2019年人教版初中八年级数学下册18.2.3 第2课时 正方形的判定学案

第2课时正方形的判定教学目标【知识与技能】能够根据正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系,判定正方形.【过程与方法】经历正方形的判定方法的探索过程,体会类比、归纳、转化的数学方法.【情感、态度与价值观】通过观察、动手、探究、分析、归纳、总结等活动,培养学生合情推理、主动探究的习惯,逐步掌握证明的方法.教学重难点【教学重点】正方形的判定方法的理解掌握.【教学难点】灵活运用正方形的判定方法进行有关的证明和计算.教学过程一、问题导入1.矩形有哪些判定方法?2.菱形有哪些判定方法?3.在小学时,我们还学过一种特殊的四边形——正方形,那么它又有哪些判定方法呢?探究点正方形的判定典例如图,在正方形ABCD中,点E,F,G,H分别在它的四条边上,且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形?你是如何判断的?[解析]四边形EFGH是正方形.理由:∵在正方形ABCD中,AE=BF=CG=DH,∴AH=DG=CF=BE.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,∴EF=EH=HG=GF,∠EHA=∠HGD,∴四边形EFGH是菱形.∵∠HGD+∠GHD=90°,∴∠EHA+∠GHD=90°,∴∠EHG=90°,∴四边形EFGH是正方形.正方形的判定方法:总的判定思路是“判定它既是矩形又是菱形,或者既是菱形又是矩形”.如果是平行四边形,也可以根据正方形的定义,再判定它有一个角是直角且有一组邻边相等,实质上,这也是判定它“既是矩形又是菱形”.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.(1)求证:△BED≌△CFD;(2)若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.[解析](1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.∵D为BC边的中点,∴BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS).(2)∵∠A=∠DEA=∠DFA=90°,∴四边形DFAE是矩形.由(1)知△BED≌△CFD,∴DE=DF,∴四边形DFAE是正方形.三、板书设计正方形的判定既是矩形又是菱形教学反思在探究正方形判定方法的过程中,通过问题导入以及让学生动手制作正方形,感知正方形判定的条件,让学生在轻松愉快中得到正方形的判定定理.教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法.提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,有利于提高学生的逻辑思维水平.。

18.2.3 正方形性质与判定（1）一、教材分析《正方形性质》这节课是九年义务教育人教版数学教材八年级下册第十八章第二节的内容。

纵观整个初中教材，《正方形》是在学生掌握了平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和轴对称等平面几何知识并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。

既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。

本节课的重点是正方形的概念和性质难点是理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系及性质的灵活运用。

根据大纲要求，本节课制定了知识、能力、情感三方面的目标。

二、教学目的1、知识与技能:（1）掌握正方形的概念、性质并会用它们进行有关的论证和计算（2）理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.2、过程与方法:经历探索归纳正方形有关性质的过程，培养学生在观察中寻求新知，在探索归纳总结过程中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。

3、情感态度与价值观:通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力三、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形的性质，正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系2．教学难点：厘清正方形、平行四边形、矩形、菱形的内在联系及正方形性质的灵活运用．四、教学准备多媒体课件五、教学流程引入——演示观察——探究、对比、归纳、总结——运用——-反思——巩固提高六、教学过程(一) 创设情境，新课引入师：假设我用同样长度的一条绳子围城一个四边形，那么围成什么样的四边形面积最大？多媒体播放生活中的正方形，师：正方形在生活中随处可见，应用广泛，在小学我们学过一些关于正方形的初步知识，今天，我们将进一步系统学习正方形的相关知识。

写出课题正方形（二）新知探索学生活动一、叙述平行四边形、矩形、菱形的定义，教师活动：通过前面的学习，我们知道了两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形，那么什么叫矩形，什么叫菱形呢？学生说定义，教师多媒体演示平行四边形如何演变为矩形、菱形（加深定义的理解与巩固）演示完矩形、菱形定义后，（过度语：事实上，正方形比矩形、菱形更加特殊，请看演示：）（1）矩形怎样变化后就成了正方形呢?(2).菱形怎样变化后就成了正方形呢?教师引导学生观察，设问：什么样的平行四边形是正方形？类比矩形、菱形定义得出正方形定义1、正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．学生活动：请学生用矩形纸折叠一个正方形（可请一个学生上台折叠）结论：有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形教学目标;1.理解并运用正方形的定义计算和证明.2.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.【重点】正方形性质和判定定理的应用.【难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.【教师准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.【学生准备】复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.导入一:[过渡语]前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.[设计意图]正方形是学生熟悉的几何图形,小学已经学过,这里让学生从动态的角度出发认识正方形,体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别,感受特殊与一般的关系.导入二:八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?学了这节后,你就会做出准确的判断了.[设计意图]将数学问题融入生活情境,拉近了学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.新知构建：1.正方形的认识思路一[过渡语]结合上面的演示,请同学们回答下面的问题:(1)什么样的图形是平行四边形?(2)什么样的图形是矩形?(3)什么样的图形是菱形?(4)什么样的图形是正方形?学生讨论,回答.在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.追问:正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?学生思考,回答:正方形既是矩形,又是菱形.[设计意图]结合图形的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.思路二[过渡语]前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形,请同学们回答下面的问题.(1)正方形与矩形有怎样的关系?(2)正方形与菱形有怎样的关系?(3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?生1:正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.生2:正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?(1)把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?(2)如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?学生动手折叠、思考、交流.(1)由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.(2)要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即可.教师总结:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.[设计意图]结合图形的折叠,让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.2.正方形的性质[过渡语]上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.思路一正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?分小组进行讨论,整理所学的性质:[设计意图] 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质.在此基础上理解正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系. 思路二正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流. 学生梳理总结得: 正方形[设计意图] 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用. 3.正方形的判定 思路一提问:怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来. 学生自由发言.教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:(1)定义法:有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形. (2)矩形法:有一组邻边相等的矩形是正方形. 图形 对边 对角 对角线 对称性平行四边形平行、相等相等 互相平分不是轴对称图形 矩形 平行、相等 四个角都是直角互相平分且相等 轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等 互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边都相等四个角都是直角互相垂直、平分且相等,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有四条对称轴思路二既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:满足什么条件的矩形是正方形?你有哪些方法?类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.师进一步归纳正方形的判定方法.[知识拓展](1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表: 图形定义判定平行四边形两组对边分别平行的四边形1.两组对边分别相等的四边形2.两组对角分别相等的四边形3.对角线互相平分的四边形4.一组对边平行且相等的四边形矩形有一个角是直角的平行四边形1.对角线相等的平行四边形2.有三个角是直角的四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形1.对角线互相垂直的平行四边形2.四条边相等的四边形正方形有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形1.有一个角是直角的菱形2.有一组邻边相等的矩形3.有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形4.例题讲解[过渡语]上面我们研究了正方形的定义、性质和判定,下面我们举例说明它们的应用. (教材例5)求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.师生分析:利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.学生独立完成解题过程.一生板书:证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.教师点评,纠正写法上的不足.(补充)如图,在平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)求证△AOD≌△EOC;(2)连接AC,DE,当∠B=∠AEB= °时,四边形ACED是正方形.请说明理由.师生共同分析:(1)根据题意可得∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC,OC=OD,所以△AOD≌△EOC.(2)当∠B=∠AEB=45°时,根据△AOD≌△EOC,先证明四边形ACED是平行四边形,再根据∠COE=∠BAE=90°,得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.学生独立写出过程后,教师重点指导第(2)问的解答过程.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC.又∵O是CD的中点,∴OC=OD.∴△AOD≌△EOC.解:(2)如图,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.理由如下:∵△AOD≌△EOC,又∵OC=OD,∴四边形ACED是平行四边形.∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠COE=∠BAE=90°.∴平行四边形ACED是菱形.∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD.从而可知菱形ACED是正方形.[解题策略]探索条件类问题,先看题中的已知条件,根据正方形的判定方法,缺什么就补什么条件,一般从“矩形+一组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.[设计意图]运用正方形的性质、判定解决有关的问题,培养运用所学知识解题的意识,提高解题能力.课堂小结：师生共同归纳小结.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:课堂检测1.下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B 错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是()A.AC=BD,AB∥CD,AB=CDB.AD∥BC,∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC解析:根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.3.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.板书设计：18.2.3正方形1.正方形的认识2.正方形的性质3.正方形的判定4.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第59页练习第1,2,3题;教材第61页习题18.2第7,8题.【选做题】教材第61页习题18.2第12题.二、课后作业【基础巩固】1.矩形、正方形、菱形的共同性质是()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.每一条对角线平分一组对角2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.①②B.②③C.①③D.②④3.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是.5.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E= 度.【能力提升】6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.7.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.(1)求证∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证四边形MPND是正方形.【拓展探究】8.如图,在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB,AC,BE之间的关系,并证明你的猜想.课堂反思通过本节课的教学活动,学生进一步认识了正方形,基本掌握了正方形的判定和性质,并能运用所学的知识解决一些问题.由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,学生不能灵活运用所学来解决。

第十八章平行四边形正方形教课备注第 2 课时正方形的判断学习目标：1. 研究并证明正方形的判断，并认识平行四边形、矩形、菱形之间的联系和差别；学生在课前达成自主学习部分配套PPT 讲授1.情形引入（见幻灯片3-4）2.研究点 1 新2. 会运用正方形的判断条件进行相关的论证和计算.重点：研究并证明正方形的判断，并认识平行四边形、矩形、菱形之间的联系和差别.难点：会运用正方形的判断条件进行相关的论证和计算.自主学习一、知识回首1.什么是正方形？正方形有哪些性质？2.矩形、菱形的判断方法有哪些？讲堂研究知讲解一、重点研究（见幻灯片研究点1：正方形的判断5-18）活动 1准备一张矩形的纸片，依据以下图折叠, 而后睁开，折叠部分获得一个正方形，可量一量考证考证.猜一猜知足如何条件的矩形是正方形？猜想：一组邻边_______且对角线相互________的矩形是正方形.证一证已知：如图 , 在矩形 ABCD中,AC , DB是它的两条对角线AC⊥ DB.求证：四边形ABCD是正方形 .证明：∵四边形ABCD是矩形 ,∴AO___CO___BO___DO，∠ ADC=______° .∵AC⊥ DB,∴AD___AB___BC___CD,∴四边形ABCD是__________.活动2把能够活动的菱形框架的一个角变成直角，察看这时菱形框架的形状. 量量看是否是正方形.猜一猜知足如何条件的菱形是正方形？猜想：一组角是_______且对角线 ________的菱形是正方形.证一证已知：如图 , 在菱形 ABCD中 ,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.1求证：四边形ABCD是正方形 .证明：∵四边形ABCD是菱形 ,教课备注∴AB=BC=CD=AD,AC____DB.∵AC=DB,∴AO___BO___CO___DO,∴△ AOD,△ AOB,△ COD,△BOC是 _________三角形，∴∠ DAB=∠ ABC=∠ BCD=∠ADC=_____° ,∴四边形ABCD是 ________.重点概括：正方形判断的几条门路：1.一组邻边 _______且一内角是 __________的平行四边形是正方形；2.先判断四边形是菱形，再判断一内角是___________；3.先判断四边形是菱形，再判断对角线____________ ；4.先判断四边形是矩形，再判断一组邻边_________； 2.研究点 1 新知5.先判断四边形是矩形，再判断对角线相互__________.讲解典例精析（见幻灯片例 1 在正方形 ABCD中，点 E、F、 M、N 分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形 EFMN是正5-18）方形吗 ?为何 ?剖析：由已知可证△ AEN≌△ BFE≌△ CMF≌△ DNM，得四边形 EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可 .例 2 如图，在直角三角形中，∠ C=90°，∠ A、∠ B 的均分线交于点 D.DE⊥ AC，DF⊥ AB. 求证 :四边形 CEDF为正方形 .例 3 如图， EG,FH过正方形 ABCD的对角线的交点 O,且 EG⊥ FH.求证：四边形 EFGH是正方形 .2教课备注配套 PPT 讲解2.研究点 1 新知讲解针对训练（见幻灯片1. 在四边形 ABCD中， O是对角线的交点，能判断这个四边形是正方形的是（）5-18）A． AC=BD，AB∥ CD，AB=CDB． AD∥ BC，∠ A=∠ CC． AO=BO=CO=DO，AC⊥ BDD． AO=CO，BO=DO， AB=BC2.如图，正方形 ABCD，动点 E 在 AC上， AF⊥ AC，垂足为 A，AF=AE．（ 1）求证： BF=DE；（ 2）当点 E 运动到 AC中点时 ( 其余条件都保持不变 ) ，问四边形 AFBE是什么特别四边形？说明原因．3. 前方学菱形时我们研究了按序连结随意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形, 顺次连结矩形各边中点获得菱形, 那么按序连结正方形各边中点获得如何的特别平行四边形？3教课备注配套 PPT 讲解3.讲堂小结（见幻灯片 26）4.当堂检测（见幻灯片19-25）二、讲堂小结当堂检测1. 以下命题正确的选项是（）A. 四个角都相等的四边形是正方形B. 四条边都相等的四边形是正方形C. 对角线相等的平行四边形是正方形D. 对角线相互垂直的矩形是正方形2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的选项是（）A．当 AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当 AC⊥ BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当 AC=BD时，四边形ABCD是正方形第2题图第3题图3.如图，四边形 ABCD中，∠ ABC=∠ BCD=∠CDA=90°，请增添一个条件 _________________ ___，可得出该四边形是正方形．4.已知四边形 ABCD是平行四边形，再从① AB=BC，②∠ ABC=90°，③ AC=BD，④ AC⊥ BD四个条件中，选两个作为增补条件后，使得四边形ABCD是正方形，此中错误的选项是 _________ ________（只填写序号）．5.如图，在四边形 ABCD中 , AB=BC , 对角线 BD均分∠ ABC , P 是 BD上一点 , 过点 P 作 PM ⊥AD , PN ⊥ CD , 垂足分别为 M、N.(1)求证：∠ ADB=∠ CDB;(2)若∠ ADC=90 , 求证：四边形 MPND是正方形 .4教课备注4.当堂检测（见幻灯片19-25）6.如图，△ ABC中， D 是 BC上随意一点， DE∥ AC， DF∥ AB．(1)试说明四边形 AEDF的形状，并说明原因．(2)连结 AD，当 AD知足什么条件时，四边形 AEDF为菱形，为何？(3)在 (2) 的条件下，当△ ABC知足什么条件时，四边形 AEDF为正方形，不说明原因．5。

第十八章平行四边形. .,然后展开，折.________的矩形是正证一证已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO___CO___BO___DO，∠ADC=______°.∵AC⊥DB,∴AD___AB___BC___CD,∴四边形ABCD是__________.活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.猜一猜满足怎样条件的菱形是正方形？猜测：一组角是_______且对角线________的菱形是正方形.证一证已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC____DB.∵AC=DB,∴AO___BO___CO___DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是_________三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=_____°,∴四边形ABCD是________.要点归纳：正方形判定的几条途径：1.一组邻边_______且一内角是__________的平行四边形是正方形；2.先判断四边形是菱形，再判断一内角是___________；3.先判断四边形是菱形，再判断对角线____________；4.先判断四边形是矩形，再判断一组邻边________；5.先判断四边形是矩形，再判断对角线相互__________.典例精析例1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.例2如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.例3如图，EG,F⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.(1)求：∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．(1)试说明四边形AEDF的形状，并说明理由；(2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．【素材积累】不要叹人生短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。

部审人教版八年级数学下册教学设计18.2.3 第2课时《正方形的判定》一. 教材分析人教版八年级数学下册第18.2.3节《正方形的判定》是几何学习的重要内容。

本节课主要引导学生探究正方形的判定方法，让学生在掌握正方形性质的基础上，进一步理解和运用正方形的判定方法。

教材通过例题和练习，使学生熟练掌握正方形的判定方法，并能够运用判定方法解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了正方形的性质，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但学生在判定正方形时，容易混淆判定条件和判定方法，对正方形的判定方法的理解和运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，引导学生深入理解正方形的判定方法，并通过大量的练习，提高学生运用判定方法解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生掌握正方形的判定方法，并能够运用判定方法判断一个四边形是否为正方形。

2.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：正方形的判定方法。

2.教学难点：正方形判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究正方形的判定方法。

2.使用多媒体展示正方形的判定过程，增强学生的空间想象能力。

3.通过小组合作交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

4.运用练习法，巩固学生对正方形判定方法的理解和运用。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正方形判定方法的PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个实例，引导学生思考如何判断一个四边形是否为正方形。

例如，展示一个边长为4cm的正方形，让学生判断其是否为正方形。

学生通过观察，得出正方形的判定条件：四条边相等，四个角都是直角。

2. 呈现（10分钟）教师使用PPT呈现正方形的判定方法。

通过多媒体动画展示，让学生直观地理解正方形的判定过程。

同时，教师引导学生总结正方形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；有三个角是直角的四边形是正方形；对边平行且相等的四边形是正方形。

18.2.3 正方形第2课时正方形的判定学习目标：理解正方形的判定方法；重难点：利用正方形的性质及判定解决一些简单的实际问题。

学习过程一.复习回顾1、正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？正方形具有哪些性质呢？只要矩形再有一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；只要菱形再有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．2、因此我们说正方形是特殊的矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形性质：（1）边的性质：对边，四条边都．（2）角的性质：四个角都是角．即∠A=∠B=∠∠ = °45=∠ABD= = =︒（3）对角线的性质：两条对角线互相、且，•每条对角线分一组对角． ABCD是正方形，可得OA= = =OD, AC⊥（4）对称性：是轴对称图形，有（）条对称轴．而矩形、菱形都只有（）条对称轴. （5）边长与对角线长的关系：二.探究新知3、平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系：（）（）菱形（ ） （ ）4、怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来并和同学们交流、证明． 归纳总结出判定正方形的方法如下：判定方法： （1）从四边形到正方形：（2）从平行四边形到正方形：（3）从矩形到正方形：（4）从菱形到正方形：三.课堂作业1．正方形的四条边都 ，四个角都是 ，对角线 。

2．如果一个四边形是菱形，又是矩形，那么这个四边形一定是 。

=∠⊥∆==MFD M AD AF CE CD F ABCD PBC AD PD PA ABCD P 则于交的延长线上在中在正方形如图为则且内部一点为正方形,,,,.4,,.35．下列命题，正确的有（ ）①对角线相等的菱形是正方形 ②四条边都相等的四边形是正方形 ③四个角相等的四边形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形A ①②B ②③C ①④D ③⑤6. 已知正方形的一边长为1cm ，则它的周长为____，面积为______，对角线长为_____； 矩形 平行四边形 正方形7. 已知正方形的对角线长为2cm，则它的边长为_____;8.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）9.A.四条边相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等10. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）（A）四个角相等（B）对角线互相垂直且平分（C）对角线相等（D）对角互补11．1.如图，E是正方形ABCD对角线AC上的一点，求证：BE=DE四.课后反思教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。

第2课时 正方形的判定1．掌握正方形的判定条件；(重点)2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形．解析：要证四边形CEDF 是正方形，则要先证明四边形CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形．∵DE ＝DF ，∴矩形CEDF 是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形如图，在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF＝AE .(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC ，BF ＝FC .又∵CF ＝AE ，∴可证BE ＝EC ＝BF ＝FC .根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF 是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC ＝45°时，∠EBF ＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A ＝45°.解：(1)四边形BECF 是菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝FC ，BE ＝EC ，∴∠3＝∠1.∵∠ACB ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC ＝AE ，∴BE ＝AE .∵CF ＝AE ，∴BE ＝EC ＝CF ＝BF ，∴四边形BECF 是菱形；(2)当∠A ＝45°时，菱形BECF 是正方形．证明如下：∵∠A ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF ＝2∠3＝90°，∴菱形BECF 是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．探究点二：正方形的判定的应用【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形．解析：(1)证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，⎩⎪⎨⎪⎧AF＝DE＝CQ＝BP，∠A＝∠D＝∠C＝∠B，AP＝DF＝CE＝BQ，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，∴EF＝FP＝PQ＝QE；(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.【类型二】与正方形的判定有关的综合应用题如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：∠ECF＝90°；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为正方形，△ABC应该满足条件：______________________(直接添加条件，无需证明)．解析：(1)由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，则∠ECF＝12×180°＝90°；(2)由MN∥BC，可得∠BCE＝∠OEC，∠GCF＝∠OFC，可推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，得出EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则EO＝CO＝FO＝AO，这时四边形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF是正方形．(1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝12×180°＝90°；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．(3)∠ACB＝90°.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．三、板书设计1．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．2．正方形性质和判定的应用本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．。

18.2.3.2正方形的判定一、教学目标【知识与技能】了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的判定定理．【过程与方法】经历探究正方形的判定方法的过程，使学生能应用正方形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、教学重难点【教学重点】正方形的判定．【教学难点】利用正方形的性质与判定解决有关问题．三、课时安排四、教学流程与设计环节一：回顾旧知讨论：你觉得什么样的四边形是正方形呢?环节二：新知讲解1.以四边形为基础2.以平行四边形为基础3.以矩形为基础4.以菱形为基础既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

环节三：范例演示例1：1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件是________2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是_________例２：下列正确的是（）Ａ．四边相等的四边形是正方形Ｂ．四角相等的四边形是正方形Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形练习：下列说法对吗?1）四个角都相等的四边形是正方形.2）四条边都相等的四边形是正方形.3）对角线相等的菱形是正方形.4）对角线互相垂直的矩形是正方形5）对角线垂直且相等的四边形是正方形.6）四边相等,有一角是直角的四边形是正方形.7)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.8)正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴.1、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。

⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（）⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（）⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）2.正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于________cm，四边形EFGH的面积等于_______cm2.3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC＝BD，AB∥CD且AB=CDB. AD//BC，∠A＝∠CC. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【例3】已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点。

第2课时正方形的判定教学设计课题正方形的判定授课人素养目标1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力．2．探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系．3．灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.教学重点正方形判定方法的理解与应用．教学难点正方形判定方法的探究及证明.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图通过拟人化的自我介绍调动学生积极性，思考该怎样判定正方形.【回顾导入】正方形的自我介绍：在四边形的大家庭中，我有四个兄弟．老大是平行四边形，它性格温和；老二是矩形，它稳重大方，江湖上人称长方形；老三是菱形，它活泼可爱．我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身，人见人爱．到目前为止，我们已经认识了四边形大家庭的成员，前一课时，我们大致介绍了矩形、菱形、平行四边形与正方形的关系，并给出了下面的结构图．可以看到矩形、菱形各添加一个条件都能得到正方形，那么这个是否可以证明呢？我们这节课来看下.【教学建议】让学生根据上一课时介绍的平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系，引发如何进行证明的思考.活动二：动手验证，探究新知设计意图让学生发现并总结正方形的判定定理.探究点正方形的判定1．有一组邻边相等的矩形是正方形我们来看下面这个问题：把一张矩形的纸片按图中那样折一下，是否可以截出正方形纸片？答案是肯定的，它的依据就是有一组邻边相等的矩形是正方形．下面我们进行证明：已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝BC.求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是正方形．归纳总结：有一组邻边相等的矩形是正方形.【教学建议】(1)让学生猜测并验证正方形的判定定理，教师进行总结．(2)告诉学生必须在平行四边形或矩形或菱形的基础上判定正方形．一般先证明其是矩形或菱形，再从边、角、教学步骤师生活动2.有一个角是直角的菱形是正方形我们再来看一个问题：把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图)，能否得到正方形？可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一个角，就能得到正方形．下面我们进行证明：已知：如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°.求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＝90°，∴易得∠B＝∠C＝∠D＝∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形．归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形．在上面的证明过程中，是分别从矩形、菱形出发，添加边或角的条件后得到正方形，那么还有没有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他判定正方形的方法呢？大家想一想．归纳总结：思考：上面给出了正方形的一些判定方法，这也蕴含了他们之间的转换关系，那么正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢？与同学们讨论交流，并列表或用框图表示这些关系．进一步地，四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形有什么关系？有兴趣的同学可以整理下．(结构图可参见后面的“【知识结构】”栏目)【对应训练】1.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.(1)四边形AEDF是平行四边形；(2)如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；(3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；(4)如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．2．教材P60练习第3题．,对角线的方向证明其是正方形，或者直接由一组邻边相等且一内角是直角的平行四边形是正方形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等来判定.教学步骤师生活动活动三：综合运用，巩固提升设计意图巩固学生对正方形的判定的认识.例如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形EFBG的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG是正方形.证法1：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝∠BGE＝90°，∴四边形EFBG是矩形.∵BE为∠ABC的平分线，∴EF＝EG，∴矩形EFBG是正方形.证法2：如图．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵BE为∠ABC的平分线，EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠1＝∠2＝45°，EF＝EG.∴∠3＝∠4＝45°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴BF＝EF，BG＝EG.∴BF＝EF＝EG＝BG，∴四边形EFBG是菱形.又∠FBG＝90°，∴菱形EFBG是正方形.【对应训练】如图，Rt△ABC的两条外角平分线相交于点D，∠B＝90°，过点D分别作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F.(1)求证：四边形BFDE是正方形；(2)若BF＝6，C为BF的中点，求AE的长.(1)证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，∴四边形BFDE是矩形.∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，DH⊥AC，∴DE＝DH.同理，DH＝DF，∴DE＝DF，∴矩形BFDE是正方形.(2)解：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠DHC＝90°.由(1)知∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°.在Rt△AED和Rt△AHD中，AD＝AD，DE＝DH，∴Rt△AED≌Rt△AHD(HL)，∴AE＝AH.同理，CH＝CF.∵BF＝6，C为BF的中点，∴BC＝CF＝CH＝3.∵四边形BFDE是正方形，∴BE＝BF＝6.设AE＝AH＝x，则AB＝BE－AE＝6－x，AC＝AH＋CH＝x＋3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即(6－x)2＋32＝(x＋3)2，解得x＝2，∴AE的长为2.【教学建议】提醒学生：(1)正方形的判定要从边、角或对角线三个方面把握，判定时可根据先判定平行四边形或矩形或菱形，再根据相应条件判定得到正方形.(2)判定正方形后往往又需要利用其性质，并且经常综合三角形全等与勾股定理的知识来解题.活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的判定有哪几种方法？【知识结构】【作业布置】1.教材P62习题18.2第13题.2．相应课时训练．教学步骤师生活动板书设计18.2.3 正方形注意：由于正方形的判定方法一般都是在平行四边形、矩形、菱形的基础上判定的，所以在判定正方形时，一定要仔细考虑题目中的条件，灵活选择适当的判定方法来分析问题和解决问题．例1 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ，∠ABC 的平分线交于点G ，GE ⊥BC 于点E ，GF ⊥AC 于点F.(1)求证：四边形GECF 是正方形；(2)若AC ＝4，BC ＝3，求四边形GECF 的面积．(1)证明：如图，过点G 作GD ⊥AB 于点D.∵∠BAC ，∠ABC 的平分线交于点G ，GE ⊥BC ，GF ⊥AC ，∴DG ＝EG ，DG ＝FG ，∴EG ＝FG.∵∠ACB ＝90°，GE ⊥BC ，GF ⊥AC ，∴∠ACB ＝∠CEG ＝∠CFG ＝90°，∴四边形GECF 是矩形．又EG ＝FG ，∴四边形GECF 为正方形．(2)解：如图，连接CG.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝32＋42＝5.设EG ＝x ，则DG ＝FG ＝x .∵S △ABC ＝S △AGB ＋S △AGC ＋S △BCG ，∴12×3×4＝12·5x ＋12·4x ＋12·3x ，∴x ＝1.∴EG ＝1，∴四边形GECF 的面积＝EG 2＝1.例2 如图，将矩形纸片ABCD 折叠(AD>AB)，使点B 落在边AD 上的点B′处，AE 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点E 不动，将BE 折起，使点B 落在AE 上的点G 处，连接DE.若DE ＝EF ，CE ＝2，求AD 的长．解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝AB′，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠B ＝∠C ＝90°，且四边形ABEB′是正方形，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD.又DE ＝EF ，∴Rt △BEF ≌Rt △CDE(HL )，∴BF ＝CE ＝2. 由折叠得GF ＝BF ＝2，BE ＝GE ，∠FGE ＝∠B ＝90°.设AB ＝x ，则易得AE ＝2x ，∴AG ＝AE －GE ＝AE －BE ＝AE －AB ＝(2－1)x . ∵AE 是正方形ABEB′的对角线，∴∠GAF ＝45°，∴∠AFG ＝45°，∴AG ＝FG.第2课时 正方形的判定1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.有一组邻边相等的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.教学反思本节课对正方形判定的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中运用逆向推理引导学生思索，并通过展示例题的方式使学生掌握正方形判定的结论，同时还是要强调平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系.课堂以诙谐拟人化的介绍为开端，吸引学生的注意，充分调动了学生的积极性.∴(2－1)x ＝2，解得x ＝22＋2.∴AB ＝BE ＝22＋2. ∴AD ＝BC ＝BE ＋EC ＝22＋2＋2＝22＋4.例1 如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( C )A ．7B ．8C ．72D ．73 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ， ∴∠BAE ＋∠DAG ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AE ＝CF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SSS )，∴∠ABE ＝∠CDF.∵∠AEB ＝∠CFD ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAG ＝∠CDF.∴∠DAG ＋∠ADG ＝∠CDF ＋∠ADG ＝90°，即∠DGA ＝90°.在△ABE 和△DAG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠DAG ，∠AEB ＝∠DGA ＝90°，AB ＝DA ，∴△ABE ≌△DAG(AAS )．∴AE ＝DG ，BE ＝AG.同理，AE ＝DG ＝CF ＝BH ＝5，BE ＝AG ＝DF ＝CH ＝12. ∴EG ＝GF ＝FH ＝HE ＝12－5＝7.∴四边形EGFH 是菱形．∵∠GEH ＝180°－90°＝90°，∴四边形EGFH 是正方形，∴易得EF ＝2EG ＝7 2. 故选C .例2 如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD 是边BC 上的中线，以AD ，CD 为边作ADCF ，连接BF 分别与AD ，AC 相交于点E ，G.(1)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 为正方形？并说明理由；(2)在(1)的条件下，若AB ＝62，求EF 的长．解：(1)当△ABC 满足AC ＝AB 时，四边形ADCF 为正方形．理由如下：∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ，AD 是边BC 上的中线，∴AD ＝CD ＝BD ，AD ⊥BC. ∵四边形ADCF 是平行四边形，且AD ＝CD ，∴ADCF 是菱形． ∵AD ⊥BC ，即∠ADC ＝90°，∴菱形ADCF 为正方形． (2)由(1)得∠ADB ＝90°.∵AD ＝BD ，AB ＝62，∴易得AD ＝BD ＝AF ＝6. ∵四边形ADCF 为正方形，∴∠FAD ＝90°.在△FAE 和△BDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEF ＝∠DEB ，∠FAE ＝∠BDE ＝90°，AF ＝DB ，∴△FAE ≌△BDE(AAS )．∴AE ＝DE ＝12AD ＝12×6＝3，EF ＝EB ，∴EF ＝AF 2＋AE 2＝62＋32＝3 5.。