高中数学阶段质量评估北师大版选修_11

2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 北师大版选修2-3一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法( )A．13种B．16种C．24种D．48种解析：应用分类加法计数原理，不同走法共有8＋3＋2＝13种．答案： A2．某单位有15名员工，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名员工组成考察团外出参观学习，如果按性别同比例选取，则此考察团的组成方法种数是( ) A．C310B．C410C25C．C515D．A410A25解析：由题意知，要从男性10人中选取4人，女性5人中选取2人，故有C410C25种组团方法．答案： B3．组合数方程5C5n＋C4n＝C3n的解是( )A．6 B．5C．5或1 D．以上都不对解析：代入法，经验证选B．答案： B4．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( )A．30种B．144种C．5种D．4种解析：分两步完成：第一步，其余3人排列有A33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A33A34＝144种．答案： B5．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( ) A．60个B．48个C．36个D．24个解析：个位上数字只能从2与4中任选一个，有2种选法，万位上的数字有3种选法，其余位上的数字有6种选法，∴共计2×3×6＝36(个)． 答案： C6．从6个人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有( )A ．96B ．180C ．240D ．288解析： 方法一：分三种情况：①甲，乙都不参加比赛有A 44种；②甲、乙只有一人参加比赛有C 12·C 13·A 34种；③甲、乙两人都参加比赛有A 23·A 24种．故共有A 44＋C 12·C 13·A 34＋A 23·A 24＝240(种)．方法二：若不考虑限制条件，从6人中选出4个参加四项比赛，共有A 46种参赛方案，而其中甲参加了英语比赛的方案有A 35种，乙参加了英语比赛的方案也有A 35种．故甲、乙两人都不参加英语比赛的方案种数是A 46－2A 35＝360－120＝240(种)．答案： C7．在(x 2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28解析： 只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项， 即n ＝8，T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x)r ＝C r 8(－1)r·(12)8－r ·x 8－43r ， 当r ＝6时为常数项，T 7＝7. 答案： B8．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种解析： 依题意，就乙是否值14日分类：第一类，乙值14日，则满足题意的方法共有C 14·C 24＝24种(注：C 14表示从除甲、乙外的4人中任选一人参与14日的值班的方法数；C 24表示从余下的4人中任选两人参与15日的值班的方法数)；第二类，乙不值14日，则满足题意的方法共有C 24·C 13＝18种(注：C 24表示从除甲、乙外的4人中任选两人参与14日的值班的方法数；C 13表示从余下的3人中任选一人与乙共同参与15日的值班的方法数)．因此，满足题意的方法共有24＋18＝42种．答案： C9．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )A．－20 B．－15C．15 D．20解析：设第r＋1项为常数项，C r622x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C r6212x－2rx－rx，∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为(－1)4C46＝15.答案： C10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( )A．10个B．16个C．20个D．32个解析：和为11的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)，要使任何两个数的和不等于11，只需从5个数对中分别任取一个数．∴满足条件的子集有C12·C12·C12·C12·C12＝32个．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．从5名运动员中任选4名排在编号为1,2,3,4的四条跑道上(每条跑道只排一名)，其中某甲不能排在第1,2跑道上，那么不同的排法一共有____________种．解析：由题意优先考虑甲，分为二类，第一类为甲参加，有C34·C12A33＝48种；第二类，甲不参加，有C44A44＝24种．故有48＋24＝72种．答案：7212．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有____________种．(以数字作答)解析：从10个球中任取3个，有C310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C310＝240种方法．答案：24013．(3x－123x)10的展开式中的有理项有____________项．解析： T r ＋1＝C r10·(3x )10－r ·(－123x)r ＝(－12)r ·C r10·x 10－r 3·x －r 3＝(－12)r ·C r 10·x 10－2r 3. ∴当r ＝2,5,8，共3项． 答案： 314．若(2x －3)6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 6(x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5＝____________.解析： 令x ＝2得16＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6① 令x ＝0得(－3)6＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6② ①－②得1－36＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝1－362＝－364.答案： －364三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析： 从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．16．(本小题满分12分)把4个男学生和4个女学生平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票体验活动，且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)男学生与女学生分别分组，有几种不同的分配方法？(3)每个小组必须是一个男学生和一个女学生，有几种不同的分配方法？解析： (1)男女合一起共8人，每车2人，可分四步完成，第一辆车有C 28种，第二辆车有C 26种，第三辆车有C 24种，第四辆车有C 22种，共有不同的分法C 28C 26C 24C 22＝2 520(种)．(2)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 242＝3(种)，4个女的分成两组也有C 242＝3(种)，故分组方法共有3×3＝9(种)，对于每一种分法上4辆车，又有A 44种上法，因而不同的分配方法为9·A 44＝216(种)．(3)要求男女各1个，因此先把男学生安排上车共有A 44种方法，同理，女学生也有A 44种方法，男女各1人上车的不同分配方法为A 44A 44＝576(种)．17．(本小题满分12分)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1， 令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128 ①∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0 ＝(－4)7②由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[(a 7＋a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)＋(－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0)] ＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. 18．(本小题满分14分)已知(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析： (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0. 解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. 所以T 4的系数＝C 37(12)4×23＝352，T 5的系数＝C 47(12)3×24＝70.。

第一章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝｛1,2,3}，B＝{2,3},则（)A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A2．已知全集U＝R,集合M＝{x｜0＜x≤1｝，N＝{x｜x≤0｝，则M∩(∁U N）＝(）A．｛x|0≤x＜1｝B．｛x|0＜x≤1｝C．｛x｜0≤x≤1} D．｛x|x＜1｝3．已知集合M＝{1,a2｝,P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝()A．｛0,1｝B．{0，－1｝C．{0｝D．｛－1}4．命题“∀x≥0，|x|＋x2≥0”的否定是(）A．∃x＜0，|x｜＋x2＜0 B．∃x≥0，|x｜＋x2≤0C．∃x≥0，|x｜＋x2＜0 D．∃x＜0，|x|＋x2≥05．已知a＜0，－1＜b＜0，则（)A．－a＜ab＜0 B．－a＞ab＞0C．a＞ab＞ab2D．ab＞a＞ab26．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝错误!，则A∩（∁R B）＝(）A．(－1，2) B．（－1，1）C．（－1，2］D．（－1,1］7．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”的一个必要不充分条件是（)A．0＜a＜1 B．0＜a＜错误!C．0≤a≤1 D．a＜0或a＞错误!8．若正数a,b满足2a＋错误!＝1，则错误!＋b的最小值为(）A．4 2 B．82C．8 D．9二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分,选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有（）A．∃x∈N*，使x为29的约数B．∀x∈R，x2＋x＋2＞0C．存在锐角α，sin α＝1。

5D．已知A＝{a|a＝2n｝，B＝｛b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N＊，都有A∩B＝∅10．已知错误!＜错误!＜0，下列结论中正确的是(）A．a＜b B．a＋b＜abC．|a|＞|b| D．ab＜b211．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0），则下面结论中正确的是()A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c＜0C．b2－4ac＞0 D．当y＜0时，x＜－1或x＞412．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P,都有a＋b，a－b,ab，错误!∈P(除数b≠0）,则称P是一个数域．则关于数域的理解正确的是（)A．有理数集Q是一个数域B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域D．数域必为无限集第Ⅱ卷(非选择题，共90分）三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．不等式－x2＋6x－8＞0的解集为________．14．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是________．15．若错误!＋错误!＝错误!(a＞0，b＞0），则4a＋b＋1的最小值为________．16．已知非空集合A，B满足下列四个条件：①A∪B＝{1,2,3，4，5,6,7｝；②A∩B＝∅;③A中的元素个数不是A中的元素;④B中的元素个数不是B中的元素．（1)若集合A中只有1个元素，则A＝________；（2）若两个集合A和B按顺序组成的集合对（A，B)叫作有序集合对，则有序集合对(A,B）的个数是________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分)已知全集为实数集R,集合A＝｛x｜1≤x≤7｝，B＝{x｜－2m＋1＜x＜m}．(1)若m＝5，求A∪B，（∁R A)∩B；(2)若A∩B＝A，求m的取值范围．18.(本小题满分12分）已知不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x｜－3＜x＜1｝．（1)求a的值；（2）若不等式ax2＋mx＋3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．19．（本小题满分12分）已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x ＋9－m2≤0,若p是q的充分条件，求m的取值范围．20．（本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－40x＋1 600，x∈[30，50］，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．（1)判断该技术改进能否获利?如果能获利，求出最大利润;如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少?21．（本小题满分12分）若集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝｛x｜|x＋2|＞3},C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0,m∈R}．(1）若A∩C＝∅，求实数m的取值范围．(2)若（A∩B）⊆C,求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求错误! 2＋错误!2的最小值．第二部分阶段测试第一章单元质量评估卷1．解析：由真子集的概念,知B A，故选D.答案：D2．解析:∵∁U N＝{x｜x＞0}，∴M∩（∁U N）＝｛x｜0＜x≤1}．故选B。

高二上学期数学北师大版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则M 到直线的距离为( )2.已知A ，B 两点的坐标分别为，，两条直线和3.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.4.某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有()A.420种B.840种C.476种D.896种5.二项式展开式中的系数为( )A.120B.135C.D.6.过抛物线的焦点作直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，若直线与A.8B.16C.24D.327.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了k 次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使最大的N 值估计N 的取值并计算.(若有多个N 使最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是( )()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -AB ()0,1A ()1,0B 1:10l mx y -+=2:10l x my +-=(m ∈R 222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=()()10211x x x ++-5x 140-162-2:8C y x =1l 2l 1l l (01)p p <<(10)P X =()E X (10)P X =A. B.C. D.与10的大小无法确定8.已知椭圆的焦距为2，A 为椭圆的右焦点，过点A 在x 轴上方作两条( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若三条不同的直线，，，能围成一个三角形，则m 的取值不可能为( )A. B. C. D.110.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A 为“恰有两人所去景点相同”，事件B 为“只有小张去甲景点”，则( )A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯的统计理论，随机事件A ，B 存在如下关系：餐厅就餐的概率分别为0.4，0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学( )A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44()10E X >()10E X <()10E X =()E X 2222:1(0)x y E a b a b +=>>2=1:240l mx y m +++=2:10l x y -+=3:350l x y --=2-6-3-()P AB =∣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则m 的值为___________.13.若直线与曲线只有一个公共点，则实数m 的取值范围是______________.14.已知，，是球M 上三点，球心M 的坐标为，P 是球M 上一动点，则三棱锥的体积的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）如图，在直三棱柱中，，.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求点B 到平面的距离.16.（15分）已知圆C 经过点、，并且直线平分圆C .（1）求圆C 的方程；（2）过点，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ，且，求k 的值.17.（15分）从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.（1）男同学甲、女同学乙必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.18.（17分）已知m ，n 是正整数，的展开式中x 的系数为15.0m >6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 0:x y l m ++=:C y =(1,1,1)A (2,0,1)B (1,0,2)C (1,0,1)P ABC -111ABC A B C -BA BC ⊥12BA BC BB ===1AB 11A C 11A B C (1,3)A (2,2)B :320m x y -=(0,1)D 12OM ON ⋅=(1)(1)m n x x +++(1)求展开式中的系数的最小值；(2)已知.19.（17分）已知直线，直线，过动点M 作，，垂足分别为A ，B ，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且四边形（O 为原点）的面积为2.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于，两点，求的取值范围.2x (23x +b +1:l y x =2:l y x =-1MA l ⊥2MB l ⊥OAMB ()3,0F ()0,0P x ()00,Q y 00x y +答案以及解析1.答案：D解析：由，，，可知，则与同方向的单位向量为，又，，故点M 到直线的距离为.故选：D.2.答案：D 解析：由题意可得直线恒过定点，恒过定点，且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段为直径的圆上运动，，设，所以，所以当大值2，此时点P 的坐标为.故选：D.3.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -(1,1,1)AB = AB0AB = ||3AM = 0AM AB ⋅== AB d ===1:10l mx y -+=()0,1A 2:10l x my +-=()1,0B 1-AB AB =ABP θ∠=θθπ2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭θ==()1,1()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=PC l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，化简，得.4.答案：D解析：由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D 5.答案：D解析：展开式通项为：，令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；展开式中的系数为.故选：D.6.答案：D解析：设直线与的斜率分别为，，则，联立方程组消去y 并整理得，设，，则，当且仅当时，等号成立，所以7.答案：B解析：由题，X 服从二项分布，则，最大即为满足的最小N ，即为28C 28=()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=16C 6=15C 5=2865840⨯⨯=38C 56=84056896+=()101x -()()11010C 1C rrr rr r T x x +=-=-⋅=5r ()1011x ⨯-5x ()55101C 252-=-4r =()101x x -5x ()44101C 210-=3r =()1021x x -5x ()33101C 120-=-()()10211x x x ∴++-5x 252210120162-+-=-1l 2l 1k 2k 121k k =-()122,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩()22221114240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y ()211221424k x x k ++==()()12228AB AF BF x x =+=+++=8MN =+212221218811616832AB MN k k k k ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭22121k k ==AB MN +(,)B N p 101010(10)C (1)N N P X p p -==-(10)P X =101010101091C (1)C (1)N N N N p p p p --+-≥-，又为整数时，的最小整数，而，，答选：B.8.答案：C解析：由焦距为2知，，设直线与E的另外一个交点为D，，显然判别式大于0，或．故选：C．9.答案：ABC解析：由直线，，，若；若；101010101091C(1)1910111C(1)11NNNNp p NNp p p N p--+--≥⇔⋅≥⇔≥---+N+∈N1-10Np=--1-()E X Np=()10E X<⇔N<()10X<(1,0)A221a b-=AB()11,B x y)()222242122a x a x a a--+-=12x x+=12x=))1211x x--=12x x+()121x x+-=242222212121a a aa a-+-=--22= 2a=22=1:240l mx y m+++=2:10l x y-+=3:350l x y--=1l//2=-1//l l6=-若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组，解得，，即交点，将点代入直线，可得，解得，故选：ABC.10.答案：CD解析：A 选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A 错误；B 选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，种方案，B 错误；C 选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B 选项可知，，事件AB ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以D 选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另种方案，由A 选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故11.答案：AC解析：设事件表示“第一天去甲餐厅”，表示“第二天去甲餐厅”，表示“第一天去乙餐厅”，表示“第二天去乙餐厅”，则，，，，所以，所以A 正确.，所以B 不正确.因为，所以，所以1l 2l 3l 10350x y x y -+=⎧⎨--=⎩3x =4y =(3,4)P P 1l 32440m m +⨯++=3m =-4381=33A 36=()36n A =()212312C C A 6n AB ==()()()n AB P B A n A ==312413C C A 24=23A 18==1A 2A 1B 2B ()10.4P A =()10.6P B =()210.6P A A =∣()210.5P A B =∣()()()()()21211210.40.60.60.50.54P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣()()2210.46P B P A =-=()()()()2122110.5P A P B A P A B P B ==∣∣()()2120.50.60.3P A P B A =⨯=∣()()1220.30.30.54P B A P A ===∣故选AC.12.答案：3解析：展开式的通项为（），令，解得，所以项的系数为，又，解得.13.答案：解析：因为曲线，所以曲线C 是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线的斜率为-1，在y 轴上的截距为，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点，由图得：，当直线l 与圆相切时，则或故答案为：.解析：依题意，，，则则，则球M 的半径，设平面的法向量为，则，令，得，()()()()121122P A P B A P A B P B =∣∣()()()121210.4(10.6)0.46P A P A A P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦===∣6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭662166C C kk k k k kk m T x m x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭0,1,2,,6k = 622k -=2k =2x 2226C 15135m m ==0m >3m =(]{3,3-- :C y =()2290x y y +=≥(0,0):l y x m =--m -[)(]3,33,3m m -∈-⇒∈-3d m ⇒=±=-(]3,3∈-m =-(]{3,3-- (1,1,0)AB =- (0,1,1)AC =- ||||AB AC == ||||AB AC A AB AC ⋅==A =ABC =(0),1,0=||1R MA == ABC (,,)n x y z = 0n AB x y n AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =(1,1,1)n =则点M 到平面的距离距离最大值为，所以三棱锥解析：（1）依题意可知，，两两相互垂直，以B 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线与所成角为，则由于（2），，，，设平面的法向量为，则，故可取，所以点B 到平面16.答案：（1）（2）1ABC ||||n MA d n ⋅===ABC 1d R +=P ABC -1)+=BA 1BB BC ()2,0,0A ()10,2,0B ()12,2,0A ()10,2,2C ()12,2,0AB =- ()112,0,2A C =-1AB 11A C θ111111cos AB A C AB A C θ⋅===⋅0θ<≤=()112,0,0A B =- ()0,0,2C ()12,2,2A C =-- ()10,2,0BB =11A B C (),,n x y z = 111202220n A B x n A C x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ()0,1,1n = 11A B C = 22(2)(3)1x y -+-=解析：（1）线段AB的中点，，故线段AB的中垂线方程为即，因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上.又因为直线平分圆C，所以直线m经过圆心.即与的交点为圆心，所以圆心的坐标为，而圆的半径，.（2）直线l的方程为.圆心C到直线l的距离，两边平方整理得：将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，将①代入②得：，设、，则由根与系数的关系可得：而，所以，，整理，解得.此时有，所以k值为1.17.答案：（1）6（2）16（3）90解析：（1）根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；（2）从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：35,22E⎛⎫⎪⎝⎭32112ABk-==--52y x-=-10x y-+=:320m x y-=10x y-+=320x y-=(2,3)C1r=22(2)(3)1x y-+-=1y kx=+d=1d=<23830k k-+<k<<1(2)2(3)21y kxx y=+⎧⎨-+-=⎩①②()2214(1)70k x k x+-++=()11,M x y()22N x y12x x+=12x=()()()212121212111y y kx kx k x x k x x=+⋅+=+++()()()222121121274(1k)4k(1k)OM ON111181k21k21k2yx x y k x x k x x k k++⋅=+=++++=+⋅+⋅+=++++812=2(1)1k k k+=+1k=>△16C6=38C35C2153C C⨯种；（3）选出一个男生担任体育班委，有种情况，再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.18.答案：(1)49；(2)解析：（1）根据题意得，即，所以，所以展开式中的的系数为故当或时，的系数的最小值为49.，则，，因为的展开式的通项为，令（*）即，所以.因为成立，所以，所以.19.答案：（1）（2）解析：（1）设，由直线，直线，可知，故四边形为矩形，四边形（O 为原点）的面积为2，即得，33218553C C C C 16--⨯=15C 13C 16C 111536C C C 90⨯⨯=2271511C C 15m n +=15m n +=15n m =-2x 2222(1)(1)C C 222m nm m n n m n m n --+--+=+=222211515(15)15105222m m m m m ⎛⎫⎡⎤=+--=-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭7m =8m =2x 7=172(23)(23)m n x x +-+=+3477C C 35a ===7(23)x +77177C 2(3)C 23r r r r r r r r T x x --+=⋅⋅=⋅716177718177C 23C 23C 23C 23r r r r r r r r r r r r -+-+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩r r ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩*∈N 4r =434777C 232268032⋅⋅=>>22680b =352268022715a b +=+=()2242x y x -=≥(3,6)(6,)+∞ (,)M x y 1:l y x =2:l y x =-12l l ⊥OAMB OAMB ||||2MA MB ⋅=因为，，故，得，由于点A 在第一象限，点B 在第四象限，故动点M 的轨迹方程为；（2）由题意知，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，即l 与双曲线的的右支交于两点，双曲线的渐近线为，故或；设直线l 的方程为，联立，整理得，，设，则故CD 中点的坐标为，则CD 的垂直平分线的方程为，令，得，得，故因为或，故，所以的取值范围为.||MA =||MB =2=22||4x y -=()2242x y x -=≥()3,0F 224x y -=y x =±1k >1k <-(3)y k x =-22(3)4y k x x y =-⎧⎨-=⎩()222216940k x k x k -+--=()()4222Δ36419420160k k k k =----=+>()()()()1122,3,,3C x k x D x k x --212261k x x k +=-=-22233,11k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭22231311k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭0y =0x =0x =0261k y k =-()()()2002261666611111k k k k k x y k k k k k ++=+===+--+--1k >k <61k <-0>6361k <+<-6>00x y +(3,6)(6,)+∞。

【关键字】数学椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1.点P处的切线PT平分△PF2在点P处的外角.2.PT平分△PF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF2在点P处的内角.2.PT平分△PF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

第七章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列事件中，随机事件的个数是(）①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则｜x｜的值不小于0.A．1 B．2C．3 D．42．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0。

28,那么摸出黑球的概率是（)A．0。

2 B．0.28C．0。

52 D．0.83．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾" D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”4．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!5．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元,则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是(）A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率为错误!的是（）A．颜色相同B．颜色不全同C．颜色全不同D．无红球7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形,现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色,则三个图形颜色不全相同的概率为()A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!8．设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!，A发生B 不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是（）A.错误!B.错误!C。

2016-2017学年高中数学 阶段质量评估2 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b ＜0，〈a ，b 〉是钝角；③若a 是直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中错误命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析： ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b ＜0，即cos 〈a ，b 〉＜0⇒π2＜〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；③错误；当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1→是不共面的．答案： D 2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， 则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152. 答案： D3．(2011·营口市高二期末)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c 解析：如图：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝CB →－CA →－CC 1→＝－a ＋b －c ，故选D. 答案： D4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧22＋42＋x 2＝62，2×2＋4×y ＋x ×2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1或－3.答案： A5．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23D.1115解析：以D 为原点，建系，设棱长为1，则DB ′→＝(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0. 故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515， ∴sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.故选B.答案： B6．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1解析： 由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝32，故选A.答案： A7．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果是( )A.AB → B ．2BD →C ．0D ．2DE →解析： 如图，F 是BC 的中点，E 为DF 的三等分点， ∴32DE →＝DF →， ∴12BC →＝BF →， 则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD → ＝AF →＋FD →－AD → ＝AD →－AD →＝0. 答案： C8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝13解析： A E →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12A B →＋12A D →，故x ＝y ＝12.答案： C9．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量．∵A B →＝(－5，－1,1)，A C →＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又A D →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|A D →·n ||A D →||n |＝727＝12，∴θ＝30°.答案： A10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A.⎝⎛⎭⎪⎫407，－157，－4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 解析： ∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)， 又BP →⊥平面ABC ， ∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， ∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0x －＋y －12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知a ＝(1,2，－2)，若|b |＝2|a |且a ∥b ，则b ＝________. 解析： ∵a ∥b ，∴b ＝λa ＝(λ，2λ，－2λ)， 又|b |＝2|a |，∴λ＝±2，∴b ＝(2,4，－4)或b ＝(－2，－4,4)． 答案： (2,4，－4)或(－2，－4,4) 12.如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的大小是________．解析： 连接GB 1，CF ，B 1F ∵CG ＝1，CF ＝ 2 ∴GF ＝ 3∵GB 1＝2，B 1F ＝1＋22＝ 5∴GB 21＋GF 2＝B 1F 2∴∠B 1GF ＝π2即异面直线A 1E 与GF 所成的角是π2.答案： π213．设直线a ，b 的方向向量是e 1，e 2，平面α的法向量为n ，给出下列推理：①⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n e 2∥n ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n b ⊄αe 1⊥e 2⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ⊥α其中正确的是________．(填序号)解析： ①错，②③④均正确． 答案： ②③④14.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，A C →，A D →}为基底，则G E →＝________.解析： G E →＝G A →＋A D →＋D E →＝－23A M →＋A D →＋14D B →＝－23×12(A B →＋A C →)＋A D →＋14(A B →－A D →)＝－112A B →－13A C →＋34A D →，故G E →＝－112A B →－13A C →＋34A D →.答案： －112A B →－13A C →＋34A D →三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．解析： (1)如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第三章 变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析： ∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(5x )′＝5x ln 5； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ∴B 选项正确． 答案： B2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则lim Δx →0ΔyΔx等于( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2解析： ∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋1－2Δx ＝2＋Δx∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx ) ＝2. 答案： A3．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A.π2 B ．0 C ．－1D ．1解析： f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0. 答案： B4．一个物体的运动方程是s ＝1－t ＋t 2，s 的单位是米，t 的单位是秒，该物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析： ∵s ′＝－1＋2t ，∴s ′(3)＝5，故选C. 答案： C5．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析： ∵A 、B 、C 、D 满足f ′(x )＝4x 3， ∴只要验证f (1)＝－1即可． 答案： B6．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析： y ′＝1x ，则1x ＝k .∴直线x ＝1k y 过⎝⎛⎭⎫1k ，1. ∴1＝ln 1k ，∴k ＝1e .答案： C7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D ．e 22解析： ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴y ′|x ＝2＝e 2＝k ，∴切线为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S 三角形＝12×|－e 2|＝e 22.答案： D8．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2解析： 由y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，求导得y ′＝－2(x －1)2， 所以切线斜率k ＝y ′|x ＝3＝－12，则直线ax ＋y ＋1＝0的斜率为2，所以－a ＝2，即a ＝－2. 答案： D9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间(1,2]上切线的倾斜角都是钝角，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析： g ′(x )＝－a(x ＋1)2，要使g (x )在(1,2]上切线的倾斜角为钝角，则有g ′(x )＝－a(x ＋1)2＜0，所以a ＞0.而f (x )＝－x 2＋2ax 的对称轴为x ＝a ，由f (x )在(1,2]上切线的倾斜角为钝角知a ≤1，故0＜a ≤1.答案： D10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3 解析： y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 解析： f ′(x )＝(x 3－ax 2－4x ＋4a )′＝3x 2－2ax －4， 由f ′(－1)＝0，得a ＝12.答案： 1212．设f (x )为偶函数，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．解析： ∵f (x )为偶函数，∴f ′(x )为奇函数． 又∵f ′(1)＝1，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－1. 答案： －113．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________． 解析： 点(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，则k ＝2. ∴2＝f ′(1)＝3×12＋a ⇒a ＝－1，∴f (x )＝x 3－x ＋b . ∵点(1,3)又在曲线上，∴b ＝3. 答案： 314．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x ＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x 5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0) 答案： (－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求下列函数的导数： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (3)y ＝1－sin x 1＋cos x.解析： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32 ＋x －2sin x .∴y ′＝3x 2－32x －52 －2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5， ∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′＝(1－sin x )′(1＋cos x )－(1－sin x )(1＋cos x )′(1＋cos x )2＝sin x －cos x －1(1＋cos x )2.16．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 解析： (1)f ′(x )＝2ax －43a由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.17．(12分)已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都经过点P (2,0)，且在点P 处有公共的切线，求函数f (x )和g (x )的解析式．解析： 由f (x )的图像经过点P (2,0)， 得a ＝－8，从而f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8. 由g (x )的图像经过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0，又g ′(x )＝2bx ，且f (x )、g (x )的图像在点P 处有公共的切线， 所以g ′(2)＝f ′(2)，即4b ＝16，b ＝4，所以c ＝－16. 综上f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.18．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．解析： 由f (2x ＋1)＝4g (x )，得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝2c ， ①a ＋b ＋1＝4d . ②由f ′(x )＝g ′(x )，得2x ＋a ＝2x ＋c . ∴a ＝c . ③ ∴由①③可得a ＝c ＝2.由f (5)＝30，得25＋10＋b ＝30. ④ 由④得b ＝－5.再由②得d ＝－12.∴g (x )＝x 2＋2x －12.故g (4)＝16＋8－12＝472.。

教学资料范本高中数学阶段质量评估1北师大版选修2_11编辑：__________________时间：__________________20xx-20xx学年高中数学 阶段质量评估1 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．答案： B2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是()A.3∉AB.3∈∁U BC.3∉A∩BD.3∈(∁U A)∩(∁U B)解析：由题意，非p：3∉A∪B，所以3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁U A)∩(∁U B)．答案： D3．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，由线面平行的判定定理知①正确．对于②，由线面垂直的判定定理知②正确．对于③，由平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面知③不正确．对于④，由面面垂直的判定定理知④正确．故选C.答案： C4．下列命题是真命题的有()①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A．0个B．1个C．2个 D．3个解析：只有①正确．答案： B5．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若x＋y＝0与x－ay＝0互相垂直，则x－ay＝0的斜率必定为1，故a＝1；若a＝1，直线x＋y＝0和直线x－y＝0显然垂直．答案： C6．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件解析：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；但是直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线都垂直，即必要性成立．答案： C7．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式：x3－x2＋1≤0恒成立，其否定为：x3－x2＋1≤0不恒成立；即存在x∈R，使得x3－x2＋1＞0成立，故选C.答案： C8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是|a|＝5的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：若x＝4，则a＝(4,3)，|a|＝5.若|a|＝5，则x2＋9＝5，∴x＝±4∴“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．答案： A9．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形都不是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R解析：D中綈p：对∀x∈R，x2＋2x＋2>0，故D不正确．答案： D10．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x<0 B．x≥0C．x∈{－1,3,5} D．x≤－12或x≥3解析：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x≥3，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C符合．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的________条件．解析： 甲乙而乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案： 必要不充分12．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．答案： 任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠013．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.答案： a ＞414．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；②“若sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题； ③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题．其中是真命题的有________．解析： 对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；对于②，其否命题为“若sin α＋cosα≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π4，可知②是假命题； 对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题．答案： ③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .解析：(1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N Z ，为假．16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解析：(1)原命题：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤14，是真命题． (2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： 设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴A B ，∴⎩⎨⎧ a≤－4，a＜0或⎩⎨⎧ 3a≥－2，a＜0， 解得－23≤a ＜0或a ≤－4. 18．(14分)已知命题p ：若不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2＞0的解集是R ；命题q ：sin x ＋cosx ＞m ；如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．解析： 对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2＞0恒成立，满足题意：(2)当m －1≠0时，只需⎩⎨⎧m－1＞0Δ， 所以，m ∈[1,9)．对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4 ∈[－2，2]， 若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x ＞m 是假命题，则m ≥2；综上，m的取值范围是[2，9)．。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学阶段质量评估2北师大版选修2_11______年______月______日____________________部门一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；②若a·b＜0，〈a，b〉是钝角；③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．其中错误命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①错误，如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，但线段AB 与A1B1不重合；②错误，a·b＜0，即cos〈a，b〉＜0⇒＜〈a，b〉≤π，而钝角的取值范围是；③错误；当λ＝0时，λa＝0不能作为直线l的方向向量；④错误，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中令＝a，＝b，＝c，则它们两两共面，但显然，，是不共面的．答案：D2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2则( )A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝152解析：∵l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.答案： D3．(20xx·××市高二期末)直三棱柱ABC －A1B1C1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：如图：＝－＝－(＋)＝－－＝－a ＋b －c ，故选D. 答案： D4．已知直线l1的方向向量a ＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 解析： ∵⎩⎨⎧22＋42＋x2＝62，2×2＋4×y＋x×2＝0.∴或⎩⎨⎧x＝－4，y＝1.∴x ＋y ＝1或－3. 答案： A5．如图，正方体ABCD －A′B′C′D′中，M 是AB 的中点，则sin 〈，〉的值为( )A. B.21015 C. D.1115解析：以D为原点，建系，设棱长为1，则＝(1,1,1)，C(0,1,0)，M，＝.故cos〈，〉＝1×1＋1×⎝⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＋02＝，∴sin〈，〉＝.故选B.答案：B6．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于( )A. B．－32C．± D．1解析：由a·b＝0及(3a＋2b)·(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝，故选A.答案：A7．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果是( )A. B．2BD→C．0 D．2DE→解析：如图，F是BC的中点，E为DF的三等分点，∴＝，∴＝，则＋－－AD → ＝＋－－AD → ＝＋－AD → ＝－＝0. 答案： C8．已知正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 为上底面A1C1的中心，若A ＝＋x ＋y ，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝，y ＝D ．x ＝，y ＝13解析： A ＝＋＝＋(＋)＝＋A ＋A ，故x ＝y ＝. 答案： C9．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量． ∵A ＝(－5，－1,1)，A ＝(－4，－2，－1)，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝－32，∴n ＝.又A ＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°. 答案： A10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x －1，y ，－3)且⊥平面ABC ，则等于( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3 C.D.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3解析： ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z ＝0， ∴z ＝4，∴＝(3,1,4)， 又⊥平面ABC ， ∴⊥，⊥， ∴·＝0，·＝0， 即， ∴∴＝. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知a ＝(1,2，－2)，若|b|＝2|a|且a∥b，则b ＝________. 解析： ∵a∥b，∴b＝λa ＝(λ，2λ，－2λ)， 又|b|＝2|a|，∴λ＝±2，∴b ＝(2,4，－4)或b ＝(－2，－4,4)． 答案： (2,4，－4)或(－2，－4,4) 12.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的大小是________．解析：连接GB1，CF，B1F∵CG＝1，CF＝ 2∴GF＝ 3∵GB1＝，B1F＝＝ 5∴GB＋GF2＝B1F2∴∠B1GF＝π2即异面直线A1E与GF所成的角是.答案：π213．设直线a，b的方向向量是e1，e2，平面α的法向量为n，给出下列推理：①⇒b∥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α其中正确的是________．(填序号)解析：①错，②③④均正确．答案：②③④14.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，A，A}为基底，则G＝________.解析：G＝G＋A＋D E→＝－A＋A＋D B→＝－×(A＋A)＋A＋(A－A)＝－A－A＋A，故G＝－A－A＋A.答案：－A－A＋A D→三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．(1)化简＋＋，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．解析：(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，则＝＋＋.(2)＝＋＝＋34BC1→＝(＋)＋(＋)＝＋＋.∴α＝，β＝，γ＝.16．(12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD；AD＝PD，E、F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF夹角的正弦值．解析：(1)证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD＝1，AB＝a.则C(0，a,0)，A(1,0,0)，E，B(1，a,0)，F，P(0,0,1)，∴＝，＝(0，a,0)，＝(1,0，－1)，∴·＝0，·＝0，即EF⊥AB，EF⊥PA，又AB∩PA＝A，∴EF⊥平面PAB，(2)∵AB＝BC，∴a＝，＝(－1，，0)，→＝，＝.AE设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0⇒x＋z＝0，n·＝0⇒－x＋y＝0，令y＝，则x＝1，z＝－1，∴平面AEF的一个法向量n＝(1，，－1)．设AC与平面AEF的夹角为α，sin α＝|cos〈，n〉|＝，所以AC与平面AEF的夹角正弦值为.17．(12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0，0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)．∵四边形AEC1F为平行四边形，∴由＝得(－2,0，z)＝(－2,0,2)，∴z＝2，∴F(0,0,2)．∴＝(－2，－4,2)．于是||＝2，即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)，由，得，即，∴，∴n1＝.又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，则cos α＝＝＝.∴C到平面AEC1F的距离为d＝||cos α＝3×＝.18．(14分)(20xx·辽宁卷改编)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求平面QBP与平面BPC夹角的余弦值．解析：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则，即，因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则，可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故平面QBP与平面BPC夹角的余弦值为.11 / 11。