(完整版)高阶导数教案A班

《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。

《高阶导数数分教案》课件一、教学目标1. 理解高阶导数的定义和性质。

2. 学会计算常见函数的高阶导数。

3. 掌握高阶导数在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 高阶导数的定义：二阶导数、三阶导数等。

2. 高阶导数的计算法则：和的导数、乘积的导数、商的导数等。

3. 高阶导数的性质：单调性、极值、拐点等。

三、教学重点与难点1. 重点：高阶导数的定义和计算法则。

2. 难点：高阶导数的性质的理解和应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解高阶导数的定义和性质。

2. 采用案例教学法，让学生通过计算具体函数的高阶导数，加深对高阶导数计算法则的理解。

3. 采用问题驱动法，引导学生运用高阶导数解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：回顾一阶导数的定义和计算法则，引导学生思考高阶导数的概念。

2. 新课：讲解高阶导数的定义，引导学生理解二阶导数、三阶导数等概念。

3. 案例分析：计算常见函数的二阶导数、三阶导数，让学生掌握高阶导数的计算法则。

4. 性质讲解：讲解高阶导数的单调性、极值、拐点等性质，引导学生理解高阶导数在实际问题中的应用。

5. 问题解决：布置练习题，让学生运用高阶导数解决实际问题。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

六、教学活动设计1. 互动提问：在讲解高阶导数之前，先回顾一阶导数的概念和计算方法，通过提问方式检查学生对一阶导数的掌握情况。

2. 小组讨论：让学生分组讨论高阶导数的定义，每组提出自己的理解和观点，促进学生之间的交流和思考。

3. 实例分析：选取几个具体函数，让学生计算其二阶导数和三阶导数，通过实际操作加深对高阶导数概念的理解。

七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生对高阶导数的理解和掌握程度。

2. 练习题完成情况：检查学生完成课后练习题的情况，评估学生对高阶导数计算法则和性质的应用能力。

3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括观点提出、交流和合作能力。

高中数学导数教案模板教学内容：导数教学目标：1. 了解导数的概念和意义。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 熟练应用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法。

2. 导数在函数图像中的应用。

教学难点：1. 导数的概念理解。

2. 导数的计算方法应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提出问题：“你知道导数是什么吗？它有什么作用？”二、概念讲解（15分钟）1. 介绍导数的定义和意义。

2. 讲解导数的计算方法：求导规则、导数的性质。

3. 举例说明导数的应用。

三、练习与讨论（20分钟）1. 练习导数的计算方法。

2. 分组讨论解决实际问题中导数的应用。

3. 教师解答疑问，帮助学生理解导数的概念。

四、实际应用（15分钟）1. 布置课后作业：练习题、应用题。

2. 鼓励学生在日常生活中寻找导数的应用。

五、总结与评价（5分钟）1. 总结本节课的重点内容。

2. 对学生的表现给予积极评价。

教学反思：1. 本节课教学内容选材合理，能够引起学生的兴趣。

2. 学生对导数的理解和应用能力有待加强，需要多进行实际问题的训练。

教学素材：1. 导数的教科书及练习题。

2. 导数的相关实例和应用题。

3. 视频、图片等辅助教学材料。

教学效果评估：1. 对学生进行课后作业的评分和批改。

2. 观察学生在课堂上的表现和回答问题的能力。

3. 根据学生的学习情况调整后续教学计划。

数学高中导数问题解法教案
教学目标：
1. 理解导数的概念和性质
2. 掌握导数的基本计算方法和运用技巧
3. 能够熟练解决高中导数相关问题
教学准备：
1. 教师准备相关导数问题的练习题和答案
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教材
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过提问或举例引入导数的概念，激发学生的兴趣和思考。

二、讲解导数的基本概念（15分钟）
1. 导数的定义：导数代表函数在某一点的斜率，也可以理解为函数的变化率
2. 导数的计算方法：求导公式和四则运算规则
3. 导数的性质：和、差、积、商导数规则等
三、练习导数计算（20分钟）
教师根据不同难度设置一系列导数计算的练习题并进行讲解，让学生掌握导数的计算方法。

四、解答应用题（15分钟）
教师组织学生一起解答一些应用题，如求极值、求切线方程等，培养学生的解题能力和思
维逻辑。

五、作业布置（5分钟）
教师布置相关的作业题，帮助学生巩固所学知识。

六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课内容进行总结，并强调导数在数学和实际生活中的重要性。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握导数的基本概念和计算方法，提高了解题能力和数学思维。

同时，也启发学生对数学的兴趣和探索欲望，使他们在学习过程中更有动力和成就感。

É ¹ ¼ û £ ¬ ­ » ¶ ý ¸a² Ò Î ó ³ Ç ¹ n ¬ 阶的导数均为 £ à Ï ´ î Ê º ³ Ä ² Î Ê ý » Í ³ ³ Í Ò ¸ ² Î £ ¬ ¹ Ì Ð ø n! , 高于 0.º

ó ³ Ç ¹ Ï Â È ¤ £ ¬ Ò ×Ö ª
y (n) n! a ,
x ln(1 t 2 ) , t 1 2 ( ) 2 d y 1 t 二阶导数为 2 2 . 2 dx2 [ln( 2t 1 t )] 4t 1 t 2
x ln(1 t 2 ) , t 1 2 ( ) 2 d y 1 t 二阶导数为 2 2 . 2 dx2 [ln( 2t 1 t )] 4t 1 t 2
y (1) (2) x3,
1 ( n) (1) n ! 即 ( ) . n 1 x x
y (1) (2) (3) x 4 , … n ( 1 ) n! ( n) ( n1) y (1) (2) (n) x . n1 x n
y cos( 2 x) sin[ 2 ( 2
y cos( 2
x)] sin( 2

2
x),

2
x) sin[
x),

2
(2

2
x)] sin( 3

2
x),
,
y
(n)
sin( n

2
即 (sin x)
(n)
2 3 2 d y d y x ln(1 t ), 例 8．已知 求 2 和 3 dx dx y t arctant.

高中数学高阶导数定理教案
一、教学目标
1. 理解高阶导数的概念；
2. 掌握高阶导数的求法；
3. 能够应用高阶导数定理解决实际问题。

二、教学重点
1. 高阶导数的定义和求法；
2. 高阶导数定理的应用。

三、教学难点
1. 对高阶导数的理解和运用；
2. 高阶导数定理的具体应用。

四、教学过程
1. 导入：通过一个实际问题引入高阶导数的概念，引起学生的兴趣和思考。

2. 概念讲解：讲解高阶导数的定义和求法，提供示例进行讲解。

3. 解题方法：介绍高阶导数定理的应用方法，让学生能够灵活运用。

4. 实例讲解：对几道典型的高阶导数定理问题进行讲解和解答，让学生掌握解题思路。

5. 练习训练：让学生进行一定量的练习题目，巩固所学知识。

6. 拓展应用：引导学生探讨高阶导数在实际问题中的应用，拓展知识面。

7. 典型例题：让学生独立完成若干道高阶导数定理问题，检测学生掌握情况。

8. 总结归纳：对高阶导数定理的理论知识进行总结和归纳，加深印象。

五、作业布置
1. 完成课堂练习题目；
2. 预习高阶导数定理相关内容。

六、教学反思
本节课主要围绕高中数学高阶导数定理展开，通过理论知识的讲解和实际问题的应用，帮助学生深入理解高阶导数的概念和应用方法。

教学过程中注重引导学生思考和发现，培养学生的解决问题能力和创新思维。

教学实践中，应根据学生的实际情况进行针对性的教学设计，确保教学效果的最大化。

第2章 导数与微分高阶导数 微分及其应用【教学目的】：1. 理解高阶导数的概念，会求函数的二阶高阶导数。

2. 理解微分的概念,了解微分的几何意义；3. 明确函数可微、可导、连续和有极限之间的关系；4. 了解微分公式和微分法则及微分形式的不变性；5. 掌握函数的微分运算。

【教学重点】：1. 微分的概念2. 函数的微分运算【教学难点】：1. 微分的概念；2. （一介）微分形式的不变性。

3. 函数的微分运算【教学时数】：2学时【教学过程】：2.4.1 高阶导数的定义2.4.2 高阶导数的求法注意 从理论上讲，求高阶导数时，只需要将函数()y f x =对x 逐次求导，并不需要新的方法与技巧．但在实际计算时，特别是在求n 阶导数时，每一次求导前后都需要整理式子，以便寻找规律，写出n 阶导数()n y ．引例2.5.1 设一正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长从0x 变化到0x x +∆该薄片的面积改变了多少？（如图2-2）．0x x ∆x ∆0x 20S x =0x x ∆2()x ∆图2-2分析 此薄片在温度变化前后的面积分别为200()S x x =，200()()S x x x x +∆=+∆，所以，受温度变化的影响，薄片面积的改变量为S ∆=0()S x x +∆0()S x -20()x x =+∆20x -202()x x x =∆+∆S ∆由两部分构成：第一部分02x x ∆是x ∆的线性函数（图中斜线部分的面积）；第二部分是2()x ∆（图中有交叉斜线的小正方形的面积）．当0x ∆→时，第二部分是一个比x ∆高阶的无穷小，即()2()(0)x o x x ∆=∆∆→．由此可见，如果边长的改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量S ∆可近似地用第一部分02x x ∆来代替，而且x ∆越小，近似程度也越好，即S ∆≈02x x ∆2.5.1函数的微分1．微分的定义定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，x x ∆+00()U x ∈，如果函数在点0x 处的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为),(x x A y ∆+∆=∆ （1）其中A 是不依赖于x ∆的常数，当0x ∆→时， )(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小，则称函数)(x f y =在点0x 处是可微的，并称x A ∆为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的微分，记作,dy 即x x dy A x ==∆． 2．可微与可导的关系定理1 函数)(x f y =在点0x 处可微的充分必要条件是函数)(x f y =在点0x 处可导，并且当函数)(x f y =在点0x 处可微时，有x x f dy ∆=)(0'．注意：（ⅰ）可导⇔可微⇒连续⇒极限存在．（ⅱ）求微分公式：.)(0'x x f dy ∆=微分有两个特性：（ⅰ）当0()0f x '≠时，点0x 处的微分00()x x dy f x x ='=∆是x ∆的线性函数． （ⅱ）当0()0f x '≠时， y dy ∆≈．3．函数的微分函数)(x f y =在区间(,)a b 内每一点处都可微，则称函数()f x 是(,)a b 内的可微函数．函数()f x 在(,)a b 内任意一点x 处的微分就称为函数的微分，记作)(x df dy 或，即有x x f dy ∆=)(' （4）通常把自变量x 的增量称为自变量的微分，记为dx ，即dx x =∆．于是，函数的微分又可以记为'()dy f x dx = （5） 从而有 ()dy f x dx'=， 即函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商就等于函数的导数，因此，导数也称为“微商”．以前我们把dy dx看作是导数的整体记号，现在也可以把它分离或看作一个分式．4．微分的几何意义对于可微函数)(x f y =而言，当y ∆是曲线)(x f y =上的点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量．当||x ∆很小时，||||x dy y ∆-∆比小得多．因此在点),(00y x M 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段（即以直代曲）．2.5.2 微分的运算法则根据微分的表达式'()dy f x dx =、导数基本公式和导数运算法则，可以相应地建立一套微分基本公式和微分运算法则．1．微分基本公式2．微分运算法则设)(),(x v v x u u ==都可微，则（1）dv du v u d ±=±)(；（2）vdu udv uv d +=)(；（3）)(;)(为常数C Cdu Cu d =；（4）2v udv vdu v u d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛． 注意 法则（1）和（2）可以推广到有限个函数的情形．3．复合函数的微分法则设)()(x u u f y ϕ==及都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为()()()dy f x x dxϕϕ''=⋅， 所以复合函数的微分为 ()()()dy f x x dx dx ϕϕ''=⋅ 由于()()()f x f u ϕ''=，'(),x dx du ϕ=所以复合函数)]([x f y ϕ=的微分也可以写成du u f dy )('=．由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式du u f dy )('=保持不变．这一性质称为（一阶）微分形式的不变性．这个性质扩充了微分基本公式的运用范围，特别是在积分法中有很重要的应用． 例3 求函数)1ln(x e y +=的微分.dy解 解法一 由微分的定义得：='=dx x f dy )(dx ee dx e e x xx x +='++1)1(11． 解法二 由一阶微分形式的不变性得：dx e e e d e e d dy x xx x x+=++=+=1)1(11)]1[ln(．【教学小节】：通过本节的学习，了解高阶导数概念和几个简单的n 介导数递推公式，掌握求函数二阶导数的方法。

《高阶导数数分教案》课件教案章节一：高阶导数的概念与计算1.1 引入高阶导数的概念解释高阶导数的定义举例说明高阶导数的含义1.2 高阶导数的计算方法演示如何计算基本函数的高阶导数介绍高阶导数的运算法则教案章节二：链式法则与高阶导数2.1 链式法则的介绍解释链式法则的定义和应用演示如何使用链式法则求解高阶导数2.2 链式法则在高阶导数中的应用举例说明链式法则在高阶导数计算中的重要性练习题：使用链式法则计算复杂函数的高阶导数教案章节三：隐函数与高阶导数3.1 隐函数的介绍解释隐函数的定义和特点举例说明隐函数在实际问题中的应用3.2 隐函数的高阶导数介绍如何求解隐函数的高阶导数练习题：求解隐函数的高阶导数教案章节四：参数方程与高阶导数4.1 参数方程的介绍解释参数方程的定义和应用举例说明参数方程在实际问题中的应用4.2 参数方程的高阶导数介绍如何求解参数方程的高阶导数练习题：求解参数方程的高阶导数教案章节五：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理问题中的应用举例说明高阶导数在物理学中的重要性练习题：使用高阶导数解决物理问题5.2 高阶导数在经济学问题中的应用举例说明高阶导数在经济学中的重要性练习题：使用高阶导数解决经济学问题教案章节六：高阶导数与曲线的凹凸性6.1 凹凸性的定义与判定解释凹凸性的概念演示如何利用高阶导数判断曲线的凹凸性6.2 应用：拐点的寻找介绍拐点的定义和性质练习题：找出给定函数的拐点教案章节七：高阶导数与函数的渐近线7.1 渐近线的概念与求法解释渐近线的定义和类型演示如何利用高阶导数求解函数的渐近线7.2 应用：函数图像的描绘介绍如何利用渐近线和凹凸性分析函数图像练习题：分析给定函数的图像特征教案章节八：高阶导数与最大值、最小值问题8.1 最大值、最小值问题的提出解释最大值和最小值问题的实际意义举例说明如何应用高阶导数解决最大值、最小值问题8.2 应用：实际问题的求解介绍高阶导数在实际问题中的应用方法练习题：使用高阶导数解决实际问题教案章节九：高阶导数与函数的稳定性9.1 函数稳定性的概念与判定解释函数稳定性的概念演示如何利用高阶导数判断函数的稳定性9.2 应用：实际问题的分析介绍高阶导数在分析实际问题中的应用练习题：分析给定函数的稳定性回顾本节课的主要内容和知识点强调高阶导数在实际问题中的应用价值10.2 拓展与思考提出与高阶导数相关的拓展问题鼓励学生思考高阶导数在其他领域的应用前景教案章节六：高阶导数与曲线的凹凸性6.1 凹凸性的定义与判定重点：凹凸性是函数图像的重要特征，它描述了函数图像在某一区间内的凹凸状态。

高中数学高阶导数定理教案教案标题：高中数学高阶导数定理教案教案目标：1. 理解高阶导数的概念和意义；2. 掌握高阶导数的计算方法；3. 理解高阶导数定理的应用。

教案步骤：步骤一：导入与概念解释（5分钟）1. 引导学生回顾导数的概念和计算方法；2. 引入高阶导数的概念，解释高阶导数表示导数的导数；3. 引导学生思考高阶导数的意义和应用。

步骤二：高阶导数的计算方法（15分钟）1. 提供一些简单的函数表达式，引导学生计算一阶和二阶导数；2. 解释高阶导数的计算方法，引导学生逐步计算三阶、四阶导数；3. 给出一些练习题，让学生巩固高阶导数的计算方法。

步骤三：高阶导数定理的讲解（10分钟）1. 介绍高阶导数定理的概念和表述；2. 解释高阶导数定理的应用场景，如曲线的拐点、极值点等；3. 提供一些实际问题，引导学生运用高阶导数定理解决问题。

步骤四：综合应用与拓展（15分钟）1. 给出一些综合应用题，让学生运用所学知识解决复杂问题；2. 引导学生思考高阶导数定理在实际问题中的应用；3. 鼓励学生自主拓展，探索高阶导数的更多应用领域。

步骤五：课堂总结与反思（5分钟）1. 总结高阶导数的概念、计算方法和定理；2. 鼓励学生提出问题、分享经验和疑惑；3. 对学生的学习情况进行评价和反馈。

教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 计算工具：计算器、数学软件等；3. 练习题和实际问题。

教学评估：1. 课堂参与度：观察学生的积极参与程度；2. 练习题表现：检查学生对高阶导数计算方法的掌握情况；3. 应用问题解决能力：评估学生运用高阶导数定理解决实际问题的能力。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，深入了解高阶导数的更多应用；2. 引导学生进行相关研究，探索高阶导数在其他学科领域的应用；3. 提供更多拓展练习和挑战题，满足学生的不同需求。

教学反思：1. 教学过程中是否引导学生主动思考和解决问题；2. 学生对高阶导数概念的理解和掌握程度；3. 学生对高阶导数定理的应用能力和创新思维。

高中数学导数教案教案标题：高中数学导数教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法和基本性质；3. 运用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数的基本性质；3. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 导数的应用问题的转化和解决；2. 导数的基本性质的理解和运用。

教学准备：1. 教学课件和教学素材；2. 高中数学教材和参考书籍；3. 演示工具和实例题目。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一个有趣的问题或实例引起学生对导数的兴趣；2. 复习前置知识，如函数的概念和基本性质。

二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 详细讲解导数的计算方法，包括用极限和差商的方法；3. 给出一些简单的导数计算例题，引导学生进行实际操作。

三、导数的基本性质（20分钟）1. 介绍导数的基本性质，如导数的四则运算法则和复合函数的导数；2. 讲解导数的乘法法则和除法法则；3. 给出一些练习题，巩固学生对导数的基本性质的理解。

四、导数在实际问题中的应用（20分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用，如切线和法线、最值问题等；2. 给出一些实际问题，引导学生将问题转化为导数的计算和应用；3. 引导学生进行实际问题的解答和讨论。

五、总结与拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用；2. 提供一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，巩固学生对导数的计算和应用；2. 鼓励学生自主学习，查阅相关参考资料，提升对导数的理解和应用能力。

教学反思：本节课通过引入有趣的问题和实例，激发了学生对导数的兴趣和学习的积极性。

在导数的定义和计算方法、基本性质以及应用方面，采用了示范讲解和学生参与互动的方式，使学生能够更好地理解和掌握导数的相关知识。

通过实际问题的解答和讨论，培养了学生的问题解决能力和思维能力。

导数高中数学教案
教学内容：导数
一、教学目标：
1. 理解导数的定义和概念；
2. 掌握导数的计算方法；
3. 能够应用导数解决实际问题。

二、教学重点：
1. 导数的概念和定义；
2. 导数的计算方法。

三、教学难点：
1. 运用导数解决实际问题。

四、教学过程：
1. 导入：通过举例让学生了解导数是什么，为什么要学习导数，导数在现实生活中的应用。

2. 概念讲解：导数的定义，导数的几何意义，导数的计算方法。

3. 练习：让学生通过练习题掌握导数的计算方法。

4. 拓展：引导学生运用导数解决实际问题，如优化问题，曲线的切线方程等。

五、课堂练习：
1. 求函数f(x)=2x^2+3x的导数；
2. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程；
3. 通过导数计算函数f(x)=x^2的极值。

六、课堂作业：
1. 完成课堂练习题；
2. 阅读相关教材，复习导数的知识点；
3. 提出问题，准备下节课的讨论。

七、教学反馈：
1. 整理学生的作业，及时给予反馈；
2. 总结本节课的重点和难点，为下节课的教学做准备。

以上为高中数学导数教案范本，希望对您有所帮助。

2 e 20 2 x x 2 20 2 e 19 2 x 2 x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x ( x2 20x 95)
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
y

cos( x

)

sin(
x



)
sin(
x

2
)
2
22
2
y
cos(
x

2

2
)

sin(
x

3

) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
2, x 0,
当n 3时，
f (n) (x) 0 x 0, f (n) (0) 不存在。
三、参数方程表示函数的高阶导数
设函数(t)， (t)在[, ]上都是二阶可导，则
由参数方程 x (t)

y


(t)
所确定的函数 y
y( x)的一阶导数为
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y

1
1 x
2
y

( 1
1 x
2
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导数的概念一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具。

教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以,让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．二、教学目标及分析1．使学生认识到:当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建,使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想,这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．三、教学问题诊断要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度,一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．另外,从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此,设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．四、教法特点及预期效果本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．。

1第三节 高阶导数教学目的：了解高阶导数的概念，会求简单的n 阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法教学内容：函数()x f y =的导数()x f y '='仍然是x 的函数。

我们把()x f y '='的导数叫做函数()x f y =的二阶导数，记作y ''或22dx y d ，即()''=''y y 或⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dxy d 22。

相应地，把()x f y =的导数()x f '叫做函数()x f y =的一阶导数。

类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，()1-n 阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作()()n y y y ，，， 4''' 或 n n dx y d dx y d dx y d ，，， 4422。

函数()x f y =具有n 阶导数，也常说成函数()x f 为n 阶可导。

如果函数()x f 在点x 处具有n 阶导数，那么()x f 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数。

所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。

例1： 求指数函数x y e =的n 阶导数。

解：x e y ='，x e y =''，x e y ='''，()x e y =4。

一般地，可得()x n e y =，即 ()x n e y =。

例2： 求正弦sin y x =与余弦函数cos y x =的n 阶导数。

解：x y sin =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''22sin 22sin 2cos ππππx x x y ，2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+='''23sin 22cos ππx x y ， ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos 4ππx x y ， 一般地，可得 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin πn x y n ， 即 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin sin πn x x n 。

3.2 导数的计算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 81～P 85的内容，回答下列问题． 已知函数：①y ＝f (x )＝c ，②y ＝f (x )＝x ，③y ＝f (x )＝x 2， ④y ＝f (x )＝1x，⑤y ＝f (x )＝x .(1)函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx＝0，(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x )′＝1，(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x .(3)函数②③⑤均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x2－1，(x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1＝12x，∴(x α)′＝αxα－1．2．归纳总结，核心必记 (1)基本初等函数的导数公式(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．[问题思考](1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f (x )＝c 图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x 轴．(2)对于公式“若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1”，若把“α∈Q *”改为“α∈R ”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R 时，f ′(x )＝αx α－1仍然成立．(3)下面的计算过程正确吗？⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4′＝cos π4＝22.提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎪⎫sin π4′＝0．(4)若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ ①[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．[课前反思](1)基本初等函数的导数公式有哪些？； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？．[思考] 你能说出函数f (x )＝c 与f (x )＝x α、f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x 、f (x )＝a x与f (x )＝e x、f (x )＝log a x 与f (x )＝ln x 的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f (x )＝x α中的α可以由Q *推广到任意实数． (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(e x)′＝e x是(a x)′＝a xlna 的特例．(4)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x )′＝1x是(log a x )′＝1x ln a的特例． 讲一讲1．求下列函数的导数：(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [尝试解答] (1)y ′＝(10x )′＝10xln 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．练一练1．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x； (3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .讲一讲2．(链接教材P 84－例2)求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x＋1e x －1.[尝试解答] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝（e x＋1）′（e x－1）－（e x＋1）（e x－1）′（e x －1）2＝e x（e x－1）－（e x＋1）e x（e x －1）2＝－2e x（e x －1）2.利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．练一练2．求下列函数的导数： (1)y ＝cos xx；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·（x ）′x 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos x x2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝（1＋x ）21－x ＋（1－x ）21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4（1－x ）′（1－x ）2＝4（1－x ）2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝1x ln 10＋2x3.讲一讲3．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思考点拨] 将直线y ＝x 向上平移，当直线与曲线y ＝e x相切时，该切点到直线y ＝x 的距离最小．[尝试解答] 如图，当曲线y ＝e x在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1， 又y ′＝(e x)′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0，1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 练一练3．求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32， ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数，见讲1； (2)利用导数运算法则求导数，见讲2； (3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见讲3.3．本节课的易错点是导数公式(a x)′＝a xln a 和(log a x )′＝1x ln a以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′的区别．课时达标训练（十五） [即时达标对点练]题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选 B 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x 3，所以③错误.⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－（x 12）′x＝12x －12x＝12x －32＝12x x，所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14 解析：选D ∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αxα－1.∴f ′(1)＝α＝14.题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案：x 2＋6x （x ＋3）25．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xsin x ′ ＝（e x ）′·sin x －e x·（sin x ）′sin 2x ＝e x ·sin x －e x·cos x sin 2x ＝e x（sin x －cos x ）sin 2x. 题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题7．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋18．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：29．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：110．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x＝－2不合题意，舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：16．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________．解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f (x )＝xg (x )，求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )，所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n .答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。

2013年高中数学 1.2 3高阶导数教案 新人教A 版选修2-2教学内容：高阶导数的定义与计算。

教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。

教学重点：高阶导数的定义与计算。

教学难点：高阶导数的计算。

教学方法：讲授与练习。

教学学时：2学时。

● 引言：我们已经知道，一个可导函数的导（函）数仍然是一个函数，这个函数我们又可以讨论它的可导性与导（函）数，以此类推，就产生的函数的一系列导数的问题，这些就是本节课我们将要学习的高阶导数的内容。

一、引例：先看一个物理问题：已知物体运动位移与时间关系为)(t s s =，求它在某一时刻0t t =的加速度。

速度是位移的变化率，即：)()()(lim lim )('00t s tt s t t s t s t v t t =∆-∆+=∆∆=→∆→∆；加速度是速度的变化率，即：).()()(lim )()(lim lim )(''''000t s tt s t t s t t v t t v t v t a t t t =∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆可见，加速度就是位移的导数的导数，也就是我们将要介绍的位移的二阶导数。

同时也看到，研究高阶导数是有其实际价值的。

二、高阶导数的定义：定义 若函数)(x f 的导函数)('x f 在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x 二阶可导，并称)('x f 在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，22x x dx y d =，…，即：.)()(lim )()(lim )(00''0'0'0220''00x x x f x f x x f x x f dxdy x f x x x x x --=∆-∆+==→→∆= 一般的，若函数)(x f 的1-n 阶导函数)()1(x f n -在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x n阶可导，并称)()1(x fn -在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的n 阶导数，记作)(0)(x f n ，x x nn dx yd =，…，即：.)()(lim )()(lim )(00)1()1(0)1(0)'1(00)(00x x x f x f x x f x x f dxdy x fn n x x n n x x x nnn --=∆-∆+==--→--→∆= 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数)(x f 在区间I 上每一点都可导，即I x ∈∀0，有)(x f 在点0x 的唯一n 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为)(x f 在I 上的n 阶导函数，简称为)(x f 在I 上的n 阶导数，记作： ,),()(n nn dxdy x f。

x a(t sin t ) 例9．计算由摆线的参数方程 y a(1 cos t )
所确定的函数yy(x)的二阶导数
解:
dy y(t ) [a(1 cost)] a sin t sin t t cot [ a ( t sin t ) ] a ( 1 cos t ) dx x(t ) 1 cost 2
所求切线的斜率为 切点的坐标为
x0 a cos
dy dx
t 4
b a
y0 b sin b 2 4 2
2 a 4 2
切线方程为 y b 2 b (x a 2 )
2 a 2
即 bxay
2 ab 0
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
a x y n)
e
x
例5. 设
求
解:
) y cos x sin( x 2
) y cos( x ) sin( x 2 2 2
sin( x 2 ) 2
) y cos( x 2 ) sin( x 3 2 2
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
莱布尼兹(Leibniz) 公式
例8.
2x