求高阶导数

高阶导数的常见求导方法如何求高阶导数？(()()).f x f x '''''对于较低阶的高阶导数如，可采用逐次向上求导方法(),()1.例设求xf x xe f x '''=解()(1),xxxf x e xe x e '=+=+()(1)(2),x x xf x e x e x e ''=++=+()(2)(3).xxxf x e x e x e '''=++=+()(())对于较高阶的高阶导数包括可采用等式恒等变形，并运用n fx .求导性质和求导基本公式等方法求导性质：()()()();n n Cu Cu C =⑴为常数()()()()n n n u v uv ±=±⑵；()()()(0)(0)(),莱布尼兹公式⑶，其中=v ．:nn kk n k nk uv C u vuu v −===∑求导基本公式：()(1)(1),,()0,;m nm n m m m n x n m x n m −⎧−−+≤=⎨>⎩⑴()11(1)!()()nn n n x C x C +−++⑵=；()()x n n xe e λλλ=⑶；()()(sin )sin()(cos )cos()22⑷，；n nn nx x n x x n ππωωωωωω=+⋅=+⋅1()()(1)(1)!(1)![ln(1)],[ln(1)](1)(1)n n n n nn n x x x x −−−−+=−=−+−⑸．()2()().12n x f x n f x x =−求的阶导数例2111()(),1(1)(1)211x x f x x x x x x ===+−−+−+解()()()111()[()()]211n n n fx x x =+−+111(1)!(1)![].2(1)(1)n nn n n n x x ++−−=+−+等式恒等变形本例表明非常关键.2(100)3.x y x e y−=例设，求由莱布尼兹公式，解(100)2(100)=()x yx e −02(100)1(99)2(98)100100100=()2()2()x x x Cx e Cx e Ce −−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅22009900xxxx exe e−−−=−+2(2009900).xx x e −=−+总结本讲主要介绍了高阶导数的常见求导方法.。

v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx

(a1 , a2 ,, an 都是常数)，则y(n) =___________. 8、设 f ( x) x( x 1)( x 2)( x n),
则 f (n1) ( x)=____________.
二、求下列函数的二阶导数：
1、 y 2 x 3 x 4 ； x
2、 y cos2 x ln x ；
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ， 求 f (a) .
思考题解答
g( x) 可导
f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
g( x) 不一定存在 故用定义求 f (a)
f (a) lim f ( x) f (a)
xa
xa
f (a) 0

lim
xa
f ( x)
xa
lim[2g( x) ( x
xa
a)g( x)]

2g(a)
练习题
一、填空题：
1、设 y sin t 则y =_________. et
2、设 y tan x ,则y =_________.
3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an

k sin( kx n
n

(e )
)
x
( n)
e
x
( 3 ) (cos kx )
(n)
2 n k cos( kx n ) 2
n
(4) ( x )

(n)
( 1) ( n 1) x
( 1)
n1
( 5 ) (ln x )
(n)
( n 1 )! x
n
n
n n !( x 1) cos
πx 16
2
2
各项均含因 子(x–2)
πx 16

f
( n)
( 2)
n!
2 2
20
(2) 已知 f ( x )任意阶可导, 且 f ( x ) [ f ( x )]2 , 则当
n 2 时, f
( n)
( x ) n ! [ f ( x )]
2 2 2
17
例 设 y ( x 2 )( 2 x 3 ) 2 ( 3 x 4 ) 3 , 求 y ( 6 ) .
分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数, 故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
108 x p5 ( x )
y ( 1 )( 2 ) x 2
( 1)
2
3
( 1 )( 2 ) x 1
2
3
( x 2)
n
3
( x 1)
3
,
y
( n)
( 1)
n! ( x 2)
n1

①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,

求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法包括：直接求导法、公式法、递推法和对数法。

1. 直接求导法：直接对原函数反复求导即可得到高阶导数，例如对于函数f(x)，求出其一阶导数f'(x)，再对f'(x)求导得到二阶导数f''(x)，以此类推求出任意阶导数。

2. 公式法：对于一些特定函数，可以通过已知的导数公式来求出高阶导数。

例如对于幂函数y=x^n，其n阶导数可表示为y^(n)(x)=n!(x)^(n)，其中n!表示n的阶乘。

3. 递推法：将已知的低阶导数与导数的定义结合，可以通过递推的方法求出任意高阶导数。

例如对于函数f(x)，已知它的0阶导数f(x)，1阶导数f'(x)，可以利用导数的定义f^(n)(x)=lim(h->0)[f^(n-1)(x+h)-f^(n-1)(x)]/h，来递推求出任意阶导数f^(n)(x)。

4. 对数法：对于一些复杂函数，可以通过对数函数的导数性质来求出其高阶导数。

例如对于函数f(x)=ln(x)，利用对数函数的导数性质可知f^(n)(x)=(-1)^(n-1)(n-1)!/x^n。

x2 )2 ]'
2(3 x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0 0;
f (0)
2(3 x 2 1) (1 x 2 )3
2.
x0
例2 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1)x 2 ) ( 1)( 2)x 3
由介质定理， ( xk , xl ), 使 f ( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )
n
又 ( xk , xl ) [ x1, xn ],
故 ( x1, xn ).
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x ( x 2 20 x 95)
(u v)(n) u(n)v Cn1u(n1)v Cnku(nk)v(k) uv(n)
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
f ( xk )
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( xn ) n
f ( xl )
（2）若 f ( xk ) f ( xl ) 则必有
f ( xk )
f ( x1 )
f ( x2 ) f ( xn ) n
f ( xl )
不仿设 xk xl , 由于 f ( x) 在[xk , xl ]上连续,
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1

高阶导数的运算法则包括以下几个方面：
1. 一阶导数的求导法则：对常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常
见函数求导时，可以利用相应的求导公式进行计算。

2. 乘积法则：若u(x)和v(x)是可导函数，则它们的乘积的导数可以按照以下方式计算：(u*v)' = u'v + uv'。

3. 商积法则：若u(x)和v(x)是可导函数且v(x)≠0，则它们的商的导数可以按照以下方
式计算：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2。

4. 链式法则：若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

5. 反函数求导法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则g'(y) = 1 / f'(x)。

6. 隐函数求导法则：对于由x和y的关系式所确定的函数y=f(x)，如果无法显式解出y
作为x的函数，可以使用隐函数求导法则进行求导。

这些是高阶导数运算中常用的法则，通过这些法则可以对各种复杂函数进行高阶导数
的计算。

(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (

高阶导数的计算技巧在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而高阶导数则是对函数导数的导数，它可以提供更多关于函数曲线的信息。

在实际问题中，有时候需要计算高阶导数，因此掌握高阶导数的计算技巧是非常重要的。

本文将介绍一些计算高阶导数的技巧，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。

一、基本概念回顾在开始介绍高阶导数的计算技巧之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。

对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以写成dy/dx。

导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

如果对导数再求导数，就得到了函数的二阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2，它表示函数的斜率变化率。

同理，对二阶导数再求导数，就得到了函数的三阶导数，以此类推，可以得到函数的高阶导数。

二、高阶导数的计算方法1. 利用导数的性质计算高阶导数时，可以利用导数的性质简化计算过程。

例如，如果要计算函数f(x)的n阶导数，可以先求出f'(x)的导数，然后再对f''(x)求导，以此类推，直到求得f(x)的n阶导数。

这样可以逐步简化计算过程，减少出错的可能性。

2. 使用Leibniz符号Leibniz符号是一种表示导数的符号，它可以简化高阶导数的计算。

对于函数y=f(x)，它的n阶导数可以表示为dy/dx，d^2y/dx^2，d^3y/dx^3，...，d^n y/dx^n。

Leibniz符号可以帮助我们清晰地表示出导数的阶数，从而更方便地进行计算。

3. 应用链式法则在计算高阶导数时，经常需要应用链式法则。

链式法则是导数的一个重要性质，它描述了复合函数导数的计算方法。

如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中u=g(x)。

通过链式法则，我们可以简化复合函数的高阶导数计算过程。

求函数的高阶导数常用方法（一）逐阶整理法例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略）（二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式（1）()()(1)(1)n n x n x ααααα−=−−+"（2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x =（3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=⋅++⋅⎜⎟⎝⎠， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=⋅++⋅⎜⎟⎝⎠ （4）()11(1)!n n n n x x +−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， ()11(1)!()n n n n n a ax b ax b +−⋅⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠ （5）1()(1)(1)!(ln )n n nn x x −−−=， 1()(1)(1)!(ln())()n nn n n a ax b ax b −−−⋅+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数（1）1()(1)f x x x =− （2）()1n x f x x =− （3）2221()f x a b x=− （4）()cos cos2f x x x =⋅ （三）利用莱布尼茨公式例3、求函数ln ()x f x x=的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =−的n 阶导数（提示：()(1)(1)n n f x x x =−⋅+）（四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式例5 、设arctan y x =，求()0n x y = 解：由211y x′=+， 得 2(1)1y x ′⋅+=对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得(1)2()(1)(1)(1)2202n n n n n y x n y x y +−−⋅++⋅⋅+⋅⋅= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +−+⋅++−= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得(1)(1)00(1)n n x x y n n y +−===−−又由(0)0y =，(0)1y ′=，故()0 0 , 2(1)(2)!,21n k x n k y k n k ==⎧=⎨−⋅=+⎩当当 例6 、设arcsin y x =，求()0n x y =解：由y ′=，32221(1)x x y y xx ′⎛⎞′′′===⋅−−，则 2(1)y x y x ′′′⋅−=⋅对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12n n n n n n n y x n y x y y x n y +++−⋅−+⋅⋅−+⋅⋅−=⋅+⋅⋅ 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++−−+−=令0x =，得(2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式）又由(0)0y ′=，(0)0y ′′=，故()200 , 2[(21)!!], 21n x n k y k n k ==⎧=⎨−=+⎩当当 （五）分段函数分界点处的高阶导数用定义 例7、研究3()f x x =在0x =处的各阶导数（提示33 ,0() 0,0,0x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪−<⎩）。

高阶导数一、高阶导数的定义：定义 若函数)(x f 的导函数)('x f 在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x 二阶可导，并称)('x f 在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，22x x dxy d =，…，即：.)()(lim)()(lim)(00''0'0'220''0x x x f x f xx f x x f dxdy x f x x x x x --=∆-∆+==→→∆=一般的，若函数)(x f 的1-n 阶导函数)()1(x f n -在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x n 阶可导，并称)()1(x fn -在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的n 阶导数，记作)(0)(x fn ，x x nndxy d =，…，即：.)()(lim)()(lim)(00)1()1(0)1(0)'1(00)(0x x x fx fxx fx x fdxdy x fn n x x n n x x x nn n --=∆-∆+==--→--→∆=二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数)(x f 在区间I 上每一点都可导，即I x ∈∀0，有)(x f 在点0x 的唯一n 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为)(x f 在I 上的n 阶导函数，简称为)(x f 在I 上的n 阶导数，记作： ,),()(nn n dxdy x f 。

二、高阶导数的计算：函数n 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则n 次即可。

除此之外我们再介绍两个计算函数n 阶导数的计算公式。

1．)()()(][n n n vuv u ±=±。

2．设uv y =，则'''uv v u y +=；()'''''''''''2uv v u v u uv v u y ++=+=；()''''''''''''''''''''''332uv v u v u v u uv v u v u y +++=++=；依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式()nv u +展开式极为相似）：+++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(vuC vuC vuuv n n n n n n )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n vuvuC vuC ++++---∑=-=NK k k n knvu C)()(，其中u u=)0(，v v=)0(。

莱布尼兹公式高阶导数
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。

(uv)' = u'v+uv'。

(uv)'‘= u'’v+2u'v'+uv'。

依数学归纳法：可证该莱布尼兹公式。

各个符号的意义：
Σ-------------求和符号。

C(n,k)--------组合符号，即n取k的组合。

u^(n-k)------u的n-k阶导数。

v^(k)---------v的k阶导数。

这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。

（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导。

（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导。

（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导。

相关内容解释：
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，德国哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。

他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，也自称具
有男爵的贵族身份。

莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。

在数学上，他和牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。

莱布尼茨还发明并完善了二进制。

考研高阶导数公式一、导数的基本概念与意义导数是微积分学中的一个基本概念，表示函数在某一点的变化率。

对于函数f(x)，其在x点的导数f"(x)可以用以下公式表示：f"(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx二、考研高阶导数公式概述在考研数学中，高阶导数是指二阶及以上的导数。

高阶导数在求解函数的极值、曲率、拐点等问题中具有重要意义。

以下为一些常见的高阶导数公式：1.二阶导数：f""(x) = lim(Δx→0) [(f"(x+Δx) - f"(x)) / Δx]2.三阶导数：f"""(x) = lim(Δx→0) [(f""(x+Δx) - f""(x)) / Δx]三、一阶导数的求解方法1.求导法则：对于基本初等函数及其复合函数，可以使用求导法则进行求解。

2.隐函数求导：对于隐函数y = f(x)，可以先求出显函数，然后对显函数求导。

3.参数方程求导：对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，可以先将参数方程转化为普通方程，然后对普通方程求导。

四、二阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数再求一次导数。

2.隐函数求导：对隐函数的一阶导数求导。

3.参数方程求导：对参数方程的一阶导数求导。

五、高阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数、二阶导数再求导。

2.利用导数的性质：如和差、积、商的导数公式。

六、导数在实际问题中的应用1.极值问题：求函数的极值点、极值、最值。

2.曲率问题：求曲线的曲率、曲率半径。

3.拐点问题：求函数的拐点。

4.实际问题：求质点运动的瞬时速度、加速度等。

七、总结与建议导数是考研数学中的重要知识点，掌握导数的求解方法及实际应用对于解题具有重要意义。

在学习过程中，要注重理论知识与实际例题的结合，加强运算能力的培养。

高阶导数的计算技巧在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而高阶导数则是对函数的导数连续求导多次得到的结果。

在实际问题中，有时候需要计算高阶导数，因此掌握高阶导数的计算技巧是非常重要的。

本文将介绍一些计算高阶导数的技巧，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。

一、基本概念回顾在开始介绍高阶导数的计算技巧之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。

对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以记作dy/dx。

导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

如果对导数再求导，就得到了函数的二阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2，它表示函数的斜率的变化率。

同理，对二阶导数再求导，就得到了函数的三阶导数，以此类推，可以得到高阶导数。

二、高阶导数的计算方法1. 利用导数的性质计算高阶导数时，可以利用导数的性质简化计算过程。

例如，如果函数是多项式函数，那么它的高阶导数可以通过对每一项分别求导得到。

另外，利用导数的加法性和乘法性，可以将复杂函数的高阶导数拆分成简单函数的导数相乘或相加的形式，从而简化计算。

2. 使用Leibniz公式Leibniz公式是计算高阶导数的重要方法之一。

对于一个函数y=f(x)，它的高阶导数可以通过Leibniz公式表示为：f^(n)(x) = d^n(y)/dx^n = ∑(k=0 to n) C(n,k) * f^(k)(x)其中，C(n,k)表示组合数，f^(k)(x)表示函数f的k阶导数。

利用Leibniz公式可以将高阶导数的计算转化为对低阶导数的计算，从而简化问题。

3. 递归法递归法是计算高阶导数的另一种常用方法。

通过递归的方式，可以从低阶导数逐步推导出高阶导数。

具体做法是先计算一阶导数，然后利用一阶导数计算二阶导数，再利用二阶导数计算三阶导数，以此类推，直到计算出所需的高阶导数。

4. 应用泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法。

n 阶导数的记号为 :
f ( n ) ( x),
n n d f ( x ) d y (n) y , , . n n dx dx
f
( n)
( x) ( f
( n1)
( x)),
y ( n) ( y ( n1) ),
d n y d d n1 y , n n 1 dx dxdx
d f ( x) d d f ( x) , n n 1 dx dx dx
综上所述：
(x )
n (k )
n(n 1)(n k 1) x
nk
(1 k n ) ( k n 1)
( x n )( k ) 0
例2
求 y (ax b) 的高阶导数
n
解
当 1 k n 时,
y
(k )
((ax b) )
n (k )
n k
(k )
( x) k ! f
k 1
( x), 则有
( k 1)1
f ( k 1) ( x) k ! (k 1) f k ( x) f ( x) (k 1) ! f
k 2
( x) (k 1) !( f ( x))
,
由数学归纳法得
f ( n) ( x) n ! f n1 ( x)

( x 2 ) 2 x, ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( n ) 0 (n 3)
例15
证明 f ( x) arcsin x 满足下式
2 ( n 2)
(1 x ) f
( x) (2n 1) x f
1 1 x
2
( n1)
( x) n f