数学中考备考综合滚动练习：《二次函数》(压轴题专项)(含答案)
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中考备考综合滚动练习：《二次函数》（压轴题专项）
1．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
2．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．
3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）．绕点A旋转的直线l：y＝kx+b1交抛物线于另一点D，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在第二象限且满足CD＝5AC时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线l下方抛物线上的一点，直接写出△ACE面积的最大值；
（4）如图2，在抛物线的对称轴上有一点P，其纵坐标为4，点Q在抛物线上，当直线l与y轴的交点C位于y轴负半轴时，是否存在以点A，D，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝与x轴的两个交点为A，B，与y轴交点为C．
（1）请判断并证明△ABC的形状．
（2）设点Q为坐标平面内的一点，若以点Q、A、B、C为顶点四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（不必写过程，直接写结果）
（3）抛物线的对称轴被直线AC、抛物线、直线BC和x轴依次截得三条线段（线段KE、EF、FG），问这三条线段有何数量关系？
（4）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AN⊥AC交DH的延长线于点N，试在线段AN上找一点G，在线段DN上找一点P，且点M为直线PG上方抛物线上一点，求当△CPG的周长最小时，△MPG的面积最大是多少？
5．已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ
的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．
（1）求直线BC及该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积
（3）如果点F在y轴上，且∠CDF＝45°，求点F的坐标．
7．如图：抛物线与坐标轴交于A（﹣3、0）、B（4、0）、C（0、3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线AC沿Y轴向上平移m个单位，若平移后的直线与抛物线有且只有一个交点，求m的值．
（3）如图，点M在x轴上，点N在直线AC上，连接CM、MN、NB．直接写出CM+MN+NB的最小值，并求出M、N两点的坐标．
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝4．
（1）填空：点B的坐标为
（用含m的代数式表示）；
（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：
①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；
②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为时，求m的值．
9．如图，B（﹣2，0），C（0，4），将△BOC绕原点O顺时针旋转90°得到△DOA，抛物线y＝ax2+bx十4经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△ADO以每秒一个单位的速度沿x轴负半轴向左平移，平移后的三角形记为△D′O′A’，平移时间为t秒．
①当D′落在抛物线上时，求t的值；
②t为何值时，△D′A'C的周长最小？直接写出t的值和△D′A'C周长的最小值；
③设△D′O′A′与△BOC重叠部分的面积为S，当0≤t≤4时，直接写出S与t的函数关系式．
10．在平面直角坐标系中，我们把直线y＝﹣x上的点称为适合点．
（1）判断函数y＝﹣3的图象上是否存在适合点，若存在，求出其适合点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若二次函数y＝ax2﹣6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个适合点（﹣，），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣6x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为3，求m的取值范围；
（3）直线y＝kx+3经过适合点P，与x轴交于点D，与反比例函数y＝的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为﹣，且DM+DN≤5，请直接写出n的取值范围．
11．如图，已知顶点为C的抛物线y＝ax2﹣4ax+c经过点（﹣2，0），与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线顶点为Q，抛物线对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，若在x轴上存在动点M，在y轴上存在动点N，连接点PM，PN，求PM+MN+NP周长的最小值；
（3）连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为H．在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G坐标．
13．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求点B的坐标及△BOC的面积．
（3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出D和E的位置，再直接写出点D的坐标．
14．如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标；
（3）若点E为线段OC上一动点，试求2AE+EC的最小值．
15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
16．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C，对称轴直线x＝2与x轴相交于点D，点P是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点E向下运动，设点P运动的时间为t（s）．
（1）点B的坐标为 ，抛物线的解析式是 ；
（2）求当t为何值时，△PAC的周长最小？
（3）当t为何值时，△PAC是以AC为腰的等腰三角形？
参考答案
1．解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，
∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB
＝PD•a+PD•（3﹣a）
＝PD•3
＝（﹣a2+3a）
＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4）， 设N（1，n），则0≤n≤4，
取CM的中点Q（，），
∵∠MNC＝90°，
∴NQ＝CM，
∴4NQ2＝CM2，
∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，
∴4[＝（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，
整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，
∵0≤n≤4，
当n＝上，M最小值＝﹣，n＝4时，M最小值＝5，
综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．
2．解：（1）把A点坐标代入二次函数，解得a＝﹣，
故：二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2；
（2）S＝•CQ•OP，
当0＜t＜2时，
S＝•t（﹣t+2）＝﹣t2+t，
当2＜t≤4时，
S═•t•（t﹣2）＝t2﹣t；
