交互作用双因子方差分析

【双因素方差分析例题】下表数据是在4个地区种植的3种松树的直径.试对松树的直径数据进行种树与地区的双因素方差分析？模型识别树种和地区是对松树的直径都有可能产生影响的两个因子，并且二者之间还有可能产生交互作用，即有可能出现某个地区最适合(不适合)某种松树的生长情况.地区因子有4个水平，树种因子有三个水平，在每一个水平下分别抽取了5个样本.我们先利用MATLAB提供的命令anova2()来对本题作双因子方差分析.再用单因子方差分析确定其它问题.MATLAB数据处理clearA=[23 15 26 13 21 25 20 21 16 18 21 17 16 24 27 14 11 19 20 24]; B=[28 22 25 19 26 30 26 26 20 28 19 24 19 25 29 17 21 18 26 23]; C=[18 10 12 22 13 15 21 22 14 12 23 25 19 13 22 18 12 23 22 19]; X=[A',B',C'];⑴双因子方差分析reps=5;[p,Table]=anova2(X,reps,'off')p =0.0004 0.3996 0.4156Table ='Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F''Columns' [ 352.5333] [ 2] [176.2667] [9.1369] [4.3408e-004] 'Rows' [ 58.0500] [ 3] [ 19.3500] [1.0030] [ 0.3996]'Interaction'[ 119.6000] [ 6] [ 19.9333] [1.0333] [ 0.4156]'Error' [ 926.0000] [48] [ 19.2917] [] []'Total' [1.4562e+003][59] [] [] []双因子方差分析结果说明：我们看到返回向量p有3个元素，分别表示输入矩阵X的列、行及交互作用的均值相等的最小显著性概率，由于X的列表示树种方面的因素，行表示地区方面的因素，所以根据这3个概率值我们可以知道：树种因素方面的差异显著，地区之间的差异和交互作用的影响不显著(没有某种树特别适合在某地区种植).接下来对树种进一步作单因子方差分析.⑵单因子方差分析[p，anovatab，stats]=anova1(X，[]，'on')p =3.7071e-004anovatab ='Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Columns' [352.5333] [2] [176.2667] [9.1036] [3.7071e-004] 'Error' [1.1036e+003] [57] [ 19.3623] [] []'Total' [1.4562e+003] [59] [] [] []stats =gnames: [3x1 char]n: [20 20 20]source: 'anova1'means: [19.5500 23.5500 17.7500]df: 57s: 4.4003图三种松树直径的box图单因子方差分析结果说明：单因子方差分析进一步确认了树种之间的差异是显著的，由box图可以看出树种B的平均直径最大，故可认为树种B最好.实际上，作多重比较得出的结论更细腻、丰富一些.。

交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。

在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。

交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。

与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。

在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。

然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。

主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。

交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。

显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。

双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。

通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。

然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。

首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。

其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。

此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。

总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。

通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。

双因素ANOVA交互作用分析双因素ANOVA（Analysis of Variance）是一种常用的统计方法，用于分析两个或多个因素对于一个或多个连续变量的影响。

在双因素ANOVA中，我们可以研究两个因素的主效应以及它们之间的交互作用。

本文将介绍双因素ANOVA交互作用分析的基本概念、假设检验和结果解读。

一、基本概念双因素ANOVA交互作用分析是一种多元方差分析方法，用于研究两个因素对于一个或多个连续变量的影响，并探究这两个因素之间是否存在交互作用。

在双因素ANOVA中，我们将变量分为两个因素：因素A 和因素B。

因素A可以是一个分类变量，比如性别（男、女），因素B 也可以是一个分类变量，比如治疗组（A组、B组）。

我们希望通过双因素ANOVA来分析因素A、因素B以及它们之间的交互作用对于连续变量的影响。

二、假设检验在双因素ANOVA交互作用分析中，我们需要进行三个假设检验：因素A 的主效应、因素B的主效应以及因素A和因素B之间的交互作用。

1. 因素A的主效应假设因素A对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A对于连续变量没有显著影响H1：因素A对于连续变量有显著影响2. 因素B的主效应假设因素B对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素B对于连续变量没有显著影响H1：因素B对于连续变量有显著影响3. 因素A和因素B之间的交互作用假设因素A和因素B之间存在交互作用，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A和因素B之间不存在交互作用H1：因素A和因素B之间存在交互作用三、结果解读在进行双因素ANOVA交互作用分析后，我们可以得到以下结果：1. 主效应结果如果因素A的主效应和因素B的主效应都显著，说明因素A和因素B对于连续变量都有显著影响。

如果只有一个因素的主效应显著，说明只有这个因素对于连续变量有显著影响。

如果两个因素的主效应都不显著，说明这两个因素对于连续变量没有显著影响。

⽅差分析中的多因⼦交互作⽤多因⼦⽅差分析的因⼦交互作⽤可以这样理解，⽐如经常吃的消炎药头孢，通常会认为服⽤三⽚要⽐服⽤⼀⽚效果好，但经过实际验证测试发现，男⼥之间⽤药效果并不相同。

对于男性⽽⾔，吃三⽚的效果好些，⽽对⼥性⽽⾔，吃⼀⽚效果要更好。

这种情况下，头炮剂量和性别之间便产⽣了了交互作⽤。

多因⼦⽅差分析中，当交互作⽤存在时，单纯去研究某个因素的作⽤已没有意义，需要分别探讨这个变量在另⼀个因素不同⽔平上的作⽤模式。

有⽆交互项对⽅差分析构成的影响多因⼦⽅差分析可以理解为下图的形式，即模型中，⼯资是由基准值、受教育程度、性别、受教育程度与性别的交互作⽤以及未解释的变量等⼏部分构成，这其中便涉及到了多因⼦交互作⽤的问题。

在双因素⽅差分析模型中，如果模型没有交互项的概念，则模型可以简化理解为：⼯资=教育程度+性别；如果模型带有交互项的概念，则模型可以简化理解为⼯资=教育程度+性别+教育程度*性别。

是否设置交互项多因⼦⽅差分析中，是否需要设置交互项呢？在控制实验中，⽅差分析是否含有交互项是很明确的，如果两个因素对实验结果的影响是相互独⽴的，那么只需考虑主效应，使⽤⽆交互的⽅差分析；如果两因素对实验结果的影响⾮独⽴，那么就应该使⽤有交互项的⽅差分析。

换个⾓度说，或者如果模型中只有研究变量和控制变量，此时不需要交互项，如果模型中除了研究变量和控制变量，还有调节变量，那么就需要交互项。

随机区组设计中，除了主要研究的变量以外，其他因素都是控制变量，只会起到降低⽅差分量的作⽤。

在回顾性实验研究中，由于事前⽆法对变量进⾏有效的控制，⽽且各因素对结果的影响程度也缺乏理论体系的⽀撑，即变量间的交互⾏为没有理论判断依据，这时可以只通过检验交互项是否显著来决定模型中是否纳⼊交互项。

其实，除⾮有理论认为交互项没有意义，否则⼀般都可以通过统计检验交互项的显著性去判断并决定要不要纳⼊交互项。

⽅差分析中解释变量的类型⽅差分析中解释变量有研究变量、控制变量、调节变量以及中介变量等⼏种类型：1 研究变量：只在解释类模型中出现，是模型中最为关键的变量，例如营销场景中的销售量这个变量即为研究变量；2 控制变量：除了研究变量外，任何对Y有影响的变量均为控制变量，这⾥的控制变量对于研究变量没有调节作⽤，控制变量只起到承担⽅差分量的作⽤。

§6.3 考虑交互作用的双因子方差分析在前一节中，我们介绍了无重复观测、不考虑交互作用的双因子方差分析。

在这种方差分析中，我们设随机变量 j i ξ 的均值 j i j i βαμμ++= ，也就是说，假设因子A 和因子B 的作用只是简单的叠加关系。

但是，在很多实际问题中，A 和 B 的作用并不只是简单的叠加关系。

例如，某种农作物有1A 、2A 两个品种，分别施以 1B 、2B 两种不同的肥料，每种组合进行1从表格中第1列数据来看，品种 2A 比 1A 好，从 1A 改为 2A ，产量大约可以提高216485=- ；从表格中第1行数据来看，肥料 2B 比 1B 好，从 1B 改为 2B ，产量大约可以提高346498=- 。

如果因子A 和 B 的作用，即品种和肥料的作用，是简单的叠加关系，那么，从组合),(11B A 改为 ),(22B A ，产量大约可以提高到119342164)6498()6485(64=++=-+-+ 。

事实上，在水平组合 ),(22B A 下，产量只有 77 ，与 119 相距甚远。

由此可见，品种和肥料的作用，并不是简单的叠加关系。

对于品种 1A 来说，肥料 2B 比 1B 好，对于品种 2A 来说，则恰恰相反，肥料 1B 比 2B 好。

在品种和肥料之间，显然有一个如何搭配组合的问题，搭配得好，产量就高，搭配得不好，产量就不高。

我们把这种由于各个因子的各种水平的搭配组合而产生的作用，称为交互作用。

在实际问题中，交互作用是经常存在的。

但是，在前面介绍的的双因子方差分析中，因为没有重复观测，很难把交互作用与随机误差区分开来，所以我们不得不放弃考虑交互作用。

如果我们在进行双因子方差分析时，对每一种水平组合多作几次重复观测，就能比较容易地辨别出，哪些是交互作用，哪些是随机误差的作用。

下面，我们来看一下，有重复观测、考虑交互作用的双因子方差分析应如何处理。

问题 设某个指标的取值可能与 A 、B 两个因子有关，因子 A 有 r 个水平：r A A A ,,,21 ；因子B 有 s 个水平：s B B B ,,,21 。