江苏省天一中学2020学年高二数学下学期期中试题 理(无答案)

高二数学下学期期中试题理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.计算：的值为______.【答案】15【解析】【分析】根据组合数和排列数的计算公式求解得到结果. 【详解】，则本题正确结果：【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题. 2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是_______.【答案】【解析】【分析】根据复数运算，求得，即可根据复数的概念得到实部.【详解】的实部是本题正确结果：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3.已知，则_______.【答案】4或6【解析】【分析】根据组合数性质可得到方程，求解即可得到结果.【详解】由得：或解得：或本题正确结果：或【点睛】本题考查组合数的性质，两种情况分别为或，属于基础题.4.已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________【答案】【解析】，故答案为．点睛:对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．5.用反证法证明“，可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.【答案】中没有能被整除的数【解析】【分析】反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可.【详解】“至少有个”的否定是“最多有个”，故应假设，中没有一个能被5整除．【点睛】本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.6.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取____. 【答案】5【解析】试题分析：时，不等式都不成立，时，，因此初始值为．考点：数学归纳法【名师点睛】数学归纳法证明中的两个基本步骤,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.7.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有_____种.【答案】30【解析】排除法：从反面考虑：C42C42－C42＝6×6－6＝30.8.除以9的余数为______.【答案】【解析】解：因为因此除以9以后的余数为79.若，则的值为___.【答案】1【解析】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.10.已知不等式，，，照此规律总结出第个不等式为_________.【答案】【解析】【分析】通过归纳总结三个不等式的规律，推理出所求结果.【详解】由题意可得：；；则第个不等式为：本题正确结果：【点睛】本题考查归纳推理的相关知识，关键是能够通过已知不等式总结出的变化规律.11.在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是______.【答案】【解析】试题分析：在中，作于，于F，则，所以，根据面积类比体积，长度类比面积可得，即．考点：类比推理．【思路点晴】本题考查类比推理及其应用，属于中档试题，类比推理是根据两类是事物之间具有很大的相似性，其中一类事物具有某种性质，推测另一类事物也具有某种性质的一中推理形式，本题中利用三角形的内角平分线定理类比空间三棱锥，根据面积类此体积，长度类比面积，从而得到，进而得到，同时也试题的一个难点和易错点．12.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】【分析】分成号区间用种颜色和种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加法原理求得结果.【详解】将区域标注数字序号如下图：当号区间共用种颜色，即同色且与异色时共有涂色方法：种当共用种颜色时，共有涂色方法：种则不同的涂色方案总数为：种本题正确结果：【点睛】本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数量；也可以根据对称区间同异色来进行讨论.13.把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则___.【答案】3974【解析】【分析】根据变化规律可知第行数字个数等于且第行最后一个数字为；验算可知为第行第个数；根据数字规律可得结果.【详解】由图乙可知，第行数字个数等于且第行最后一个数字为为第行第个数又第行最后一个数字为则第行第个数为：本题正确结果：【点睛】本题考查归纳推理、等差数列求和公式的应用.解决本题的关键是发现数字变化的规律，得到一般性命题，属于中档题.14.三角形的周长为31，三边，，均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为______.【答案】24【解析】【分析】根据三角形三边关系、周长为，可求得且，采用列举法列举出所有可能的结果，从而得到三元数组的个数.【详解】由三角形三边关系及周长可得：又，，即，，所以所有可能的取值为：且①当时，或②当时，或或③当时，或或或或④当时，或或或或或⑤当时，或或或或或或或则三元数组共有：个本题正确结果：【点睛】本题考查三角形三边关系，解题关键是能够得到边长的取值范围，然后根据分类计数原理，采用列举的方法求得结果.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（，是虚数单位）是纯虚数. （1）求的值；（2）若复数，满足，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）化简复数可得，根据纯虚数的定义，可得方程组，解方程组求得；（2）假设，利用求得关系即的范围；从而可求得的最大值.【详解】（1）复数又是纯虚数，则，解得：的值是（2）由（1）可以知道：设，即则的最大值为【点睛】本题考查复数的除法运算、纯虚数的定义、复数模长的求解问题，考查学生的计算能力，属于基础题.16.（1）设，求证：；（2）已知非零实数，，是公差不为零的等差数列，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将问题变成证明：，通过因式分解变成乘积的形式，依次判断各个因式的符号，进而证得结论；（2）采用反证法，假设成立，又，可得，与已知矛盾，故假设不成立，从而证得结论.【详解】（1）由因为，所以，，所以（2）假设，则……①而……②由①②，得，即于是，这与非零实数，，成公差不为零的等差数列矛盾故假设不成立，原命题结论成立，即成立【点睛】本题考查作差法和反证法证明不等式的问题.采用反证法证明不等式时，首先假设成立，最终证得与已知条件或常识相矛盾的结论，从而否定假设，证得结论.17.从8名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.【答案】（1）60；（2）480；（3）180；（4）1470【解析】【分析】（1）先选好参赛选手，再安排好甲、乙两人，再安排剩余两人，相乘得到结果；（2）先确定参赛选手，共有种选法；再安排好甲或乙，继续安排好剩余三人，相乘得到结果；（3）先选好参赛选手，再用捆绑法求得结果；（4）先安排好第一棒，再安排好其余三棒，相乘得到结果.【详解】（1）除甲、乙外还需选择人参加接力赛共有种选法则甲、乙跑中间两棒共有种排法；另外人跑另外两棒共有种排法甲、乙两人必须入选且跑中间两棒共有：种排法（2）甲、乙只有一人入选且选另外选人参加接力赛共有种选法甲或乙不跑中间两棒共有种排法；其余人跑剩余三棒共有种排法甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒共有：种排法（3）除甲、乙外还需选择人参加接力赛共有种选法甲乙跑相邻两棒，其余人跑剩余两棒共有种排法甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒共有：种排法（4）甲不在第一棒则需选择一人跑第一棒，共有种选法其余三棒共有种排法甲不在第一棒共有种排法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，解决排列组合问题的常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相离问题插空法等.再面对复杂排列组合问题时，遵循先选后排的原则，可以更好的缕顺解题思路.18.已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求的值；（2）求展开式中的项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）代入求得各项系数和为，又二项式系数和为，根据二者相差可得方程，解方程求得；（2）根据展开式通项公式，令的幂指数等于，求得，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为，利用解得，进而求得系数最大的项.【详解】（1）展开式各项系数的和为：；二项式系数的和为：又各项系数的和比二项式系数的和大，即，解得（2）展开式的通项公式为：令，解得展开式中的项为：（3）设第项的系数为，则由，即解得：，所以展开式系数最大项为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型.19.已知等差数列的公差大于0，且，是方程的两根，数列的前项和为，且.（1）求数列、的通项公式；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明．【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据韦达定理可构造方程组求得和，从而得到公差和，根据等差数列通项公式可得；利用可证得为等比数列，根据等比数列通项公式求得；（2）通过列举的结果可猜想当时，；根据数学归纳法的基本步骤，依次证明时成立，在成立的前提下时也成立，从而使问题得以解决.【详解】（1）由韦达定理可得因为的公差大于，所以，所以，，又可得：因为，所以当时，所以，化简得所以是首项为，公比为的等比数列，即所以，（2）因为，所以，下面比较与的大小：当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以. 猜想：当时，下面用数学归纳法证明：①当时，，，所以成立；②假设当时，，即那么，当时，所以当时，也成立．由①②可知，对任何，，都有成立综上所述，当时，；当时，【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解、利用数学归纳法证明不等式的问题.在运用数学归纳法证明问题时，需要注意的是当时假设成立的结论，必须在证明结论成立的过程中予以应用.20.已知（且，）.（1）设，求中含项的系数；（2）化简：；（3）证明：.【答案】（1）330；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据表达式可知系数为，将改写成，利用组合数的性质：整理得到结果；（2）通过对求导可得，代入可求得，根据可化简得到结果；（3）等式左侧可看做中含项的系数；通过整理出，此时含项的系数为，即等式右侧；由此可知所证等式成立.【详解】（1）由题意知：所以中含项的系数为：（2）两边求导得，令得到，又且所求式子的通项为（3）……①则函数中含项的系数为因为……②①-②得：即所以函数中含项的系数为：所以【点睛】本题考查二项式定理、组合数公式的综合应用问题，解题关键是在处理组合数的化简、证明问题时，常采用构造法逆用二项式定理、对二项展开式左右两端分别求导，从而得到符合题意的组合数；同时在解题过程中要注意组合数性质的应用.。

江苏省2020版高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A . 6种B . 12种C . 24种D . 48种2. （2分）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .3. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·成都期中) 已知函数f（x）=lnx，x1 ， x2∈（0，），且x1＜x2 ，则下列结论中正确的是（）A . （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0B . f（）＜f（）C . x1f（x2）＞x2f（x1）D . x2f（x2）＞x1f（x1）5. （2分）一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是（）A . 0.078B . 0.78C . 0.0078D . 0.046. （2分）(2017·宁波模拟) 如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I⊂α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）A .B .C .D . 37. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 已知函数，若方程有三个实数根，且，则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 经过点（3，﹣）的双曲线﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为（）A .B . 2C . 2D . 49. （2分）工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N（μ，σ2）．在一次正常实验中，取1000个零件时，属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围零件个数最可能为（）A . 997个B . 954个C . 682个D . 3 个10. （2分） (2019高二下·赤峰月考) 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。

江苏省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的模为A .B .C .D . 22. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关3. （2分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是（2，θ），圆C的参数方程是（t为参数），点M与圆C的位置关系是（）A . 在圆内B . 在圆上C . 在圆外D . 在圆上或圆外4. （2分） (2017高二上·南昌月考) 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是（）A . 在(－2，1)上f(x)是增函数B . 在(1，3)上f(x)是减函数C . 当x＝2时，f(x)取极大值D . 当x＝4时，f(x)取极大值5. （2分） (2019高二下·上饶月考) 已知定义域为R的奇函数的导函数，当时，，若，则下列关于的大小关系正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三上·同心期中) 已知实数a ， b满足，，则的最小值为A .B .C .D .8. （2分）下列命题正确的是（）A . 若，则a＞bB . 若|a|＞b，则C . 若a＞|b|，则D . 若a＞b，则9. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则等于（）A . 1B .C . 2017D .10. （2分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（）A . a＞B . a≥C . a＜且a≠0D . a≤ 且a≠011. （2分）用反证法证明“如果a>b，则a3>b3”假设的内容是（）A . a3=b3B . a3<b3C . a3=b3且a3<b3D . a3=b3或a3<b312. （2分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A . (0,)B . (0,)C . (0,)D . (0,)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是________．14. （1分）已知a= ，则二项式的展开式中的常数项为________．15. （1分） (2017高二下·如皋期末) 已知正实数a，b满足2a2﹣ab﹣4=0，则3a﹣b的最小值为________．16. （1分） (2019高二下·齐齐哈尔期末) 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________.三、解答题： (共8题；共65分)17. （10分）综合题。

第二学期期中考试高二数学试题（理）一、填空题。

1.若矩阵14A⎡=⎢⎣11-⎤⎥⎦，1,2B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则=AB_____.【答案】1 6 -⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：.考点：矩阵与矩阵的乘法.2.总体由编号为01,02,19,20⋅⋅⋅的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 _________.【答案】05【解析】【分析】根据随机数表的规则，依次读取在编号内的号码，取出第6个编号即为所求，重复的只算一次.【详解】解：由随机数表第1行的第5列和第6列数字组合成的两位数为65，从65开始由左到右依次选取两个数字，将在01,02,19,20⋅⋅⋅内的编号依次取出，重复的只算一次，即依次选取个体的编号为08,02,14,07,11,05,⋅⋅⋅，因此第6个个体的编号为05.【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题，读懂抽样规则是解题的关键.3.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是_________. 【答案】23【解析】试题分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有3216⨯⨯=种排法，其中甲、乙相邻共有2214⨯⨯=种排法，因此所求概率为42.63= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的计算方法 (1)列举法：此法适合于较简单的试验．(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求． (3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便． (4)排列、组合数公式法．4.若()9x y +按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且1,0x y xy +=<，则x 的取值范围是_______.【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】列出二项展开式的通项公式，根据第二项不大于第三项和,x y 的关系构造不等式组，解不等式组可求得x 的范围. 【详解】()9x y +二项展开式的通项公式是：919r r rr T C x y -+=⋅⋅依题意，有19129229910C x y C x y x y xy --⎧⋅⋅≤⋅⋅⎪+=⎨⎪<⎩，由此得：()()()22141010x x x x x x ⎧---≤⎪⎨-<⎪⎩解得：1>x ，即x取值范围为()1,+∞本题正确结果：()1,+∞【点睛】本题考查二项式定理的应用问题，属于基础题.5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是_______（用分数表示） 【答案】13【解析】 【分析】求出三张卡片全排列和满足条件的事件的种数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片全排列，共有336A =种结果 满足条件的事件共有2种结果 根据古典概型概率公式得到：2163P == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.6.已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，标准差是2，则xy =________. 【答案】96 【解析】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=-7.方程22361414x x x C C --=的解为________. 【答案】2,3,4x = 【解析】试题分析：220{360x x x -≥-≥，2x ∴≥，由题意得或，解得2,3,4x =.考点：组合.8.(2017·江苏，4)如图是一个算法流程图，若输入x的值为161，则输出y 的值是____.【答案】－2 【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．9.直线325:415x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）上与点()2,1P -距离为5，且在点P 下方的点的坐标为____. 【答案】()1,5-- 【解析】 试题分析：2234[(2)2][(1)1]555t t +-+-++=，5t ∴=，Q 在点P 下方，5t ∴=-，1x ∴=-，5y =-，所以所求点的坐标为.考点：参数方程.10.口袋中有个()*n n N∈白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ，若()7230P X ==，则n 的值为______ . 【答案】7 【解析】 【分析】首先确定第一次取出红球，第二次取出白球的取法种数；再确定取2次的所有取球方法数；根据古典概型概率公式可构造出关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】2X =说明第一次取出的是红球，第二次取出的白球，取球方法数为113n A A ⋅ 取2次的所有取球方法数23n A +利用()()()113233723230n n A A n P X A n n +⋅∴====++，即()()7670n n --= *N n ∈Θ 7n ∴=本题正确结果：7【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用问题，关键是能够确定符合题意的取法种数，属于基础题.11.在极坐标中，点1,,2,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，动点P 满足12PA PB =，则动点P 轨迹的极坐标方程为___________ . 【答案】34cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】 试题分析：(1,)3A Q π，(2,)3B π，1(2A ∴，B ，设),(y x P ，由12PA PB =得22203x y x y +-=，2cos 3ρθθ∴=，则34cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.考点：极坐标与普通方程的转化.【易错点晴】本题主要考查了极坐标与普通方程的转化、平面解析法求点的轨迹、两角差的余弦公式.极坐标问题转化为普通方程来解决是极坐标题常用的方法，要求学生熟练极坐标与普通方程的互化公式.用平面解析法求点的轨迹也是本题的另一个考点，该方法也是研究轨迹的常用方法.本题难度不大，属于中档题.12.如图，在小地图中，一机器人从点()0,0A 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是23，向右移动1格的概率是13，则该机器人6秒后到达点()4,2B 的概率为__________.【答案】24320【解析】 【分析】首先确定6秒内向右移动4次，向上移动2次；从而可根据二项分布概率公式求得结果. 【详解】由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次则所求概率为：4246122033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：24320 【点睛】本题考查二项分布概率公式的应用，属于基础题.13.5123x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是__________ . 【答案】1683- 【解析】 【分析】将原式变为5123x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，列出二项展开式的通项公式；再列出512rx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式，从而可知当520r k --=时为常数项；根据,r k 的取值范围可求得,r k ，代入通项公式可常数项的各个构成部分，作和得到常数项.【详解】由题意知：55112323x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦则展开式通项公式为：()55123rrr C x x -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭又512rx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()555255122kr kkk r k r krr Cx C x x --------⎛⎫= ⎪⎝⎭∴当520r k --=时，该项为展开式的常数项又[]0,5r ∈，[]0,5k ∈，且,k r Z ∈12r k =⎧∴⎨=⎩或31r k =⎧⎨=⎩或50r k =⎧⎨=⎩则展开式常数项为：()()()35122311554525232331683C C C C C ⋅⋅-+⋅⋅-+⋅-=-本题正确结果：1683-【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，对于多项的展开式，可进行拆分，变为两项之间的关系再展开，得通项公式后，再次利用二项式定理展开，从而变为二元一次方程，通过讨论可得结果.14.已知数列{}n a 为()0123,,,,,n a a a a a n N ⋅⋅⋅∈01230nn i n i b a a a a a a ===++++⋅⋅⋅+∑，i N ∈.若数列{}n a 为等差数列()2n a n n N =∈，则()1ni i n i b C =∑________.【答案】22(3)2n n n -+⋅【解析】试题分析：02,nn n i i a n b a ===∑Q ，()02421n b n n n =++++=+L()01221nn n n n n n x C C x C x C x L +=++++两边同乘以x ，则有()0122311nn n n n n n x x C x C x C x C x ++=++++L ，两边求导，左边=()()111n n x nx x -+++，右边=()0122231n nn n n n C C x C x n C x ++++L ，即()()()1012211231n n n nn n n n x nx x C C x C x n C x L -+++=+++++（*）， 对（*）式两边再求导， 得()()()()121232121112?1?3?2?4?3?1n n n n n n n n n x n n x x C C x C x n nC x ---++-+=+++++L取x=1，则有()()22123321?2?2?3?3?4?1n nn n n n n n C C C n n C -+=+++++L∴()221(3)2nin ini b C nn -=∴=+⋅∑考点：数列的求和二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人外出比赛，分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）()1男3名，女2名； ()2队长至少有1人参加； ()3至少1名女运动员；()4既要有队长，又要有女运动员.【答案】（1）3264120C C =种选法．（2）1423324146464646246C C C C C C C C +++=种选法． （3）196种选法．（4）444985()191C C C +-=种．【解析】第一问中，要确定所有的选法由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选3名男运动员，有36C 种选法． 再选2名女运动员，有24C C42种选法第二问中，（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”． 从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种． 第三问中，“只有男队长”的选法为48C 种； “只有女队长”的选法为48C 种； “男、女队长都入选”的选法为38C 种；第四问中当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法． 不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法． 其中不含女运动员的选法有45C 种，解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选3名男运动员，有36C 种选法． 再选2名女运动员，有24C C42种选法．共有3264120C C =种选法．（3分）（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有1423324146464646246C C C C C C C C +++=种选法．法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”． 从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员选法有56C 种． 所以“至少有1名女运动员”的选法有510C -56C =246种． （4分） （3）“只有男队长”的选法为48C 种；“只有女队长”的选法为48C 种； “男、女队长都入选”的选法为38C 种； ∴共有248C +38C =196种．∴“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法． （4分） （4）当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法． 不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法． 其中不含女运动员的选法有45C 种， ∴不选女队长时共有48C -45C 种选法．既有队长又有女运动员的选法共有444985()191C C C +-=种． （4分）16.已知圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=直线l 的极坐标方程：sin 324πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1求圆心C 到直线l 的距离； ()2若直线l 在矩阵10M ⎡=⎢⎣24⎤⎥⎦的交换下得到直线m ，求直线m 的直角坐标方程. 【答案】（1）522；（2）43240x y -+=. 【解析】试题分析：（1）求得圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线l 的普通方程为60x y -+=，由点到直线的距离公式可求得距离522d =；（2）22]44x x y y y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2{4x x yy y=+∴=''，12{14x x y y y ''-∴='=，116024x y y -''+'-=，∴43240x y -+=. 试题解析：圆()22:11C x y +-=，直线.（1）0155222d -+==（2）43240x y -+=考点：极坐标与普通方程的转化、点到直线的距离公式、矩阵的运算.17.如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD V V 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=.()1当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； ()2当CF 与平面ACD 15时，求λ的值. 【答案】（1）2856（2）12λ=【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面ACD 的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果，详解：连接CE ， 以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,,1,0,0A B C D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=，则(()=BF BA λλλ=-=-u u u v u u u v ，所以()1F λ-． （1）当13λ=时，2,0,33F ⎛ ⎝⎭，()5,0,,1,33DF CB ⎛== ⎝⎭u u u v u u u v ， 所以5cos ,DF CB ==u u u v u u u v．（2）()1,CF λ=-u u u v，设平面ACD 的一个法向量为n v=(),,x y z由n v DA ⊥,n v DC⊥得()(()(),,0,,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n v)1,1=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则sin cos ,10CF n θ===u u u v v解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32 和43，假设两人射击是否击中目标相互直线没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.()1求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；()2求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；()3假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击，问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？ 【答案】（Ⅰ）6581（Ⅱ）18（Ⅲ）451024 【解析】（1）甲至少一次未击中目标的概率1P 是401444442165(1)(2)(3)(4)1(0)1()()3381P P P P P P =+++=-=-⋅= （2）甲射击4次恰击中2次的概率为22224218()()3327P C =⋅=，乙射击4次恰击中3次的概率为33343127()4464P C =⋅=， 由乘法公式，所求概率23827127648P P P ==⨯=。

江苏省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足（ +i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）已知△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求证：a<b.证明：因为∠A=30°，∠B=60°，所以∠A<∠B.所以a<b.其中，划线部分是演绎推理的（）A . 大前提B . 小前提C . 结论D . 三段论3. （2分）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A . a，b，c都是奇数B . a，b，c中至少有两个是偶数C . a，b，c都是偶数D . a，b，c中至多有一个偶数4. （2分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（）A . 假设当n=k（k∈N*）时，xk+yk能被x+y整除B . 假设当n=2k（k∈N*）时，xk+yk能被x+y整除C . 假设当n=2k+1（k∈N*）时，xk+yk能被x+y整除D . 假设当n=2k﹣1（k∈N*）时，x2k﹣1+y2k﹣1能被x+y整除5. （2分）由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·安徽月考) 某次测试中有4道选择题，每题1分，每道题在选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这4道题的得分：1234得分甲C A B A3乙C C B C2丙B B B A1则甲同学答错的题目的题号是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高二下·固镇月考) 曲线与直线所围成图形的面积为（）A .B .C .D .8. （2分）（）A .B .C .D .9. （2分）已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个数对是（）A . （3，8）B . （4，7）C . （4，8）D . （5，7）10. （2分）三角形的面积s= （a+b+c）r，a，b，c为其边长，r为内切圆的半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（）A . V= abc（a，b，c为地面边长）B . V= sh（s为地面面积，h为四面体的高）C . V= （ab+bc+ac）h，（a，b，c为地面边长，h为四面体的高）D . V= （S1+S2+S3+S4）r，（S1 ， S2 ， S3 ， S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径）11. （2分） (2018高二上·兰州月考) 已知数列中，前项和为，且点在直线上，则 =（）A .B .C .D .12. （2分）规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。

江苏省2020版高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列求导运算正确的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高二上·仙游期末) 在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，则切点A的坐标为（）A . （1，1）B . （2，4）C . （，2）D . （，）3. （2分） (2019高二下·佛山期末) 某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·长春期末) 某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A . 种B . 种C . 种D . 种5. （2分） (2018高二上·长安期末) 若函数满足为自然对数底数），其中为的导函数，则当时，的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知a=(sinx ， cosx)，b=(cosx ， sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为（）A .B .C .D .7. （2分）在（x2+x﹣2）4的展开式中，各项系数的和是（）A . 0B . 1C . 16D . 2568. （2分）(2020·银川模拟) 若展开式的各项系数之和为，则其展开式中的常数项为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·拉萨月考) 若且，则实数m的值为（）A . 1或﹣3B . ﹣1C . ﹣3D . 110. （2分） (2020高一下·山西月考) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高三上·滨州期末) 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f/(x),且函数y=(1−x) f/(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是（）A . 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B . 函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1)C . 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2)D . 函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)12. （2分）(2018·枣庄模拟) 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·德阳模拟) 二项式展开式中的系数为________．14. （1分）(2018·天津) 已知函数f(x)=exlnx ， f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为________．15. （1分） (2015高二上·仙游期末) 计算 dx=________．16. （1分）(2017·大连模拟) 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法（用数字作答）．三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分） (2015高二下·太平期中) 有 4名男生和2名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？（Ⅰ）男生甲不站排头和排尾．（Ⅱ）两名女生必须相邻．（Ⅲ）甲、乙、丙三名同学两两不相邻．（Ⅳ）甲不站排头，乙不站排尾．18. （10分） (2020高二下·六安月考) “既要金山银山，又要绿水青山”。

江苏省2020版高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·吉林期中) 定积分（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·大名期中) 用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（）A . a、b都小于2B . a、b至少有一个不小于2C . a、b至少有两个不小于2D . a、b至少有一个小于23. （2分） (2019高三上·广东月考) 若复数的共轭复数满足，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·通榆期中) 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）化简2n﹣Cn1×2n﹣1+Cn2×2n﹣2+…+（﹣1）n﹣1Cnn﹣1×2=（）A . 1B . （﹣1）nC . 1+（﹣1）nD . 1﹣（﹣1）n6. （2分） (2018高一上·辽宁期中) 现有5项工程由甲、乙、丙3个工程队承包，每队至少一项，但甲承包的项目不超过2个，不同的承包方案有（）种A . 130B . 150C . 220D . 2407. （2分）(2019·浙江模拟) 甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i（i=1,2,3）个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1（i），E2（i），则以下结论错误的是（）A . E1（1）＞E2（1）B . E1（2）=E2（2）C . E1（1）+E2（1） =4D . E1（3）＜E2（1）8. （2分） (2015高三上·邢台期末) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A . 63.6万元B . 65.5万元C . 67.7万元D . 72.0万元9. （2分） (2018高二下·辽源月考) 在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）A . （1）（2）B . （1）（3）C . （2）（4）D . （2）（3）10. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）设n∊N+ ，则5 +52 +53 +…+5n 除以7的余数为（）A . 0或5B . 1或3C . 4或6D . 0或212. （2分）口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=0.2，则P（﹣1＜ξ＜0）等于________．14. （1分） (2016高三上·晋江期中) 曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为________．15. （1分）(2020·临沂模拟) 若展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为________．16. （1分）(2013·上海理) 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （5分） (2019高二下·佛山月考) 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．18. （20分） (2017高二下·徐州期中) 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员．19. （10分）已知，数列{an} 的前 n 项的和记为 Sn .S（1）求S1,S2,S3的值，猜想Sn的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想.20. （10分） (2017高二下·赣州期中) 解答题（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）若（x6+3）（x2+ ）5的展开式中含x10项的系数为43，求实数a的值．21. （15分）(2017·东莞模拟) 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）年龄频数频率男女[0，10）100.155[10，20）①②③④[20，30）250.251213[30，40）200.21010[40，50）100.164[50，60）100.137[60，70）50.0514[70，80）30.0312[80，90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？50岁以上50岁以下合计男生女生合计P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：k2= ，其中n=a+b+c+d）（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．22. （10分）(2012·山东理) 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中一次得的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分)17-1、18-1、18-2、18-3、18-4、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

第二学期高二数学期中测试卷数 学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．复数2+i 1−2i的共轭复数是 ．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ．3．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，x ，−1)，且a →⋅b →=2，则x 的值是 ． 4．把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种．5．若直线l 的方向向量为（4，2，m ），平面α的法向量为（2，1，﹣1），且l ⊥α，则m ＝ ． 6．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga ﹣lgb 的不同值的个数是 ．7．已知a →=（3，﹣2，﹣3），b →=（﹣1，x ﹣1，1），且a →与b →的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ．8．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答） 9．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k +1时成立时，f(n)=1+12+13+⋯+12n −1增加的项数是 10．如图在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A →=a →，A 1B 1→=b →，A 1D 1→=c →，O 为底面ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，则AG →=11．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．12．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM= ．13．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ． 14．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α﹣1； ②cos4α＝8cos 4α﹣8cos 2α+1；③cos6α＝32cos 6α﹣48cos 4α+18cos 2α﹣1；④cos8α＝128cos 8α﹣256cos 6α+160cos 4α﹣32cos 2α+1； ⑤cos10α＝m cos 10α﹣1280cos 8α+1120cos 6α+n cos 4α+p cos 2α﹣1； 可以推测，m ﹣n +p ＝ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．设z 为复数z 的共轭复数，满足|z −z |＝2√3． （1）若z 为纯虚数，求z ； （2）若z −z 2为实数，求|z |．16．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男女相间．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝2AB ＝2，F 为BC 的中点，PE →=λEC →．（1）若λ＝2，求异面直线PD 与EF 所成角的余弦值； （2）若λ=12，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．18．（1）已知正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b，1c不可能是等差数列．（2）设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *．证明：当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ． 19．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面ABE ⊥底面ABCD ，侧面AEB 为等腰直角三角形，∠AEB =π2，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF EA；若不存在，说明理由．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=√a n 2−2a n +2−1（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3的值 （2）证明：①0≤a n ≤1； ②a 2n ＜14＜a 2n +1．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．﹣i．2．正方形的对角线相等3．5．4．815．﹣26．18．7．x＞﹣2且x≠−5 3．8．480．9．2k．10．23a→+12b→+56c→．11．96．12 313．84．14．962．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）设z＝bi，b∈R，则z=−bi，因为|z−z|＝2√3，则|2bi|＝2√3，即|b|=√3⋯所以b=±√3，所以z=±√3i⋯（6分）（2）设z＝a+bi，（a，b∈R），则z=a﹣bi，因为|z−z|＝2√3，则|2bi|＝2√3，即|b|=√3．…（7分）z−z2＝a+bi﹣（a﹣bi）2＝a﹣a2+b2+（b+2ab）i．因为z−z2为实数，所以b+2ab＝0…因为|b|=√3，所以a=−1 2，…所以|z|=√(−12)2+(±√3)2=√132⋯16．（1）先排甲有6种，其余有A88种，∴共有6•A 88＝241920种排法．（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有A 22•A 77＝10080种排法．（3）先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A 55种方法， 故共有A 44•A 55＝2880种排法．17．（1）四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABC D 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝2AB ＝2，F 为BC 的中点，PE →=λEC →． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，当λ＝2时，P （0，0，2），D （0，2，0），C （1，2，0），E （23，43，23），F （1，1，0），PD →=（0，2，﹣2），EF →=（13，−13，−23），设异面直线PD 与EF 所成角为θ， 则异面直线PD 与EF 所成角的余弦值为： cosθ=|PD →⋅EF →||PD →|⋅|EF →|=23√8⋅√69=√36．（2）当λ=12，E （13，23，43），A （0，0，0），F （1，1，0），C （1，2，0），AE →=（13，23，43），AF →=（1，1，0），设平面AEF 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=13x +23y +43z =0n →⋅AF →=x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，14）， 平面AFC 的法向量m →=（0，0，1）， 设二面角E ﹣AF ﹣C 的平面角为θ， 则二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值为：cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=14√1+1+116=√3333．18．证明：（1）假设1a ，1b，1c是等差数列，则1b−1a=1c−1b，即a−b ab=b−c bc，∴a−b a=b−c c，∵a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0， ∴a ﹣b ＝b ﹣c ≠0， ∴1a=1c ，∴a ＝c ，此时公差d ＝0，这与题设矛盾， ∴假设不成立，即1a ，1b，1c不可能是等差数列．（2）①当p ＝2时，（1+x ）2＝1+2x +x 2＞1+2x ，原不等式成立； ②假设p ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，不等式（1+x ）k ＞1+kx 成立，当p ＝k +1时，（1+x ）k +1＝（1+x ）（1+x ）k ＞（1+x ）（1+kx ）＝1+（k +1）x +kx 2＞1+（k +1）x ，∴当p ＝k +1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ． 19．（1）因为平面ABE ⊥底面ABCD ，且AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角， 设BC ＝a ，则AB ＝2a ，BE =√2a ，所以CE =√3a ， 则直角三角形CBE 中，sin ∠CEB =CBCE =3=√33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为√33； （2）存在点F ，且EF EA=13时，有EC ∥平面FBD ，证明如下：解：连接AC 、BD 交于点M ，面ACE ∩面FBD ＝FM ． 因为EC ∥平面FBD ，所以EC ∥FM ．在梯形ABCD 中，有△DMC ∽△BMA ，可得MA ＝2MC ，∴AF ＝2FE ， 即点F 满足EF EA=13时，有EC ∥平面FBD ．20．（1）a 2＝0，a 3=√2−1，（2）设f （x ）=√(x −1)2+1−1，则a n +1＝f （a n ）， ①（i ）当n ＝1时，命题成立，（ii ）假设n ＝k 时，命题成立，即0≤a k ≤1，则当n ＝k +1时，易知f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，从而0＝f （1）≤f （a k ）≤f （0）=√2−1＜1， 即0≤a k ≤1，所以当n ＝k +1时结论成立， 由（i ），（ii ）可知命题成立， ②先证a 2n ＜a 2n +1，（n ∈N *），（i ）当n ＝1时，0＝a 2＜a 3=√2−1，即n ＝1时命题成立， （ii ）假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＜a 2k +1，（k ∈N *），则当n ＝k +1时，由①f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，得a 2k +1＝f （a 2k ）＞f （a 2k +1）＝a 2k +2，故a 2k +2＝f （a 2k +1）＞f （a 2k +2）＝a 2k +3， 所以当n ＝k +1时结论成立， 由（i ），（ii ）a 2n ＜a 2n +1，（n ∈N *）， 再证a 2n ＜14＜a 2n +1，由上可知，a 2n ＜√a 2n 2−2a 2n +2−1，即（a 2n +1）2＜a 2n 2﹣2a 2n +2，因此a 2n ＜14，由f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，得f （a 2n ）＞f （a 2n +1），即a 2n +1＞a 2n +2，所以a 2n +1＞√a 2n+12−2a 2n+1+2−1，即a 2n +1＞14，所以a 2n ＜14＜a 2n +1．。