三角恒等变换专题练习(含答案)

2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。

4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。

三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。