高考第一轮复习数学：13.1 导数的概念与运算 2

2019-2020年高考数学一轮复习 13.1 导数的概念与运算教案●网络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1 导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）.4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则x y ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2 解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy ∆∆=4+2Δx . 答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4解析：筛选法.答案：A3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54.答案：C4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c =－5. ∴c =4.答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c '=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ，∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca .又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ），f '（c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0.答案：0●典例剖析【例1】 （1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a21］ C.［0，|a b 2|］ D.［0，|a b 21-|］ （2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为A.y =3x －4B.y =－3x +2C.y =－4x +3D.y =4x －5（3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______. （4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］， ∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+ab 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］，∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a21］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）.（3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上， 又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0.（4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2.∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0.答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y +4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54. 评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k =00x y （x 0≠1）. 由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴00x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f '（x 0）=3x 02－6x 0+2.∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2.整理得2x 02－3x 0=0.解得x 0=23（∵x 0≠0）. 这时，y 0=－83，k =－41. 因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）. 评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 解：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）. 设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|，tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β.又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练夯实基础1.函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是A.x 2－x +1B.（x +1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1解析：∵f （x ）=x 3+1，∴f '（x ）=3x 2.答案：C2.曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x +y +3=0，则A. f '（x 0）>0B. f '（x 0）<0C. f '（x 0）=0D. f '（x 0）不存在解析：由题知f '（x 0）=－3.答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________.解析： f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310. 答案： 310 4.曲线y =2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________.解析：点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0. 答案：4x +y +1=05.已知曲线y =x 2－1与y =3－x 3在x =x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361. 答案： 361 6.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1，∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）. ∴α∈［0，2π）∪［43π，π）. 培养能力7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求：（1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2， ∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3.∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0.8.有点难度哟！若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值.解：设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1. （1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×1+1=4，即P （1，4）.又P （1，4）也在y =x 3－a 上，∴4=13－a .∴a =－3.（2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）.又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上，∴－2=（－1）3－a .∴a =1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y =x 2+bx +c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y =2x 在x =2处相切.解：y '=2x +b ，k =y ′|x =2=4+b =2，∴b =－2.又当x =2时，y =22+（－2）×2+c =c ，代入y =2x ，得c =4.探究创新10.有点难度哟！曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y '=3x 2+6x +6=3（x +1）2+3，∴x =－1时，切线最小斜率为3，此时，y =（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y +14=3（x +1），即3x －y －11=0.●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心教学点睛1.f '（x 0）=0lim →x xx f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式： f '（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f -- =0lim→h h x f h x f )()(00-+ =0lim →h h h x f x f )()(00-- 2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】 曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。

第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算课题：{导数的概念及运算 一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：1．函数22(21)y x =+的导数是 （ C ）()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f3．曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）()A (1,3)()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为34π，则(2)f '-=1-，[(2)]f '-=0． 6．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4π． 四．例题分析：例1．（1）设函数2()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)nf x x a =-，求()f x '．解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2()18225f x x x '=++（2）∵32()25f x x x x =-++，∴2()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：203410x x -+=，解得：01x =或013x =（3）0(22)(2)()lim n nx x a x x a f x x∆→-+∆--'=∆112210lim[(2)24(2)2()]n n n nn n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t S t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负例3．（1）曲线C ：32y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩⎨⎧=+++=439271d c b a d∵232y ax bx c '=++ /(0)f c = /(3)276f a b c =++∴12762c a b c =⎧⎨++=-⎩， 可求出11,1,,13d c a b ===-=∴曲线C ：32113y x x x =-+++（2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率200()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：3200002(23)()y x x x x x -+=--，∵过点(1,1)A ，∴32000012(23)(1)x x x x -+=--解得：01x =或012x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17(,)28--，切线方程为：5410x y --=例4．设函数1()1,0f x x x=->(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -=-，两边平方得：22121211a a b b+-=+- 即：111111()()2()a b ab a b -+=-，∵0a b <<，∴110a b -≠，∴112,2a b ab a b+=+=2ab a b ⇒=+>∴1ab >（2）当01x <<时，11()11f x x x=-=-，00201()(01)f x x x '=-<<曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：00201()y y x x x -=--， 即：02002x x y x x -=-+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为20002(2,0),(0,)x x x x -- ∴所求三角形的面积为22000000211()(2)(2)22x A x x x x x -=-⋅=- 例5．求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由⎩⎨⎧-=-+=424x y x x y 得420x += 知，两曲线无交点.341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =故切点：（0 , －2）. d ==2.五．课后作业：1．曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（ ）()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-2．已知质点运动的方程为24105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为（ ）()A 60 ()B 1 ()C 80 ()D 503．设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）()A 2[0,]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33ππ 4．若0()2f x '=，则00()()lim 2k f x k f x k→∞--=5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=6.已知曲线3:2S y x x =-（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．7.设曲线S ：3266y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.8.已知函数22(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数32y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式。

第十三章 导数(理)网络体系总览考点目标定位1.导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数.2.两个函数的和、差、积、商和导数,复习函数的导数、基本导数公式.3.利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值.4.了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.13.1 导数的概念与运算巩固²夯实基础一、自主梳理1.导数的概念(1)如果当Δx →0时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00. (2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′(x 0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作f ′(x),即f ′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数. 2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.3.几种常见的导数C ′=0(C 为常数)；(x n )′=nx n-1；(sinx)′=cosx ；(cosx)′=-sinx ；(e x )′=e x ；(a x )′=a x lna ；(lnx)′=x 1；(log a x)′=x1log a e. 4.导数的四则运算法则设u 、v 是可导函数，则(u ±v)′=u ′±v ′；(uv)′=u ′v+uv ′；(v u )′=2''vuv v u -(v ≠0).链接²提示f(x)在x=x 0处的导数f ′(x 0)的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义:f ′(x 0)是函数f(x)的导函数f ′(x)当x=x 0时的函数值.二、点击双基1.质点运动方程为s=61t 3-21t 2+1,那么当质点在t=2时的速度为( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析:s ′=21t 2-t,∴s ′(2)=0. 答案:A2.设函数f(x)在x=x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+( ) A.与x 0、h 都有关 B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案:B3.函数y=x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为_ __________________________.解析:设点A 的坐标为(x 0,y 0),则y ′0|x x ==2x 0|x x ==2x 0=k 1.又直线3x-y+1=0的斜率k 2=3,∴tan45°=1=|1|||1212k k k k +-=|006123x x +-|. 解得x 0=41或x 0=-1. ∴y 0=161或y 0=1, 即A 点坐标为(41，161)或(-1，1). 答案:(41，161)或(-1，1) 4.0lim →x xx θθsin )sin(-+=___________________________. 解析:0lim →x xx θθsin )sin(-+=sin ′θ=cos θ. 答案:cos θ诱思²实例点拨【例1】 若f(x)在R 上可导，(1)求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数的关系；(2)证明若f(x)为偶函数，则f ′(x)为奇函数.剖析:(1)需求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数；(2)求f ′(x)，然后判断其奇偶性.(1)解:设f(-x)=g(x),则g ′(a)=0lim →∆x xa g x a g ∆-∆+)()(=0lim→∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =-0lim →∆x x a f x a f ∆---∆--)()( =-f ′(-a).∴f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数互为相反数.(2)证明:f ′(-x)=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()( =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆-)()( =-0lim →∆x x x f x x f ∆--∆-)()( =-f ′(x).∴f ′(x)为奇函数.讲评:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.链接²拓展(2)中若f(x)为奇函数，f ′(x)的奇偶性如何？【例2】（2004潍坊高三统一考试）已知函数f(x)=lnx,g(x)=21x 2+a(a 为常数),直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线l 的方程及a 的值.剖析:由直线l 与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l 与函数g(x)的图象相切,所以l 与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a 的值.解:由f ′(x)|x=1=1,知k l =1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线l 的方程为y=x-1.直线l 与y=g(x)的图象相切,等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解,即方程 21x 2-x+(1+a)=0有两个相等的实根,∴Δ=1-4³21(1+a)=0. ∴a=-21. 讲评:本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.【例3】 求下列函数的导数:(1)y=x 2sinx ； (2)y=ln(x+21x +)； (3)y=11-+x x e e ；(4)y=xx x x sin cos ++. 解:(1)y ′=(x 2)′sinx+x 2(sinx)′=2xsinx+x 2cosx. (2)y ′=211x x ++²(x+21x +)′ =211x x ++(1+21x x +)=211x +.(3)y ′=2)1()'1)(1()1()'1(--+--+x x x x x e e e e e =2)1(2--x xe e . (4)y ′=2)sin ()'sin )(cos ()sin ()'cos (x x x x x x x x x x +++-++ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+-- 链接²聚焦函数f(x)在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？。