求高阶导数
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3.7高阶导数的常见求导方法
高阶导数的常见求导方法如何求高阶导数？(()()).f x f x '''''对于较低阶的高阶导数如，可采用逐次向上求导方法(),()1.例设求xf x xe f x '''=解()(1),xxxf x e xe x e '=+=+()(1)(2),x x xf x e x e x e ''=++=+()(2)(3).xxxf x e x e x e '''=++=+()(())对于较高阶的高阶导数包括可采用等式恒等变形，并运用n fx .求导性质和求导基本公式等方法求导性质：()()()();n n Cu Cu C =⑴为常数()()()()n n n u v uv ±=±⑵；()()()(0)(0)(),莱布尼兹公式⑶，其中=v ．:nn kk n k nk uv C u vuu v −===∑求导基本公式：()(1)(1),,()0,;m nm n m m m n x n m x n m −⎧−−+≤=⎨>⎩⑴()11(1)!()()nn n n x C x C +−++⑵=；()()x n n xe e λλλ=⑶；()()(sin )sin()(cos )cos()22⑷，；n nn nx x n x x n ππωωωωωω=+⋅=+⋅1()()(1)(1)!(1)![ln(1)],[ln(1)](1)(1)n n n n nn n x x x x −−−−+=−=−+−⑸．()2()().12n x f x n f x x =−求的阶导数例2111()(),1(1)(1)211x x f x x x x x x ===+−−+−+解()()()111()[()()]211n n n fx x x =+−+111(1)!(1)![].2(1)(1)n nn n n n x x ++−−=+−+等式恒等变形本例表明非常关键.2(100)3.x y x e y−=例设，求由莱布尼兹公式，解(100)2(100)=()x yx e −02(100)1(99)2(98)100100100=()2()2()x x x Cx e Cx e Ce −−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅22009900xxxx exe e−−−=−+2(2009900).xx x e −=−+总结本讲主要介绍了高阶导数的常见求导方法.。
高阶导数的运算法则
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx
高阶导数
(a1 , a2 ,, an 都是常数)，则y(n) =___________. 8、设 f ( x) x( x 1)( x 2)( x n),
则 f (n1) ( x)=____________.
二、求下列函数的二阶导数：
1、 y 2 x 3 x 4 ； x
2、 y cos2 x ln x ；
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ， 求 f (a) .
思考题解答
g( x) 可导
f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
g( x) 不一定存在 故用定义求 f (a)
f (a) lim f ( x) f (a)
xa
xa
f (a) 0
lim
xa
f ( x)
xa
lim[2g( x) ( x
xa
a)g( x)]
2g(a)
练习题
一、填空题：
1、设 y sin t 则y =_________. et
2、设 y tan x ,则y =_________.
3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an
则 f (n1) ( x)=____________.
二、求下列函数的二阶导数：
1、 y 2 x 3 x 4 ； x
2、 y cos2 x ln x ；
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ， 求 f (a) .
思考题解答
g( x) 可导
f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
g( x) 不一定存在 故用定义求 f (a)
f (a) lim f ( x) f (a)
xa
xa
f (a) 0
lim
xa
f ( x)
xa
lim[2g( x) ( x
xa
a)g( x)]
2g(a)
练习题
一、填空题：
1、设 y sin t 则y =_________. et
2、设 y tan x ,则y =_________.
3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an
高阶导数
k sin( kx n
n
(e )
)
x
( n)
e
x
( 3 ) (cos kx )
(n)
2 n k cos( kx n ) 2
n
(4) ( x )
(n)
( 1) ( n 1) x
( 1)
n1
( 5 ) (ln x )
(n)
( n 1 )! x
n
n
n n !( x 1) cos
πx 16
2
2
各项均含因 子(x–2)
πx 16
f
( n)
( 2)
n!
2 2
20
(2) 已知 f ( x )任意阶可导, 且 f ( x ) [ f ( x )]2 , 则当
n 2 时, f
( n)
( x ) n ! [ f ( x )]
2 2 2
17
例 设 y ( x 2 )( 2 x 3 ) 2 ( 3 x 4 ) 3 , 求 y ( 6 ) .
分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数, 故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
108 x p5 ( x )
y ( 1 )( 2 ) x 2
( 1)
2
3
( 1 )( 2 ) x 1
2
3
( x 2)
n
3
( x 1)
3
,
y
( n)
( 1)
n! ( x 2)
n1
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法包括：直接求导法、公式法、递推法和对数法。
1. 直接求导法：直接对原函数反复求导即可得到高阶导数，例如对于函数f(x)，求出其一阶导数f'(x)，再对f'(x)求导得到二阶导数f''(x)，以此类推求出任意阶导数。
2. 公式法：对于一些特定函数，可以通过已知的导数公式来求出高阶导数。
例如对于幂函数y=x^n，其n阶导数可表示为y^(n)(x)=n!(x)^(n)，其中n!表示n的阶乘。
3. 递推法：将已知的低阶导数与导数的定义结合，可以通过递推的方法求出任意高阶导数。
例如对于函数f(x)，已知它的0阶导数f(x)，1阶导数f'(x)，可以利用导数的定义f^(n)(x)=lim(h->0)[f^(n-1)(x+h)-f^(n-1)(x)]/h，来递推求出任意阶导数f^(n)(x)。
4. 对数法：对于一些复杂函数，可以通过对数函数的导数性质来求出其高阶导数。
例如对于函数f(x)=ln(x)，利用对数函数的导数性质可知f^(n)(x)=(-1)^(n-1)(n-1)!/x^n。
高数第三、高阶导数
x2 )2 ]'
2(3 x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0 0;
f (0)
2(3 x 2 1) (1 x 2 )3
2.
x0
例2 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1)x 2 ) ( 1)( 2)x 3
由介质定理， ( xk , xl ), 使 f ( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )
n
又 ( xk , xl ) [ x1, xn ],
故 ( x1, xn ).
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x ( x 2 20 x 95)
(u v)(n) u(n)v Cn1u(n1)v Cnku(nk)v(k) uv(n)
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
f ( xk )
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( xn ) n
f ( xl )
（2）若 f ( xk ) f ( xl ) 则必有
f ( xk )
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( xn ) n
f ( xl )
不仿设 xk xl , 由于 f ( x) 在[xk , xl ]上连续,
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
高阶导数运算法则
高阶导数的运算法则包括以下几个方面：
1. 一阶导数的求导法则：对常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常
见函数求导时，可以利用相应的求导公式进行计算。
2. 乘积法则：若u(x)和v(x)是可导函数，则它们的乘积的导数可以按照以下方式计算：(u*v)' = u'v + uv'。
3. 商积法则：若u(x)和v(x)是可导函数且v(x)≠0，则它们的商的导数可以按照以下方
式计算：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
4. 链式法则：若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
5. 反函数求导法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则g'(y) = 1 / f'(x)。
6. 隐函数求导法则：对于由x和y的关系式所确定的函数y=f(x)，如果无法显式解出y
作为x的函数，可以使用隐函数求导法则进行求导。
这些是高阶导数运算中常用的法则，通过这些法则可以对各种复杂函数进行高阶导数
的计算。
高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数
(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (
高阶导数的计算技巧
高阶导数的计算技巧在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而高阶导数则是对函数导数的导数，它可以提供更多关于函数曲线的信息。
在实际问题中，有时候需要计算高阶导数，因此掌握高阶导数的计算技巧是非常重要的。
本文将介绍一些计算高阶导数的技巧，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。
一、基本概念回顾在开始介绍高阶导数的计算技巧之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。
对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以写成dy/dx。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。
如果对导数再求导数，就得到了函数的二阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2，它表示函数的斜率变化率。
同理，对二阶导数再求导数，就得到了函数的三阶导数，以此类推，可以得到函数的高阶导数。
二、高阶导数的计算方法1. 利用导数的性质计算高阶导数时，可以利用导数的性质简化计算过程。
例如，如果要计算函数f(x)的n阶导数，可以先求出f'(x)的导数，然后再对f''(x)求导，以此类推，直到求得f(x)的n阶导数。
这样可以逐步简化计算过程，减少出错的可能性。
2. 使用Leibniz符号Leibniz符号是一种表示导数的符号，它可以简化高阶导数的计算。
对于函数y=f(x)，它的n阶导数可以表示为dy/dx，d^2y/dx^2，d^3y/dx^3，...，d^n y/dx^n。
Leibniz符号可以帮助我们清晰地表示出导数的阶数，从而更方便地进行计算。
3. 应用链式法则在计算高阶导数时，经常需要应用链式法则。
链式法则是导数的一个重要性质，它描述了复合函数导数的计算方法。
如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中u=g(x)。
通过链式法则，我们可以简化复合函数的高阶导数计算过程。
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高阶导数
一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式；
其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可
再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况；
最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。
上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。
1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次；
2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后，
根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确；
3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，
很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。
实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。
步骤：
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.
第二步：求f(x)的导数f′(x).
第三步：求方程f′(x)＝0的根.
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.
第六步：明确规范地表述结论.
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。
那个C是组合符号，
C(i,n)=n!/(i!(n-i)!)
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。
展开的形式我就不多说了。
一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。
就本题：
y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+......
如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项，
所以：y的100阶导数=xshx+100chx
1.把常用初等函数的导数公式记清楚；
2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。
这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】
2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】
基本导数公式
3．指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】
4．对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】
5.三角函数
(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx
(2)余弦函数y=（cosx）y'=-sinx
(3)正切函数y=(tanx）y'=1/(cosx)^2
(4)余切函数y=（cotx）y'=-1/(sinx)^2
6.反三角函数
(1)反正弦函数y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2
(2)反余弦函数y=（arccosx）y'=-1/√1-x^2
(3)反正切函数y=（arctanx）y'=1/(1+x^2)
(4)反余切函数y=（arccotx）y'=-1/(1+x^2)
幂函数同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率
上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。
x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.
建议先去搞懂什么是极限。
极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸。
导数是微积分的一个重要的支柱。
牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。