答案 C6.解答： 解：连结O A ，如图，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∴AE=BE，△OAE 为等腰直角三角形， ∴AE=OA ，∵CD=6，∴OA=3， ∴AE=， ∴AB=2AE=3（cm ）．故选B ．7. 解析 连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝AM ＋BM 2＝18＋82＝13，∴OM＝13－8＝5，在Rt △ODM 中，DM ＝OD 2－OM 2＝132－52＝12，∵直径AB⊥弦CD ，∴AB ＝2DM ＝2×12＝24.答案 248. 解析 连接OE ，∵∠ACB＝90°，∴点C 在以AB 为直径的圆上，即点C 在⊙O 上，∴∠EOA ＝2∠ECA ，∵∠ECA ＝2×35°＝70°，∴∠AOE ＝2∠ECA＝2×70°＝140°.答案 1409．解析 由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.答案 8或1010．解析 连接OA ，过点O 作OD⊥AB 于点D ，∵OD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝ 12(9－1)＝4，设OA ＝r ，则OD ＝r －3， 在Rt △OAD 中，OA 2－OD 2＝AD 2，即r 2－(r －3)2＝42，解得r ＝256cm. 答案 256 11.解：连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BC H中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．12. 证明(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即∠CEB＝∠CDA＝90°，∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC.13. 证明如图．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠2＝90°－∠ACE＝∠A.又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A.∴∠1＝∠2，∴ CF＝BF.14．证明(1)∵OD⊥AC OD为半径，∴⌒CD＝⌒AD，∴∠CBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；(2)∵OB＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∴∠AOD ＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°，又∵OD⊥AC 于E ，∴∠OEA＝90°，∴∠A ＝180°－∠OEA－∠A OD ＝180°－90°－60°＝30°，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt △ACB 中，BC ＝12AB ， ∵OD ＝12A B ，∴BC＝OD. 15. 解 如图，连接A O 、BO.过点A 作AE⊥DC 于点E ，过点O 作ON⊥DC 于点N ，ON 交⊙O 于点M ，交AB 于点F ，则OF⊥AB.∵OA ＝OB ＝5 m ，AB ＝8 m ，∴AF ＝BF ＝12AB ＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF，在Rt △AOF 中，sin ∠AOF ＝AF AO＝0.8＝sin 53°， ∴∠AOF ＝53°，则∠AOB＝106°，∵OF ＝OA 2－AF 2＝3(m)，由题意得：MN ＝1 m ，∴FN ＝OM －OF ＋MN ＝3(m )，∵四边形ABCD 是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE ＝FN ＝3 m ，DC ＝AB ＋2DE.在Rt △ADE 中，tan 56°＝AE DE ＝32， ∴DE ＝2 m ，DC ＝12 m.∴S 阴＝S 梯形ABCD －(S 扇形OAB －S △OAB )＝12(8＋12)×3－⎝ ⎛⎭⎪⎫106360π×52－12×8×3 ≈20(m 2)．答 U 型槽的横截面积约为20 m 2.。

合集下载

九年级数学下册第2章圆 2.3垂径定理 同步练习新版湘教版

九年级数学下册第2章圆 2.3垂径定理 同步练习新版湘教版

2.3 垂径定理一、选择题1．下列命题错误的是链接听课例1归纳总结( )A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧C．垂直于弦的直径平分这条弦D．弦的垂直平分线经过圆心2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )图K－14－1A．64° B．58° C．32° D．26°3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为( )A．9 cm B．6 cmC．3 cm D.41 cm4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ( )图K－14－2A.7 B．27 C．6 D．85.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )图K－14－3A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )图K－14－4A．4 2B．8 2C．8D．167．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )图K－14－5A．3 B. 3 C．4 D.3 38．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )图K－14－6A．7 cm B．8 cmC．7 cm或1 cm D．1 cm二、填空题9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°. 10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．图K－14－711．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 2，则∠COD的度数为________．三、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.链接听课例2归纳总结图K－14－813．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．图K－14－914．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．图K－14－1015．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．图K－14－11素养提升探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K－14－121．B2．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED ⊥AB 于点M ，则ED ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，由垂径定理知M 为AB 的中点， ∴AM ＝4 cm.∵半径OA ＝5 cm ，∴OM 2＝OA 2－AM 2＝25－16＝9， ∴OM ＝3(cm)． 4．B5．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D.∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ，∴OC ＝5 cm. 又∵OB ＝13 cm ，∴在Rt △BCO 中，BC ＝OB 2－OC 2＝12 cm ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.6．[解析] B ∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝4 2，∴CD ＝2CE ＝8 2.故选B. 7．[解析] B ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ， ∴M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN 是等边三角形ABC 的中位线． ∵MN ＝1，∴AB ＝AC ＝BC ＝2MN ＝2， ∴S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3.8．C9．[答案] 55[解析] 连接OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO.又∵OD 是⊙O 的半径，弦AB ⊥OD 于点E ，∠AOD ＝70°， ∴AD ︵＝BD ︵，∠AOB ＝140°，∴∠C ＝12∠AOD ＝35°，∠A ＝∠ABO ＝20°，∴∠A ＋∠C ＝55°.故答案是55.10．[答案] 3≤OP≤5[解析] 连接OA ，作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝4.由勾股定理，得OA ＝AC 2＋OC 2＝5，则OP 的取值范围是3≤OP≤5.11．[答案] 150°或30°[解析] 如图所示，连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E.∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°.∵AD ＝2 2，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.12．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC ，由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8， ∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.13．(1)确定点D 的位置略 (2，－2) (2)⊙D 的半径为2 5 14．解：(1)BC ∥MD.理由：∵∠M ＝∠D ，∠M ＝∠C ， ∴∠D ＝∠C ，∴BC ∥MD. (2)∵AE ＝16，BE ＝4， ∴OB ＝16＋42＝10，∴OE ＝10－4＝6.连接OC ，如图①. ∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD.在Rt △OCE 中，∵OE 2＋CE 2＝OC 2，即62＋CE 2＝102，∴CE ＝8，∴CD ＝2CE ＝16.(3)如图②，∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ，∴∠D ＝12∠BOD.又∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝13×90°＝30°.15．解：(1)如图①，设E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E 于点D ，则F 是AB 的中点，AF ＝FB ＝12AB ＝40米，EF ＝ED －FD ＝AE －DF.由勾股定理知AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －DF)2.设⊙E 的半径是r ，则r 2＝402＋(r －20)2， 解得r ＝50.即桥拱的半径为50米．①②(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥． 理由：如图②，设MN 与DE 交于点G ， GM ＝30米．在Rt △GEM 中，GE ＝EM 2－GM 2＝502－302＝40(米)． ∵EF ＝50－20＝30(米)，∴GF ＝GE －EF ＝40－30＝10(米)． ∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．[素养提升]解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4， 即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．理由：连接AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE ＝12AB ＝5 22，其长度保持不变．。

精选2019届九年级数学下册第二章2-3垂径定理练习(新版)湘教版

精选2019届九年级数学下册第二章2-3垂径定理练习(新版)湘教版

2.3 垂径定理基础题知识点1 垂径定理1．(长沙中考改编)如图，在⊙O 中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙O 的半径长为(B)A.72B.13C ．23D ．42．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，则下列说法错误的是(D)A ．AD ＝BDB ．∠AOE＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE3．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD 的度数是(D)A ．25° B．30° C．40° D．50°4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D.若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是(A)A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm.24．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴x2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙O的直径是20.知识点2 垂径定理的实际应用8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)A．16B．10C ．8D ．69．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意，知OA ＝OE ＝r.∵EF＝1，∴OF＝r －1.∵OE⊥AB，∴AF＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt△OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.∴圆O 的半径为138 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2 cmB. 3 cm C ．2 3 cm D ．2 5 cm。

九年级数学下册第二章2.3垂径定理练习新版湘教版

九年级数学下册第二章2.3垂径定理练习新版湘教版

基础题知识点1 垂径定理1.（长沙中考改编）如图, 在OO中,2.3 垂径定理AB= 6,圆心0到AB的距离0C= 2,则OO的半径长为（B）7A.2B. 13C. 2 32.如图，AB是OO的弦, ODL AB 于交OO于E,则下列说法错误的是（D）A. AD= BD B . Z AOE=Z BOEC.AE= BE D . OD= DE3.如图, 在OO 中，直径CD垂直于弦AB.若Z C= 25°,则Z BOD的度数是（D）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°4.如图, AB是OO的弦, 半径OCLAB于点D.若OO的半径为5, AB= 8，贝U CD的长是（A）A. 2B. 3C.5.如图, AB是OO的直径，弦CDL AB 于点E, OC= 5 cm , CD= 6 cm，贝U OE= 4cm.圆心O 到水面的距离OC 是6,则水面宽 A . 16B . 106.（教材P59例1变式）如图，在O O 中，直径 AB 垂直弦CD 于点M, AM= 18, BMh 8,贝U CD 的长为 24.7.如图，AB 是OO 的直径，弦 CDLAB 于点E ,点M 在OO 上, MD 恰好经过圆心 0,连接 MB.若CD =16, BE = 4,求OO 的直径.解：••• AB! CD CD= 16, ••• CE= DE = 8.设 OB= x ,••• BE= 4,2 2 2•••X = (x — 4) + 8 .解得x = 10.• OO 的直径是20. 知识点2 垂径定理的实际应用& （教材P60习题T1变式）一条排水管的截面如图所示•已知排水管的截面圆半径0B= 10,截面圆C. 8D. 6AB= 3 m，弓形的高EF= 1 m,现计划9•如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度安装玻璃，请帮工程师求出AB所在圆0的半径r.解：由题意，知0A= 0E= r.••• EF= 1,.・.0F= r —1.•/ OEL AB1 1AF= —AB= — X 3= 1.5.2 2在Rt △ OAF 中, oF+AF"= OA2,13 即(r —1)2+ 1.5 2= r2.解得r =813•••圆0的半径为肓m.8易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10. 下列说法正确的是(D)A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C. 过弦的中点的直径垂直于弦D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为(C)A. 2 cmB. 3 cmC. 2 3 cm D . 2 5 cm12. （2018 •枣庄）如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P, AP = 2, BP = 6,Z APC= 30° .贝U CD 的长为(C)提示：过点 O 作 OH L PD 于 H,连接 OD.AP= 2, BP = 6,贝U AO= BO= 4,贝U PO= 2，又/ OP 出/APC(2018 •黄冈)如图，△ ABC 内接于O O, AB 为OO 的直径，/ CAB= 60°，弦 AD 平分/ CAB 若 AD =6,则 AC = 2 .3.（2018 •孝感）已知OO 的半径为 10 cm, AB CD 是OO 的两条弦，AB// CD AB= 16 cm , CD= 12(2018 •安徽)如图，OO 为锐角△ ABC 的外接圆，半径为 5.(1)用尺规作图作出/ BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E ;(保留作图痕迹，不写作法) A. 15 B . 2 5 C. 2 15 D. 8=30°,「. OH= 1 , OD= OB= 4,在 Rt △ HOD 中, HD= oD — oH = 15,.・.CD= 2HD= 2 15.13.如图，以点 P 为圆心的圆弧与x 轴交于A, B 两点，点P 的坐标为(4 , 2)，点A 的坐标为(2 ,0)，则点B 的坐标为(6 , 0). 14. 15. cm, 则弦AB 和CD 之间的距离是 2 或 14cm.16.E ⑵若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.解：(1)画图如图所示.(2) T AE 平分/ BAC••• BE= EC连接OE OC EC,则OEL BC 于点F, EF= 3.在Rt△ OFC中，由勾股定理可得，FC=J'O C— OF=订5 —( 5—3) = 21.在Rt△ EFC中，由勾股定理可得，CE= FC2+ EF= 21+ 32= 30.17. 如图，CD为OO的直径，弦AB交CD于点E,连接BD, OB.(1) 求证：△ AE3A DEB⑵若CDLAB AB= 8, DE= 2，求OO的半径.解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得/ A=Z D,Z C=Z ABD•△AES A DEB.⑵•/ CDLAB O为圆心，1BE= —AB= 4.2设OO的半径为r , T DE= 2，贝U OE= r — 2.•••在Rt △ OEB中，由勾股定理，得OE+ EB"= OB, 即(r —2)2+ 42= r2,解得r = 5.•OO的半径为5.综合题18. 如图，已知/ MAI= 30°, O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作O 0,交AN于D, E两点, 设AD= x.当x为何值时，OO 与AM相交于B, C两点，且/ B0= 90°?解：过点0作OF! BC于点F.•••/ BOC= 90°, 0B= 0C= 2,•••/ OBC= 45°,BC= 0扌+ 0C= 2 2.••9FL BC • BF= 2BO ^2，/ B0F= 45 •••/ 0BF=Z B0F..•.0F= BF= 2.•••/ MAN= 30°,. 0A= 20F= 2 2. • AD= 2 2-2,即当x = 2 2 — 2 时，/ B0C= 90°.小专题（五）与圆的基本性质有关的计算与证明1.已知：如图， A, B, C , D 是OO 上的点，/ 1 = 7 2, AC = 3 cm. ⑴求证：AC = BD（2）求BD 的长.解：(1)证明：T/ 1 = 7 2, ••• CD= AB,CD^ BC = AB+ BCAC = BD⑵ T AC = BD• AC = BD.T AC= 3 cm ,• BD= 3 cm.B 是OO 上的两个定点，P 是OO 上的动点（P 不与A B 重合），我们称7 APB 是OO 上关于点⑵如图，若OO 解：连接OA OB AB.TOO 的半径是1，即OA= OB= 1 ,又T AB= 2,2. A ,B 的滑动角. 已知7 APB 是OO 上关于点 A , B 的滑动角. (1) 若AB 是OO 的直径，则7 APB= 90°;的半径是1 , AB= 2•••/ APB= 2/ AOB= 45°(1)求/ ABD 的度数;解：⑴连接AD.•••/ BCD= 45°,•••/ DAB=Z BCD= 45°.•/AB 是OO 的直径，•••/ ADB= 90°.•••/ ABD= 45°.⑵连接AC.•/AB 是OO 的直径，•••/ ACB= 90°.•••/ CAB=Z CDB= 30°, BC = 3,• AB= 6.•OO 的半径为3.4.如图，A , P , B, C 是圆上的四个点，/ APC=Z CPB= 60°,AP, CB 的延长线相交于点 D. (1)求证：△ ABC 是等边三角形；⑵ 若/ PAC= 90°, AB= 2 3，求 PD 的长.由勾股定理的逆定理可得，/ AOB= 90°3. 如图，AB 是OO 的直径, C, D 两点在OO 上.若/ C = 45 ⑵若/ CDB= 30°, BC= 3, 求OO 的半解：⑴证明：••• A, P, B, C是圆上的四个点，•••/ ABC=Z APC / CPB=Z BAC.•••/ APC=Z CPB= 60°,•••/ ABC=Z BAC= 60°.•••/ ACB= 60°.• △ ABC是等边三角形.(2) •••△ABC是等边三角形，•••/ ACB= 60°, AC= AB= BC= 2 3.•••/ PAC= 90°,「./ DAB=Z D= 30°.BD= AB= 2 3.•••四边形APBC是圆内接四边形，/ PAC= 90°,•••/ PBC=Z PBD= 90°.亠亠BD 2血在Rt△ PBD中，PD= = 、L = 4.cos30 寸3220 5. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB= 80米，桥拱到水面的最大高度为米.求:(1) 桥拱的半径；(2) 现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米?解：⑴过点E作EF丄AB于点F,延长EF交圆于点D,则由题意得DF= 20.由垂径定理知，1 点F是AB的中点，AF= FB= ?AB= 40米,EF= ED- FD= AE- DF,由勾股定理知，A^= AF2+ EF2= AF2+ (AE—DF)2. 设圆的半径是r ,2 2 2则r = 40 + (r —20),解得r = 50.即桥拱的半径为50米.⑵设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H连接EM1则MH= NHk-MN= 30 米，2••• EH=502—302= 40(米).•/ EF= 50 —20= 30(米)，••HF= EH- EF= 10 米.6. 已知△ ABC以AB为直径的OO 分别交AC, BC于点D, E,连接ED若ED= EC.⑴求证：AB= AC;(2)若AB= 4, BC= 2 3，求CD的长.解：(1)证明：T ED= EC,•••/ EDC=Z C.•••/ EDCF/ ADE= 180°,/ ADEF Z B= 180°,•••/ EDC=/ B.• / B=/ C. • AB= AC.⑵连接AE,v AB为直径,• AE1 BC.由(1) 知, AB= AC,• BE= CE= 1B C=3.在厶ABC与厶EDC中,•••/ C=Z C,Z CD吕/ B, •••△ ABSA EDC.,CE_CD•• CA T CB• CE- CB= CD- CA. •/ AC T AB= 4,•• X2 3 = 4CD.3• CD= q.7. 如图，在△ ABC中，AB= BC= 2,以AB为直径的OO 分别交BC, AC于点D, E,且点占八、、♦⑴求证：△ ABC为等边三角形；⑵求DE的长；(3) 在线段AB的延长线上是否存在一点卩，使厶PBD^A AED若存在，请求出PB的长; 请说明理由.解：⑴证明：连接AD.•/AB是OO的直径，•••/ ADB= 90°.•••点D是BC的中点，• AD是线段BC的垂直平分线.• AB= AC.•/ AB= BC, • AB= BC= AC.•△ ABC为等边三角形.⑵连接BE.•/ AB是直径，•/ AEB= 90°.D为BC的中若不存在,• BE! AC.•••△ ABC是等边三角形，••• AE= EC,即E为AC的中点.•••D是BC的中点，故DEABC的中位线,1 1• DE^ -AB^-X 2= 1.2 2⑶存在点P使厶PBD^A AED由⑴(2)知，BD= ED,•••/ BAC= 60°, DE// AB AED= 120°.•••/ ABC= 60°,「./ PBD= 120°.•••/ PBD=Z AED.要使△ PBD^A AED 只需PB= AE= 1.。

湘教版九年级数学下册垂径定理同步练习题

湘教版九年级数学下册垂径定理同步练习题

2.3 垂径定理1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k ≥1。