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统计与决策2021年第1期·总第565期摘要：文章引入虚拟变量，将带交互作用的双因素方差分析进行了线性回归模型重构，给出了模型的参数估计，证明了回归分析的误差分解与方差分析的离差分解是一致的，得出方差分析的因素显著性F 检验与回归模型的显著性检验的等价性。
同时对方差分析的多重比较t 检验和线性模型的回归系数检验做了比较，指出了他们之间的联系和差异性，分析了差异来源是由于样本的选择差异，最后通过实例给出了两种方法的具体实现。
关键词：方差分析；多元线性回归；虚拟变量；多重比较中图分类号：O212.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2021）01-0010-05带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模黄伯强1，李启才2（1.南京师范大学中北学院；2.南京师范大学数学科学学院，南京210023）基金项目：国家自然科学基金资助项目（11701288）；南京师范大学青蓝工程项目（2016）；南京师范大学中北学院优秀教学团队建设项目（2018jxtd007）作者简介：黄伯强（1981—），男，江苏宜兴人，硕士，讲师，研究方向：概率论与数理统计。
李启才（1979—），男，安徽东至人，博士，副教授，研究方向：随机控制理论及其应用。
0引言方差分析与回归分析是数理统计中重要的两种统计方法，方差分析主要用来讨论不同试验因素对结果的影响是否存在差异性，分为单因素方差分析与双因素方差分析；回归分析是研究自变量与因变量之间函数关系的模型，比较常见的是线性回归模型。
一般的统计学教材都是单独介绍这两个内容，但这两种统计方法存在一定的相互关系。
许多学者对此做过研究，如刘晓华等（2012）讨论了单因素方差分析与虚拟变量回归，研究了这两种方法下显著性差异检验的等价性，但没有给出双因素方差分析下的回归建模；傅莺莺等（2019）将单因素方差分析纳入线性回归的理论体系，给出了回归系数的几何解释，并比较了单因素方差分析方法下两种统计方法的t 检验基本一致，但也只有单因素方差分析的讨论，缺乏双因素方差分析下回归模型的重构。
因子分析双因子方差分析双因子方差分析是一种统计方法，用于研究两个或更多个因素对一些变量的影响。
在双因子方差分析中，变量被分解为与两个或更多个因素相关的部分和与这些因素无关的部分。
这种分析可以帮助我们了解不同因素对变量的影响程度，进而做出更准确的推断和预测。
双因子方差分析可以分为两种类型：全因子方差分析和简化因子方差分析。
全因子方差分析是指在研究中同时考虑到所有的因素和其之间的相互作用对变量的影响。
简化因子方差分析是指只考虑其中一个或几个因素对变量的影响，忽略其他因素的影响。
在进行双因子方差分析时，我们首先要根据实验设计确定不同因素的水平以及这些因素之间的组合情况。
然后，我们需要根据所收集的数据计算不同因素水平和组合的均值和方差。
接下来，我们可以通过计算SS （sum of squares）来分解总方差，以了解不同因素和其交互作用对总方差的贡献程度。
最后，我们可以通过计算F值来检验不同因素和交互作用的显著性。
双因子方差分析的一个重要应用是在实验研究中，特别是在比较不同因素对一些测量指标的影响时。
通过双因子方差分析，我们可以确定哪个因素对测量指标有显著影响，并且可以检验不同因素和其交互作用的效应是否显著。
这对于有针对性地设计实验和解释实验结果非常重要。
双因子方差分析的一个例子是研究两种不同的肥料类型（因素A）和两个不同的灌溉方法（因素B）对植物生长的影响。
研究者可以将试验区域分为四个组合条件：肥料A+灌溉方法1、肥料A+灌溉方法2、肥料B+灌溉方法1和肥料B+灌溉方法2、然后，他们可以测量每个试验组的植物生长情况，并进行双因子方差分析来确定肥料类型和灌溉方法对植物生长的影响，以及是否存在交互作用。
总之，双因子方差分析是一种非常有用的统计方法，可以帮助我们了解不同因素对变量的影响程度，并且可以检验不同因素和其交互作用的显著性。
通过双因子方差分析，我们可以做出更准确的推断和预测，并且有针对性地设计实验和解释实验结果。
交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。
在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。
交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。
与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。
在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。
然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。
主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。
交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。
显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。
双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。
通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。
然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。
首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。
此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。
总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。
通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
如何进行有交互多因方差分析
1、为了说明如何进行有交互作用多因素方差分析，我们使用盈质统计分析软件打开一个包含例子数据的Excel文件。
这是某烘焙店推出的某新款面包试吃评分，为了得到最优的口感，分别调整了糖含量和添加剂含量，在5%的显著性水平上，我们用有交互的方差分析对评分结果进行分析和分组。
2、在“方差分析菜单”下，点击“多因素方差分析”。
3、响应选择“面包试吃评分”，因子，单击“点击添加按钮”，选择“含糖量”、“是否含添加剂”，添加至右边，确认提交，勾选交互作用选项。
4、点击确定，会自动生成有交互作用的双因素方差分析结果和Tukey多重比较分组结果。
5、我们来看这个例子的分析结果，首先看因子信息，列出了两个因子的各个水平。
重点看方差分析表各个因子的P值，含糖量P值为0，小于显著性水平0.05，说明含糖量对面包的试吃评分有影响；是否含添加剂，P值为0.001，说明是否含添加剂对试吃评分也有影响；含糖量:是否含添加剂的P值为0，说明含糖量与是否含添加剂对面包试吃评分有交互作用的影响。
6、最后看通过Tukey方法给出的多重比较结果分组。
分别按因子进行了比较和
分组。
“含糖量”因子，“中”和“高”同属A组，“低”和“无”分属B和C组。
“是否含添加剂”因子，“不含”和“含”分属A和B组；重点看“含糖量”和“是否含添加剂”交互作用的分组，按评分由高至低排列，得到评分最高的A组为含糖量中等，且含有添加剂，所以，店家决定按这个配方制作该款面包，以得到最优口感。
7、如需查看完整视频或了解更多信息，请百度搜索“盈质统计分析软件”进行查看。
双因子交互作用一、概述双因子交互作用是指两个或多个因素在某种条件下相互作用，对结果产生影响的现象。
在生物学、医学、心理学等领域中，双因子交互作用是一种常见的现象。
二、基本概念1. 因子：指影响结果的变量，可以是生理、环境等方面的因素。
2. 交互作用：指两个或多个因素相互作用，对结果产生影响的现象。
三、实例1. 基因与环境交互作用基因和环境都会影响一个人的身体健康状况。
但是，在某些情况下，基因和环境之间会发生交互作用。
例如，在高盐饮食的情况下，某些人患上高血压的风险更大。
这是由于这些人身体内存在一种基因变异，使得他们对高盐饮食更加敏感。
2. 药物与遗传交互作用药物治疗也可能受到遗传因素的影响。
例如，在使用某些心血管药物时，如果患者存在一种特定基因突变，则药物可能无效或产生不良反应。
因此，医生需要考虑患者的基因情况，选择适合的药物治疗方案。
3. 外部环境与心理健康交互作用外部环境，如社会经济地位、教育程度等，也可能对个体的心理健康产生影响。
但是，在某些情况下，外部环境和个体的心理状态之间会发生交互作用。
例如，在贫困家庭长大的人更容易患上抑郁症。
这是由于贫困家庭环境可能导致个体面临更多的压力和挫折感，从而增加了患上抑郁症的风险。
四、统计方法为了研究双因子交互作用，需要使用一些统计方法来分析数据。
常见的方法包括方差分析、回归分析、卡方检验等。
五、应用1. 个性化医学在个性化医学中，双因子交互作用可以帮助医生制定更加精准的治疗方案。
通过对患者基因和环境等因素进行综合考虑，可以选择最适合患者的药物和治疗方式，提高治疗效果。
2. 疾病预防在疾病预防方面，了解双因子交互作用可以帮助人们采取更加有效的预防措施。
例如，在高盐饮食的情况下，如果知道自己身体内存在一种基因变异，就可以采取相应的饮食调整措施，降低患上高血压的风险。
3. 心理健康在心理健康方面，了解外部环境和个体心理状态之间的交互作用可以帮助人们更好地保持心理健康。
