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East China University of Science And Technology §2．5 高阶导数设路程函数)(t s s =速度)(d d 't s tsv ==加速度t v a d d =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=t s t d d d d 22d d t s Δ=或''''')(ss v a Δ===East China University of Science And Technology如果函数y =f (x )的导数y ′=f ′(x )仍然是x 的可导函数。
则把y ′=f ′(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数，类似地，二阶导数y ′′=f ′′(x )的导数叫做函数y =f (x )的三阶导数，记作y ′′，f ′′(x )，或22dx yd ， y ′′′，f ′′′(x )， 或33dx y d ，即 y ′′=(y ′)′ ，f ′′(x )=[f ′(x )]′ ，或)(22dxdy dx d dxyd =。
即 y ′′′=(y ′′)′，f ′′′(x )=[f ′′(x )]′ ，或)(2233dx y d dx d dx yd =。
xx f x x f x Δ−Δ+→Δ)()(lim''0()y f x x =称此极限值为在点的二阶导数,记为存在如果East China University of Science And Technology 一般地，函数y =f (x )的(n −1)阶导数的导数叫做函数y =f (x )的n 阶导数，记作y (n )，f (n )(x )，或n n dxyd ，我们把y =f (x )的导数f ′(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数，把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
即 y (n )=[y (n −1)]′，f (n )(x )=[f (n −1)(x )]′，或n n dxy d )(11−−=n n dx yd dx d 。
§ 4 高阶导数高阶导数的概念：加速度高阶导数定义:注意区分符号和以函数为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法: 函数在处的阶导数记为相应的阶导数记为二. 几个特殊函数的高阶导数:1.多项式: 多项式的高阶导数.例1 求和.2. 正弦和余弦函数: 计算、、、的公式.3．和的高阶导数：4．的高阶导数：5．的高阶导数：6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数为例，求.三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则1．2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：例设求利用萊布尼兹公式，取注意：利用萊布尼兹公式时要注意与的选取次序，否则会使计算复杂。
例2 求解例3 求解例4 其中二阶可导. 求例5 验证函数满足微分方程并依此求解两端求导即对上式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有可见函数满足所指方程.在上式中令得递推公式注意到和, 就有时,时,四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求解习题课一. 可导条件:例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.例2 设函数在点可导, 则在点不可导.例3设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内例4的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件并有证设存在, 定义易验证函数在点连续, 且设又在点连续. 则有即存在且二. 求导数或求切线:例4 求和例5 求例6 求解设其中为的多项式. 注意到对任何正整数则有所以，对有例7 抛物线方程为求下列切线:⑴过点( 该点在抛物线上 ) ( )⑵过点.(该点不在抛物线上 ) ( 和)一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.例8 设确定、和的值，使函数在点可导. )四. 奇、偶函数和周期函数的导函数：例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设是偶函数且在点可导, 则.证即由存在，简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.五. 关于可导性的一些结果:1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数. 例如该函数仅在点可导.3.存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—5, 或Mark Lynch , 《A continuous ， nowheredifferentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9.近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8.小结：莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4）生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
