当前位置：文档之家 › 初中数学论文：从一道课本练习题谈圆的“滚动

初中数学论文：从一道课本练习题谈圆的“滚动

  • 格式：doc
  • 大小：132.00 KB
  • 文档页数：5

点燃思维的火种 ，燃起创造的欲望

——从一道课本练习题谈圆的“滚动”

数学课本是获取数学知识的主要源泉，课本中的例题、练习题都是由编者精心筛选，匠心独运而成的，具有丰富的内涵和背景，对强化双基、开发智力、培养能力，有着极大的潜在价值。近几年，圆的“滚动”题已成为中考数学和各类数学竞赛题的热点之一。这类考题有的直接取之课本，有的则是把课本中的例题、练习题的条件或结论进行适当加工，改造编拟而成。所以在教学中要深入探求问题各种各样的变式，横、纵拓展，可以达到“做一题，通一类，会一片”。这样既能加深学生对基础知识的理解，增强综合运用知识的能力，提高学习效率，又可以有效地培养学生的各种思维能力，提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。为此，本文以北师大版数学九年级下册120页随堂练习第2题为例，来谈谈圆的滚动问题。

一 、 圆沿着直线滚动

原题 如图：一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？

分析：这是一道属于圆沿直线滚动的问题。硬币沿着直线从点A滚动一周到点B，滚动过程中圆与直线始终是相切的 ，圆心到直线的距离都等于半径，OO1 BA构成一个矩形，所以圆心经过的路径OO1 =BA，即圆心经过的距离等于硬币的周长。

变式1：（对题目的条件进行简单变换）小明自行车车轮的外半径为24cm，他推着自行车前进，车轮向前滚动了10圈，他前进了多少m？

分析：小明前进的距离就是车轮所在的圆滚动10圈所经过的距离。即等于圆的周长乘以圆转动的圈数，所以小明前进的距离为：22410480()4.8()cmm O O1

B A

变式2：（对题目的条件和结论进行互换）反之，圆心经过的路程为一个圆周长，则圆自身转动了一圈。

推广：滚动圆的周长程滚动的圆心所经过的路圆自转的圈数

二 、 圆沿着圆滚动

若把原题中的直线改成线段并且围成一个圆，那就属于圆沿着圆滚动的问题。

变式3：如图 两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的外侧边缘无滑动地滚动一周，滚动硬币的圆心移动多少距离？

分析：无滑动地滚动指滚动过程中两硬币（两圆）始终外切，若固定硬币为

⊙0，滚动硬币为⊙O′,半径均为R，OO′=2R，动圆的圆心O′所经过的路径是一个半径为2R的圆的周长即2π(R+R）=4πR。

对变式3，再进行拓展

拓展1：（北师大版数学九年级下册127页试一试 ）图-1，两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的外侧边缘无滑动地滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？

分析：硬币沿着固定硬币的边缘无滑动地滚动一周，根据原题变式2得出推广结论和变式3的结果，滚动硬币

（圈））（滚动硬币的周长的路程滚动硬币的圆心所经过自转的圈数222RRR

拓展2 :（第九届华罗庚杯赛初赛试题第12题）半径为25cm的小铁环沿着半径为50cm的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿着大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自转了几圈？

分析：无滑动地滚动指滚动过程中两铁环（两圆）始终内切，滚动过程中小

CBAFDE铁环圆心所经过的路径长为2（50-25）=50，小铁环（圈）滚动铁环的周长的路程滚动铁环的圆心所经过自转的圈数125250

拓展3：（1995年东方航空杯上海市初中数学竞赛题）如图2所示，七枚大小相同的硬币如图放在桌面上。第1枚硬币从A位置开始滚过与它相同的其他六枚固定的硬币的上部，到达B位置，求该枚硬币自身共滚过多少圈？

分析：如图-3所示，当这个圆从左边A位置滚动到P位置时，圆心转过的角AO1P=1800-600=1200,圆心经过的路径为341802120RR，它转过的圈数32234RR；从P位置滚到Q位置圆心转过的角PO2Q=600，它转过的圈数=31，在整个过程中，它类似于从P位置滚动到Q位置时，共要经历4次；最后它滚到B位置类似于从A位置滚动到B位置，又是32圈。因此，一共滚动了21824()333圈

若把原题中的直线改成线段并且折围成多边形呢？

三 、 圆沿着多边形滚动

变式4：（西安市2004年中考题）如图一个等边三角形的边长与它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边无滑动旋转，直到回到原出发位置时，问这个圆自身转了几圈？（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 (D)5

分析：圆心滚过的路径由两部分组成，一部分是圆沿直线滚动所经过的三边长，另一部分是圆绕着三角形三个顶点旋转所得的三条弧长，每条弧长的半径都等于圆的半径，所对

的圆心角都为3600-600-900-900=1200 ，三个圆心角的和3600，三条弧长的和刚好是一个圆周长，圆心滚过的路径是4个圆周长，所以圆自身转了4圈。

拓展1：若把等边三角形改成任意三角形，且三角形周长不变，其它条件和所求的内容都不变，结果如何？（结果同上）

拓展2：若把等边三角形改成任意四边形、五边形或多边形，周长不变，其它条件和所求的内容都不变，结果是否变化？（不变）

拓展3：（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题第17题） 如图所示⊙o沿着凸多边形1231nnAAAAA的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置，（1）当⊙o和凸n边形的周长相等时，⊙o自身转动了几圈？

（2）⊙o沿着凸多边形1231nnAAAAA的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置，当⊙o的周长为a，凸n边形的

周长为b时，求此时⊙o自身转动的圈数。

分析：（1）圆心滚过的路径由两部分组成，一部分

是与凸n四边形各条边都相切而滚动所得的各边长即一

周长；另一部分是分别绕各顶点转动所得的n条弧线。

各弧线所对的同心角之和为

12180180180180(2)180360nAAAnn，即刚好自转一周，所以自转为2周。

（2）⊙o在各边上滚动所经过的路径为b。而2Ra且 2Rnbabn

经各顶点所得弧线所对圆心角之和应为360，即一周。所以⊙o自身转过的圈数为1ab

拓展 4：如图-5所示，已知半径为1的⊙o和边长为10的正方形ABCD。（1）当⊙o沿正方形ABCD的内部四边无滑动地滑动时，⊙o自转圈数及⊙o经过的

面积是多少？（2）⊙o沿正方形ABCD外部四边滚动时，⊙o自转圈数及经过的面积又是多少？

分析：（1）如图-5所示，当⊙o在正方形

ABCD内沿四边滚动一周时，⊙o自转圈数

4(102)16112，⊙o所经过的面积为：

2222121410102241604ABCDSSS正方形（）（）

（2）如图-5，当⊙o在正方形ABCD外，⊙o自转圈数为：410201121，⊙o所经过的面积为：

22231410221042280404EFGHABCDSSS2正方形正方形（）（）

由此可见，在数学教学中，教师要引导学生精读课本，善于挖掘课本中的典型题目，引导学生大胆猜想、多方联想、积极探求、拓广延伸、由此及彼等思维训练。这样的教学也将会真正焕发出课堂教学的活力，从而点燃学生思维的火种，燃起学生创造的欲望。

合集下载

初中数学难度“圆”的详解

初中数学难度“圆”的详解

初中数学难度“圆”的详解

现在，几何题在中考中越来越重要，在尖子生眼里，“几何题”都是送分题，但是对于成绩一般的学生，几何题就是大难题了。

“圆”是几何题的重要考点，在中考中几乎年年出现！！但是得分率却不高，因为复杂、难！

其实，圆的考点主要有求弧长、角度、面积以及各种证明，一般情况下求面积和证明是考的最多的，但是也正因此，很多同学才会丢分。

下面我们整理了初中几何——圆的所以常考知识点！这些有必要一一弄清楚！

中考是一场没有硝烟的硬仗，万千家长们为此操心劳力，孩子们为此挑灯夜战，所以我们经不起任何一点疏忽，不论如何都应该做好万全的准备。

来源：网络。本文版权归原创作者所有。

中考数学复习专题训练《圆的综合》(3)

中考数学复习专题训练《圆的综合》(3)

中考数学复习专题训练《圆的综合》（3）

1．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，O、A、B三点都在格点处，线段OA绕点O顺时针旋转至OB．

（1）求线段OA的长；

（2）画出旋转过程中点A经过的路径，且求出该路径的长．

2．如图，网格中每个小正方形的边长为1，△OAB的顶点都在格点上，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

（1）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使A点初次落在点A1上，请在图中画出△OAB旋转后所得的像△OA1B1；

（2）将△OA1B1向左平移三个单位得到△O2A2B2，请在图中画出平移后所得的像△O2A2B2；

（3）求两次变换后B点所经过的路径总长．

3．如图，点O、B的坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°到△OA′B′．

（1）画出△OA′B′；

（2）点A′的坐标为 ；

（3）求在旋转过程中，点B所经过的路线的长度．

4．如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：

（1）网格中每个小三角形的面积为 ；

（2）将顶点在格点上的四边形ABOC绕点O顺时针旋转120°两次，画出所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为 ．（结果保留π）．

5．如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．

（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为 ，此时点A经过的路程为 ；

（2）当点A经过的路程为时，中心O与初始位置的距离为

；

（3）将正方形在滚动中转了180°时点A的位置记为A1，正方形转了360°时点B的位置记为B1，请你猜想∠AA1B1的大小，并请你利用三角函数中正切的两角和公式来验证你的猜想．

圆,妙不可言

圆,妙不可言

龙源期刊网

圆，妙不可言

作者：邹红丰

来源：《创新时代》2016年第09期

近年来，中考对有关《圆》这部分内容作了调整，将圆从高高在上的位置上降了下来，圆的证明题减少、难度降低；但圆又随时“潜伏”在中考的考题中，它可以“圆滑”地安装在几何图形中，它也可以与三角函数相“混搭”。下面以部分中考题为例，来体会“圆”的妙不可言之处。

一、围绕“定义”做文章

圆有两个定义：①平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆；②到定点的距离等于定长的点的集合。根据这两个定义我们可以在几何图形中找到圆的影子。

例1.如图1，⊙P在第一象限，半径为3。动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为—。

【评析】如图2，连接CO，利用等边三角形的性质，CO=AO，点C随点A运动成圆。点A在以P为圆心，3为半径的圆上，根据定义②，那么动点C的集合也应该是一个圆。当OA经过圆心P与⊙P交于A1A2两点，且OA1≤OA≤OA2，则OA1≤OC≤OA2，所以由点C组成的圆的直经C1C2=A1A2=6，S=27。

在教材中，虽然对圆的概念教学是“认知”“理解”，但是按照学生思维发展的自然规律，学生已经对圆的“定义”具备了分析、运用的能力。在有些几何问题中圆的条件并不明显，特别是一些动态的问题，我们可以通过画图分析寻找规律（动点的轨迹），将“潜伏”在图中的圆的几何特征代数化—如果存在某个定点（圆心），动点到这个定点的距离等于定长（半径）或者与已知线段有一定数量关系，这样我们就可以构造一个圆来解决，体现数形结合思想的巧用，同时通过这一转化培养学生的分析问题、解决问题的能力。

二、小心“角”里藏玄机

有关初中数学习题论文

有关初中数学习题论文

有关初中数学习题论文

浅谈上好初中数学习题课的策略

【摘要】在数学教学中，习题课教学是一种重要课型，是课堂教学必要的补充，是整个教学环节重要组成部分，这也是数学教学区别于其他学科鲜明的特点。习题课的目的是通过解题的形式来培养学生的数学技能。在新课程理念下的习题课教学必须立足于扭转教师机械讲课，学生重复训练的被动局面，通过习题课培养学生的数学应用意识和能力，教给学生解题思路，学习方法，使学生加深对概念的理解，使理论完整化、具体化，激活学生的思维。同时习题课还可以多方面、多角度培养学生的观察、归纳、类比等技能，培养学生主动探索，自主学习，合作交流意识，是学生解题过程中一种独立的创新活动过程，是实现数学教学基本目标的过程。

【关键词】数学习题课激活思维创造性活动基本目标

新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”转向“关注学生学习过程、培养学生的能力”，课程设计将由“给出知识”转向“创设情境引导新课”。数学新教材提倡学生主动探索，自主学习，合作交流，体现数学再发现的过程。数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”、“操作”、“发现”、“检验”、“论证”的过程，并通过合作交流，培养学生自主学习的能力，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力。

然而，如何充分体现学生在数学教学中的主体作用，提高数学课堂教学效率、提高数学课堂教学质量，特别是如何上好数学习题课，是摆在我们每位数学教师面前的重要课题，教师除了认真学习新课标，钻研教材，把握好每章节的重点、难点、关键，明确教学目的之外，还应注重基础知识和基本技能的训练，注重设计教学过程。高效的习题课教学对于培养学生的思维品质，提高学生分析问题解决问题的能力以及教师了解教学效果等方面都有不可替代的作用。在从强化知识的传统教育模式向着创新能力的现代教育模式转化的过程中，应该将习题课教学作为整个数学教学的一个重要环节。